SBT Toán 11 - giải SBT Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống Bài tập ôn tập cuối năm - SBT Toán 11 KNTT

Giải bài 40 trang 72 sách bài tập toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống


Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh bằng a và \(SA = a\sqrt 2 \).

Tổng hợp đề thi học kì 2 lớp 11 tất cả các môn - Kết nối tri thức

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh

Đề bài

Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh bằng a và \(SA = a\sqrt 2 \).

a) Tính theo a thể tích khối chóp \(S.ABCD.\)

b) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AD\) và \(SB\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\).

Vì \(S.ABCD\) là hình chóp đều nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).

Áp dụng định lý Pytago tính : \(SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}} \).

Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) bằng \(\frac{1}{3} \cdot {S_{ABCD}} \cdot SO\)

 

b) Vì \(AD//\left( {SBC} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) chứa \(SB\) nên

\(d\left( {AD,SB} \right) = d\left( {AD,\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)\)

\(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = 2.d\left( {O,\left( {SBC} \right)} \right)\).

Kẻ \(OM\) vuông góc với \(BC\) tại \(M,OH\) vuông góc với \(SM\) tại \(H\) thì

\(BC \bot \left( {SOM} \right) \Rightarrow BC \bot OH \Rightarrow OH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {O,\left( {SBC} \right)} \right) = OH.\)

Tam giác \(SOM\)vuông tại \(O\), có đường cao \(OH\), khi đó \(OH = \frac{{SO \cdot OM}}{{SM}}\).

Suy ra \(d\left( {AD,SB} \right) = 2.OH\).

Lời giải chi tiết

a) Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\).

Vì \(S.ABCD\) là hình chóp đều nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).

Ta có tam giác \(SAO\) vuông tại \(O\) nên theo định lí Pythagore: \(SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}}  = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\).

Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) bằng \(\frac{1}{3} \cdot {S_{ABCD}} \cdot SO = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{6}.\)

 

b) Vì \(AD//\left( {SBC} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) chứa \(SB\) nên

\(d\left( {AD,SB} \right) = d\left( {AD,\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)\)

Đường thẳng \(AO\) cắt mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) tại \(C\) và \(O\) là trung điểm của đoạn \(AC\) nên \(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = 2.d\left( {O,\left( {SBC} \right)} \right)\).

Kẻ \(OM\) vuông góc với \(BC\) tại \(M,OH\) vuông góc với \(SM\) tại \(H\) thì

\(BC \bot \left( {SOM} \right) \Rightarrow BC \bot OH \Rightarrow OH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {O,\left( {SBC} \right)} \right) = OH.\)

Tam giác \(SOM\)vuông tại \(O\), có đường cao \(OH\), khi đó \(OH = \frac{{SO \cdot OM}}{{SM}} = \frac{{a\sqrt {42} }}{{14}}\).

Vậy \(d\left( {AD,SB} \right) = 2.OH = \frac{{a\sqrt {42} }}{7}\).


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Kết nối tri thức - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua