Đề thi toán 8, đề kiểm tra toán 8 có đáp án và lời giải chi tiết

Đề kiểm tra học kì 2 Toán 8 - Đề số 4

Đề bài

Xem đáp án

Làm đề thi

Đề bài

Câu 1 :

Xe thứ hai đi chậm hơn xe thứ nhất là $15$ km/h. Nếu gọi vận tốc xe thứ hai là $x$ (km/h) thì vận tốc xe thứ nhất là:

A.

$x - 15$ (km/h).
B.

$15.x\,$ (km/h).
C.

$x + 15\,$(km/h).
D.

$15:x\,$(km/h).

Câu 2 :

Với giá trị nào của $m$ thì bất phương trình $m(2x + 1) < 8$ là bất phương trình bậc nhất một ẩn?

A.

$m \ne 1$
B.

$m \ne - \dfrac{1}{3}$
C.

$m \ne 0$
D.

$m \ne 8$.

Câu 3 :

Nếu tam giác $ABC$ có $MN$ // $BC$ (với $M\in AB, N\in AC)$ thì

A.

${\rm{\Delta }}AMN$ đồng dạng với ${\rm{\Delta }}ACB$.
B.

${\rm{\Delta }}ABC$ đồng dạng với ${\rm{\Delta }}MNA$.
C.

${\rm{\Delta }}AMN$ đồng dạng với ${\rm{\Delta }}ABC$.
D.

${\rm{\Delta }}ABC$ đồng dạng với ${\rm{\Delta }}ANM$.

Câu 4 :

Cho tam giác $ABC$ , $AC = 2AB$ , $AD$ là đường phân giác của tam giác $ABC$ , khi đó $\dfrac{{BD}}{{CD}} = ?$

A.

$\dfrac{{BD}}{{CD}} = 1$
B.

$\dfrac{{BD}}{{CD}} = \dfrac{1}{3}$
C.

$\dfrac{{BD}}{{CD}} = \dfrac{1}{4}$
D.

$\dfrac{{BD}}{{CD}} = \dfrac{1}{2}$

Câu 5 :

Bất phương trình bậc nhất $2x - 2 > 4$ có tập nghiệm biểu diễn bởi hình vẽ sau:

Câu 6 :

Tập nghiệm của bất phương trình $3x + 7 > x + 9$ là

A.

$S = \left\{ {x|x > 1} \right\}$
B.

$S = \left\{ {x|x > -1} \right\}$
C.

$x = 1$
D.

$S = \left\{ {x|x < 1} \right\}$

Câu 7 :

Hai phương trình tương đương là hai phương trình có

A.

Một nghiệm giống nhau
B.

Hai nghiệm giống nhau
C.

Tập nghiệm giống nhau
D.

Tập nghiệm khác nhau

Câu 8 :

Chọn câu sai:

A.

Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng $ax + b = 0,a \ne 0$
B.

Phương trình có một nghiệm duy nhất được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn
C.

Trong một phương trình ta có thể nhân cả hai vế với cùng một số khác 0
D.

Phương trình $3x + 2 = x + 8$ và $6x + 4 = 2x + 16$ là hai phương trình tương đương.

Câu 9 :

Phương trình $2x - 3 = 12 - 3x$ có bao nhiêu nghiệm?

A.

$0$
B.

$1$
C.

$2$
D.

Vô số nghiệm

Câu 10 :

Cho các mệnh đề sau. Chọn câu đúng.

(I) Nếu một góc nhọn của tam giác vuông này bằng một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

(II) Nếu một góc của tam giác vuông này lớn hơn một góc của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

A.

(I) đúng, (II) sai
B.

(I) sai, (II) đúng
C.

(I) và (II) đều sai
D.

(I) và (II) đều đúng

Câu 11 :

Cho $a > b$ khi đó

A.

$a - b > 0$
B.

$a - b < 0$
C.

$a - b = 0$
D.

$a - b \le 0$

Câu 12 :

Hãy chọn câu đúng. Tỉ số $\dfrac{x}{y}$ của các đoạn thẳng trong hình vẽ, biết rằng các số trên hình cùng đơn vị đo là $cm$ .

A.

$\dfrac{7}{{15}}$
B.

$\dfrac{1}{7}$
C.

$\dfrac{{15}}{7}$
D.

$\dfrac{1}{{15}}$

Câu 13 :

Cho các bất phương trình sau, đâu là bất phương trình bậc nhất một ẩn

A.

$5x + 7 < 0$
B.

$0x + 6 > 0$
C.

${x^2} - 2x > 0$
D.

$x - 10 = 3$.

Câu 14 :

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có $A'C = \sqrt 3 $ . Tính thể tích của hình lập phương.

A.

$3{a^3}\sqrt 3 $
B.

${a^3}$
C.

$27{a^3}$
D.

$9{a^3}$

Câu 15 :

Tính diện tích xung quanh của một hình lăng trụ đứng có đáy là hình ngũ giác đều cạnh 8 cm, biết rằng chiều cao của hình lăng trụ đứng là 5 cm.

A.

$80\;c{m^2}$
B.

$60\;c{m^2}$
C.

$120\;c{m^2}$
D.

$200\;c{m^2}$

Câu 16 :

Tích các nghiệm của phương trình ${x^3} + 4{x^2} + x - 6 = 0$ là

A.

$1$
B.

$2$
C.

$ - 6$
D.

$6$

Câu 17 :

Chọn khẳng định đúng.

A.

Phương trình $8x\left( {3x - 5} \right) = 6\left( {3x - 5} \right)$có hai nghiệm trái dấu
B.

Phương trình $8x\left( {3x - 5} \right) = 6\left( {3x - 5} \right)$có hai nghiệm cùng dương
C.

Phương trình $8x\left( {3x - 5} \right) = 6\left( {3x - 5} \right)$có hai nghiệm cùng âm
D.

