-
GIẢI SGK TOÁN 11 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO - MỚI NHẤT
-
Toán 10 tập 1 - Chân trời sáng tạo
-
Toán 10 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Giải bài 10 trang 103 SGK Toán 10 tập 1 – Chân trời sáng tạo
Cho tam giác đều ABC có O là trọng tâm và M là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M đến BC, AC, AB.
Tổng hợp đề thi học kì 1 lớp 10 tất cả các môn - Chân trời sáng tạo
Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh - Sử - Địa...
Đề bài
Cho tam giác đều ABC có O là trọng tâm và M là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M đến BC, AC, AB. Chứng minh rằng \(\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} = \frac{3}{2}\overrightarrow {MO} \).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Bước 1: Qua M kẻ các đường thẳng song song với AB, AC, BC.
Bước 2: Xác định các tam giác đều, hình bình hành sau đó áp dụng vào biểu thức vectơ, trong tam giác đều thì đường cao vừa là trung tuyến, quy tắc hình bình hành \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \) (với ABCD là hình bình hành).
Bước 3: Sử dụng quy tắc ba điểm \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OB} \), tính chất trọng tâm của tam giác \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \) (với G là trọng tâm của tam giác ABC).
Lời giải chi tiết
\(\overrightarrow {MD} {\rm{\;}} + \overrightarrow {ME} {\rm{\;}} + \overrightarrow {MF} {\rm{\;}} = \left( {\overrightarrow {MO} {\rm{\;}} + \overrightarrow {OD} } \right) + \left( {\overrightarrow {MO} {\rm{\;}} + \overrightarrow {OE} } \right) + \left( {\overrightarrow {MO} {\rm{\;}} + \overrightarrow {OF} } \right)\) (quy tắc ba điểm).
Qua M kẻ các đường thẳng \({M_1}{M_2}//AB;{M_3}{M_4}//AC;{M_5}{M_6}//BC\).
Từ đó ta có: \(\widehat {M{M_1}{M_6}} = \widehat {M{M_6}{M_1}} = \widehat {M{M_4}{M_2}} = \widehat {M{M_2}{M_4}} = \widehat {M{M_3}{M_5}} = \widehat {M{M_5}{M_3}} = {60^\circ }\) (góc so le trong với các góc của tam giác đều).
Suy ra các tam giác \(\Delta M{M_3}{M_5},\Delta M{M_1}{M_6},\Delta M{M_2}{M_4}\) đều.
Do đó MD, ME, MF là các đường cao, đồng thời là đường trung tuyến của các tam giác đều trên.
Áp dụng tính chất đường trung tuyến, ta có:
\(\overrightarrow {ME} {\rm{\;}} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{M_1}} {\rm{\;}} + \overrightarrow {M{M_6}} } \right);\overrightarrow {MD} {\rm{\;}} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{M_2}} {\rm{\;}} + \overrightarrow {M{M_4}} } \right);\overrightarrow {MF} {\rm{\;}} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{M_3}} {\rm{\;}} + \overrightarrow {M{M_5}} } \right)\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {MD} {\rm{\;}} + \overrightarrow {ME} {\rm{\;}} + \overrightarrow {MF} {\rm{\;}} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{M_2}} {\rm{\;}} + \overrightarrow {M{M_4}} } \right) + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{M_1}} {\rm{\;}} + \overrightarrow {M{M_6}} } \right) + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{M_3}} {\rm{\;}} + \overrightarrow {M{M_5}} } \right)\)
\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{M_1}} {\rm{\;}} + \overrightarrow {M{M_3}} } \right) + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{M_2}} {\rm{\;}} + \overrightarrow {M{M_5}} } \right) + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{M_4}} {\rm{\;}} + \overrightarrow {M{M_6}} } \right)\) (hoán vị)
\( = \frac{1}{2}\overrightarrow {MA} {\rm{\;}} + \frac{1}{2}\overrightarrow {MB} {\rm{\;}} + \frac{1}{2}\overrightarrow {MC} {\rm{\;}}\) (quy tắc hình bình hành, dễ dàng chứng minh các tứ giác \(A{M_3}M{M_1};C{M_4}M{M_6};B{M_2}M{M_5}\) là hình bình hành do có các cặp cạnh đối song song).
\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {MA} {\rm{\;}} + \overrightarrow {MB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {MC} } \right)\)
\( = \frac{1}{2}\left( {\left( {\overrightarrow {MO} {\rm{\;}} + \overrightarrow {OA} } \right) + \left( {\overrightarrow {MO} {\rm{\;}} + \overrightarrow {OB} } \right) + \left( {\overrightarrow {MO} {\rm{\;}} + \overrightarrow {OC} } \right)} \right)\) (quy tắc ba điểm)
\( = \frac{1}{2}\left( {3\overrightarrow {MO} {\rm{\;}} + \left( {\overrightarrow {OA} {\rm{\;}} + \overrightarrow {OB} {\rm{\;}} + \overrightarrow {OC} } \right)} \right)\)
\( = \frac{3}{2}\left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow 0 } \right)\) (tính chất trọng tâm)
Vậy \(\overrightarrow {MD} {\rm{\;}} + \overrightarrow {ME} {\rm{\;}} + \overrightarrow {MF} {\rm{\;}} = \frac{3}{2}\overrightarrow {MO} \).
Bình luận
Chia sẻ
- Giải bài 11 trang 103 SGK Toán 10 tập 1 – Chân trời sáng tạo
- Giải bài 12 trang 103 SGK Toán 10 tập 1 – Chân trời sáng tạo
- Giải bài 9 trang 103 SGK Toán 10 tập 1 – Chân trời sáng tạo
- Giải bài 8 trang 103 SGK Toán 10 tập 1 – Chân trời sáng tạo
- Giải bài 7 trang 103 SGK Toán 10 tập 1 – Chân trời sáng tạo
>> Xem thêm
Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Chân trời sáng tạo - Xem ngay
Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
Các bài khác cùng chuyên mục
- Giải Hoạt động 3 trang 96 SGK Toán 10 tập 2 - Chân trời sáng tạo
- Giải Hoạt động 2 trang 94 SGK Toán 10 tập 2 - Chân trời sáng tạo
- Giải Hoạt động 1 trang 92, 93 SGK Toán 10 tập 2 - Chân trời sáng tạo
- Giải Hoạt động 3 trang 90 SGK Toán 10 tập 2 - Chân trời sáng tạo
- Giải Hoạt động 2 trang 89 SGK Toán 10 tập 2 - Chân trời sáng tạo
- Giải Hoạt động 3 trang 96 SGK Toán 10 tập 2 - Chân trời sáng tạo
- Giải Hoạt động 2 trang 94 SGK Toán 10 tập 2 - Chân trời sáng tạo
- Giải Hoạt động 1 trang 92, 93 SGK Toán 10 tập 2 - Chân trời sáng tạo
- Giải Hoạt động 3 trang 90 SGK Toán 10 tập 2 - Chân trời sáng tạo
- Giải Hoạt động 2 trang 89 SGK Toán 10 tập 2 - Chân trời sáng tạo
