Đề thi toán 8, đề kiểm tra toán 8 có đáp án và lời giải chi tiết

Đề kiểm tra học kì 1 Toán 8 - Đề số 1

Đề bài

Xem đáp án

Làm đề thi

Đề bài

Câu 1 :

Chọn câu đúng.

A.

${\left( {c + d} \right)^2} - {\left( {a + b} \right)^2} = \left( {c + d + a + b} \right)\left( {c + d - a + b} \right)$.
B.

${\left( {c - d} \right)^2} - {\left( {a + b} \right)^2} = \left( {c - d + a + b} \right)\left( {c - d - a + b} \right)$.
C.

$\left( {a + b + c - d} \right)\left( {a + b - c + d} \right) = {\left( {a + b} \right)^2} - {\left( {c - d} \right)^2}$.
D.

${\left( {c - d} \right)^2} - {\left( {a - b} \right)^2} = \left( {c - d + a - b} \right)\left( {c - d - a - b} \right)$.

Câu 2 :

Đa thức nào sau đây là mẫu thức chung của các phân thức $\dfrac{x}{{3{{\left( {x - y} \right)}^2}}},\dfrac{y}{{x - y}}$

A.

${\left( {x - y} \right)^2}$
B.

$x - y$
C.

$3{\left( {x - y} \right)^2}$
D.

$3{\left( {x - y} \right)^3}$

Câu 3 :

Chọn câu sai.

A.

Mẫu thức chung của các phân thức $\dfrac{{2 - a}}{{3a}};\dfrac{1}{4}$ là $12a$.
B.

Mẫu thức chung của các phân thức $\dfrac{1}{{6a}};\dfrac{{4a + 1}}{{18ab}};\dfrac{{10a}}{{9b}}$ là $18ab$.
C.

Mẫu thức chung của các phân thức $\dfrac{1}{{{x^2} + 2x + 1}};\dfrac{1}{{{x^2} - 1}}$ là $\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {x - 1} \right)$.
D.

Mẫu thức chung của các phân thức $\dfrac{1}{{{{\left( {x - 2y} \right)}^2}}};\dfrac{{5x}}{{{{\left( {x - 2y} \right)}^4}}};\dfrac{1}{{3x}}$ là $3x{\left( {x - 2y} \right)^4}$.

Câu 4 :

Cho $56{x^2} - 45y - 40xy + 63x = \left( {7x - 5y} \right)\left( {mx + n} \right)$ với $m,\,n \in \mathbb{R}$ . Tìm $m$ và $n$

A.

$m = 8;\,n = 9$.
B.

$m = 9;\,n = 8$.
C.

$m = - 8;\,n = 9$.
D.

$m = 8;\,n = - 9$.

Câu 5 :

Chọn câu trả lời đúng. Tứ giác nào có hai đường chéo vuông góc với nhau?

A.

Hình thoi
B.

Hình vuông
C.

Hình chữ nhật
D.

Cả A và B.

Câu 6 :

Biểu thức $x - 2$ là kết quả của phép tính nào dưới đây?

A.

$\dfrac{{{x^2} + 4}}{{x - 2}} - \dfrac{{4x}}{{2 - x}}$.
B.

$\dfrac{{{x^2} + 4}}{{x - 2}} + \dfrac{{4x}}{{2 - x}}$.
C.

$\dfrac{{2x}}{{x - 2}} + \dfrac{4}{{{x^2} - 4}}$.
D.

$\dfrac{x}{{x - 2}} + \dfrac{2}{{x - 2}}$.

Câu 7 :

Chọn câu đúng. Cho hình vẽ sau. Đường trung bình của tam giác $ABC$ là:

A.

$DE$
B.

$DF$
C.

$EF$
D.

Cả A, B, C đều đúng

Câu 8 :

Cho $\dfrac{{{x^3} + 1}}{{{x^2} + 2x + 1}}:\dfrac{{3{x^2} - 3x + 3}}{{{x^2} - 1}} = \dfrac{{x - 1}}{{...}}$. Biểu thức thích hợp điền vào chỗ trống là:

A.

${x^2} - x + 1$
B.

$x + 1$
C.

$3$
D.

${x^3} + 1$

Câu 9 :

Điền vào chỗ trống $4{x^2} + 4x - {y^2} + 1 = \left( {...} \right)\left( {2x + y + 1} \right)$:

A.

$2x + y + 1$
B.

$2x - y + 1$
C.

$2x - y$
D.

$2x + y$

Câu 10 :

Hai đường chéo hình thoi có độ dài là $10\,cm$ và $24\,cm$. Độ dài cạnh hình thoi là:

A.

$14\,cm$
B.

$7\,cm$
C.

$13\,cm$
D.

$22\,cm$

Câu 11 :

Hãy chọn câu đúng?

Cho $\Delta ABC$, $I,K$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $BC$. Biết $AC = 10\,cm$. Ta có:

A.

$IK = 4\,cm$
B.

$IK = 5\,cm$
C.

$IK = 3,5\,cm$
D.

$IK = 10\,cm$

Câu 12 :

Chọn câu sai.

A.

${\left( {x + y} \right)^2} = \left( {x + y} \right)\left( {x + y} \right)$.
B.

${x^2} - {y^2} = \left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right)$.
C.

${\left( { - x - y} \right)^2} = {\left( { - x} \right)^2} - 2\left( { - x} \right)y + {y^2}$.
D.

$\left( {x + y} \right)\left( {x + y} \right) = {y^2} - {x^2}$.

Câu 13 :

Cho hình thoi $ABCD$ có chu vi bằng $24\,cm$, đường cao $AH$ bằng $3\,cm$. Tính $\widehat {DCA}$.

A.

$\widehat {DCA} = 150^\circ $
B.

$\widehat {DCA} = 70^\circ $
C.

$\widehat {DCA} = 60^\circ $
D.

$\widehat {DCA} = 75^\circ $

Câu 14 :

Chọn câu sai.

A.

${A^3} + {B^3} $$ = \left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right)$
B.

${A^3} - {B^3} $$ = \left( {A - B} \right)\left( {{A^2} + AB + {B^2}} \right)$
C.

${\left( {A + B} \right)^3} $$= {\left( {B + A} \right)^3}$
D.

${\left( {A - B} \right)^3} = {\left( {B - A} \right)^3}$

Câu 15 :

Viết biểu thức ${x^3} + 12{x^2} + 48x + 64$ dưới dạng lập phương của một tổng

A.

${\left( {x + 4} \right)^3}$.
B.

${\left( {x - 4} \right)^3}$.
C.

${\left( {x - 8} \right)^3}$.
D.

${\left( {x + 8} \right)^3}$.

Câu 16 :

Với $B \ne 0,\,D \ne 0$ , hai phân thức $\dfrac{A}{B}$ và $\dfrac{C}{D}$ bằng nhau khi

A.

$A.B = C.D$
B.

$A.C = B.D$
C.

$A.D = B.C$
D.

$AC < B.D$

Câu 17 :

Câu nào sau đây là đúng khi nói về hình thang:

A.

Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song
B.

Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối bằng nhau
C.

Hình thang là tứ giác có hai cạnh kề bằng nhau
D.

Cả A, B, C đều sai

Câu 18 :

Chia đơn thức ${\left( { - 3x} \right)^5}$ cho đơn thức ${\left( { - 3x} \right)^2}$ ta được kết quả là

A.

$ - 9{x^3}$.
B.

$9{x^3}$.
C.

$27{x^3}$.
D.

$ - 27{x^3}$.

Câu 19 :

Thương của phép chia đa thức $\left( {3{x^4} - 2{x^3} + 4x - 2{x^2} - 8} \right)$ cho đa thức $\left( {{x^2} - 2} \right)$ có hệ số tự do là

A.

$2$.
B.

$3$.
C.

$1$.
D.

$4$.

Câu 20 :

Tính số đo các góc của hình bình hành $ABCD$ biết $\widehat D - \widehat C = {30^0}$. Ta được:

A.

$\widehat A = \widehat C = {105^0}\,\& \,\,\widehat B = \widehat D = {75^0}$.
B.

$\widehat A = \widehat C = {75^0}\,\& \,\,\widehat B = \widehat D = {105^0}$.
C.

$\widehat A = \widehat C = {70^0}\,\& \,\,\widehat B = \widehat D = {110^0}$.
D.

$\widehat A = \widehat C = {60^0}\,\& \,\,\widehat B = \widehat D = {120^0}$.

Câu 21 :

Rút gọn biểu thức $N = 2{x^n}\left( {3{x^{n + 2}} - 1} \right) - 3{x^{n + 2}}\left( {2{x^n} - 1} \right)$ ta được

A.

$N = 2{x^n} + 3{x^{n + 2}}$
B.

$N = - 2{x^n} - 3{x^{n + 2}}$
C.

$N = - 2{x^n} + 3{x^{n + 2}}$
D.

$N = - 2{x^n} + {x^{n + 2}}$

Câu 22 :

Rút gọn rồi tính giá trị các biểu thức $A = {\left( {3x - 2} \right)^2} + {\left( {3x + 2} \right)^2} + 2\left( {9{x^2} - 6} \right)$ tại $x = - \dfrac{1}{3}$

A.

$A = 36{x^2} + 4$ và $A = 8$ khi $x = - \dfrac{1}{3}$
B.

$A = 36{x^2} + 4$ và $A = 0$ khi $x = - \dfrac{1}{3}$
C.

$A = 18{x^2} - 4$ và $A = \dfrac{1}{2}$ khi $x = - \dfrac{1}{3}$
D.

$A = 36{x^2} - 4$ và $A = 0$ khi $x = - \dfrac{1}{3}$

Câu 23 :

Rút gọn biểu thức $M = \left( {2x + 3} \right)\left( {4{x^2} - 6x + 9} \right) - 4\left( {2{x^3} - 3} \right)$ ta được giá trị của $M$ là

A.

Một số lẻ
B.

Một số chẵn
C.

Một số chính phương
D.

Một số chia hết cho $5$

Câu 24 :

Tìm giá trị $x$ thỏa mãn $3x\left( {x - 2} \right) - x + 2 = 0$

A.

$x = 2;\,x = - \dfrac{1}{3}$.
B.

$x = - 2;\,x = \dfrac{1}{3}$.
C.

$x = 2;\,x = 3$.
D.

$x = 2;\,x = \dfrac{1}{3}$.

Câu 25 :

Cho ${\left( {x + y} \right)^3} - {\left( {x - y} \right)^3} $$= A.y\left( {B{x^2} + C{y^2}} \right)$, biết $A,\,B,C$ là các số nguyên. Khi đó $A + B + C$ bằng

A.

$4$.
B.

$5$.
C.

$6$.
D.

$7$.

Câu 26 :

Có bao nhiêu giá trị $x$ thỏa mãn $4{(x-3)^2}-(2x-1)(2x + 1) = 10$.

A.

$0$.
B.

$2$.
C.

$1$.
D.

$3$.

Câu 27 :

Giá trị số tự nhiên $n$ để phép chia ${x^n}:{x^6}$ thực hiện được là:

A.

$n \in \mathbb{N},n < 6$
B.

$n \in \mathbb{N},n \ge 6$
C.

$n \in \mathbb{N},n > 6$
D.

$n \in \mathbb{N},n \le 6$

Câu 28 :

Để đa thức ${x^4} + a{x^2} + 1$ chia hết cho ${x^2} + 2x + 1$ thì giá trị của $a$ là

A.

$a = - 2$.
B.

$a = 1$.
C.

$a = - 1$.
D.

$a = 0$.

Câu 29 :

Cho $\dfrac{1}{{1 - x}} + \dfrac{1}{{1 + x}} + \dfrac{2}{{1 + {x^2}}} + \dfrac{4}{{1 + {x^4}}} + \dfrac{8}{{1 + {x^8}}} = \dfrac{{...}}{{1 - {x^{16}}}}$ . Số thích hợp điền vào chỗ trống là

A.

$16$
B.

$8$
C.

$4$
D.

$20$

Câu 30 :

Tính giá trị biểu thức $C = \dfrac{{2{x^3}{y^2}}}{{{x^2}{y^5}{z^2}}}:\dfrac{{5{x^2}y}}{{4{x^2}{y^5}}}:\dfrac{{ - 8{x^3}{y^2}{z^3}}}{{15{x^5}{y^2}}}$ khi $x = 4;y = 1;z = - 2$ .

A.

$C = 6$
B.

$C = - 6$.
C.

$C = - 3$.
D.

$C = 3$.

Câu 31 :

Cho hình thang cân $MNPQ$ ($MN$ //$PQ$) có góc $\widehat {MQP} = {45^0}$ và hai đáy có độ dài $8cm$, $30cm$. Diện tích của hình thang cân là:

A.

$418\,c{m^2}$
B.

$209\,c{m^2}$
C.

$290\,c{m^2}$
D.

$580\,c{m^2}$

Câu 32 :

Cho tam giác $ABC$, đường trung tuyến $AM$. Gọi $D$ là trung điểm của $AM,E$ là giao điểm của $BD$ và $AC,F$ là trung điểm của $EC$. Tính $AE$ biết $AC = 9cm$.

A.

$AE = 4,5\,cm$
B.

$AE = 3\,cm$
C.

$AE = 2\,cm$
D.

$AE = 6\,cm$

Câu 33 :

Cho tứ giác $ABCD$. Gọi $E$, $F$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD.$$M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm của $AF,CE,BF,DE$. Khi đó $MNPQ$ là hình gì? Chọn đáp án đúng nhất.

A.

Hình bình hành
B.

Hình thang vuông
C.

Hình thang cân
D.

Hình thang

Câu 34 :

Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$, $AC = 8\,cm$, điểm $M$ thuộc cạnh $BC$. Gọi $D,E$ theo thứ tự là các chân đường vuông góc kẻ từ $M$ đến $AB,AC$. Chu vi của tứ giác $ADME$ bằng:

A.

$16\,cm$
B.

$38\,cm$
C.

$18\,cm$
D.

$12\,cm$

Câu 35 :

Tứ giác $ABCD$ có $AB = CD.$ Gọi $M,N$ theo thứ tự là trung đểm của $BC,AD.$ Gọi $I,K$ theo thứ tự là trung điểm của $AC,BD.$ Chọn câu đúng nhất.

A.

$IK$ vuông góc với $MN$
B.

$MN$ là phân giác $\widehat {IMK}$
C.

Cả A, B đều đúng
D.

Cả A, B đều sai

Câu 36 :

Cho hình vuông ABCD. M là điểm nằm trong hình vuông. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của M trên cạnh AB và AD. Tứ giác AEMF là hình vuông khi.

A.

M trên đường chéo AC
B.

M thuộc cạnh DC
C.

M thuộc đường chéo BD
D.

M tùy ý nằm trong hình vuông ABCD

Câu 37 :

Cho tam giác $ABC$, lấy $M$ thuộc $BC$ sao cho $BM = 4CM$. Hãy chọn câu đúng:

A.

${S_{ABM}} = \dfrac{4}{3}{S_{ABC}}$.
B.

${S_{ABM}} = 5{S_{AMC}}$.
C.

${S_{ABC}} = 5{S_{AMC}}$.
D.

${S_{ABC}} = 4{S_{AMC}}$.

Câu 38 :

Tính diện tích mảnh đất hình thang vuông $ABCD$ có độ dài hai đáy $AB = 10\,cm;\,DC = 13\,cm;\,\widehat A = \widehat D = 90^\circ $ ( hình vẽ), biết tam giác $BEC$ vuông tại $E$ và có diện tích bằng $13,5\,c{m^2}$.

A.

$103,5\,\left( {c{m^2}} \right)$
B.

$103\,\left( {c{m^2}} \right)$
C.

$93,5\,\left( {c{m^2}} \right)$
D.

$113,5\,\left( {c{m^2}} \right)$

Câu 39 :

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = {x^2} + 2{y^2} - 2xy + 2x - 10y$

A.

$17$.
B.

$0$
C.

$ - 17$.
D.

$ - 10$.

Câu 40 :

Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh CD. Tia phân giác của góc ABE cắt AD ở K. Chọn câu đúng.

A.

$AK + CE = BE$
B.

$AK + CE = 2BE$
C.

$AK + CE = \dfrac{{BE}}{2}$
D.

$AK + CE > BE$

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Chọn câu đúng.

A.

${\left( {c + d} \right)^2} - {\left( {a + b} \right)^2} = \left( {c + d + a + b} \right)\left( {c + d - a + b} \right)$.
B.

${\left( {c - d} \right)^2} - {\left( {a + b} \right)^2} = \left( {c - d + a + b} \right)\left( {c - d - a + b} \right)$.
C.

$\left( {a + b + c - d} \right)\left( {a + b - c + d} \right) = {\left( {a + b} \right)^2} - {\left( {c - d} \right)^2}$.
D.

${\left( {c - d} \right)^2} - {\left( {a - b} \right)^2} = \left( {c - d + a - b} \right)\left( {c - d - a - b} \right)$.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức hiệu hai bình phương ${A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)$

Lời giải chi tiết :

Ta có ${\left( {c + d} \right)^2} - {\left( {a + b} \right)^2} = \left( {c + d + a + b} \right)\left( {c + d - \left( {a + b} \right)} \right) = \left( {c + d + a + b} \right)\left( {c + d - a - b} \right)$ nên A sai.

${\left( {c - d} \right)^2} - {\left( {a + b} \right)^2} = \left( {c - d + a + b} \right)\left[ {c - d - \left( {a + b} \right)} \right] = \left( {c - d + a + b} \right)\left( {c - d - a - b} \right)$ nên B sai.

${\left( {c - d} \right)^2} - {\left( {a - b} \right)^2} = \left( {c - d + a - b} \right)\left( {c - d - \left( {a - b} \right)} \right) = \left( {c - d + a - b} \right)\left( {c - d - a + b} \right)$ nên D sai.

$\left( {a + b + c - d} \right)\left( {a + b - c + d} \right) = \left[ {\left( {a + b} \right) + \left( {c - d} \right)} \right]\left[ {\left( {a + b} \right) - \left( {c - d} \right)} \right] = {\left( {a + b} \right)^2} - {\left( {c - d} \right)^2}$

Nên C đúng.

Câu 2 :

Đa thức nào sau đây là mẫu thức chung của các phân thức $\dfrac{x}{{3{{\left( {x - y} \right)}^2}}},\dfrac{y}{{x - y}}$

A.

${\left( {x - y} \right)^2}$
B.

$x - y$
C.

$3{\left( {x - y} \right)^2}$
D.

$3{\left( {x - y} \right)^3}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

* Tìm mẫu chung

+ Phân tích phần hệ số thành thừa số nguyên tố và phần biến thành nhân tử

+ Mẫu chung bao gồm: phần hệ số là BCNN của các hệ số của mẫu và phần biến là tích giữa các nhân tử chung và riêng mỗi nhân tử lấy số mũ lớn nhất.

Lời giải chi tiết :

Mẫu thức của hai phân thức $\dfrac{x}{{3{{\left( {x - y} \right)}^2}}},\dfrac{y}{{x - y}}$ là $3{\left( {x - y} \right)^2}$ và $\left( {x - y} \right)$

Nên mẫu thức chung có phần hệ số là $3$ , phần biến số là ${\left( {x - y} \right)^2}$ $ \Rightarrow $ Mẫu thức chung $3{\left( {x - y} \right)^2}$ .

