Đề kiểm tra học kì 1 Toán 8 - Đề số 2
Đề bài
Trong các tứ giác sau, tứ giác nào là hình có \(4\) trục đối xứng?
-
A.
Hình chữ nhật
-
B.
Hình vuông
-
C.
Hình bình hành
-
D.
Hình thoi
Cho tứ giác $ABCD$ có \(BC = CD\) và $DB$ là tia phân giác của góc \(D\). Chọn khẳng định đúng
-
A.
\(ABCD\) là hình thang
-
B.
\(ABCD\) là hình thang vuông
-
C.
\(ABCD\) là hình thang cân
-
D.
Cả A, B, C đều sai.
Phân thức $\dfrac{{5x - 7}}{{3{x^2} + 6x}}$ xác định khi:
-
A.
$x \ne 0$
-
B.
$x \ne - 2$
-
C.
$x \ne - 2;x \ne 0$
-
D.
$x \ne 3;x \ne - 2;x \ne 0$
Chọn câu đúng.
-
A.
Đường trung bình của hình thang là đường nối trung điểm hai cạnh đáy hình thang.
-
B.
Đường trung bình của tam giác là đoạn nối trung điểm hai cạnh của tam giác.
-
C.
Trong một tam giác chỉ có một đường trung bình.
-
D.
Đường trung bình của tam giác là đường nối từ một đỉnh đến trung điểm cạnh đối diện.
Hình vuông là tứ giác có
-
A.
Có bốn cạnh bằng nhau
-
B.
Có bốn góc bằng nhau
-
C.
Có bốn góc vuông và bốn cạnh bằng nhau
-
D.
Cả A,B,C đều sai
Thực hiện phép tính sau $\dfrac{{2x + 5}}{{5{x^2}{y^2}}} + \dfrac{8}{{5x{y^2}}} + \dfrac{{2x - 1}}{{{x^2}{y^2}}}$, ta được kết quả là:
-
A.
$\dfrac{4}{{{x^2}{y^2}}}$
-
B.
$\dfrac{2}{{x{y^2}}}$
-
C.
$\dfrac{4}{{5{x^2}{y^2}}}$
-
D.
$\dfrac{4}{{x{y^2}}}$
Chọn câu sai.
-
A.
${\left( {x - 1} \right)^3} + 2{\left( {x - 1} \right)^2} = {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {x + 1} \right)$.
-
B.
${\left( {x - 1} \right)^3} + 2\left( {x - 1} \right) = \left( {x - 1} \right)\left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 2} \right]$.
-
C.
${\left( {x - 1} \right)^3} + 2{\left( {x - 1} \right)^2} = \left( {x - 1} \right)\left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 2x - 2} \right]$.
-
D.
${\left( {x - 1} \right)^3} + 2{\left( {x - 1} \right)^2} $$= \left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)$.
Đa thức P trong đẳng thức \(\dfrac{{5{{(y - x)}^2}}}{{5{x^2} - 5xy}} = \dfrac{{x - y}}{P}\) là:
-
A.
\(P = x + y\)
-
B.
\(P = 5(x - y)\)
-
C.
\(P = 5(y - x)\)
-
D.
\(P = x\)
Phân thức \(\dfrac{{ - 2{z^2}}}{{5y}}\) là kết quả của tích
-
A.
\(\dfrac{{ - 27{z^4}}}{{6{y^3}z}}.\dfrac{{2{y^2}}}{{ - 45{x^2}z}}\) .
-
B.
\(\dfrac{{ - 9x{z^4}}}{{18{y^3}z}}.\dfrac{{8x{y^2}}}{{ - 45{x^2}z}}\).
-
C.
\(\dfrac{{ - 27x{z^4}}}{{6{y^3}{z^2}}}.\dfrac{{4x{y^2}}}{{ - 45{x^2}}}\).
-
D.
\(\dfrac{{ - 27x{z^4}}}{{18{y^3}z}}.\dfrac{{4x{y^2}}}{{15{x^2}z}}\).
Phân tích đa thức \(mx + my + m\) thành nhân tử ta được
-
A.
\(m\left( {x + y + 1} \right)\).
-
B.
\(m\left( {x + y + m} \right)\).
-
C.
\(m\left( {x + y} \right)\).
-
D.
\(m\left( {x + y - 1} \right)\)
Chọn câu đúng.
-
A.
\(\left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right) = {A^2} + 2AB + {B^2}\)
-
B.
\(\left( {A + B} \right)\left( {A - B} \right) = {A^2} - {B^2}\)
-
C.
\(\left( {A + B} \right)\left( {A - B} \right) = {A^2} - 2AB + {B^2}\)
-
D.
\(\left( {A + B} \right)\left( {A - B} \right) = {A^2} + {B^2}\)
Viết biểu thức \({x^3} - 6{x^2} + 12x - 8\) dưới dạng lập phương của một hiệu
-
A.
\({\left( {x + 4} \right)^3}\).
-
B.
\({\left( {x - 4} \right)^3}\).
-
C.
\({\left( {x + 2} \right)^3}\).
-
D.
\({\left( {x - 2} \right)^3}\).
Rút gọn đa thức \(16{x^2} - 4x + \dfrac{1}{4}\) ta được kết quả nào sau đây?
-
A.
\({\left( {4x - \dfrac{1}{2}} \right)^2}\)
-
B.
\({\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2}\)
-
C.
\({\left( {4x + \dfrac{1}{2}} \right)^2}\)
-
D.
\({\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2}\)
Hãy chọn câu đúng:
-
A.
Diện tích tam giác vuông bằng nửa tích hai cạnh góc vuông
-
B.
Diện tích hình chữ nhật bằng nửa tích hai kích thước của nó
-
C.
Diện tích hình vuông có cạnh \(a\) là $2a$
-
D.
Tất cả các đáp án trên đều đúng
Cho $x + y = 3$. Tính giá trị của biểu thức: $A = {x^2} + 2xy + {y^2} - 4x - 4y + 1$.
-
A.
\(\dfrac{1}{2}\)
-
B.
\(1\)
-
C.
\(2\)
-
D.
$ - 2$
Hãy chọn câu đúng?
Cho \(\Delta ABC\), \(I,K\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(BC\). Biết \(AC = 10\,cm\). Ta có:
-
A.
\(IK = 4\,cm\)
-
B.
\(IK = 5\,cm\)
-
C.
\(IK = 3,5\,cm\)
-
D.
\(IK = 10\,cm\)
Các phân thức \(\dfrac{1}{{4x - 12}};\dfrac{1}{{4x + 12}};\dfrac{4}{{9 - {x^2}}}\) có mẫu chung là:
-
A.
\(4{\left( {x + 3} \right)^2}\)
-
B.
\(4\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)\)
-
C.
\(\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)\)
-
D.
\(4{\left( {x - 3} \right)^2}\)
Kết quả của tổng \(\dfrac{x}{{xy - {y^2}}} + \dfrac{{2x - y}}{{xy - {x^2}}}\) là
-
A.
\(\dfrac{{ - x + y}}{{xy}}\).
-
B.
\(\dfrac{{x - y}}{x}\).
-
C.
\(\dfrac{{x - y}}{y}\).
-
D.
\(\dfrac{{x - y}}{{xy}}\).
Rút gọn phân thức \(\dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2} - {c^2}}}{{a + b + c}}\) ta được phân thức có tử là
-
A.
$a - b - c$
-
B.
$a + b + c$
-
C.
$a - b + c$
-
D.
$a + b - c$
Phân tích đa thức thành nhân tử: \(5{x^2} + 10xy - 4x - 8y\)
-
A.
\(\left( {5x - 2y} \right)\left( {x + 4y} \right)\)
-
B.
\(\left( {5x + 4} \right)\left( {x - 2y} \right)\)
-
C.
\(\left( {x + 2y} \right)\left( {5x - 4} \right)\)
-
D.
\(\left( {5x - 4} \right)\left( {x - 2y} \right)\)
Cho \(M = \left( {\dfrac{{x + 1}}{{x - 1}} - \dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right):\dfrac{{4x}}{{3x - 3}}\) .
Rút gọn \(M\) ta được
-
A
\(M = \dfrac{{12}}{{x + 1}}\).
-
B
\(M = \dfrac{3}{{x + 1}}\).
-
C
\(M = \dfrac{{ - 3}}{{x + 1}}\).
-
D
\(M = \dfrac{3}{{x - 1}}\).
Tính \(M\) khi \(x = \dfrac{1}{2}\) .
-
A
\(M = 2\).
-
B
\(M = \dfrac{1}{2}\).
-
C
\(M = 3\).
-
D
\(M = \dfrac{1}{6}\).
Để \(M = - 1\) thì giá trị của \(x\) là
-
A
\(x = 2\).
-
B
\(x = 4\).
-
C
\(x = - 4\).
-
D
\(x = - 2\).
Có bao nhiêu \(x\) nguyên để \(M\) có giá trị nguyên.
-
A
\(2\)
-
B
\(3\)
-
C
\(4\)
-
D
\(1\)
Giá trị của biểu thức \(Q = {a^3} + {b^3}\) biết \(a + b = 5\) và \(a.b = - 3\).
-
A.
\(Q = 170\)
-
B.
\(Q = 140\)
-
C.
\(Q = 80\)
-
D.
\(Q = - 170\)
Cho \({x_1}\) và \({x_2}\) là hai giá trị thỏa mãn \(x\left( {5 - 10x} \right) - 3\left( {10x - 5} \right) = 0\) . Khi đó \({x_1} + {x_2}\) bằng
-
A.
$\dfrac{1}{2}$.
-
B.
\( - 3\).
-
C.
\(\dfrac{{ - 5}}{2}\).
-
D.
$\dfrac{{ - 7}}{2}$.
Ta có \((x - 1)(x - 2)(x + 4)(x + 5) - 27 = \left( {{x^2} + 3x + a} \right)\left( {{x^2} + 3x + b} \right)\) với \(a,\,b\) là các số nguyên . Khi đó \(a + b\) bằng
-
A.
\(12\).
-
B.
\(14\).
-
C.
\( - 12\).
-
D.
\( - 14\).
Để đa thức \({x^3} + a{x^2} - 4\) chia hết cho \({x^2} + 4x + 4\) thì giá trị của \(a\) là
-
A.
\(a = - 6\).
-
B.
\(a = 6\).
-
C.
\(a = - 3\).
-
D.
\(a = 3\).
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = {x^2} - x + 1\) là:
-
A.
\(\dfrac{2}{4}\)
-
B.
\(\dfrac{3}{4}\)
-
C.
\(1\)
-
D.
\( - \dfrac{3}{4}\)
Rút gọn phân thức \(B = \dfrac{{x|x - 2|}}{{{x^3} - 5{x^2} + 6x}}\) ta được:
-
A.
\(B = \dfrac{1}{{x - 3}}\) khi \(x \ge 2; x \ne 3\)
-
B.
\(B = \dfrac{1}{{3 - x}}\) khi \(x < 2; x \ne 0\)
-
C.
\(B = \dfrac{1}{{x - 3}}\)
-
D.
Cả A, B đều đúng
Cho các phân thức \(\dfrac{{11x}}{{3x - 3}};\,\dfrac{5}{{4 - 4x}};\dfrac{{2x}}{{{x^2} - 1}}\) .
Bạn Nam nói rằng mẫu thức chung của các phân thức trên là \(6\left( {x - 1} \right){\left( {x + 1} \right)^2}\) .
Bạn Minh nói rằng mẫu thức chung của các phân thức trên là \(4\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\)
Chọn câu đúng.
-
A.
Bạn Nam đúng, bạn Minh sai.
-
B.
Bạn Nam sai, bạn Minh đúng.
-
C.
Hai bạn đều sai.
-
D.
Hai bạn đều đúng.
Kết luận nào sau đây là đúng khi nói về giá trị của biểu thức \(M = \dfrac{{10}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {3 - x} \right)}} - \dfrac{{12}}{{\left( {3 - x} \right)\left( {3 + x} \right)}} - \dfrac{1}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 2} \right)}}\) với \(x = - 0,25\)?
-
A.
\(M = 16\).
-
B.
\(M > 1\).
-
C.
\(M < 0\).
-
D.
\(0 < M < 1\).
Thu gọn biểu thức \(A = \dfrac{{3x + 21}}{{{x^2} - 9}} + \dfrac{2}{{x + 3}} - \dfrac{3}{{x - 3}}\) ta được
-
A.
\(\dfrac{{ - 2}}{{x - 3}}\) .
-
B.
\(\dfrac{{2x}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\).
-
C.
\(\dfrac{2}{{x + 3}}\).
-
D.
\(\dfrac{2}{{x - 3}}\).
Cho tam giác $ABC$, các đường trung tuyến $BD$ và $CE$ cắt nhau ở $G$. Gọi $I,K$ theo thứ tự là trung điểm của $GB,GC$. Trong các câu sau câu nào đúng?
-
A.
$DE//IK$
-
B.
$DE = IK$
-
C.
Cả A và B đều đúng
-
D.
Cả A và B đều sai.
Độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông có các cạnh góc vuông bằng $6\,cm$ , $8\,cm$ là:
-
A.
$10\,cm$
-
B.
$9\,cm\;\;\;\;$
-
C.
$5\,cm\;\;\;\;$
-
D.
$8\,cm$
Cho tam giác $ABC$ . Trên các cạnh $AB$ và $AC$ lần lượt lấy hai điểm $D$ và $E$ sao cho $BD = CE$ . Gọi $M,N,P,Q$ thứ tự là trung điểm của $BE,CD,DE$ và $BC$ . Chọn câu đúng nhất.
-
A.
$PQ$ vuông góc với$MN$ .
-
B.
Tứ giác \(PMQN\) là hình thoi.
-
C.
Cả A, B đều đúng.
-
D.
Cả A, B đều sai.
Cho hình thoi $ABCD$ có hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $O.$ Biết \(OA = 12cm\), diện tích hình thoi $ABCD$ là \(168c{m^2}\). Cạnh của hình thoi là:
-
A.
\(\sqrt {190} (cm)\)
-
B.
\(\sqrt {180} (cm)\)
-
C.
\(\sqrt {193} (cm)\)
-
D.
\(\sqrt {195} (cm)\)
Cho hình vuông $ABCD,{\rm{ }}E$ là một điểm trên cạnh $CD.$ Tia phân giác của góc $BAE$ cắt $BC$ tại $M.$ Chọn câu đúng.
-
A.
\(AM = ME\)
-
B.
\(AM < ME\)
-
C.
\(AM \le 2ME\)
-
D.
\(AM > 2ME\)
Cho \(a,b,c\) là các số thỏa mãn điều kiện \(a = b + c.\) Khi đó
-
A.
\(\dfrac{{{a^3} + {b^3}}}{{{a^3} + {c^3}}} = \dfrac{{a + b}}{{a + c}}\)
-
B.
\(\dfrac{{{a^3} + {b^3}}}{{{a^3} + {c^3}}} = \dfrac{{a + c}}{{a + b}}\)
-
C.
\(\dfrac{{{a^3} + {b^3}}}{{{a^3} + {c^3}}} = \dfrac{{b + c}}{{a + b}}\)
-
D.
\(\dfrac{{{a^3} + {b^3}}}{{{a^3} + {c^3}}} = \dfrac{{b + c}}{{a + c}}\)
Tam giác $ABC$ có hai trung tuyến $AM$ và $BN$ vuông góc với nhau. Hãy tính diện tích tam giác đó theo hai cạnh $AM$ và $BN.$
-
A.
\({S_{ABC}} = AM.BN\)
-
B.
\({S_{ABC}} = \dfrac{3}{2}AM.BN\)
-
C.
\({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AM.BN\)
-
D.
\({S_{ABC}} = \dfrac{2}{3}AM.BN\)
Lời giải và đáp án
Trong các tứ giác sau, tứ giác nào là hình có \(4\) trục đối xứng?
-
A.
Hình chữ nhật
-
B.
Hình vuông
-
C.
Hình bình hành
-
D.
Hình thoi
Đáp án : B
+ Dựa vào tính chất của các hình để suy ra trục đối xứng
+) Hình vuông là tứ giác có 4 trục đối xứng.
+) Hình chữ nhật có 2 trục đối xứng là hai đường trung trực của các cạnh.
+) Hình bình hành không có trục đối xứng.
+) Hình thoi có 2 trục đối xứng là 2 đường chéo.
Cho tứ giác $ABCD$ có \(BC = CD\) và $DB$ là tia phân giác của góc \(D\). Chọn khẳng định đúng
-
A.
\(ABCD\) là hình thang
-
B.
\(ABCD\) là hình thang vuông
-
C.
\(ABCD\) là hình thang cân
-
D.
Cả A, B, C đều sai.
Đáp án : A
Chứng minh $AD{\rm{//}}BC$ suy ra \(ABCD\) là hình thang.
Xét \(\Delta BCD\) có \(BC = CD(gt)\) nên \(\Delta BCD\) là tam giác cân.
Suy ra \(\widehat {CBD} = \widehat {CDB}\)
Vì $DB$ là tia phân giác góc $D$ của tứ giác $ABCD$ nên \(\widehat {ADB} = \widehat {CDB}\)
Do đó \(\widehat {CBD} = \widehat {ADB}\)
Mà hai góc \(\widehat {CBD}\) và \(\widehat {ADB}\) là hai góc ở vị trí so le trong nên suy ra \(BC//AD\) .
Tứ giác $ABCD$ có $AD//BC$ (cmt) nên là hình thang.
Phân thức $\dfrac{{5x - 7}}{{3{x^2} + 6x}}$ xác định khi:
-
A.
$x \ne 0$
-
B.
$x \ne - 2$
-
C.
$x \ne - 2;x \ne 0$
-
D.
$x \ne 3;x \ne - 2;x \ne 0$
Đáp án : C
ĐKXĐ của phân thức: Mẫu thức khác 0.
ĐK: \(3{x^2} + 6x \ne 0 \Leftrightarrow 3x\left( {x + 2} \right) \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ne 0\\
x \ne - 2
\end{array} \right.\)
Chọn câu đúng.
-
A.
Đường trung bình của hình thang là đường nối trung điểm hai cạnh đáy hình thang.
-
B.
Đường trung bình của tam giác là đoạn nối trung điểm hai cạnh của tam giác.
-
C.
Trong một tam giác chỉ có một đường trung bình.
-
D.
Đường trung bình của tam giác là đường nối từ một đỉnh đến trung điểm cạnh đối diện.
Đáp án : B
Ta sử dụng định nghĩa đường trung bình của tam giác và hình thang.
+ Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác nên B đúng.
+ Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang nên A, D sai.
+ Trong một tam giác có ba đường trung bình nên C sai.
Hình vuông là tứ giác có
-
A.
Có bốn cạnh bằng nhau
-
B.
Có bốn góc bằng nhau
-
C.
Có bốn góc vuông và bốn cạnh bằng nhau
-
D.
Cả A,B,C đều sai
Đáp án : C
Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và bốn cạnh bằng nhau.
Thực hiện phép tính sau $\dfrac{{2x + 5}}{{5{x^2}{y^2}}} + \dfrac{8}{{5x{y^2}}} + \dfrac{{2x - 1}}{{{x^2}{y^2}}}$, ta được kết quả là:
-
A.
$\dfrac{4}{{{x^2}{y^2}}}$
-
B.
$\dfrac{2}{{x{y^2}}}$
-
C.
$\dfrac{4}{{5{x^2}{y^2}}}$
-
D.
$\dfrac{4}{{x{y^2}}}$
Đáp án : D
Qui đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức
Rút gọn phân thức thu được
$\dfrac{{2x + 5}}{{5{x^2}{y^2}}} + \dfrac{8}{{5x{y^2}}} + \dfrac{{2x - 1}}{{{x^2}{y^2}}} = \dfrac{{2x + 5 + 8x + 10x - 5}}{{5{x^2}{y^2}}} = \dfrac{{20x}}{{5{x^2}{y^2}}} = \dfrac{4}{{x{y^2}}}.$
Chọn câu sai.
-
A.
${\left( {x - 1} \right)^3} + 2{\left( {x - 1} \right)^2} = {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {x + 1} \right)$.
-
B.
${\left( {x - 1} \right)^3} + 2\left( {x - 1} \right) = \left( {x - 1} \right)\left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 2} \right]$.
-
C.
${\left( {x - 1} \right)^3} + 2{\left( {x - 1} \right)^2} = \left( {x - 1} \right)\left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 2x - 2} \right]$.
-
D.
${\left( {x - 1} \right)^3} + 2{\left( {x - 1} \right)^2} $$= \left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)$.
Đáp án : D
Ta có ${\left( {x - 1} \right)^3} + 2{\left( {x - 1} \right)^2} = {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {x - 1} \right) + 2.{\left( {x - 1} \right)^2} = {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {x - 1 + 2} \right) = {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {x + 1} \right)$ nên A đúng
+) ${\left( {x - 1} \right)^3} + 2\left( {x - 1} \right) $$= \left( {x - 1} \right).{\left( {x - 1} \right)^2} + 2\left( {x - 1} \right) $$= \left( {x - 1} \right)\left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 2} \right]$ nên B đúng
+) ${\left( {x - 1} \right)^3} + 2{\left( {x - 1} \right)^2} $$= \left( {x - 1} \right){\left( {x - 1} \right)^2} + 2\left( {x - 1} \right)\left( {x - 1} \right) $$= \left( {x - 1} \right)\left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 2\left( {x - 1} \right)} \right] $$=\left( {x - 1} \right)\left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + 2x - 2} \right]$
nên C đúng.
+) ${\left( {x - 1} \right)^3} + 2{\left( {x - 1} \right)^2} $\( = {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {x - 1 + 2} \right) \)\(= {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {x + 1} \right)\)
$ \ne \left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)$
nên D sai.
Đa thức P trong đẳng thức \(\dfrac{{5{{(y - x)}^2}}}{{5{x^2} - 5xy}} = \dfrac{{x - y}}{P}\) là:
-
A.
\(P = x + y\)
-
B.
\(P = 5(x - y)\)
-
C.
\(P = 5(y - x)\)
-
D.
\(P = x\)
Đáp án : D
Biến đổi phân thức vế trái sao cho có tử thức bằng với tử thức bên vế phải
Từ đó tìm ra đa thức \(P.\)
Ta có: \(\dfrac{{5{{(y - x)}^2}}}{{5{x^2} - 5xy}} = \dfrac{{5{{(x - y)}^2}}}{{5x(x - y)}} = \dfrac{{x - y}}{x} \Rightarrow \dfrac{{x - y}}{x} = \dfrac{{x - y}}{P} \Rightarrow P = x.\)
Phân thức \(\dfrac{{ - 2{z^2}}}{{5y}}\) là kết quả của tích
-
A.
\(\dfrac{{ - 27{z^4}}}{{6{y^3}z}}.\dfrac{{2{y^2}}}{{ - 45{x^2}z}}\) .
-
B.
\(\dfrac{{ - 9x{z^4}}}{{18{y^3}z}}.\dfrac{{8x{y^2}}}{{ - 45{x^2}z}}\).
-
C.
\(\dfrac{{ - 27x{z^4}}}{{6{y^3}{z^2}}}.\dfrac{{4x{y^2}}}{{ - 45{x^2}}}\).
-
D.
\(\dfrac{{ - 27x{z^4}}}{{18{y^3}z}}.\dfrac{{4x{y^2}}}{{15{x^2}z}}\).
Đáp án : D
Bước 1: Thực hiện phép nhân phân thức: Muốn nhân hai phân thức , ta nhân tử thức với nhau, mẫu thức với nhau.
Bước 2: Rút gọn phân thức thu được.
Ta có \(\dfrac{{ - 27{z^4}}}{{6{y^3}z}}.\dfrac{{2{y^2}}}{{ - 45{x^2}z}}\)\( = \dfrac{{ - 27{z^4}.2{y^2}}}{{6{y^3}z.\left( { - 45{x^2}z} \right)}} = \dfrac{{ - 54.{z^4}{y^2}}}{{ - 270.{x^2}{y^3}{z^2}}} = \dfrac{{{z^2}}}{{5{x^2}y}}\) nên A sai.
* \(\dfrac{{ - 9x{z^4}}}{{18{y^3}z}}.\dfrac{{8x{y^2}}}{{ - 45{x^2}z}}\)\( = \dfrac{{ - 72.{x^2}{y^2}{z^4}}}{{ - 810{x^2}{y^3}{z^2}}} = \dfrac{{4{z^2}}}{{45y}}\) nên B sai.
* \(\dfrac{{ - 27x{z^4}}}{{6{y^3}{z^2}}}.\dfrac{{4x{y^2}}}{{ - 45{x^2}}}\)\( = \dfrac{{ - 108{x^2}{y^2}{z^4}}}{{ - 270{x^2}{y^3}{z^2}}} = \dfrac{{2{z^2}}}{{5y}}\) nên C sai.
* \(\dfrac{{ - 27x{z^4}}}{{18{y^3}z}}.\dfrac{{4x{y^2}}}{{15{x^2}z}}\)\( = \dfrac{{ - 108{x^2}{y^2}{z^4}}}{{270{x^2}{y^3}{z^2}}} = \dfrac{{ - 2{z^2}}}{{5y}}\) nên D đúng.
Phân tích đa thức \(mx + my + m\) thành nhân tử ta được
-
A.
\(m\left( {x + y + 1} \right)\).
-
B.
\(m\left( {x + y + m} \right)\).
-
C.
\(m\left( {x + y} \right)\).
-
D.
\(m\left( {x + y - 1} \right)\)
Đáp án : A
Ta có \(mx + my + m\)\( = m\left( {x + y + 1} \right)\)
Chọn câu đúng.
-
A.
\(\left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right) = {A^2} + 2AB + {B^2}\)
-
B.
\(\left( {A + B} \right)\left( {A - B} \right) = {A^2} - {B^2}\)
-
C.
\(\left( {A + B} \right)\left( {A - B} \right) = {A^2} - 2AB + {B^2}\)
-
D.
\(\left( {A + B} \right)\left( {A - B} \right) = {A^2} + {B^2}\)
Đáp án : B
Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: \(x^2-y^2=(x-y)(x+y)\)
Ta có \({A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)\)
Viết biểu thức \({x^3} - 6{x^2} + 12x - 8\) dưới dạng lập phương của một hiệu
-
A.
\({\left( {x + 4} \right)^3}\).
-
B.
\({\left( {x - 4} \right)^3}\).
-
C.
\({\left( {x + 2} \right)^3}\).
-
D.
\({\left( {x - 2} \right)^3}\).
Đáp án : D
Sử dụng công thức lập phương của một hiệu \({A^3} - 3{A^2}B + 3A{B^2} - {B^3} = {\left( {A - B} \right)^3}\)
Ta có \({x^3} - 6{x^2} + 12x - 8 \)\(= {x^3} - 3.{x^2}.2 + 3.x{.2^2} - {2^3} \)\(= {\left( {x - 2} \right)^3}\)
Rút gọn đa thức \(16{x^2} - 4x + \dfrac{1}{4}\) ta được kết quả nào sau đây?
-
A.
\({\left( {4x - \dfrac{1}{2}} \right)^2}\)
-
B.
\({\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2}\)
-
C.
\({\left( {4x + \dfrac{1}{2}} \right)^2}\)
-
D.
\({\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2}\)
Đáp án : A
Sử dụng hằng đẳng thức \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\)
\(16{x^2} - 4x + \dfrac{1}{4} = {\left( {4x} \right)^2} - 2.4x.\dfrac{1}{2} + {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} = {\left( {4x - \dfrac{1}{2}} \right)^2}\)
Hãy chọn câu đúng:
-
A.
Diện tích tam giác vuông bằng nửa tích hai cạnh góc vuông
-
B.
Diện tích hình chữ nhật bằng nửa tích hai kích thước của nó
-
C.
Diện tích hình vuông có cạnh \(a\) là $2a$
-
D.
Tất cả các đáp án trên đều đúng
Đáp án : A
Dựa vào công thức tính diện tích hình chữ nhật, hình vuông, tam giác vuông
+) Diện tích hình chữ nhật bằng tích hai kích thước của nó.
+) Diện tích hình vuông có cạnh a là \({a^2}.\)
+) Diện tích tam giác vuông bằng nửa tích hai cạnh góc vuông của tam giác vuông đó.
Cho $x + y = 3$. Tính giá trị của biểu thức: $A = {x^2} + 2xy + {y^2} - 4x - 4y + 1$.
-
A.
\(\dfrac{1}{2}\)
-
B.
\(1\)
-
C.
\(2\)
-
D.
$ - 2$
Đáp án : D
Sử dụng hằng đẳng thức \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\) và nhóm các hạng tử để biến đổi \(A\) sao cho xuất hiện hạng tử \(x + y.\)
\(A = {x^2} + 2xy + {y^2} - 4x - 4y + 1 \)\(= \left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right) - \left( {4x + 4y} \right) + 1 \)\(= {\left( {x + y} \right)^2} - 4\left( {x + y} \right) + 1\)
Tại $x + y = 3$ , ta có: \(A = {3^2} - 4.3 + 1 = - 2\)
Hãy chọn câu đúng?
Cho \(\Delta ABC\), \(I,K\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(BC\). Biết \(AC = 10\,cm\). Ta có:
-
A.
\(IK = 4\,cm\)
-
B.
\(IK = 5\,cm\)
-
C.
\(IK = 3,5\,cm\)
-
D.
\(IK = 10\,cm\)
Đáp án : B
Ta sử dụng định lý đường trung bình của tam giác để tính độ dài.
Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
+ Vì \(I,K\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(BC\) nên \(IK\) là đường trung bình của tam giác \(ABC \Rightarrow IK = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{2}.10 = 5\,cm\).
Vậy \(IK = 5\,cm\).
Các phân thức \(\dfrac{1}{{4x - 12}};\dfrac{1}{{4x + 12}};\dfrac{4}{{9 - {x^2}}}\) có mẫu chung là:
-
A.
\(4{\left( {x + 3} \right)^2}\)
-
B.
\(4\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)\)
-
C.
\(\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)\)
-
D.
\(4{\left( {x - 3} \right)^2}\)
Đáp án : B
Tìm mẫu chung:
+ Phân tích phần hệ số thành thừa số nguyên tố và phần biến thành nhân tử.
+ Mẫu chung bao gồm: phần hệ số là BCNN của các hệ số của mẫu và phần biến là tích giữa các nhân tử chung và riêng mỗi nhân tử lấy số mũ lớn nhất.
Ta có các phân thức: \(\dfrac{1}{{4x - 12}};\dfrac{1}{{4x + 12}};\dfrac{4}{{9 - {x^2}}}\) có mẫu lần lượt là:
\(4x - 12 = 4\left( {x - 3} \right);4x + 12 = 4\left( {x + 3} \right);\)\(9 - {x^2} = - \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)\)
Nên mẫu thức chung có phần hệ số là \(4\) và phần biến số là \(\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)\).
Hay mẫu thức chung là \(4\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)\).
Kết quả của tổng \(\dfrac{x}{{xy - {y^2}}} + \dfrac{{2x - y}}{{xy - {x^2}}}\) là
-
A.
\(\dfrac{{ - x + y}}{{xy}}\).
-
B.
\(\dfrac{{x - y}}{x}\).
-
C.
\(\dfrac{{x - y}}{y}\).
-
D.
\(\dfrac{{x - y}}{{xy}}\).
Đáp án : D
Bước 1: Quy đồng mẫu thức. Sử dụng \(\dfrac{A}{{ - B}} = \dfrac{{ - A}}{B}\) tìm mẫu chung.
Bước 2: Thực hiện phép cộng (trừ) các phân thức cùng mẫu: Cộng hoặc trừ tử với tử, mẫu chung giữa nguyên.
Bước 3: Phân tích tử số thành nhân tử để rút gọn phân thức ( nếu có thể).
Ta có \(\dfrac{x}{{xy - {y^2}}} + \dfrac{{2x - y}}{{xy - {x^2}}}\)\( = \dfrac{x}{{y\left( {x - y} \right)}} + \dfrac{{2x - y}}{{x\left( {y - x} \right)}}\)\( = \dfrac{x}{{y\left( {x - y} \right)}} - \dfrac{{2x - y}}{{x\left( {x - y} \right)}} = \dfrac{{{x^2} - y\left( {2x - y} \right)}}{{xy\left( {x - y} \right)}}\)
\( = \dfrac{{{x^2} - 2xy + {y^2}}}{{xy\left( {x - y} \right)}} = \dfrac{{{{\left( {x - y} \right)}^2}}}{{xy\left( {x - y} \right)}} = \dfrac{{x - y}}{{xy}}\).
Rút gọn phân thức \(\dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2} - {c^2}}}{{a + b + c}}\) ta được phân thức có tử là
-
A.
$a - b - c$
-
B.
$a + b + c$
-
C.
$a - b + c$
-
D.
$a + b - c$
Đáp án : D
- Phân tích tử số thành nhân tử.
- Xác định nhân tử chung.
- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.
Ta có \(\dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2} - {c^2}}}{{a + b + c}} = \dfrac{{\left( {a + b + c} \right)\left( {a + b - c} \right)}}{{\left( {a + b + c} \right)}} = \dfrac{{a + b - c}}{1}\).
Phân tích đa thức thành nhân tử: \(5{x^2} + 10xy - 4x - 8y\)
-
A.
\(\left( {5x - 2y} \right)\left( {x + 4y} \right)\)
-
B.
\(\left( {5x + 4} \right)\left( {x - 2y} \right)\)
-
C.
\(\left( {x + 2y} \right)\left( {5x - 4} \right)\)
-
D.
\(\left( {5x - 4} \right)\left( {x - 2y} \right)\)
Đáp án : C
Nhóm hạng tử thứ 1 với hạng tử thứ 2 và nhóm hạng tử thứ 3 với hạng tử thứ 4 để xuất hiện nhân tử chung.
Đặt nhân tử chung để được tích của các đa thức.
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,5{x^2} + 10xy - 4x - 8y = \left( {5{x^2} + 10xy} \right) - \left( {4x + 8y} \right)\\ = 5x\left( {x + 2y} \right) - 4\left( {x + 2y} \right) = \left( {5x - 4} \right)\left( {x + 2y} \right)\end{array}\)
Cho \(M = \left( {\dfrac{{x + 1}}{{x - 1}} - \dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right):\dfrac{{4x}}{{3x - 3}}\) .
Rút gọn \(M\) ta được
-
A
\(M = \dfrac{{12}}{{x + 1}}\).
-
B
\(M = \dfrac{3}{{x + 1}}\).
-
C
\(M = \dfrac{{ - 3}}{{x + 1}}\).
-
D
\(M = \dfrac{3}{{x - 1}}\).
Đáp án: B
Ta sử dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia các phân thức và các hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức.
Ta có \(M = \left( {\dfrac{{x + 1}}{{x - 1}} - \dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right):\dfrac{{4x}}{{3x - 3}}\) ĐK: \(x \ne \pm 1\)
\( = \left[ {\dfrac{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} - \dfrac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}} \right]:\dfrac{{4x}}{{3\left( {x - 1} \right)}}\) \( = \dfrac{{{x^2} + 2x + 1 - {x^2} + 2x - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}.\dfrac{{3\left( {x - 1} \right)}}{{4x}}\) \( = \dfrac{{4x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}.\dfrac{{3\left( {x - 1} \right)}}{{4x}} = \dfrac{3}{{x + 1}}\) .
Vậy \(M = \dfrac{3}{{x + 1}}\) .
Tính \(M\) khi \(x = \dfrac{1}{2}\) .
-
A
\(M = 2\).
-
B
\(M = \dfrac{1}{2}\).
-
C
\(M = 3\).
-
D
\(M = \dfrac{1}{6}\).
Đáp án: A
Thay \(x = \dfrac{1}{2}\) vào \(M\) rồi tính.
Thay \(x = \dfrac{1}{2}\) (TMĐK) vào \(M = \dfrac{3}{{x + 1}}\) ta được \(M = \dfrac{3}{{\dfrac{1}{2} + 1}} = \dfrac{3}{{\dfrac{3}{2}}} = 3:\dfrac{3}{2} = 3.\dfrac{2}{3} = 2\) . Vậy với \(x = \dfrac{1}{2}\) thì \(M = 2\) .
Để \(M = - 1\) thì giá trị của \(x\) là
-
A
\(x = 2\).
-
B
\(x = 4\).
-
C
\(x = - 4\).
-
D
\(x = - 2\).
Đáp án: C
Bước 1: Cho \(M = - 1\) , quy đồng mẫu rồi tìm \(x\) .
Bước 2: So sánh điều kiện xác định rồi kết luận
Để \(M = - 1\) thì \(\dfrac{3}{{x + 1}} = - 1 \Leftrightarrow \dfrac{3}{{x + 1}} = \dfrac{{ - x - 1}}{{x + 1}} \Rightarrow - x - 1 = 3 \Leftrightarrow x = - 4\,\left( {TM} \right)\) .
Vậy \(x = - 4\) .
Có bao nhiêu \(x\) nguyên để \(M\) có giá trị nguyên.
-
A
\(2\)
-
B
\(3\)
-
C
\(4\)
-
D
\(1\)
Đáp án: C
Bước 1: Để \(M = \dfrac{a}{B}\) có giá trị nguyên thì \(B \in \) Ư\(\left( a \right)\) . Từ đó tìm được $x$ .
Bước 2: So sánh điều kiện \(x \ne \pm 1\) rồi kết luận.
ĐK: \(x \ne \pm 1\)
\(M\) có giá trị nguyên nghĩa là \(\dfrac{3}{{x + 1}}\) có giá trị nguyên
Suy ra \(3 \vdots \left( {x + 1} \right) \Rightarrow \left( {x + 1} \right) \in \) Ư\(\left( 3 \right) = \left\{ { - 1;1; - 3;3} \right\}\) .
+ \(x + 1 = 1 \Leftrightarrow x = 0\,\left( {TM} \right)\)
+ \(x + 1 = - 1 \Leftrightarrow x = - 2\,\left( {TM} \right)\)
+ \(x + 1 = 3 \Leftrightarrow x = 2\,\left( {TM} \right)\)
+ \(x + 1 = - 3 \Leftrightarrow x = - 4\,\left( {TM} \right)\)
Vậy \(x \in \left\{ { - 4; - 2;2;0} \right\}\)
Giá trị của biểu thức \(Q = {a^3} + {b^3}\) biết \(a + b = 5\) và \(a.b = - 3\).
-
A.
\(Q = 170\)
-
B.
\(Q = 140\)
-
C.
\(Q = 80\)
-
D.
\(Q = - 170\)
Đáp án : A
Dùng các hằng đẳng thức đã biết \({\left( {A + B} \right)^3} = {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}\)\( = {A^3} + {B^3} + 3AB\left( {A + B} \right)\) để biến đổi \(Q\) về các biểu thức chứa \(a + b\) và \(a.b\)
Ta có \({\left( {a + b} \right)^3} = {a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3}\)\( = {a^3} + {b^3} + 3ab\left( {a + b} \right)\)
Suy ra \({a^3} + {b^3} = {\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right)\)
Hay \(Q = {\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right)\)
Thay \(a + b = 5\) và \(a.b = - 3\) vào \(Q = {\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right)\) ta được \(Q = {5^3} - 3.\left( { - 3} \right).5 = 170\)
Vậy \(Q = 170\)
Cho \({x_1}\) và \({x_2}\) là hai giá trị thỏa mãn \(x\left( {5 - 10x} \right) - 3\left( {10x - 5} \right) = 0\) . Khi đó \({x_1} + {x_2}\) bằng
-
A.
$\dfrac{1}{2}$.
-
B.
\( - 3\).
-
C.
\(\dfrac{{ - 5}}{2}\).
-
D.
$\dfrac{{ - 7}}{2}$.
Đáp án : C
+ Sử dụng tính chất \(A = - \left( { - A} \right)\) để làm xuất hiện nhân tử chung.
+ Sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung để phân tích đa thức thành nhân tử.
+ Đưa về dạng \(A.B = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.\)
Ta có \(x\left( {5 - 10x} \right) - 3\left( {10x - 5} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x\left( {5 - 10x} \right) + 3\left( {5 - 10x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 3} \right)\left( {5 - 10x} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 3 = 0\\5 - 10x = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 3\\10x = 5\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 3\\x = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)
Nên \({x_1} = - 3;{x_2} = \dfrac{1}{2}\)\( \Rightarrow {x_1} + {x_2} = - 3 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{{ - 5}}{2}\)
Ta có \((x - 1)(x - 2)(x + 4)(x + 5) - 27 = \left( {{x^2} + 3x + a} \right)\left( {{x^2} + 3x + b} \right)\) với \(a,\,b\) là các số nguyên . Khi đó \(a + b\) bằng
-
A.
\(12\).
-
B.
\(14\).
-
C.
\( - 12\).
-
D.
\( - 14\).
Đáp án : D
Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ sau đó dùng hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử.
Gọi \(T = (x - 1)(x - 2)(x + 4)(x + 5) - 27\)\( = \left[ {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 4} \right)} \right].\left[ {\left( {x - 2} \right)\left( {x + 5} \right)} \right] - 27\)\( = \left( {{x^2} + 3x - 4} \right).\left( {{x^2} + 3x - 10} \right) - 27\)
Đặt \({x^2} + 3x - 7 = t \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 3x - 4 = t + 3\\{x^2} + 3x - 10 = t - 3\end{array} \right.\) từ đó ta có \(T = \left( {t - 3} \right)\left( {t + 3} \right) - 27 = {t^2} - 9 - 27 = {t^2} - 36 = \left( {t - 6} \right)\left( {t + 6} \right)\)
Thay \(t = {x^2} + 3x - 7\) ta được \(T = \left( {{x^2} + 3x - 7 - 6} \right)\left( {{x^2} + 3x - 7 + 6} \right)\)\( = \left( {{x^2} + 3x - 13} \right)\left( {{x^2} + 3x - 1} \right)\) suy ra \(a = - 13;b = - 1\, \Rightarrow a + b = - 14\)
Để đa thức \({x^3} + a{x^2} - 4\) chia hết cho \({x^2} + 4x + 4\) thì giá trị của \(a\) là
-
A.
\(a = - 6\).
-
B.
\(a = 6\).
-
C.
\(a = - 3\).
-
D.
\(a = 3\).
Đáp án : D
+ Sử dụng cách chia đa thức một biến đã sắp xếp.
+ Sử dụng nhận xét: Nếu phép chia có phần dư \(R = 0\) thì phép chia đó là phép chia hết.
Chú ý: \(Ax + B = 0\) với \(\forall x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.\) .
Để \({x^3} + a{x^2}-4\) chia hết cho \({x^2} + 4x + 4\) thì \(4\left( {3-a} \right).x-4a + 12 = 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4\left( {3 - a} \right) = 0\\12 - 4a = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow a = 3\).
Vậy \(a = 3\).
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = {x^2} - x + 1\) là:
-
A.
\(\dfrac{2}{4}\)
-
B.
\(\dfrac{3}{4}\)
-
C.
\(1\)
-
D.
\( - \dfrac{3}{4}\)
Đáp án : B
Biến đổi đưa về dạng \({\left( {x - a} \right)^2} + m\) rồi đánh giá \({\left( {x - a} \right)^2} + m \ge m\)
Giá trị nhỏ nhất của \({\left( {x - a} \right)^2} + m\) là \(m \Leftrightarrow x = a.\)
\(\begin{array}{l}A = {x^2} - x + 1 = {x^2} - 2.x.\dfrac{1}{2} + {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4} = {\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4} \ge \dfrac{3}{4}\\ \Rightarrow \;Min\;A = \dfrac{3}{4}\;\end{array}\)
Dấu “=” xảy ra khi \({\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} = 0\) hay \(x = \dfrac{1}{2}\).
Rút gọn phân thức \(B = \dfrac{{x|x - 2|}}{{{x^3} - 5{x^2} + 6x}}\) ta được:
-
A.
\(B = \dfrac{1}{{x - 3}}\) khi \(x \ge 2; x \ne 3\)
-
B.
\(B = \dfrac{1}{{3 - x}}\) khi \(x < 2; x \ne 0\)
-
C.
\(B = \dfrac{1}{{x - 3}}\)
-
D.
Cả A, B đều đúng
Đáp án : D
+ Phá dấu giá trị tuyệt đối \(\left| a \right| = \left\{ \begin{array}{l}a\,\,khi\,\,a \ge 0\\ - a\,\,khi\,\,a < 0\end{array} \right.\)
+ Phân tích tử và mẫu thành nhân tử theo từng trường hợp.
+ Rút gọn phân thức.
\(B = \dfrac{{x|x - 2|}}{{{x^3} - 5{x^2} + 6x}} = \dfrac{{x|x - 2|}}{{x({x^2} - 5x + 6)}} = \dfrac{{x|x - 2|}}{{x({x^2} - 2x - 3x + 6)}}\)\( = \dfrac{{x|x - 2|}}{{x{\rm{[}}x(x - 2) - 3(x - 2){\rm{]}}}} = \dfrac{{x|x - 2|}}{{x(x - 2)(x - 3)}}\)
Điều kiện: \(x \ne \left\{ {0;2;3} \right\}\)
Nếu \(x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > 2\) thì \(|x - 2| = x - 2 \Rightarrow B = \dfrac{{x(x - 2)}}{{x(x - 2)(x - 3)}} = \dfrac{1}{{x - 3}}.\)
Nếu \(x - 2 < 0 \Leftrightarrow x < 2\) thì \(|x - 2| = 2 - x \Rightarrow B = \dfrac{{x(2 - x)}}{{x(x - 2)(x - 3)}} = \dfrac{{x(x - 2)}}{{x(x - 2)(3 - x)}} = \dfrac{1}{{3 - x}}.\)
Vậy \(B = \dfrac{1}{{x - 3}}\) khi \(x \ge 2;x \ne 3\) và \(B = \dfrac{1}{{3 - x}}\) khi \(x < 2;x \ne 0\).
Cho các phân thức \(\dfrac{{11x}}{{3x - 3}};\,\dfrac{5}{{4 - 4x}};\dfrac{{2x}}{{{x^2} - 1}}\) .
Bạn Nam nói rằng mẫu thức chung của các phân thức trên là \(6\left( {x - 1} \right){\left( {x + 1} \right)^2}\) .
Bạn Minh nói rằng mẫu thức chung của các phân thức trên là \(4\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\)
Chọn câu đúng.
-
A.
Bạn Nam đúng, bạn Minh sai.
-
B.
Bạn Nam sai, bạn Minh đúng.
-
C.
Hai bạn đều sai.
-
D.
Hai bạn đều đúng.
Đáp án : C
* Tìm mẫu chung
+ Phân tích phần hệ số thành thừa số nguyên tố và phần biến thành nhân tử
+ Mẫu chung bao gồm: phần hệ số là BCNN của các hệ số của mẫu và phần biến là tích giữa các nhân tử chung và riêng mỗi nhân tử lấy số mũ lớn nhất.
Ta có \(\dfrac{{11x}}{{3x - 3}} = \dfrac{{11x}}{{3\left( {x - 1} \right)}};\,\dfrac{5}{{4 - 4x}} = \dfrac{{ - 5}}{{4\left( {x - 1} \right)}};\dfrac{{2x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)
Ta có BCNN\(\left( {3;4} \right) = 12\) nên mẫu chung của các phân thức trên là \(12\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 12\left( {{x^2} - 1} \right)\) .
Do đó cả hai bạn đều sai.
Kết luận nào sau đây là đúng khi nói về giá trị của biểu thức \(M = \dfrac{{10}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {3 - x} \right)}} - \dfrac{{12}}{{\left( {3 - x} \right)\left( {3 + x} \right)}} - \dfrac{1}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 2} \right)}}\) với \(x = - 0,25\)?
-
A.
\(M = 16\).
-
B.
\(M > 1\).
-
C.
\(M < 0\).
-
D.
\(0 < M < 1\).
Đáp án : D
Bước 1: Rút gọn biểu thức ( bằng cách thực hiện các phép cộng trừ các phân thức)
Bước 2: Thay giá trị cho trước của biến vào biểu thức và thực hiện phép tính.
Ta có \(M = \dfrac{{10}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {3 - x} \right)}} - \dfrac{{12}}{{\left( {3 - x} \right)\left( {3 + x} \right)}} - \dfrac{1}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 2} \right)}}\)\( = \dfrac{{10\left( {x + 3} \right) - 12\left( {x + 2} \right) - \left( {3 - x} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {3 - x} \right)\left( {x + 3} \right)}}\)
\( = \dfrac{{10x + 30 - 12x - 24 - 3 + x}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {3 - x} \right)\left( {x + 3} \right)}}\)\( = \dfrac{{ - x + 3}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {3 - x} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \dfrac{1}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}}\)
Thay \(x = - 0,25\) vào \(M = \dfrac{1}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}}\) ta được \(M = \dfrac{1}{{\left( { - 0,25 + 2} \right)\left( { - 0,25 + 3} \right)}} = \dfrac{{16}}{{77}}\) .
Thu gọn biểu thức \(A = \dfrac{{3x + 21}}{{{x^2} - 9}} + \dfrac{2}{{x + 3}} - \dfrac{3}{{x - 3}}\) ta được
-
A.
\(\dfrac{{ - 2}}{{x - 3}}\) .
-
B.
\(\dfrac{{2x}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\).
-
C.
\(\dfrac{2}{{x + 3}}\).
-
D.
\(\dfrac{2}{{x - 3}}\).
Đáp án : D
Bước 1: Quy đồng mẫu thức. ( dùng hằng đẳng thức ${a^2} - {b^2} = \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)$ )
Bước 2: Thực hiện phép cộng (trừ) các phân thức cùng mẫu: Cộng hoặc trừ tử với tử, mẫu chung giữ nguyên.
Bước 3: Phân tích tử thức thành nhân tử để rút gọn phân thức ( nếu có thể).
Ta có \(A = \dfrac{{3x + 21}}{{{x^2} - 9}} + \dfrac{2}{{x + 3}} - \dfrac{3}{{x - 3}}\)\( = \dfrac{{3x + 21}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \dfrac{{2\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} - \dfrac{{3\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\)
\( = \dfrac{{3x + 21 + 2x - 6 - 3x - 9}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \dfrac{{2x + 6}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\) \( = \dfrac{{2\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \dfrac{2}{{x - 3}}\) .
Cho tam giác $ABC$, các đường trung tuyến $BD$ và $CE$ cắt nhau ở $G$. Gọi $I,K$ theo thứ tự là trung điểm của $GB,GC$. Trong các câu sau câu nào đúng?
-
A.
$DE//IK$
-
B.
$DE = IK$
-
C.
Cả A và B đều đúng
-
D.
Cả A và B đều sai.
Đáp án : C
Bước 1: Sử dụng dấu hiệu nhận biết để chứng minh các đường thẳng lần lượt là các đường trung bình của các tam giác tương ứng.
Bước 2: Sau đó sử dụng định lý của các đường trung bình để suy ra các mỗi liên hệ giữa các đoạn thẳng.
Vì tam giác $ABC$ có $AE = EB,AD = DC$ nên $ED$ là đường trung bình, do đó \(ED{\rm{//}}BC,ED = \dfrac{1}{2}BC\).
Tương tự tam giác $GBC$ có $GI = IB,GK = KC$ nên $IK$ là đường trung bình, do đó $IK{\rm{//}}BC,IK = \dfrac{1}{2}BC$.
Suy ra $ED{\rm{//}}IK$ (cùng song song với $BC$); $ED = IK$ (cùng bằng $\dfrac{1}{2}BC$).
Độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông có các cạnh góc vuông bằng $6\,cm$ , $8\,cm$ là:
-
A.
$10\,cm$
-
B.
$9\,cm\;\;\;\;$
-
C.
$5\,cm\;\;\;\;$
-
D.
$8\,cm$
Đáp án : C
Bước 1: Áp dụng định lý Pytago để tính độ dài cạnh huyền.
Bước 2: Sử dụng tính chất trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền để tính độ dài đường trung tuyến.
Áp dụng định lý Pytago cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ta có:
$B{C^2} = A{C^2} + A{B^2}$ hay $B{C^2} = {6^2} + {8^2}$\( \Rightarrow \)$B{C^2} = 100$ . Suy ra $BC = 10\,\left( {cm} \right)$
Do $AH$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $BC$ nên
$AH = BC:2 = 10:2 = 5\left( {cm} \right)$
Cho tam giác $ABC$ . Trên các cạnh $AB$ và $AC$ lần lượt lấy hai điểm $D$ và $E$ sao cho $BD = CE$ . Gọi $M,N,P,Q$ thứ tự là trung điểm của $BE,CD,DE$ và $BC$ . Chọn câu đúng nhất.
-
A.
$PQ$ vuông góc với$MN$ .
-
B.
Tứ giác \(PMQN\) là hình thoi.
-
C.
Cả A, B đều đúng.
-
D.
Cả A, B đều sai.
Đáp án : C
+ Để chứng minh \(MN \bot PQ\) trước hết ta chứng minh $MNPQ$ là hình thoi dựa vào dấu hiệu tứ giác có bốn canh bằng nhau là hình thoi.
+ Ta nhận xét thấy $MN,PQ$ là hai đường chéo của hình thoi nên \(MN \bot PQ\).
Từ giả thiết ta có $MP,NP,NQ,QM$ lần lượt là các đường trung bình của các tam giác $BDE,ECD,DCB,BEC$ . (định nghĩa đường trung bình).
Đặt $BD = CE = 2a$ .
Áp dụng định lý đường trung bình và giả thiết vào bốn tam giác trên ta được:
\(MP = \dfrac{1}{2}BD = a;NQ = \dfrac{1}{2}DB = a;\)\(NP = \dfrac{1}{2}CE = a;MQ = \dfrac{1}{2}CE = a.\)
Suy ra $MN = NP = PQ = QM$ .
Tứ giác $MNPQ$ có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi.
Áp dụng tính chất về đường chéo vào hình thoi $MNPQ$ ta được: \(MN \bot PQ\).
Cho hình thoi $ABCD$ có hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $O.$ Biết \(OA = 12cm\), diện tích hình thoi $ABCD$ là \(168c{m^2}\). Cạnh của hình thoi là:
-
A.
\(\sqrt {190} (cm)\)
-
B.
\(\sqrt {180} (cm)\)
-
C.
\(\sqrt {193} (cm)\)
-
D.
\(\sqrt {195} (cm)\)
Đáp án : C
Tính $BO$, áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông $AOB$ để tính cạnh $AB$
Ta có:
\(AC = 2AO = 2.12 = 24cm\)
\(\begin{array}{l}{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{2}BD.AC \Rightarrow BD = \dfrac{{2{S_{ABCD}}}}{{AC}} = \dfrac{{2.168}}{{24}} = 14(cm)\\ \Rightarrow BO = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{1}{2}.14 = 7(cm)\end{array}\)
Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông AOB vuông tại O ta có:
\(AB = \sqrt {A{O^2} + B{O^2}} = \sqrt {{{12}^2} + {7^2}} = \sqrt {193} (cm)\)
Cho hình vuông $ABCD,{\rm{ }}E$ là một điểm trên cạnh $CD.$ Tia phân giác của góc $BAE$ cắt $BC$ tại $M.$ Chọn câu đúng.
-
A.
\(AM = ME\)
-
B.
\(AM < ME\)
-
C.
\(AM \le 2ME\)
-
D.
\(AM > 2ME\)
Đáp án : C
Vẽ $EF \bot AM(F \in AB)$
Chứng minh $EF = AM.$
Chứng minh tam giác $AEF$ cân đỉnh$A.$
Chỉ ra $ME = MF.$
Xét ba điểm $M,{\rm{ }}E,{\rm{ }}F$ ta có: \(EF \le ME + MF\) để suy ra hệ thức đúng.
Vẽ $EF \bot AM(F \in AB),EG \bot AB(G \in AB)$.
Tứ giác $AGED$ là hình chữ nhật( vì \(\widehat G = \widehat A = \widehat D = {90^0}\) ), suy ra $GE = AD.$
Lại thấy \(\widehat {FEG} = \widehat {MAB}\) (vì cùng phụ với \(\widehat {AFE}\) )
Xét \(\Delta GEF\) và \(\Delta BAM\)có: \(\widehat {EGF} = \widehat {ABM} = {90^0}\); $GE = AB{\rm{ }}\left( { = CD} \right);$\(\widehat {FEG} = \widehat {MAB}\)
Do đó \(\Delta GEF = \Delta BAM\)(g.c.g) suy ra $EF = AM.$
Tam giác $AEF$ có $AM$ là đường phân giác và là đường cao nên tam giác $AEF$ cân đỉnh $A.$
Ta có $AM$ là đường trung trực của $EF,$ nên $ME = MF.$
Xét ba điểm $M,{\rm{ }}E,{\rm{ }}F$ ta có: \(EF \le ME + MF \Leftrightarrow EF \le 2ME\). Do đó \(AM \le 2ME\).
Cho \(a,b,c\) là các số thỏa mãn điều kiện \(a = b + c.\) Khi đó
-
A.
\(\dfrac{{{a^3} + {b^3}}}{{{a^3} + {c^3}}} = \dfrac{{a + b}}{{a + c}}\)
-
B.
\(\dfrac{{{a^3} + {b^3}}}{{{a^3} + {c^3}}} = \dfrac{{a + c}}{{a + b}}\)
-
C.
\(\dfrac{{{a^3} + {b^3}}}{{{a^3} + {c^3}}} = \dfrac{{b + c}}{{a + b}}\)
-
D.
\(\dfrac{{{a^3} + {b^3}}}{{{a^3} + {c^3}}} = \dfrac{{b + c}}{{a + c}}\)
Đáp án : A
Sử dụng hằng đẳng thức \({a^3} + {b^3} = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)\) và dữ kiện đề bài để biến đổi
Ta có \({a^3} + {b^3} = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)\) mà \(a = b + c\) nên
\({a^3} + {b^3} = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)\)
\( = \left( {a + b} \right)\left[ {{{\left( {b + c} \right)}^2} - \left( {b + c} \right)b + {b^2}} \right]\)
\( = \left( {a + b} \right)\left( {{b^2} + 2bc + {c^2} - {b^2} - bc + {b^2}} \right)\)
\( = \left( {a + b} \right)\left( {{b^2} + bc + {c^2}} \right)\)
Tương tự ta có
\({a^3} + {c^3} = \left( {a + c} \right)\left( {{a^2} - ac + {c^2}} \right)\)
\( = \left( {a + c} \right)\left[ {{{\left( {b + c} \right)}^2} - \left( {b + c} \right)c + {c^2}} \right]\)
\( = \left( {a + c} \right)\left( {{b^2} + 2bc + {c^2} - {c^2} - bc + {c^2}} \right)\)
\( = \left( {a + c} \right)\left( {{b^2} + bc + {c^2}} \right)\)
Từ đó ta có \(\dfrac{{{a^3} + {b^3}}}{{{a^3} + {c^3}}} = \dfrac{{\left( {a + b} \right)\left( {{b^2} + bc + {c^2}} \right)}}{{\left( {a + c} \right)\left( {{b^2} + bc + {c^2}} \right)}} = \dfrac{{a + b}}{{a + c}}\)
Tam giác $ABC$ có hai trung tuyến $AM$ và $BN$ vuông góc với nhau. Hãy tính diện tích tam giác đó theo hai cạnh $AM$ và $BN.$
-
A.
\({S_{ABC}} = AM.BN\)
-
B.
\({S_{ABC}} = \dfrac{3}{2}AM.BN\)
-
C.
\({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AM.BN\)
-
D.
\({S_{ABC}} = \dfrac{2}{3}AM.BN\)
Đáp án : D
$ABMN$ là tứ giác có hai đường chéo $AM$ và $BN$ vuông góc nên có diện tích bằng nửa tích hai đường chéo
Tính diện tích tam giác $ABC$ thông qua diện tích của tứ giác $ABMN$
Ta có $ABMN$ là tứ giác có hai đường chéo $AM$ và $BN$ vuông góc nên có diện tích là: \({S_{ABMN}} = \dfrac{1}{2}AB.MN\)
Hai tam giác $AMC$ và $ABC$ có chung đường cao hạ từ $A$ nên \(\dfrac{{{S_{AMC}}}}{{{S_{ABC}}}} = \dfrac{{MC}}{{BC}} = \dfrac{1}{2}\)\( \Rightarrow {S_{AMC}} = \dfrac{1}{2}{S_{ABC}}\,(1)\)
Hai tam giác $AMN$ và $AMC$ có chung đường cao hạ từ $M$ nên \(\dfrac{{{S_{AMN}}}}{{{S_{AMC}}}} = \dfrac{{AN}}{{AC}} = \dfrac{1}{2}\)\( \Rightarrow {S_{AMN}} = \dfrac{1}{2}{S_{AMC}}\,(2)\)
Từ (1) và (2) suy ra \({S_{AMN}} = \dfrac{1}{4}{S_{ABC}}\,\)
Hai tam giác $AMB$ và $ABC$ có chung đường cao hạ từ $A$ nên \(\dfrac{{{S_{AMB}}}}{{{S_{ABC}}}} = \dfrac{{MB}}{{BC}} = \dfrac{1}{2}\)\( \Rightarrow {S_{AMB}} = \dfrac{1}{2}{S_{ABC}}\,\)
Ta có: \({S_{ABMN}} = {S_{AMN}} + {S_{ABM}} = \dfrac{1}{4}{S_{ABC}} + \dfrac{1}{2}{S_{ABC}} = \dfrac{3}{4}{S_{ABC}}\)
\( \Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{4}{3}{S_{ABMN}} = \dfrac{4}{3}.\dfrac{1}{2}.AM.BN = \dfrac{2}{3}AM.BN\)