Phương trình $8x\left( {3x - 5} \right) = 6\left( {3x - 5} \right)$có một nghiệm duy nhất

Câu 18 :

Lúc $7$ giờ một người đi xe máy khởi hành từ $A$ với vận tốc $30$ km/h. Sau đó một giờ, người thứ hai cũng đi xe máy từ $A$ đuổi theo với vận tốc $45$ km/h. Hỏi đến mấy giờ người thứ hai mới đuổi kịp người thứ nhất?

A.

$7$ giờ
B.

$8$ giờ
C.

$10$ giờ
D.

$9$ giờ

Câu 19 :

Một tổ sản xuất theo kế hoạch mỗi ngày phải sản xuất $50$ sản phầm. Khi thực hiện tổ đã sản xuất được $57$ sản phẩm một ngày. Do đó hoàn thành trước kế hoạch $1$ ngày và còn vượt mức $13$ sản phẩm. Hỏi theo kế hoạch tổ phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm?

A.

$550$
B.

$400$
C.

$600$
D.

$500$

Câu 20 :

Tập nghiệm của phương trình $\dfrac{{x + 2}}{{x - 1}} - 2 = x$ là

A.

$S = \left\{ { - 2;\,\,2} \right\}$
B.

$S = \left\{ {1;\,\, - 3} \right\}$
C.

$S = \left\{ { - 1;\,\,2} \right\}$
D.

$S = \left\{ { - 1;\,\, - 2} \right\}$

Câu 21 :

Tập nghiệm của phương trình $\dfrac{{ - 7{x^2} + 4}}{{{x^3} + 1}} = \dfrac{5}{{{x^2} - x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 1}}$ là

A.

$S = \left\{ {0;1} \right\}$
B.

$S = \left\{ { - 1} \right\}$
C.

$S = \left\{ {0; - 1} \right\}$
D.

$S = \left\{ 0 \right\}$

Câu 22 :

Nghiệm của bất phương trình $\dfrac{{x + 4}}{{x + 1}} + \dfrac{x}{{x - 1}} < \dfrac{{2{x^2}}}{{{x^2} - 1}}$ là

A.

$x < - 1$
B.

$x < 1$
C.

$x > 1$
D.

$x > - 1$.

Câu 23 :

Tập nghiệm của bất phương trình $\dfrac{{x - 3}}{{x + 4}} < 0$ là

A.

$x > 4$
B.

$ - 4 < x < 3.$
C.

$x < 3$
D.

$x \ne - 4$.

Câu 24 :

Tứ giác $ABCD$ có $AB = 8\,cm,BC = 15\,cm,CD = 18\,cm,AD = 10\,cm,BD = 12\,cm.$

Chọn câu đúng nhất:

A.

$\Delta ABD$$\backsim$ $\Delta BDC$.
B.

$ABCD$ là hình thang.
C.

$ABCD$ là hình thang vuông.
D.

Cả A, B đều đúng.

Câu 25 :

Cho tam giác $ABC$ có ${\rm{ }}BC = 8{\rm{ }}cm;{\rm{ }}BH$ và $CK$ ( $H \in AC;\, K \in AB$) là hai đường trung tuyến kẻ từ $B$ và $C$. Tính độ dài đoạn $HK$.

A.

$HK = 2\;cm$
B.

$HK = 4\;cm$
C.

$HK = 6\;cm$
D.

$HK = 8\;cm$

Câu 26 :

Cho đoạn $AC$ vuông góc với $CE.$ Nối $A$ với trung điểm $D$ của $CE$ và $E$ với trung điểm $B$ của $AC,{\rm{ }}AD$ và $EB$ cắt nhau tại $F.$ Cho $BC = CD = 15{\rm{ }}cm.$ Tính diện tích tam giác $DEF$ theo đơn vị $c{m^2}$ ?

A.

$50$
B.

$50\sqrt 2 $
C.

$75$
D.

$\dfrac{{15}}{2}\sqrt {105} $

Câu 27 :

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác đều, $M$ là trung điểm của $BC,$ ${\rm{AA}}' = AM = a$. Thể tích của lăng trụ bằng:

A.

$\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{3}$
B.

$\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}$
C.

$\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{2}$
D.

$\dfrac{{a^3\sqrt 3}}{9}$

Câu 28 :

Tính thể tích của hình chóp tứ giác đều có chiều cao là $4cm$ và độ dài cạnh đáy là $3cm.$

A.

$12\,\left( {c{m^3}} \right)$
B.

$36\,\left( {c{m^3}} \right)$
C.

$24\,\left( {c{m^3}} \right)$
D.

$9\,\left( {c{m^3}} \right)$

Câu 29 :

Số nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình $\dfrac{{1987 - x}}{{15}} + \dfrac{{1988 - x}}{{16}} + \dfrac{{27 + x}}{{1999}} + \dfrac{{28 + x}}{{2000}} > 4$ là

A.

$x > 1972$
B.

$x < 1972$
C.

$x < 1973$
D.

$x < 1297$

Câu 30 :

Nghiệm của phương trình $\dfrac{{x + a}}{{b + c}} + \dfrac{{x + b}}{{a + c}} + \dfrac{{x + c}}{{a + b}} = - 3$ là

A.

$x = a + b + c$
B.

$x = a - b - c$
C.

$x = a + b - c$
D.

$x = - \left( {a + b + c} \right)$

Câu 31 :

Cho $\Delta ABC$ vuông tại $A,$ đường cao $AH.$ Gọi $I$ và $K$ lần lượt là hình chiếu của $H$ lên $AB$ và $AC.$ Tam giác $AIK$ đồng dạng với tam giác nào dưới đây?

A.

$ACB$
B.

$ABC$
C.

$CAB$
D.

$BAC$

Câu 32 :

Cho số thực $x$ , chọn câu đúng nhất.

A.

${x^4} + 3 \ge 4x$
B.

${x^4} + 5 > {x^2} + 4x$
C.

Cả A, B đều sai
D.

Cả A, B đều đúng.

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Xe thứ hai đi chậm hơn xe thứ nhất là $15$ km/h. Nếu gọi vận tốc xe thứ hai là $x$ (km/h) thì vận tốc xe thứ nhất là:

A.

$x - 15$ (km/h).
B.

$15.x\,$ (km/h).
C.

$x + 15\,$(km/h).
D.

$15:x\,$(km/h).

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

Lời giải chi tiết :

Vì xe thứ hai đi chậm hơn xe thứ nhất là $15$ km/h nên vận tốc xe thứ nhất nhiều hơn vận tốc xe thứ hai là $15$ km/h.

Do đó nếu vận tốc xe thứ hai là $x$ (km/h) thì vận tốc xe thứ nhất là $x + 15\,$(km/h).

Câu 2 :

Với giá trị nào của $m$ thì bất phương trình $m(2x + 1) < 8$ là bất phương trình bậc nhất một ẩn?

A.

$m \ne 1$
B.

$m \ne - \dfrac{1}{3}$
C.

$m \ne 0$
D.

$m \ne 8$.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Dựa vào định nghĩa bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Bất phương trình dạng $ax + b > 0$ (hoặc $ax + b < 0,ax + b \ge 0,ax + b \le 0$) trong đó $a$ và $b$ là hai số đã cho, $a \ne 0$, gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $m(2x + 1) < 8 \Leftrightarrow 2mx + m < 8 \Leftrightarrow 2mx + m - 8 < 0$.

Vậy để bất phương trình $m\left( {2x + 1} \right) < 8$ là bất phương trình bậc nhất 1 ẩn thì $2mx + m - 8 < 0$ là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Theo định nghĩa bất phương trình bậc nhất một ẩn thì $a \ne 0$ hay $2m \ne 0$ $\Leftrightarrow m \ne 0$

Câu 3 :

Nếu tam giác $ABC$ có $MN$ // $BC$ (với $M\in AB, N\in AC)$ thì

A.

${\rm{\Delta }}AMN$ đồng dạng với ${\rm{\Delta }}ACB$.
B.

${\rm{\Delta }}ABC$ đồng dạng với ${\rm{\Delta }}MNA$.
C.

${\rm{\Delta }}AMN$ đồng dạng với ${\rm{\Delta }}ABC$.
D.

${\rm{\Delta }}ABC$ đồng dạng với ${\rm{\Delta }}ANM$.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng định lý: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới đồng dạng với tam giác đã cho.

Lời giải chi tiết :

Vì $MN{\rm{//}}BC \Rightarrow $ tam giác $AMN$ đồng dạng với tam giác $\Delta ABC$ .

Câu 4 :

Cho tam giác $ABC$ , $AC = 2AB$ , $AD$ là đường phân giác của tam giác $ABC$ , khi đó $\dfrac{{BD}}{{CD}} = ?$

A.

$\dfrac{{BD}}{{CD}} = 1$
B.

$\dfrac{{BD}}{{CD}} = \dfrac{1}{3}$
C.

$\dfrac{{BD}}{{CD}} = \dfrac{1}{4}$
D.

$\dfrac{{BD}}{{CD}} = \dfrac{1}{2}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác để tìm ra tỉ lệ thức phù hợp, từ đó tìm ra kết quả của đề bài.

Lời giải chi tiết :

Vì $AD$ là phân giác của $\Delta ABC$ nên: $\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{BD}}{{DC}}$

Theo bài, ta có: $AC = 2AB$

$ \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{{BD}}{{DC}} = \dfrac{1}{2}$

Câu 5 :

Bất phương trình bậc nhất $2x - 2 > 4$ có tập nghiệm biểu diễn bởi hình vẽ sau:

Đáp án : B

Phương pháp giải :

+) Áp dụng quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân với một số để giải bất phương trình.

+) Biểu diễn trên trục số không có dấu bằng là ngoặc tròn.

Lời giải chi tiết :

Giải bất phương trình ta được: $2x - 2 > 4 \Leftrightarrow 2x > 6 \Leftrightarrow x > 3.$

Biểu diễn trên trục số:

Câu 6 :

Tập nghiệm của bất phương trình $3x + 7 > x + 9$ là

A.

$S = \left\{ {x|x > 1} \right\}$
B.

$S = \left\{ {x|x > -1} \right\}$
C.

$x = 1$
D.

$S = \left\{ {x|x < 1} \right\}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Áp dụng quy tắc chuyển vế để tìm nghiệm và biểu diễn trên trục số

Lời giải chi tiết :

$3x + 7 > x + 9 \Leftrightarrow 3x - x > 9 - 7 \Leftrightarrow 2x > 2 \Leftrightarrow x >1$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left\{ {x|x > 1} \right\}$

Câu 7 :

Hai phương trình tương đương là hai phương trình có

A.

Một nghiệm giống nhau
B.

Hai nghiệm giống nhau
C.

Tập nghiệm giống nhau
D.

Tập nghiệm khác nhau

Đáp án : C

Lời giải chi tiết :

Hai phương trình tương đương là hai phương trình có cùng tập nghiệm.

Câu 8 :

Chọn câu sai:

A.

Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng $ax + b = 0,a \ne 0$
B.

Phương trình có một nghiệm duy nhất được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn
C.

Trong một phương trình ta có thể nhân cả hai vế với cùng một số khác 0
D.

Phương trình $3x + 2 = x + 8$ và $6x + 4 = 2x + 16$ là hai phương trình tương đương.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Dựa vào định nghĩa phương trình bậc nhất 1 ẩn, phương trình tương đương

+ Phương trình dạng $ax + b = 0,$ với $a$ và $b$ là hai số đã cho và $a \ne 0,$ được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.

+ Trong một phương trình, ta có thể nhân cả hai vế với cùng một số khác $0.$

+ Hai phương trình có cùng một tập nghiệm là hai phương trình tương đương.

Lời giải chi tiết :

Các câu A, C, D đúng

Câu B sai vì phương trình có 1nghiệm duy nhất còn có thể là phương trình chứa ẩn ở mẫu, phương trình tích

Câu 9 :

Phương trình $2x - 3 = 12 - 3x$ có bao nhiêu nghiệm?

A.

$0$
B.

$1$
C.

$2$
D.

Vô số nghiệm

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Chuyển hạng tử chứa ẩn sang vế trái, hạng tử tự do về vế phải, thu gọn rồi chia hai vế cho hệ số của ẩn (nếu cần) ta tìm được nghiệm( chú ý khi chuyển vế hạng tử phải đổi dấu hạng tử đó).

Lời giải chi tiết :

Ta có

$\begin{array}{l}2x - 3 = 12 - 3x\\ \Leftrightarrow 2x + 3x = 12 + 3\\ \Leftrightarrow 5x = 15\\ \Leftrightarrow x = 15:5\\ \Leftrightarrow x = 3\end{array}$

Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất $x = 3$ .

Câu 10 :

Cho các mệnh đề sau. Chọn câu đúng.

(I) Nếu một góc nhọn của tam giác vuông này bằng một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

(II) Nếu một góc của tam giác vuông này lớn hơn một góc của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

A.

(I) đúng, (II) sai
B.

(I) sai, (II) đúng
C.

(I) và (II) đều sai
D.

(I) và (II) đều đúng

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Nếu một góc nhọn của tam giác vuông này bằng một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó đồng dạng.

Vậy (I) đúng, (II) sai.

Câu 11 :

Cho $a > b$ khi đó

A.

$a - b > 0$
B.

$a - b < 0$
C.

$a - b = 0$
D.

$a - b \le 0$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng: Nếu cộng cả hai vế với cùng một số thì bất đẳng thức không đổi chiều.

Lời giải chi tiết :

Từ $a > b$, cộng $ - b$ vào hai vế ta được $a - b > b - b,$ tức là $a - b > 0$.

Câu 12 :

Hãy chọn câu đúng. Tỉ số $\dfrac{x}{y}$ của các đoạn thẳng trong hình vẽ, biết rằng các số trên hình cùng đơn vị đo là $cm$ .

A.

$\dfrac{7}{{15}}$
B.

$\dfrac{1}{7}$
C.

$\dfrac{{15}}{7}$
D.

$\dfrac{1}{{15}}$

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Xét tam giác $ABC$, vì $AD$ là phân giác góc $\widehat {BAC}$ nên ta có $\dfrac{{BD}}{{DC}} = \dfrac{{AB}}{{AC}} \Leftrightarrow \dfrac{x}{y} = \dfrac{{3,5}}{{7,5}} = \dfrac{7}{{15}}$

Câu 13 :

Cho các bất phương trình sau, đâu là bất phương trình bậc nhất một ẩn

A.

$5x + 7 < 0$
B.

$0x + 6 > 0$
C.

${x^2} - 2x > 0$
D.

$x - 10 = 3$.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Dựa vào định nghĩa bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Lời giải chi tiết :

Dựa vào định nghĩa bất phương trình bậc nhất một ẩn ta có:

Đáp án A là bất phương trình bậc nhất một ẩn.

Đáp án B không phải bất phương trình bậc nhất một ẩn vì $a = 0.$

Đáp án C không phải bất phương trình bậc vì có ${x^2}.$

Đáp án D không phải bất phương trình vì đây là phương trình bậc nhất một ẩn.

Câu 14 :

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có $A'C = \sqrt 3 $ . Tính thể tích của hình lập phương.

A.

$3{a^3}\sqrt 3 $
B.

${a^3}$
C.

$27{a^3}$
D.

$9{a^3}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng đường chéo hình lập phương cạnh $a$ có độ dài $a\sqrt 3 .$

Sử dụng công thức tính thể tích hình lập phương bằng lập phương độ dài một cạnh.

Lời giải chi tiết :

Xét hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có $A'C = AA'.\sqrt 3 = a\sqrt 3 \Rightarrow AA' = a$

Vậy thể tích hình lập phương là $V = {a^3}$ .

Câu 15 :

Tính diện tích xung quanh của một hình lăng trụ đứng có đáy là hình ngũ giác đều cạnh 8 cm, biết rằng chiều cao của hình lăng trụ đứng là 5 cm.

A.

$80\;c{m^2}$
B.

$60\;c{m^2}$
C.

$120\;c{m^2}$
D.

$200\;c{m^2}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Vận dụng công thức tính diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng: ${S_{xq}} = 2ph$ với p là nửa chu vi đáy và h là chiều cao của hình lăng trụ.

Hay diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng bằng tích chu vi đáy với chiều cao lăng trụ.

Lời giải chi tiết :

Chu vi đáy của hình lăng trụ đứng là $8.5$ (cm)

Diện tích xung quanh là

${S_{xq}} = 8.5.5 = 200\;c{m^2}$

Câu 16 :

Tích các nghiệm của phương trình ${x^3} + 4{x^2} + x - 6 = 0$ là

A.

$1$
B.

$2$
C.

$ - 6$
D.

$6$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng phương pháp tách hạng tử để phân tích vế trái thành nhân tử, đưa phương trình về dạng $A\left( x \right).B\left( x \right).C\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow A\left( x \right) = 0$ hoặc $B\left( x \right) = 0$ hoặc $C\left( x \right) = 0$.

Lời giải chi tiết :

Ta có

$\begin{array}{l}\,{x^3} + 4{x^2} + x - 6 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\ \Leftrightarrow {x^3} - {x^2} + 5{x^2} - 5x + 6x - 6 = 0\end{array}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2}\left( {x - 1} \right) + 5x\left( {x - 1} \right) + 6\left( {x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 5x + 6} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 2x + 3x + 6} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\,\, \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left[ {x\left( {x + 2} \right) + 3\left( {x + 2} \right)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right) = 0.\end{array}$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x + 2 = 0\\x + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 2\\x = - 3\end{array} \right.$

Vậy $S = \left\{ {1; - 2; - 3} \right\}$ nên tích các nghiệm là $1.\left( { - 2} \right).\left( { - 3} \right) = 6$ .

Câu 17 :

Chọn khẳng định đúng.

A.

Phương trình $8x\left( {3x - 5} \right) = 6\left( {3x - 5} \right)$có hai nghiệm trái dấu
B.

Phương trình $8x\left( {3x - 5} \right) = 6\left( {3x - 5} \right)$có hai nghiệm cùng dương
C.

Phương trình $8x\left( {3x - 5} \right) = 6\left( {3x - 5} \right)$có hai nghiệm cùng âm
D.

Phương trình $8x\left( {3x - 5} \right) = 6\left( {3x - 5} \right)$có một nghiệm duy nhất

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Ta biến đổi phương trình đã cho về dạng $A\left( x \right).B\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow A\left( x \right) = 0$ hoặc $B\left( x \right) = 0$

Lời giải chi tiết :

Ta có $8x\left( {3x - 5} \right) = 6\left( {3x - 5} \right)$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 8x\left( {3x - 5} \right) - 6\left( {3x - 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {8x - 6} \right)\left( {3x - 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}8x - 6 = 0\\3x - 5 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}8x = 6\\3x = 5\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{3}{4}\\x = \dfrac{5}{3}\end{array} \right.\end{array}$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm cùng dương $x = \dfrac{3}{4};\,x = \dfrac{5}{3}$ .

Câu 18 :

A.

$7$ giờ
B.

$8$ giờ
C.

$10$ giờ
D.

$9$ giờ

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Giải theo các bước sau:

+ Lập phương trình: Chọn ẩn và đặt điều kiện; biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn và đại lượng đã biết; lập Phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng

+ Giải phương trình

+ Đối chiếu điều kiện rồi kết luận

Lời giải chi tiết :

Gọi thời gian người thứ nhất đi đến khi gặp nhau là $x\,\left( {x > 1} \right)$ (giờ)

Thì thời gian người thứ hai đi đến khi gặp nhau là $x - 1$ (giờ)

Vì quãng đường hai người đi là bằng nhau nên ta có phương trình

$30x = 45\left( {x - 1} \right) \Leftrightarrow 15x = 45 \Leftrightarrow x = 3\,\left( {TM} \right)$

Vậy người thứ hai đuổi kịp người thứ nhất lúc $7 + 3 = 10$ giờ.

Câu 19 :

A.

$550$
B.

$400$
C.

$600$
D.

$500$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Giải bài toán năng suất bằng cách lập phương trình

+) Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

+) Sau đó dựa vào giả thiết của đề bài để lập phương trình.

+) Giải phương trình rồi so sánh điều kiện để kết luận.

Sử dụng: Năng suất bằng tỉ số giữa khối lượng công việc và thời gian hoàn thành

Lời giải chi tiết :

Gọi tổng sản phẩm tổ phải sản xuất theo kế hoạch là $x\,\left( {x > 0} \right)$ (sản phẩm)

Thời gian theo kế hoạch là $\dfrac{x}{{50}}$ (ngày)

Theo thực tế số sản phẩm tổ đã làm là $x + 13$(sản phẩm)

Vì thực tế tổ hoàn thành trước kế hoạch $1$ ngày nên ta có phương trình

$\dfrac{{x + 13}}{{57}} + 1 = \dfrac{x}{{50}} \Leftrightarrow 50\left( {x + 13} \right) + 2850 = 57x$

$ \Leftrightarrow 7x = 3500 \Leftrightarrow x = 500\,\left( {TM} \right)$

Vậy tổng sản phẩm theo kế hoạch là $500$ sản phẩm.

Câu 20 :

Tập nghiệm của phương trình $\dfrac{{x + 2}}{{x - 1}} - 2 = x$ là

A.

$S = \left\{ { - 2;\,\,2} \right\}$
B.

$S = \left\{ {1;\,\, - 3} \right\}$
C.

$S = \left\{ { - 1;\,\,2} \right\}$
D.

$S = \left\{ { - 1;\,\, - 2} \right\}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Đặt điều kiện mẫu thức khác 0. Sau đó quy đồng mẫu hai vế rồi khử mẫu; chuyển hạng tử chứa ẩn sang một vế, hằng số sang một vế; thu gọn rồi giải phương trình.

Lời giải chi tiết :

ĐK: $x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 1.$

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{x + 2}}{{x - 1}} - 2 = x\\ \Rightarrow x + 2 - 2\left( {x - 1} \right) = x\left( {x - 1} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} = 4\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 2\,\,\,\,\left( {tm} \right).\end{array} \right.\\ \Rightarrow S = \left\{ { - 2;\,\,2} \right\}\end{array}$

Câu 21 :

Tập nghiệm của phương trình $\dfrac{{ - 7{x^2} + 4}}{{{x^3} + 1}} = \dfrac{5}{{{x^2} - x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 1}}$ là

A.

$S = \left\{ {0;1} \right\}$
B.

$S = \left\{ { - 1} \right\}$
C.

$S = \left\{ {0; - 1} \right\}$
D.

$S = \left\{ 0 \right\}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

+ Tìm ĐKXĐ của phương trình

+ Quy đồng mẫu rồi khử mẫu

+ Giải phương trình vừa nhận được

+ Đối chiếu điều kiện rồi kết luận nghiệm

Lời giải chi tiết :

ĐKXĐ: $x \ne - 1$

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{ - 7{x^2} + 4}}{{{x^3} + 1}} = \dfrac{5}{{{x^2} - x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 1}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{ - 7{x^2} + 4}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} = \dfrac{{5\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} - \dfrac{{{x^2} - x + 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{ - 7{x^2} + 4}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} = \dfrac{{5\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^2} - x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}\\ \Rightarrow - 7{x^2} + 4 = 5\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^2} - x + 1} \right)\\ \Leftrightarrow - 7{x^2} + 4 = 5x + 5 - {x^2} + x - 1\\ \Leftrightarrow 6{x^2} + 6x = 0\\ \Leftrightarrow 6x\left( {x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0(tm)\\x = - 1(ktm)\end{array} \right.\end{array}$

Vậy phương trình có tập nghiệm là $S = \left\{ 0 \right\}$

Câu 22 :

Nghiệm của bất phương trình $\dfrac{{x + 4}}{{x + 1}} + \dfrac{x}{{x - 1}} < \dfrac{{2{x^2}}}{{{x^2} - 1}}$ là

A.

$x < - 1$
B.

$x < 1$
C.

$x > 1$
D.

$x > - 1$.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+) Với những bất phương trình chứa ẩn ở mẫu ta đặt điều kiện cho mẫu số khác 0.

+) Quy đồng mẫu thức các phân thức

+) Giải bất phương trình tìm điều kiện của $x$ sau đó đối chiếu với điều kiện để kết luận nghiệm của bất phương trình.

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}\;\dfrac{{x + 4}}{{x + 1}} + \dfrac{x}{{x - 1}} < \dfrac{{2{x^2}}}{{{x^2} - 1}}\\ \Leftrightarrow \;\dfrac{{x + 4}}{{x + 1}} + \dfrac{x}{{x - 1}} < \dfrac{{2{x^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\;\;\;\left( * \right)\end{array}$

Điều kiện $\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ne 0\\x + 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne - 1\end{array} \right..$

$\left( * \right) \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {x + 4} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} + \dfrac{{x\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} < \dfrac{{2{x^2}}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}$$ \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} + 3x - 4 + {x^2} + x - 2{x^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} < 0$

$ \Leftrightarrow \dfrac{{4x - 4}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} < 0$$ \Leftrightarrow \dfrac{{4\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} < 0 \Leftrightarrow \dfrac{4}{{x + 1}} < 0$ mà $4 > 0$ nên $x + 1 < 0 \Leftrightarrow x < - 1.$

Kết hợp với điều kiện ta có bất phương trình có nghiệm $x < - 1$.

Câu 23 :

Tập nghiệm của bất phương trình $\dfrac{{x - 3}}{{x + 4}} < 0$ là

A.

$x > 4$
B.

$ - 4 < x < 3.$
C.

$x < 3$
D.

$x \ne - 4$.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Giải bất phương trình dạng $\dfrac{{A\left( x \right)}}{{B\left( x \right)}} > 0$

TH1: $\left\{ \begin{array}{l}A\left( x \right) > 0\\B\left( x \right) > 0\end{array} \right.$

TH2: $\left\{ \begin{array}{l}A\left( x \right) < 0\\B\left( x \right) < 0\end{array} \right.$

Lời giải chi tiết :

Xét $\dfrac{{x - 3}}{{x + 4}} < 0.$

Trường hợp 1:

$\left\{ \begin{array}{l}x - 3 < 0\\x + 4 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 3\\x > - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow - 4 < x < 3.$

Trường hợp 2:

$\left\{ \begin{array}{l}x - 3 > 0\\x + 4 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 3\\x < - 4\end{array} \right. \Rightarrow $ Bất phương trình vô nghiệm.

Vậy $ - 4 < x < 3.$

Câu 24 :

Tứ giác $ABCD$ có $AB = 8\,cm,BC = 15\,cm,CD = 18\,cm,AD = 10\,cm,BD = 12\,cm.$

Chọn câu đúng nhất:

A.

$\Delta ABD$$\backsim$ $\Delta BDC$.
B.

$ABCD$ là hình thang.
C.

$ABCD$ là hình thang vuông.
D.

Cả A, B đều đúng.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

+ Sử dụng cách chứng minh hai tam giác đồng dạng theo trường hợp cạnh-cạnh-cạnh.

+ Từ đó suy ra cặp góc tương ứng bằng nhau để chứng minh hai đường thẳng song song

+ Suy ra $ABCD$ là hình thang.

Lời giải chi tiết :

Ta có $\dfrac{{AB}}{{BD}} = \dfrac{{AD}}{{BC}} = \dfrac{{BD}}{{DC}}$ (vì $\dfrac{8}{{12}} = \dfrac{{10}}{{15}} = \dfrac{{12}}{{18}}\,\left( { = \dfrac{2}{3}} \right)$ )

nên $\Delta ABD$$\backsim$ $\Delta BDC\,\left( {c - c - c} \right)$

$\Delta ABD$$\backsim$$\Delta BDC$nên $\widehat {ABD} = \widehat {BDC}.$ Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên $AB$ //$CD$ . Vậy $ABCD$ là hình thang.

Lại có $B{D^2} = 144 < 164 = A{D^2} + A{B^2}$ nên $\Delta ABD$ không vuông. Do đó $ABCD$ không là hình thang vuông.

Vậy A, B đều đúng, C sai.

Câu 25 :

Cho tam giác $ABC$ có ${\rm{ }}BC = 8{\rm{ }}cm;{\rm{ }}BH$ và $CK$ ( $H \in AC;\, K \in AB$) là hai đường trung tuyến kẻ từ $B$ và $C$. Tính độ dài đoạn $HK$.

A.

$HK = 2\;cm$
B.

$HK = 4\;cm$
C.

$HK = 6\;cm$
D.

$HK = 8\;cm$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Cách 1: Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác

Cách 2: Áp dụng cách chứng minh tam giác đồng dạng rồi suy ra tỉ lệ cạnh

Lời giải chi tiết :

Ta lại có $BH$ và $CK$ là hai đường trung tuyến kẻ từ $B$ và $C$ của tam giác $ABC,$ suy ra $H$ và $K$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $AB.$

nên HK là đường trung bình của tam giác ABC nên $HK= \dfrac{1}{2} BC=\dfrac{8}{2} = 4\;cm$

Câu 26 :

A.

$50$
B.

$50\sqrt 2 $
C.

$75$
D.

$\dfrac{{15}}{2}\sqrt {105} $

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Kẻ $FH$ vuông góc với $CE$ ($H$ thuộc $CE$ ).

- Chỉ ra hai tam giác đồng dạng

- Áp dụng tính chất đường trung tuyến của tam giác để tìm ra tỉ số của cặp cạnh, suy ra độ dài cạnh FH cần tìm.

- Tính diện tích tam giác $DEF.$

Lời giải chi tiết :

Xét $\Delta EAC$ có $AD,{\rm{ }}EB$ là 2 đường trung tuyến.

Suy ra $F$ là giao của 2 đường trung tuyến $AD,{\rm{ }}EB$ nên $F$ là trọng tâm của tam giác $ABC.$

$ \Rightarrow \dfrac{{EF}}{{EB}} = \dfrac{{AF}}{{AD}} = \dfrac{2}{3}.$

Kẻ $FH$ vuông góc với $CE$ ($H$ thuộc $CE$ ).

Xét 2 tam giác vuông $EFH$ và $EBC$ ta có: $\widehat {BEC}$ chung

$ \Rightarrow \Delta EFH \backsim \Delta EBC$ (g-g)

$ \Rightarrow \dfrac{{EF}}{{EB}} = \dfrac{{FH}}{{BC}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow \dfrac{{FH}}{{15}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow FH = \dfrac{{2.15}}{3} = 10\;cm$

Vì D là trung điểm của CE nên CD = DE = 15 cm.

Vậy diện tích của tam giác DEF là:

${S_{\Delta DEF}} = \dfrac{1}{2}.FH.DE = \dfrac{1}{2}.10.15 = 75\;c{m^2}$

Câu 27 :

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác đều, $M$ là trung điểm của $BC,$ ${\rm{AA}}' = AM = a$. Thể tích của lăng trụ bằng:

A.

$\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{3}$
B.

$\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}$
C.

$\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{2}$
D.

$\dfrac{{a^3\sqrt 3}}{9}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Áp dụng định lý Pytago và công thức tính thể tích hình lăng trụ đứng.

Lời giải chi tiết :

Vì tam giác $ABC$ là tam giác đều nên $AM$ vừa là trung tuyến vừa là đường cao của tam giác $ABC.$

Gọi chiều dài của cạnh tam giác $ABC$ là $x.\,\,\left( {x > 0} \right)$

$ \Rightarrow BM = MC = \dfrac{x}{2},\;AB = AC = BC = x$

Xét tam giác vuông $MAC,$ ta có:

$A{M^2} + M{C^2} = A{C^2} \Leftrightarrow {a^2} + \dfrac{{{x^2}}}{4} = {x^2} \Leftrightarrow \dfrac{{3{{\rm{x}}^2}}}{4} = {a^2} \Rightarrow x = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}a$

Vậy thể tích của hình lăng trụ là:

$V{\rm{ }} = {\rm{ }}{S_{ABC}}.h{\rm{ }} $ $=\dfrac{1}{2}.AM.BC.AA' = \dfrac{1}{2}a.\dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}a.a = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}$

Câu 28 :

Tính thể tích của hình chóp tứ giác đều có chiều cao là $4cm$ và độ dài cạnh đáy là $3cm.$

A.

$12\,\left( {c{m^3}} \right)$
B.

$36\,\left( {c{m^3}} \right)$
C.

$24\,\left( {c{m^3}} \right)$
D.

$9\,\left( {c{m^3}} \right)$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính thể tích hình chóp đều $V = \dfrac{1}{3}S.h$ với $S$ là diện tích đáy, $h$ là chiều cao.

Lời giải chi tiết :

Hình chóp tứ giác đều thì có đáy là hình vuông.
Do vậy, hình chóp có diện tích đáy là ${3^2} = 9\,\left( {c{m^2}} \right)$
Thể tích của hình chóp đều là: $V = \dfrac{1}{3}S.h = \dfrac{1}{3}.9.4 = 12\,\left( {c{m^3}} \right)$

Câu 29 :

Số nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình $\dfrac{{1987 - x}}{{15}} + \dfrac{{1988 - x}}{{16}} + \dfrac{{27 + x}}{{1999}} + \dfrac{{28 + x}}{{2000}} > 4$ là

A.

$x > 1972$
B.

$x < 1972$
C.

$x < 1973$
D.

$x < 1297$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

+ Cộng hai vế với $\left( { - 4} \right)$, sau đó trừ mỗi phân thức cho $1$

+ Quy đồng hợp lý để xuất hiện nhân tử chung.
+ Đặt nhân tử chung và đánh giá hạng tử để giải bất phương trình

Lời giải chi tiết :

Ta có

$\dfrac{{1987 - x}}{{15}} + \dfrac{{1988 - x}}{{16}} + \dfrac{{27 + x}}{{1999}} + \dfrac{{28 + x}}{{2000}} > 4$$ \Leftrightarrow \dfrac{{1987 - x}}{{15}} + \dfrac{{1988 - x}}{{16}} + \dfrac{{27 + x}}{{1999}} + \dfrac{{28 + x}}{{2000}} - 4 > 0$$ \Leftrightarrow \left( {\dfrac{{1987 - x}}{{15}} - 1} \right) + \left( {\dfrac{{1988 - x}}{{16}} - 1} \right) + \left( {\dfrac{{27 + x}}{{1999}} - 1} \right) + \left( {\dfrac{{28 + x}}{{2000}} - 1} \right) > 0$

$ \Leftrightarrow \dfrac{{1972 - x}}{{15}} + \dfrac{{1972 - x}}{{16}} + \dfrac{{x - 1972}}{{1999}} + \dfrac{{x - 1972}}{{2000}} > 0$$\Leftrightarrow \left( {1972 - x} \right)\left( {\dfrac{1}{{15}} + \dfrac{1}{{16}} - \dfrac{1}{{1999}} - \dfrac{1}{{2000}}} \right) > 0$

Mà $\dfrac{1}{{15}} + \dfrac{1}{{16}} - \dfrac{1}{{1999}} - \dfrac{1}{{2000}} > 0$ nên $1972 - x > 0 $$\Leftrightarrow x < 1972$

Vậy $x < 1972$ .

Câu 30 :

Nghiệm của phương trình $\dfrac{{x + a}}{{b + c}} + \dfrac{{x + b}}{{a + c}} + \dfrac{{x + c}}{{a + b}} = - 3$ là

A.

$x = a + b + c$
B.

$x = a - b - c$
C.

$x = a + b - c$
D.

$x = - \left( {a + b + c} \right)$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Chuyển vế, cộng mỗi phân số bên vế trái với số $1$. Chia làm ba nhóm số hạng.

Thực hiện phép qui đồng từng nhóm cho hợp lý để xuất hiện nhân tử chung.

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\begin{array}{l}\dfrac{{x + a}}{{b + c}} + \dfrac{{x + b}}{{a + c}} + \dfrac{{x + c}}{{a + b}} = - 3\\ \Leftrightarrow \dfrac{{x + a}}{{b + c}} + \dfrac{{x + b}}{{a + c}} + \dfrac{{x + c}}{{a + b}} +3=0\\\Leftrightarrow\left( {\dfrac{{x + a}}{{b + c}} + 1} \right) + \left( {\dfrac{{x + b}}{{a + c}} + 1} \right) + \left( {\dfrac{{x + c}}{{a + b}} + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{x + a + b + c}}{{b + c}} + \dfrac{{x + a + b + c}}{{a + c}} + \dfrac{{x + a + b + c}}{{a + b}} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + a + b + c} \right)\left( {\dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{c + a}} + \dfrac{1}{{a + b}}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x + a + b + c = 0\\ \Leftrightarrow x = - \left( {a + b + c} \right)\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm $x = - \left( {a + b + c} \right)$.

Câu 31 :

A.

$ACB$
B.

$ABC$
C.

$CAB$
D.

$BAC$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+ Chứng minh tứ giác $AIHK$ là hình chữ nhật

+ Áp dụng các tính chất, định lý đã học và cách chứng minh đồng dạng của tam giác vuông để chứng minh yêu cầu của đề bài.

Lời giải chi tiết :

+) Có I, K lần lượt là hình chiếu của H lên AB và AC.

$ \Rightarrow \widehat {HIA} = \widehat {HKA} = {90^0}$

Xét tứ giác AIHK có:

$\widehat {IAK} = \widehat {HIA} = \widehat {HKA} = {90^0}$

$ \Rightarrow $ Tứ giác AIHK là hình chữ nhật. (dhnb)

+) Xét $\Delta AIK$ và $\Delta IAH$ ta có:

$AI\;chung$

$AK = IH$(theo tính chất của hình chữ nhật)

$AH = IK\;$ (theo tính chất của hình chữ nhật)

$ \Rightarrow \Delta AIK = \Delta IAH\;(c - c - c)$ (1)

Xét 2 tam giác vuông $\Delta IAH$ và $\Delta HAB$ có: $\widehat A$ chung

$ \Rightarrow \Delta IAH \backsim \Delta HAB\;(g - g)$ (2)

Xét 2 tam giác vuông $\Delta HAB$ và $\Delta ACB$ có: $\widehat B$ chung

$ \Rightarrow $$\Delta HAB \backsim \Delta ACB\;\;\left( {g - g} \right)$ (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có: $\Delta AIK \backsim \Delta ACB$

Câu 32 :

Cho số thực $x$ , chọn câu đúng nhất.

A.

${x^4} + 3 \ge 4x$
B.

${x^4} + 5 > {x^2} + 4x$
C.

Cả A, B đều sai
D.

Cả A, B đều đúng.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Biến đổi tương đương các bất đẳng thức, sử dụng các hằng đẳng thức để chứng minh.

Lời giải chi tiết :

+) Đáp án A: Bất đẳng thức tương đương với ${x^4} - 4x + 3 \ge 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^3} + {x^2} + x - 3} \right) \ge 0 \\\Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {\left( {{x^3} - 1} \right) + \left( {{x^2} + x - 2} \right)} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right) + \left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1 + x + 2} \right) \ge 0 \\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {{x^2} + 2x + 3} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2}\left[ {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 1} \right] \ge 0\end{array}$

(luôn đúng với mọi số thực $x$)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x = 1.$

Nên A đúng.

+) Đáp án B: Bất đẳng thức tương đương với ${x^4} - {x^2} - 4x + 5 > 0$

$ \Leftrightarrow {x^4} - 2{x^2} + 1 + {x^2} - 4x + 4 > 0 $$ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} - 1} \right)^2} + {\left( {x - 2} \right)^2} > 0$

Ta có: $\left( {{x^2} - 1} \right) \ge 0,\,\,{\left( {x - 2} \right)^2} \ge 0 $$ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 1} \right) + {\left( {x - 2} \right)^2} \ge 0$

Dấu bằng xảy ra $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 1 = 0\\x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \pm 1\\x = 2\end{array} \right. $ điều này không xảy ra.

$ \Rightarrow {\left( {{x^2} - 1} \right)^2} + {\left( {x - 2} \right)^2} > 0$ nên B đúng.

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3 bước: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Các bài khác cùng chuyên mục

Đề kiểm tra học kì 2 Toán 8 - Đề số 4

Bài giải mới nhất

Báo lỗi góp ý