SBT Toán 11 - giải SBT Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống Bài tập ôn tập cuối năm - SBT Toán 11 KNTT

Giải bài 41 trang 72 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống


Cho hình lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh bằng \({\rm{a}}\),

Tổng hợp đề thi học kì 2 lớp 11 tất cả các môn - Kết nối tri thức

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh

Đề bài

Cho hình lăng trụ tam giác \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh bằng \({\rm{a}}\), tam giác \(AB'C'\) cân tại \(A\), mặt phẳng \(\left( {AB'C'} \right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {A'B'C'} \right)\) và \(AA' = a\sqrt 3 \).

a) Chứng minh rằng \(BCC'B'\) là hình chữ nhật.

b) Tính theo a thể tích khối lăng trụ \(ABC \cdot A'B'C'\).

c) Tính góc giữa đường thẳng \(AA'\) và mặt phẳng \(\left( {A'B'C'} \right)\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Kẻ \(AH\) vuông góc với \(B'C'\) tại \(H\).Chứng minh \(AH \bot \left( {A'B'C'} \right) \Rightarrow B'C' \bot AH\)

 Chứng minh \(B'C' \bot \left( {AA'H} \right) \Rightarrow B'C' \bot AA'\).

Kết hợp với  \(BB'//AA'\) nên \(B'C' \bot BB'\) hay \(BCC'B'\) là hình chữ nhật.

b) Tính chiều cao \(AH = \sqrt {A{A^{{\rm{'}}2}} - A'{H^2}} \).

Tính thể tích khối lăng trụ \(ABC \cdot A'B'C'\) bằng \({S_{A'B'C'}} \cdot AH\).

c) Chứng minh góc giữa \(AA'\) và mặt phẳng \(\left( {A'B'C'} \right)\) là góc giữa hai đường thẳng \(AA'\) và \(A'H\), mà \(\left( {AA',A'H} \right) = \widehat {AA'H}\).

Xét tam giác \(AA'H\) vuông tại \(H\), ta có: \({\rm{cos}}\widehat {AA'H} = \frac{{A'H}}{{AA'}} \Rightarrow \widehat {AA'H}\).

Kết luận  góc giữa đường thẳng \(AA'\) và mặt phẳng \(\left( {A'B'C'} \right)\)

Lời giải chi tiết

a) Kẻ \(AH\) vuông góc với \(B'C'\) tại \(H\) thì \(AH \bot \left( {A'B'C'} \right)\) và \(H\) là trung điểm của \(B'C'\), tam giác \(A'B'C'\) đều nên \(A'H \bot B'C'\) \( \Rightarrow B'C' \bot \left( {AA'H} \right) \Rightarrow B'C' \bot AA'\).

Mà \(BB'//AA'\) nên \(B'C' \bot BB'\) hay \(BCC'B'\) là hình chữ nhật.

b) Tam giác \(AA'H\) vuông tại \(H\), ta có:\(A'H = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AH = \sqrt {A{A^{{\rm{'}}2}} - A'{H^2}}  = \frac{{3a}}{2}\).

Thể tích khối lăng trụ \(ABC \cdot A'B'C'\) bằng \({S_{A'B'C'}} \cdot AH = \frac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{8}\).

c) Vì \(A'H\) là hình chiếu vuông góc của \(AA'\) trên mặt phẳng \(\left( {A'B'C'} \right)\) nên góc giữa đường thẳng \(AA'\) và mặt phẳng \(\left( {A'B'C'} \right)\) là góc giữa hai đường thẳng \(AA'\) và \(A'H\), mà \(\left( {AA',A'H} \right) = \widehat {AA'H}\).

Tam giác \(AA'H\) vuông tại \(H\), ta có: \({\rm{cos}}\widehat {AA'H} = \frac{{A'H}}{{AA'}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {AA'H} = {60^ \circ }\).

Vậy góc giữa đường thẳng \(AA'\) và mặt phẳng \(\left( {A'B'C'} \right)\) bằng \({60^ \circ }\).


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Kết nối tri thức - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua