Đề thi toán 8, đề kiểm tra toán 8 có đáp án và lời giải chi tiết

Đề kiểm tra học kì 2 Toán 8 - Đề số 1

Đề bài

Xem đáp án

Làm đề thi

Đề bài

Câu 1 :

Hai phương trình tương đương là hai phương trình có

A.

Một nghiệm giống nhau
B.

Hai nghiệm giống nhau
C.

Tập nghiệm giống nhau
D.

Tập nghiệm khác nhau

Câu 2 :

Hãy chọn câu đúng. Nếu $\Delta ABC$ và $\Delta DEF$ có $\widehat B = \widehat {D;}\,\dfrac{{BA}}{{BC}} = \dfrac{{DE}}{{DF}}$ thì:

A.

$\Delta ABC$ đồng dạng với $\Delta DEF$
B.

$\Delta ABC$ đồng dạng với $\Delta EDF$
C.

$\Delta BCA$ đồng dạng với $\Delta DEF$
D.

$\Delta ABC$ đồng dạng với $\Delta FDE$

Câu 3 :

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$ . Cho biết $AB = 3cm$ ; $AC = 4cm$ . Tính độ dài các đoạn thẳng $HA, HB.$

A.

$HA = 2,4\,cm;\,HB = 1,2\,cm$
B.

$HA = 2\,cm;\,HB = 1,8\,cm$
C.

$HA = 2\,cm;\,HB = 1,2\,cm$
D.

$HA = 2,4\,cm;\,HB = 1,8\,cm$

Câu 4 :

Số nghiệm của phương trình $\left| {x - 3} \right| + 3x = 7$ là

A.

$3$
B.

$2$
C.

$0$
D.

$1$

Câu 5 :

Trong các mặt của một hình hộp chữ nhật, tính số cặp mặt song song với nhau là

A.

$4$.
B.

$2$.
C.

$3$.
D.

$0$.

Câu 6 :

Phương trình $\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) = 0$ có số nghiệm là:

A.

$1$
B.

$2$
C.

$3$
D.

$4$

Câu 7 :

Nếu 2 tam giác ABC và DEF có $\widehat A = \widehat D$, $\widehat C = \widehat F$ thì:

A.

$\Delta ABC\backsim\Delta DEF$
B.

$\Delta CAB\backsim\Delta DEF$
C.

$\Delta ABC\backsim\Delta DFE$
D.

$\Delta CBA\backsim\Delta DFE$

Câu 8 :

Cho hình vẽ, trong đó $DE{\rm{//}}BC$, $AD = 12,\,\,DB = 18,\,\,CE = 30$. Độ dài $AC$ bằng:

A.

$20$
B.

$\dfrac{{18}}{{25}}$
C.

$50$
D.

$45$

Câu 9 :

Cho $\Delta ABC$, $AD$ là phân giác trong của góc $A$ . Hãy chọn câu đúng:

A.

$\dfrac{{DC}}{{DB}} = \dfrac{{AB}}{{AC}}$
B.

$\dfrac{{AB}}{{DB}} = \dfrac{{AC}}{{DC}}$
C.

$\dfrac{{AB}}{{DB}} = \dfrac{{DC}}{{AC}}$
D.

$\dfrac{{AD}}{{DB}} = \dfrac{{AC}}{{AD}}$

Câu 10 :

Hãy chọn câu đúng. Tính độ dài $x,y$ của các đoạn thẳng trong hình vẽ, biết rằng các số trên hình có cùng đơn vị đo là $cm$ .

A.

$x = 16cm;\,y = 12cm$.
B.

$x = 14cm;\,y = 14cm$.
C.

$x = 14,3cm;\,y = 10,7cm$.
D.

$x = 12\,cm;\,y = 16\,cm$.

Câu 11 :

Hãy chọn câu đúng. Nếu $a > b$ thì:

A.

$ - 3a - 1 > - 3b - 1$
B.

$ - 3(a - 1) < - 3(b - 1)$
C.

$ - 3(a - 1) > - 3(b - 1)$
D.

$3(a - 1) < 3(b - 1)$

Câu 12 :

Cho hình vẽ dưới đây, tính giá trị của $x$ ?

A.

$x = 6$
B.

$x = 5$
C.

$x = 8$
D.

$x = 9$

Câu 13 :

Hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ (hình vẽ) có $\widehat {BAC} = {90^0},AB = 6cm,AC = 8cm,{\rm{AA' = 15cm}}$ . Diện tích toàn phần của hình lăng trụ đó bằng

A.

$258c{m^2}$
B.

$360c{m^2}$
C.

$456c{m^2}$
D.

$408c{m^2}$

Câu 14 :

Cho $\Delta DHE \backsim\Delta ABC$ với tỉ số đồng dạng $\dfrac{2}{3}$. Có bao nhiêu khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

(I) Tỉ số hai đường cao tương ứng của $\Delta DHE$ và $\Delta ABC$ là $\dfrac{2}{3}$.

(II) Tỉ số hai đường cao tương ứng của $\Delta ABC$ và $\Delta DHE$ là $\dfrac{2}{3}$.

(III) Tỉ số diện tích của $\Delta ABC$ và $\Delta DHE$ là $\dfrac{2}{3}$.

(IV) Tỉ số diện tích của $\Delta DHE$ và $\Delta ABC$ là $\dfrac{4}{9}$.

A.

$2$
B.

$1$
C.

$3$
D.

$4$

Câu 15 :

Kết luận nào sau đây là đúng nhất khi nói về nghiệm ${x_0}$ của phương trình $\dfrac{{x + 1}}{2} + \dfrac{{x + 3}}{4} = 3 - \dfrac{{x + 2}}{3}$

A.

${x_0}$ là số vô tỉ
B.

${x_0}$ là số âm
C.

${x_0}$ là số nguyên dương lớn hơn $2$
D.

${x_0}$ là số nguyên dương.

Câu 16 :

Tập nghiệm của phương trình $\left( {{x^2} + x} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right) = 6$ là

A.

$S = \left\{ { - 1; - 2} \right\}$
B.

$S = \left\{ {1;2} \right\}$
C.

$S = \left\{ {1; - 2} \right\}$
D.

$S = \left\{ { - 1;2} \right\}$

Câu 17 :

Cho hai biểu thức : $A = 1 + \dfrac{1}{{2 + x}}$ và $B = \dfrac{{12}}{{{x^3} + 8}}$ . Tìm $x$ sao cho $A = B$ .

A.

$x = 0$
B.

$x = 1$
C.

$x = - 1$
D.

Cả A và B.

Câu 18 :

Một tổ sản xuất theo kế hoạch mỗi ngày phải sản xuất $50$ sản phầm. Khi thực hiện tổ đã sản xuất được $57$ sản phẩm một ngày. Do đó hoàn thành trước kế hoạch $1$ ngày và còn vượt mức $13$ sản phẩm. Hỏi theo kế hoạch tổ phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm?

A.

$550$
B.

$400$
C.

$600$
D.

$500$

Câu 19 :

Một ô tô phải đi quãng đường $AB$ dài $60$ km trong một thời gian nhất định. Xe đi nửa đầu quãng đường với vận tốc hơn dự định $10$ km/h và đi với nửa sau kém hơn dự định $6$ km/h. Biết ô tô đến đúng dự định. Tính thời gian dự định đi quãng đường $AB$ ?

A.

$3$ giờ
B.

$6$ giờ
C.

$5$ giờ
D.

$2$ giờ

Câu 20 :

Với $a,b,c$ bất kỳ. Hãy so sánh $3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)$ và ${\left( {a + b + c} \right)^2}$

A.

$3({a^2} + {b^2} + {c^2}) = {(a + b + c)^2}$
B.

$3({a^2} + {b^2} + {c^2}) \le {(a + b + c)^2}$
C.

$3({a^2} + {b^2} + {c^2}) \ge {(a + b + c)^2}$
D.

$3({a^2} + {b^2} + {c^2}) < {(a + b + c)^2}$

Câu 21 :

Bất phương trình $2{(x + 2)^2} < 2x(x + 2) + 4$ có tập nghiệm là

A.

$S = \left\{ {{x \in R /}x > - 1} \right\}$
B.

$S = \left\{ {x \in R /}{x > 1} \right\}$
C.

$S = \left\{ {x \in R /}{x \ge - 1} \right\}$
D.

$S = \left\{ {x \in R /}{x < - 1} \right\}$

Câu 22 :

Cho hình vẽ, trong đó $AB{\rm{//}}CD$ và $DE = EC$. Trong các khẳng định sau, có bao nhiêu khẳng định đúng?

(I) $\dfrac{{AK}}{{EC}} = \dfrac{{KB}}{{DE}}$ (II)$AK = KB$

(III) $\dfrac{{AO}}{{AC}} = \dfrac{{AB}}{{DC}}$ (IV) $\dfrac{{AK}}{{EC}} = \dfrac{{OB}}{{OD}}$

A.

$1$
B.

$2$
C.

$3$
D.

$4$

Câu 23 :

Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ , đường phân giác trong của góc $B$ cắt $AC$ tại $D$ và cho biết $AB = 15$ $cm$ , $BC = 10cm$ . Khi đó $AD = $ ?

A.

3 cm
B.

6cm
C.

9 cm
D.

12 cm

Câu 24 :

Một tam giác có cạnh nhỏ nhất bằng $8$ , hai cạnh còn lại bằng $x$ và $y$ $\left( {x < y} \right).$ Một tam giác khác có cạnh lớn nhất bằng $27$ , hai cạnh còn lại cũng bằng $x$ và $y$ . Tính $x$ và $y$ để hai tam giác đó đồng dạng.

A.

$x = 5;\,y = 10$.
B.

$x = 6;\,y = 12$
C.

$x = 12;\,y = 18$
D.

$x = 6;\,y = 18$

Câu 25 :

Cho hình bình hành $ABCD$ , điểm $F$ trên cạnh $BC$ . Tia $AF$ cắt $BD$ và $DC$ lần lượt ở $E$ và $G$ . Chọn khẳng định sai.

A.

$\Delta BFE\backsim\Delta DAE$
B.

$\Delta DEG\backsim\Delta BEA$
C.

$\Delta BFE\backsim\Delta DEA$
D.

$\Delta DGE\backsim\Delta BAE$

Câu 26 :

Cho tam giác $ABC$, phân giác $AD$ . Gọi $E,F$ lần lượt là hình chiếu của $B$ và $C$ lên $AD$ .

Chọn khẳng định đúng.

A.

$AE.DF = A{D^2}$
B.

$AE.DF = E{D^2}$
C.

$AE.DF = AF.DE$
D.

$AE.DF = B{D^2}$

Câu 27 :

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $O$ và $O'$ lần lượt là tâm $ABCD;\,A'B'C'D'$ . Hai mp $(ACC'A')$ và mp $\left( {BDD'B'} \right)$ cắt nhau theo đường nào?

A.

$OO'$.
B.

$CC'$.
C.

$AD$.
D.

$AO$.

Câu 28 :

Một hình hộp chữ nhật có đường chéo lớn bằng $17cm$ , các kích thước của đáy bằng $9cm$ và $12cm$ . Tính thể tích của hình hộp chữ nhật đó.

A.

$846\,c{m^3}$
B.

$864\,c{m^3}$
C.

$816\,c{m^2}$
D.

$186\,c{m^3}$

Câu 29 :

Tính thể tích của hình chóp tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng $6\,cm$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

A.

$24,64\,c{m^3}$
B.

$25,46\,c{m^3}$
C.

$26,46\,c{m^3}$
D.

$26,64\,c{m^3}$

Câu 30 :

Cho phương trình $\left( 1 \right):$ $x\left( {{x^2} - 4x + 5} \right) = 0$ và phương trình $\left( 2 \right):$ $\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} + 4x + 5} \right) = 0$.

Chọn khẳng định đúng.

A.

Phương trình $\left( 1 \right)$ có một nghiệm, phương trình $\left( 2 \right)$ có hai nghiệm
B.

Phương trình $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm, phương trình $\left( 2 \right)$ có một nghiệm
C.

Hai phương trình đều có hai nghiệm
D.

Hai phương trình đều vô nghiệm

Câu 31 :

Một hình hộp chữ nhật có diện tích xung quanh bằng $120\,c{m^2}$ , chiều cao bằng $6cm$ . Tìm các kích thước của đáy để hình hộp chữ nhật có thể tích lớn nhất.

A.

$8\,cm$
B.

$7\,cm$
C.

$6\,cm$
D.

$5\,cm$

Câu 32 :

Nghiệm của phương trình $\left| {x + \dfrac{1}{{209}}} \right| + \left| {x + \dfrac{2}{{209}}} \right| + \left| {x + \dfrac{3}{{209}}} \right| + ... + \left| {x + \dfrac{{208}}{{209}}} \right| = 209x$ là

A.

$x = 104$
B.

$x = 105$
C.

$x = 103$
D.

$x = 106$

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Hai phương trình tương đương là hai phương trình có

A.

Một nghiệm giống nhau
B.

Hai nghiệm giống nhau
C.

Tập nghiệm giống nhau
D.

Tập nghiệm khác nhau

Đáp án : C

Lời giải chi tiết :

Hai phương trình tương đương là hai phương trình có cùng tập nghiệm.

Câu 2 :

Hãy chọn câu đúng. Nếu $\Delta ABC$ và $\Delta DEF$ có $\widehat B = \widehat {D;}\,\dfrac{{BA}}{{BC}} = \dfrac{{DE}}{{DF}}$ thì:

A.

$\Delta ABC$ đồng dạng với $\Delta DEF$
B.

$\Delta ABC$ đồng dạng với $\Delta EDF$
C.

$\Delta BCA$ đồng dạng với $\Delta DEF$
D.

$\Delta ABC$ đồng dạng với $\Delta FDE$

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

$\Delta ABC$ và $\Delta DEF$ có $\widehat B = \widehat {D;}\,\dfrac{{BA}}{{BC}} = \dfrac{{DE}}{{DF}}$ thì $\Delta ABC$ đồng dạng với $\Delta EDF$

Câu 3 :

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$ . Cho biết $AB = 3cm$ ; $AC = 4cm$ . Tính độ dài các đoạn thẳng $HA, HB.$

A.

$HA = 2,4\,cm;\,HB = 1,2\,cm$
B.

$HA = 2\,cm;\,HB = 1,8\,cm$
C.

$HA = 2\,cm;\,HB = 1,2\,cm$
D.

$HA = 2,4\,cm;\,HB = 1,8\,cm$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Chứng minh các cặp tam giác đồng dạng phù hợp để tìm ra tỉ lệ thức thích hợp.

- Tính độ dài các cạnh cần tìm dựa vào định lý Pitago và dữ kiện đã có.

Lời giải chi tiết :

Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông $ABC$ ta có:

$\begin{array}{l}A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\\ \Leftrightarrow {3^2} + {4^2} = B{C^2}\\ \Leftrightarrow B{C^2} = 25\\ \Rightarrow BC = 5\;cm\end{array}$

Xét 2 tam giác vuông $ABC$ và $HBA$ có: $\widehat B$ chung

$ \Rightarrow \Delta ABC\backsim\Delta HBA\;(g - g)$

$ \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{HB}} = \dfrac{{BC}}{{BA}} \Rightarrow HB = \dfrac{{A{B^2}}}{{BC}} = \dfrac{{{3^2}}}{5} = 1,8\;cm$

Mặt khác:

$\dfrac{{AB}}{{HB}} = \dfrac{{AC}}{{HA}} \Rightarrow HA = \dfrac{{AC.HB}}{{AB}} = \dfrac{{4.1,8}}{3} = 2,4\;cm$

Nên $HA = 2,4\,cm;\,HB = 1,8\,cm$ .

Câu 4 :

Số nghiệm của phương trình $\left| {x - 3} \right| + 3x = 7$ là

A.

$3$
B.

$2$
C.

$0$
D.

$1$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

+ Phá dấu giá trị tuyệt đối theo định nghĩa $\left| a \right| = \left\{ \begin{array}{l}a\;\;khi\;\;a \ge 0\\ - a\;\;khi\;\;a < 0\end{array} \right..$

+ Giải các phương trình bậc nhất một ẩn

+ So sánh với điều kiện và kết luận.

Lời giải chi tiết :

TH1: $\left| {x - 3} \right| = x - 3$ khi $x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 3$

Phương trình đã cho trở thành $x - 3 + 3x = 7$$ \Leftrightarrow 4x = 10 $$\Leftrightarrow x = \dfrac{5}{2}\,\left( {KTM} \right)$

TH2: $\left| {x - 3} \right| = - \left( {x - 3} \right)$ khi $x - 3 < 0 $$\Leftrightarrow x < 3$

Phương trình đã cho trở thành $ - \left( {x - 3} \right) + 3x = 7 $$\Leftrightarrow 2x = 4 $$\Leftrightarrow x = 2\,\left( {TM} \right)$

Vậy phương trình có một nghiệm $x = 2$.

Câu 5 :

Trong các mặt của một hình hộp chữ nhật, tính số cặp mặt song song với nhau là

A.

$4$.
B.

$2$.
C.

$3$.
D.

$0$.

Đáp án : C

Lời giải chi tiết :

Có $3$ cặp mặt phẳng song song là mp $\left( {ABB'A'} \right)$ và mp $\left( {DCC'D'} \right)$ ; mp $\left( {ABCD} \right)$ và mp $\left( {A'B'C'D'} \right)$; mp $\left( {ADD'A'} \right)$ và mp $\left( {BCC'B'} \right)$

Câu 6 :

Phương trình $\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) = 0$ có số nghiệm là:

A.

$1$
B.

$2$
C.

$3$
D.

$4$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Ta sử dụng $A\left( x \right).B\left( x \right).C\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow A\left( x \right) = 0$ hoặc $B\left( x \right) = 0$ hoặc $C\left( x \right) = 0$.

Lời giải chi tiết :

Ta có $\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) = 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x - 2 = 0\\x - 3 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\\x = 3\end{array} \right.\end{array}$

Vậy phương trình có ba nghiệm $x = 1$ ; $x = 2$ ; $x = 3$ .

Câu 7 :

Nếu 2 tam giác ABC và DEF có $\widehat A = \widehat D$, $\widehat C = \widehat F$ thì:

A.

$\Delta ABC\backsim\Delta DEF$
B.

$\Delta CAB\backsim\Delta DEF$
C.

$\Delta ABC\backsim\Delta DFE$
D.

$\Delta CBA\backsim\Delta DFE$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Từ dữ kiện đã có suy ra được $2$ tam giác đồng dạng theo trường hợp góc – góc

Lời giải chi tiết :

Xét $\Delta ABC$ và $\Delta DEF$ có:

$\widehat A = \widehat D$(gt)

$\widehat C = \widehat F$ (gt)

$ \Rightarrow \Delta ABC\backsim\Delta DEF\;(g - g)$

Câu 8 :

Cho hình vẽ, trong đó $DE{\rm{//}}BC$, $AD = 12,\,\,DB = 18,\,\,CE = 30$. Độ dài $AC$ bằng:

A.

$20$
B.

$\dfrac{{18}}{{25}}$
C.

$50$
D.

$45$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng định lý Ta-lét tính $AE$ từ đó tính $AC$ .

Lời giải chi tiết :

Vì $DE{\rm{//}}BC$, theo định lý Ta-lét ta có $\dfrac{{AD}}{{BD}} = \dfrac{{AE}}{{EC}} \Leftrightarrow \dfrac{{12}}{{18}} = \dfrac{{AE}}{{30}}$$ \Rightarrow EA = \dfrac{{30.12}}{{18}} = 20\,cm$

Nên $AC = AE + EC = 50\,cm$

Câu 9 :

Cho $\Delta ABC$, $AD$ là phân giác trong của góc $A$ . Hãy chọn câu đúng:

A.

$\dfrac{{DC}}{{DB}} = \dfrac{{AB}}{{AC}}$
B.

$\dfrac{{AB}}{{DB}} = \dfrac{{AC}}{{DC}}$
C.

$\dfrac{{AB}}{{DB}} = \dfrac{{DC}}{{AC}}$
D.

$\dfrac{{AD}}{{DB}} = \dfrac{{AC}}{{AD}}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng tính chất đường phân giác của tam giác: Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy.

Lời giải chi tiết :

Vì $AD$ là phân giác góc $\widehat {BAC}$ nên ta có $\dfrac{{BD}}{{DC}} = \dfrac{{AB}}{{AC}} \Leftrightarrow \dfrac{{AB}}{{DB}} = \dfrac{{AC}}{{DC}}$ (tính chất đường phân giác của tam giác).

Câu 10 :

Hãy chọn câu đúng. Tính độ dài $x,y$ của các đoạn thẳng trong hình vẽ, biết rằng các số trên hình có cùng đơn vị đo là $cm$ .

A.

$x = 16cm;\,y = 12cm$.
B.

$x = 14cm;\,y = 14cm$.
C.

$x = 14,3cm;\,y = 10,7cm$.
D.

$x = 12\,cm;\,y = 16\,cm$.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng tính chất đường phân giác của tam giác: "Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn ấy."

Và sử dụng tính chất tỉ lệ thức.

Lời giải chi tiết :

Vì $AD$ là phân giác $\widehat {BAC}$ nên ta có

$\dfrac{{BD}}{{DC}} = \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{15}}{{20}} = \dfrac{3}{4}\\ \Rightarrow \dfrac{{BD}}{{DC}} = \dfrac{3}{4} \Rightarrow \dfrac{{BD}}{{BD + DC}} = \dfrac{3}{{4 + 3}} = \dfrac{3}{7}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{BD}}{{BC}} = \dfrac{3}{7} \Rightarrow \dfrac{x}{{28}} = \dfrac{3}{7}\\ \Rightarrow x = 12\,cm$$ \Rightarrow y = 28 - x = 16\,cm$

Vậy $x = 12\,cm;\,y = 16\,cm$ .

Câu 11 :

Hãy chọn câu đúng. Nếu $a > b$ thì:

A.

$ - 3a - 1 > - 3b - 1$
B.

$ - 3(a - 1) < - 3(b - 1)$
C.

$ - 3(a - 1) > - 3(b - 1)$
D.

$3(a - 1) < 3(b - 1)$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Sử dụng tính chất liên hệ giữa thứ tự với phép cộng

- Sử dụng tinh chất liên hệ giữa thứ tự với phép nhân

Lời giải chi tiết :

+ Với $a > b$, nhân cả hai vế của bất đẳng thức với $ - 3$ ta được $ - 3a < - 3b$ .

Tiếp tục cộng hai vế của bất đẳng thức với $ - 1$ ta được $ - 3a - 1 < - 3b - 1$ nên A sai.

+ Vì $a > b \Leftrightarrow a - 1 > b - 1 $$\Leftrightarrow - 3\left( {a - 1} \right) < - 3\left( {b - 1} \right)$ nên B đúng, C sai

+ Vì $a > b \Leftrightarrow a - 1 > b - 1$$ \Leftrightarrow 3\left( {a - 1} \right) > 3\left( {b - 1} \right)$ nên D sai.

Câu 12 :

Cho hình vẽ dưới đây, tính giá trị của $x$ ?

A.

$x = 6$
B.

$x = 5$
C.

$x = 8$
D.

$x = 9$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Bước 1: Xét tỉ số độ dài của các cạnh tương ứng của 2 tam giác.

Bước 2: Từ dữ kiện đã có chứng minh được 2 tam giác đồng dạng theo trường hợp cạnh – góc – cạnh.

Lời giải chi tiết :

Ta có: 

$\dfrac{{AN}}{{AB}} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$, $\dfrac{{AM}}{{AC}} = \dfrac{6}{{18}} = \dfrac{1}{3}$$ \Rightarrow \dfrac{{AN}}{{AB}} = \dfrac{{AM}}{{AC}} = \dfrac{1}{3}$

Xét $\Delta ANM$ và $\Delta ABC$ có:

$\dfrac{{AN}}{{AB}} = \dfrac{{AM}}{{AC}}$(chứng minh trên)

$\widehat A\;chung$

$ \Rightarrow \Delta ANM\backsim\Delta ABC$ (c – g – c)

$\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{AN}}{{AB}} = \dfrac{{AM}}{{AC}} = \dfrac{{MN}}{{CB}} = \dfrac{1}{3}\\ \Rightarrow \dfrac{x}{{15}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow x = \dfrac{{15}}{3} = 5\end{array}$

Câu 13 :

Hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ (hình vẽ) có $\widehat {BAC} = {90^0},AB = 6cm,AC = 8cm,{\rm{AA' = 15cm}}$ . Diện tích toàn phần của hình lăng trụ đó bằng

A.

$258c{m^2}$
B.

$360c{m^2}$
C.

$456c{m^2}$
D.

$408c{m^2}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng cách tính diện tích toàn phần hình lăng trụ đứng.

Diện tích toàn phần của hình lăng trụ đứng bằng tổng của diện tích xung quanh và diện tích hai đáy

Lời giải chi tiết :

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác $ABC$ ta được $B{C^2} = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{6^2} + {8^2}} = 10\,cm$ .

Ta có chu vi đáy ${P_{ABC}} = AB + AC + BC = 6 + 8 + 10 = 24\,cm$

Diện tích đáy ${S_{ABC}} = \dfrac{{AB.AC}}{2} = \dfrac{{6.8}}{2} = 24\,c{m^2}$ .

Diện tích xung quanh của lăng trụ đứng ${S_{xq}} = 24.15 = 360\,c{m^2}$ .

Diện tích toàn phần ${S_{tp}} = 360 + 2.24 = 408\,c{m^2}$ .

Câu 14 :

Cho $\Delta DHE \backsim\Delta ABC$ với tỉ số đồng dạng $\dfrac{2}{3}$. Có bao nhiêu khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

(I) Tỉ số hai đường cao tương ứng của $\Delta DHE$ và $\Delta ABC$ là $\dfrac{2}{3}$.

(II) Tỉ số hai đường cao tương ứng của $\Delta ABC$ và $\Delta DHE$ là $\dfrac{2}{3}$.

(III) Tỉ số diện tích của $\Delta ABC$ và $\Delta DHE$ là $\dfrac{2}{3}$.

(IV) Tỉ số diện tích của $\Delta DHE$ và $\Delta ABC$ là $\dfrac{4}{9}$.

A.

$2$
B.

$1$
C.

$3$
D.

$4$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng tỉ số đường cao, tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng.

Nếu hai tam giác đồng dạng thì:

+ Tỉ số hai đường cao tương ứng bằng tỉ số đồng dạng;

+ Tỉ số hai diện tích bằng bình phương tỉ số đồng dạng.

Lời giải chi tiết :

Vì $\Delta DHE\backsim\Delta ABC$ với tỉ số đồng dạng $\dfrac{2}{3}$ nên tỉ số hai đường cao tương ứng của $\Delta DHE$ và $\Delta ABC$ là $\dfrac{2}{3}$ và tỉ số diện tích của $\Delta DHE$ và $\Delta ABC$ là ${\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^2} = \dfrac{4}{9}$

Do đó (I) và (IV) đúng, (II) và (III) sai.

Câu 15 :

Kết luận nào sau đây là đúng nhất khi nói về nghiệm ${x_0}$ của phương trình $\dfrac{{x + 1}}{2} + \dfrac{{x + 3}}{4} = 3 - \dfrac{{x + 2}}{3}$

A.

${x_0}$ là số vô tỉ
B.

${x_0}$ là số âm
C.

${x_0}$ là số nguyên dương lớn hơn $2$
D.

${x_0}$ là số nguyên dương.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

+ Quy đồng mẫu hai vế

+ Nhân hai vế với mẫu chung để khử mẫu

+ Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế, các hằng số sang vế kia

+ Thu gọn và giải phương trình nhận được.

Lời giải chi tiết :

Ta có $\dfrac{{x + 1}}{2} + \dfrac{{x + 3}}{4} = 3 - \dfrac{{x + 2}}{3}$

$ \Leftrightarrow \dfrac{{6\left( {x + 1} \right)}}{{12}} + \dfrac{{3\left( {x + 3} \right)}}{{12}} = \dfrac{{36}}{{12}} - \dfrac{{4\left( {x + 2} \right)}}{{12}}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{6x + 6 + 3x + 9}}{{12}} = \dfrac{{36 - 4x - 8}}{{12}}\\ \Leftrightarrow 9x + 15 = 28 - 4x\\ \Leftrightarrow 9x + 4x = 28 - 15\\ \Leftrightarrow 13x = 13\\ \Leftrightarrow x = 1\end{array}$

Vậy nghiệm của phương trình là $x = 1$ là số nguyên dương .

Câu 16 :

Tập nghiệm của phương trình $\left( {{x^2} + x} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right) = 6$ là

A.

$S = \left\{ { - 1; - 2} \right\}$
B.

$S = \left\{ {1;2} \right\}$
C.

$S = \left\{ {1; - 2} \right\}$
D.

$S = \left\{ { - 1;2} \right\}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

+ Đặt ${x^2} + x = y$, biến đổi phương trình ẩn $y$ về dạng $A\left( x \right).B\left( x \right) = 0$ từ đó tìm được $y$ .

+ Thay $y$ tìm được vào phép đặt ta tìm được $x$ .

Lời giải chi tiết :

Đặt ${x^2} + x = y,$ ta có:

$y\left( {y + 1} \right) = 6$$ \Leftrightarrow {y^2} + y - 6 = 0 $$\Leftrightarrow {y^2} + 2y - 3y - 6 = 0\\ \Leftrightarrow y\left( {y + 2} \right) - 3\left( {y + 2} \right) = 0 $$\Leftrightarrow \left( {y + 3} \right)\left( {y - 2} \right) = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = - 3\\y = 2\end{array} \right.$

+ Với $y = - 3,$ ta có ${x^2} + x + 3 = 0,$ vô nghiệm vì:

${x^2} + x + 3 = {\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{{11}}{4} > 0$

+ Với $y = 2$, ta có

$\begin{array}{l}{x^2} + x - 2 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x + 2} \right) - \left( {x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) = 0\end{array}$

Vậy $S = \left\{ { 1;-2} \right\}$ .

Câu 17 :

Cho hai biểu thức : $A = 1 + \dfrac{1}{{2 + x}}$ và $B = \dfrac{{12}}{{{x^3} + 8}}$ . Tìm $x$ sao cho $A = B$ .

A.

$x = 0$
B.

$x = 1$
C.

$x = - 1$
D.

Cả A và B.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Cho $A = B$ rồi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu theo các bước:

+ Tìm ĐKXĐ của phương trình.

+ Quy đồng mẫu rồi khử mẫu.

+ Giải phương trình vừa nhận được .

+ Đối chiếu điều kiện rồi kết luận nghiệm.

Lời giải chi tiết :

Để $A = B$ thì $1 + \dfrac{1}{{2 + x}} = \dfrac{{12}}{{{x^3} + 8}}$ .

ĐKXĐ: $x \ne - 2$

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\,1 + \dfrac{1}{{2 + x}} = \dfrac{{12}}{{{x^3} + 8}}\,\,\\ \Leftrightarrow 1 + \dfrac{1}{{x + 2}} = \dfrac{{12}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{x^3} + 8 + {x^2} - 2x + 4}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)}} = \dfrac{{12}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)}}\\ \Rightarrow {x^3} + 8 + {x^2} - 2x + 4 = 12\\ \Leftrightarrow {x^3} + {x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow x\left( {{x^2} + x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {{x^2} - x + 2x - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x - 1 = 0\\x + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\,\,\,\,(tm)\\x = 1\,\,\,\,(tm)\\x = - 2\,\,\,\,(ktm)\end{array} \right..\end{array}$

Vậy để $A = B$ thì $x = 0$ hoặc $x = 1$.

Câu 18 :

A.

$550$
B.

$400$
C.

$600$
D.

$500$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Giải bài toán năng suất bằng cách lập phương trình

+) Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

+) Sau đó dựa vào giả thiết của đề bài để lập phương trình.

+) Giải phương trình rồi so sánh điều kiện để kết luận.

Sử dụng: Năng suất bằng tỉ số giữa khối lượng công việc và thời gian hoàn thành

Lời giải chi tiết :

Gọi tổng sản phẩm tổ phải sản xuất theo kế hoạch là $x\,\left( {x > 0} \right)$ (sản phẩm)

Thời gian theo kế hoạch là $\dfrac{x}{{50}}$ (ngày)

Theo thực tế số sản phẩm tổ đã làm là $x + 13$(sản phẩm)

Vì thực tế tổ hoàn thành trước kế hoạch $1$ ngày nên ta có phương trình

$\dfrac{{x + 13}}{{57}} + 1 = \dfrac{x}{{50}} \Leftrightarrow 50\left( {x + 13} \right) + 2850 = 57x$

$ \Leftrightarrow 7x = 3500 \Leftrightarrow x = 500\,\left( {TM} \right)$

Vậy tổng sản phẩm theo kế hoạch là $500$ sản phẩm.

Câu 19 :

A.

$3$ giờ
B.

$6$ giờ
C.

$5$ giờ
D.

$2$ giờ

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Giải bài toán chuyển động bằng cách lập phương trình.

+) Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

+) Sau đó dựa vào giả thiết của đề bài để lập phương trình.

+) Giải phương trình rồi so sánh điều kiện để kết luận.

Lời giải chi tiết :

Gọi vận tốc theo dự định của ô tô là $x\,\left( {x > 6} \right)$(km/h)

Thời gian theo dự định của ô tô là $\dfrac{{60}}{x}\left( h \right)$

Nửa đầu quãng đường ô tô đi với vận tốc là $x + 10$ (km/h)

Thời gian đi nửa đầu quãng đường là $\dfrac{{30}}{{x + 10}}\,\left( h \right)$

Nửa sau quãng đường, ô tô đi với vận tốc là $x - 6\,$ (km/h)

Thời gian ô tô đi nửa sau quãng đường là $\dfrac{{30}}{{x - 6}}\,\left( h \right)$

Vì ô tô đến nơi đúng dự định nên ta có phương trình

$\dfrac{{30}}{{x + 10}} + \dfrac{{30}}{{x - 6}} = \dfrac{{60}}{x}$$ \Leftrightarrow \dfrac{{30x\left( {x - 6} \right) + 30x\left( {x + 10} \right)}}{{x\left( {x + 10} \right)\left( {x - 6} \right)}} = \dfrac{{60\left( {x - 6} \right)\left( {x + 10} \right)}}{{x\left( {x + 10} \right)\left( {x - 6} \right)}}$

$ \Rightarrow {x^2} - 6x + {x^2} + 10x = 2\left( {{x^2} + 4x - 60} \right)$$ \Leftrightarrow 4x = 120\, \Leftrightarrow x = 30\,\left( {TM} \right)$

Vậy thời gian dự định đi quãng đường $AB$ là $60:30 = 2$ giờ.

Câu 20 :

Với $a,b,c$ bất kỳ. Hãy so sánh $3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)$ và ${\left( {a + b + c} \right)^2}$

A.

$3({a^2} + {b^2} + {c^2}) = {(a + b + c)^2}$
B.

$3({a^2} + {b^2} + {c^2}) \le {(a + b + c)^2}$
C.

$3({a^2} + {b^2} + {c^2}) \ge {(a + b + c)^2}$
D.

$3({a^2} + {b^2} + {c^2}) < {(a + b + c)^2}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Phương pháp xét hiệu.

Lời giải chi tiết :

Xét hiệu:

$3({a^2} + {b^2} + {c^2}) - {(a + b + c)^2}$

$\begin{array}{l} = 3{a^2} + 3{b^2} + 3{c^2} - {a^2} - {b^2} - {c^2} - 2ab - 2bc - 2ac\\ = 2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2bc - 2ac\\ = {(a - b)^2} + {(b - c)^2} + {(c - a)^2} \ge 0\end{array}$

(vì ${(a - b)^2} \ge 0;\,{(b - c)^2} \ge 0;\,{(c - a)^2} \ge 0$ với mọi $a,b,c$)

Nên $3({a^2} + {b^2} + {c^2}) \ge {(a + b + c)^2}$ .

Câu 21 :

Bất phương trình $2{(x + 2)^2} < 2x(x + 2) + 4$ có tập nghiệm là

A.

$S = \left\{ {{x \in R /}x > - 1} \right\}$
B.

$S = \left\{ {x \in R /}{x > 1} \right\}$
C.

$S = \left\{ {x \in R /}{x \ge - 1} \right\}$
D.

$S = \left\{ {x \in R /}{x < - 1} \right\}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Khai triển các hằng đẳng thức
- Bỏ dấu ngoặc

- Áp dụng quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân với một số để giải bất phương trình.

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}\;2{(x + 2)^2} < 2x(x + 2) + 4\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + 8x + 8 < 2{x^2} + 4x + 4\\ \Leftrightarrow 4x < - 4\\ \Leftrightarrow x < - 1\end{array}$

Vậy $x < - 1$ .

Câu 22 :

Cho hình vẽ, trong đó $AB{\rm{//}}CD$ và $DE = EC$. Trong các khẳng định sau, có bao nhiêu khẳng định đúng?

(I) $\dfrac{{AK}}{{EC}} = \dfrac{{KB}}{{DE}}$ (II)$AK = KB$

(III) $\dfrac{{AO}}{{AC}} = \dfrac{{AB}}{{DC}}$ (IV) $\dfrac{{AK}}{{EC}} = \dfrac{{OB}}{{OD}}$

A.

$1$
B.

$2$
C.

$3$
D.

$4$

Đáp án : C

Lời giải chi tiết :

Theo định lý Ta-lét:

Vì $AK{\rm{//}}EC$ nên $\dfrac{{AK}}{{EC}} = \dfrac{{OK}}{{OE}}$ và $KB{\rm{//}}ED$ nên $\dfrac{{BK}}{{ED}} = \dfrac{{OK}}{{OE}} = \dfrac{{OB}}{{OD}}$ từ đó $\dfrac{{AK}}{{EC}} = \dfrac{{KB}}{{DE}}$ và $\dfrac{{AK}}{{EC}} = \dfrac{{OB}}{{OD}}$

Mà $EC = ED \Rightarrow AK = KB$ .

Nên (I), (II), (IV) đúng.

Vì $AB{\rm{//}}DC \Rightarrow \dfrac{{AO}}{{OC}} = \dfrac{{AB}}{{DC}}$ nên (III) sai.

Câu 23 :

Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ , đường phân giác trong của góc $B$ cắt $AC$ tại $D$ và cho biết $AB = 15$ $cm$ , $BC = 10cm$ . Khi đó $AD = $ ?

A.

3 cm
B.

6cm
C.

9 cm
D.

12 cm

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Kết hợp tính chất định lý, đã học và tính chất đường phân giác của tam giác để tìm ra tỉ lệ thức phù hợp, từ đó tìm ra độ dài $AD$ .

Lời giải chi tiết :

Vì $BD$ là đường phân giác của $\widehat {ABC}$ nên:

$\dfrac{{AD}}{{DC}} = \dfrac{{AB}}{{BC}}$

Suy ra: $\dfrac{{AD}}{{DC + AD}} = \dfrac{{AB}}{{BC + AB}}$

(theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau)

$ \Rightarrow \dfrac{{AD}}{{AC}} = \dfrac{{AB}}{{BC + AB}}$

Mà tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên $AC = AB = 15cm.$$ \Rightarrow \dfrac{{AD}}{{15}} = \dfrac{{15}}{{15 + 10}} $$\Rightarrow AD = \dfrac{{15.15}}{{25}} = 9\;cm$

Câu 24 :

A.

$x = 5;\,y = 10$.
B.

$x = 6;\,y = 12$
C.

$x = 12;\,y = 18$
D.

$x = 6;\,y = 18$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

+ Sắp xếp các cạnh của tam giác theo thứ tự tăng dần.

+ Lập tỉ lệ cạnh và tính $x,y$ .

Lời giải chi tiết :

Tam giác thứ nhất có các cạnh là $8 < x < y$

Tam giác thứ hai có các cạnh là $x < y < 27$ .

Vì hai tam giác đồng dạng nên $\dfrac{8}{x} = \dfrac{x}{y} = \dfrac{y}{{27}}$ ta có $x.y = 8.27$ và ${x^2} = 8y.$

Do đó ${x^2} = 8y = 8 \cdot \dfrac{{8.27}}{x}$nên ${x^3} = 64.27 = {\left( {4.3} \right)^3}.$

Vậy $x = 12,y = 18.$

Câu 25 :

Cho hình bình hành $ABCD$ , điểm $F$ trên cạnh $BC$ . Tia $AF$ cắt $BD$ và $DC$ lần lượt ở $E$ và $G$ . Chọn khẳng định sai.

A.

$\Delta BFE\backsim\Delta DAE$
B.

$\Delta DEG\backsim\Delta BEA$
C.

$\Delta BFE\backsim\Delta DEA$
D.

$\Delta DGE\backsim\Delta BAE$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Tìm dữ kiện cần để chứng minh cặp tam giác đồng dạng theo trường hợp góc – góc.

Lời giải chi tiết :

Có ABCD là hình bình hành nên:

$AD{\rm{//}}BC,\;AB{\rm{//}}\,DC$

$ \Rightarrow \widehat {ADE} = \widehat {FBE}$(cặp góc so le trong)

$ \Rightarrow \widehat {ABE} = \widehat {EDG}$(cặp góc so le trong)

Xét tam giác $BFE$ và tam giác $DAE$ có:

$\widehat {ADE} = \widehat {FBE}\;(cmt)$

$\widehat {AED} = \widehat {FEB}$(đối đỉnh)

$ \Rightarrow \Delta BFE\backsim\Delta DAE\;(g - g)$nên A đúng, C sai.

Xét tam giác $DGE$ và tam giác $BAE$ có:

$\widehat {ABE} = \widehat {EDG\;}(cmt)$

$\widehat {AEB} = \widehat {GED}$(đối đỉnh)

$ \Rightarrow \Delta DGE\backsim\Delta BAE\;(g - g)$hay $\Delta DEG\backsim\Delta BEA$ nên B, D đúng.

Câu 26 :

Cho tam giác $ABC$, phân giác $AD$ . Gọi $E,F$ lần lượt là hình chiếu của $B$ và $C$ lên $AD$ .

Chọn khẳng định đúng.

A.

$AE.DF = A{D^2}$
B.

$AE.DF = E{D^2}$
C.

$AE.DF = AF.DE$
D.

$AE.DF = B{D^2}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Chứng minh các cặp tam giác đồng dạng phù hợp để tìm ra tỉ lệ thức thích hợp.

- Từ đó rút ra điều cần chứng minh.

Lời giải chi tiết :

Xét 2 tam giác vuông ABE và ACF ta có:

$\widehat {BAE} = \widehat {CAF}$ (vì AD là tia phân giác của góc A)

$ \Rightarrow \Delta ABE\backsim\Delta ACF\;(g - g)$

$ \Rightarrow \dfrac{{AE}}{{AF}} = \dfrac{{BE}}{{CF}}\;(1)$

Xét 2 tam giác vuông BDE và CDF ta có:

$\widehat {EDB} = \widehat {FDC}$ (2 góc đối đỉnh)

$ \Rightarrow \Delta BDE\backsim\Delta CDF$(g – g)

$ \Rightarrow \dfrac{{BE}}{{CF}} = \dfrac{{DE}}{{DF}}\;(2)$

Từ (1) và (2) ta có:

$\dfrac{{AE}}{{AF}} = \dfrac{{DE}}{{DF}} \Leftrightarrow AE.DF = AF.DE$ (đpcm)

Câu 27 :

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $O$ và $O'$ lần lượt là tâm $ABCD;\,A'B'C'D'$ . Hai mp $(ACC'A')$ và mp $\left( {BDD'B'} \right)$ cắt nhau theo đường nào?

A.

$OO'$.
B.

$CC'$.
C.

$AD$.
D.

$AO$.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Tìm đoạn thẳng thuộc cả hai mặt phẳng.

Lời giải chi tiết :

Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$ . Ta có $O \in AC$ nên $O \in {\rm{mp}}\left( {ACC'A'} \right)$, $O \in BD$ nên $O \in {\rm{mp}}\left( {BDD'B'} \right)$, do đó $O$ thuộc cả hai mặt phẳng trên. (1)

Gọi $O'$ là giao điểm của $A'C'$ và $B'D'$ .

Chứng minh tương tự, $O'$ thuộc cả hai mặt phẳng trên. (2)

Từ (1) và (2) suy ra hai mặt phẳng $(ACC'A')$ và mp $\left( {BDD'B'} \right)$ cắt nhau theo đường thẳng $OO'$ .

Câu 28 :

Một hình hộp chữ nhật có đường chéo lớn bằng $17cm$ , các kích thước của đáy bằng $9cm$ và $12cm$ . Tính thể tích của hình hộp chữ nhật đó.

A.

$846\,c{m^3}$
B.

$864\,c{m^3}$
C.

$816\,c{m^2}$
D.

$186\,c{m^3}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

+ Từ các điều kiện đề bài tìm chiều cao của hình hộp chữ nhật bằng định lý Pytago.

+ Sử dụng công thức thể tích hình hộp chữ nhật để tính toán.

Lời giải chi tiết :

Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $AD = BC = 9\,cm;\,AB = DC = 12\,cm$ .

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông $ADC$ ta được:

$AC = \sqrt {A{D^2} + D{C^2}} = \sqrt {{{12}^2} + {9^2}} = 15\,cm$

Ta có $CC' \bot \left( {ABCD} \right)$ nên $CC' \bot CD$ .

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác vuông $AC'C$ ta được:

$CC' = \sqrt {AC{'^2} - A{C^2}} = \sqrt {{{17}^2} - {{15}^2}} = 8\,cm$

Thể tích của hình hộp chữ nhật bằng

$9.12.8 = 864\left( {c{m^3}} \right)$

Câu 29 :

Tính thể tích của hình chóp tam giác đều có tất cả các cạnh đều bằng $6\,cm$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

A.

$24,64\,c{m^3}$
B.

$25,46\,c{m^3}$
C.

$26,46\,c{m^3}$
D.

$26,64\,c{m^3}$

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

Chóp tam giác đều $S.ABC$ có $SH \bot \left( {ABC} \right)$ nên $H$ là trọng tâm tam giác $ABC$ và $D$ là trung điểm $BC$ .

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác $ABD$ vuông tại $D$ ta có

$AD = \sqrt {A{B^2} - B{D^2}} $$ = \sqrt {{6^2} - {3^2}} = 3\sqrt 3 $ nên diện tích đáy $S = \dfrac{1}{2}AD.BC $$ = \dfrac{1}{2}.3\sqrt 3 .6 = 9\sqrt 3 \,c{m^2}$ .

Vì $H$ là trọng tâm tam giác $ABC \Rightarrow AH = \dfrac{2}{3}AD = \dfrac{2}{3}.3\sqrt 3 = 2\sqrt 3 $ .

Áp dụng định lý Pytago cho tam giác $ASH$ vuông tại $H$ ta được $SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}} = \sqrt {{6^2} - {{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2}} = 2\sqrt 6 $

Từ đó thể tích hình chóp là $V = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}.2\sqrt 6 .9\sqrt 3 \approx 25,46\,c{m^3}$ .

Câu 30 :

Cho phương trình $\left( 1 \right):$ $x\left( {{x^2} - 4x + 5} \right) = 0$ và phương trình $\left( 2 \right):$ $\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} + 4x + 5} \right) = 0$.

Chọn khẳng định đúng.

A.

Phương trình $\left( 1 \right)$ có một nghiệm, phương trình $\left( 2 \right)$ có hai nghiệm
B.

Phương trình $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm, phương trình $\left( 2 \right)$ có một nghiệm
C.

Hai phương trình đều có hai nghiệm
D.

Hai phương trình đều vô nghiệm

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Phương trình tích $A\left( x \right).B\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A\left( x \right) = 0\\B\left( x \right) = 0\end{array} \right.$ , giải các phương trình $A\left( x \right) = 0;B\left( x \right) = 0$ rồi lấy hợp tất cả các nghiệm của chúng.

Lời giải chi tiết :

Xét phương trình $\left( 1 \right):$$x\left( {{x^2} - 4x + 5} \right) = 0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} - 4x + 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{\left( {x - 2} \right)^2} + 1 = 0\,\left( {VN} \right)\end{array} \right.$

Vậy phương trình $\left( 1 \right)$ có nghiệm duy nhất $x = 0$.

Xét phương trình $\left( 2 \right):$

$\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} + 4x + 5} \right) = 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 1 = 0\\{x^2} + 4x + 5 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 1\\{\left( {x + 2} \right)^2} + 1 = 0\,\left( {VN} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 1\end{array} \right.\end{array}$

Vậy phương trình $\left( 2 \right)$ có hai nghiệm $x = - 1;\,x = 1$.

Câu 31 :

A.

$8\,cm$
B.

$7\,cm$
C.

$6\,cm$
D.

$5\,cm$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

+ Sử dụng công thức thể tích và diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật.

+ Dùng hằng đẳng thức để biện luận theo yêu cầu đề bài.

Lời giải chi tiết :

Gọi $a$ và $b$ là các kích thước của đáy.

Ta có $V = 6ab$ nên $V$ lớn nhất $ \Leftrightarrow $ $ab$ lớn nhất

${S_{xq}} = 120$ nên $2\left( {a + b} \right).6 = 120$ hay $a + b = 10$.

Ta có: $ab = a\left( {10 - a} \right) = - {a^2} + 10a = - {\left( {a - 5} \right)^2} + 25 \le 25$.

Suy ra $V = 6ab \le 6.25 = 150$.

Thể tích lớn nhất bằng $150$ ${\rm{c}}{{\rm{m}}^3}$ khi $a = b = 5$, tức là các cạnh đáy bằng $5$ cm.

Câu 32 :

A.

$x = 104$
B.

$x = 105$
C.

$x = 103$
D.

$x = 106$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Với $\left| {x + \dfrac{1}{{209}}} \right| + \left| {x + \dfrac{2}{{209}}} \right| + \left| {x + \dfrac{3}{{209}}} \right| + ... + \left| {x + \dfrac{{208}}{{209}}} \right| = 209x$$ \Rightarrow x \ge 0$

Bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta được phương trình: $x + \dfrac{1}{{209}} + x + \dfrac{2}{{209}} + ..... + x + \dfrac{{208}}{{209}} = 209x.$

Lời giải chi tiết :

Điều kiện $209x \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 0$

$\left| {x + \dfrac{1}{{209}}} \right| + \left| {x + \dfrac{2}{{209}}} \right| + \left| {x + \dfrac{3}{{209}}} \right| + ... + \left| {x + \dfrac{{208}}{{209}}} \right| = 209x\\ \Leftrightarrow x + \dfrac{1}{{209}} + x + \dfrac{2}{{209}} + x + \dfrac{3}{{209}} + ... + x + \dfrac{{100}}{{209}} = 209x\\ \Leftrightarrow 208x + \left( {\dfrac{1}{{209}} + \dfrac{2}{{209}} + \dfrac{3}{{209}} + ... + \dfrac{{208}}{{209}}} \right) = 209x\\ \Leftrightarrow 208x + \dfrac{{104.209}}{{209}} = 209x\\ \Leftrightarrow 208x + 104 = 209x\\ \Leftrightarrow x = 104\;\;(TM)$

Vậy $x = 104.$

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3 bước: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Các bài khác cùng chuyên mục

Đề kiểm tra học kì 2 Toán 8 - Đề số 1

Bài giải mới nhất

Báo lỗi góp ý