Câu 3 :

Chọn câu sai.

A.

Mẫu thức chung của các phân thức $\dfrac{{2 - a}}{{3a}};\dfrac{1}{4}$ là $12a$.
B.

Mẫu thức chung của các phân thức $\dfrac{1}{{6a}};\dfrac{{4a + 1}}{{18ab}};\dfrac{{10a}}{{9b}}$ là $18ab$.
C.

Mẫu thức chung của các phân thức $\dfrac{1}{{{x^2} + 2x + 1}};\dfrac{1}{{{x^2} - 1}}$ là $\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {x - 1} \right)$.
D.

Mẫu thức chung của các phân thức $\dfrac{1}{{{{\left( {x - 2y} \right)}^2}}};\dfrac{{5x}}{{{{\left( {x - 2y} \right)}^4}}};\dfrac{1}{{3x}}$ là $3x{\left( {x - 2y} \right)^4}$.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Tìm mẫu chung:

+ Phân tích phần hệ số thành thừa số nguyên tố và phần biến thành nhân tử.

+ Mẫu chung bao gồm: phần hệ số là BCNN của các hệ số của mẫu và phần biến là tích giữa các nhân tử chung và riêng mỗi nhân tử lấy số mũ lớn nhất.

Lời giải chi tiết :

+ Hai phân thức $\dfrac{{2 - a}}{{3a}};\dfrac{1}{4}$ có mẫu là $3a;4$ nên mẫu thức chung là $12a$, do đó A đúng.

+ Các phân thức $\dfrac{1}{{6a}};\dfrac{{4a + 1}}{{18ab}};\dfrac{{10a}}{{9b}}$ có mẫu là $6a;18ab;9b$ nên mẫu thức chung là $18ab$, do đó B đúng.

+ Các phân thức $\dfrac{1}{{{x^2} + 2x + 1}};\dfrac{1}{{{x^2} - 1}}$ có mẫu là ${x^2} + 2x + 1 = {\left( {x + 1} \right)^2};{x^2} - 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right).$ Nên mẫu thức chung là $\left( {x - 1} \right){\left( {x + 1} \right)^2} = \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {x + 1} \right)$, do đó C sai.

+ Các phân thức $\dfrac{1}{{{{\left( {x - 2y} \right)}^2}}};\dfrac{{5x}}{{{{\left( {x - 2y} \right)}^4}}};\dfrac{1}{{3x}}$ có mẫu là ${\left( {x - 2y} \right)^2};{\left( {x - 2y} \right)^4};3x$ nên mẫu thức chung là $3x{\left( {x - 2y} \right)^4}$, do đó D đúng.

Câu 4 :

Cho $56{x^2} - 45y - 40xy + 63x = \left( {7x - 5y} \right)\left( {mx + n} \right)$ với $m,\,n \in \mathbb{R}$ . Tìm $m$ và $n$

A.

$m = 8;\,n = 9$.
B.

$m = 9;\,n = 8$.
C.

$m = - 8;\,n = 9$.
D.

$m = 8;\,n = - 9$.

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Ta có $56{x^2} - 45y - 40xy + 63x = \left( {56{x^2} + 63x} \right) - \left( {45y + 40xy} \right) = 7x\left( {8x + 9} \right) - 5y\left( {8x + 9} \right) = \left( {8x + 9} \right)\left( {7x - 5y} \right)$

Suy ra $m = 8;\,n = 9$ .

Câu 5 :

Chọn câu trả lời đúng. Tứ giác nào có hai đường chéo vuông góc với nhau?

A.

Hình thoi
B.

Hình vuông
C.

Hình chữ nhật
D.

Cả A và B.

Đáp án : D

Lời giải chi tiết :

+ Hình thoi và hình vuông đều có hai đường chéo vuông góc với nhau.

Câu 6 :

Biểu thức $x - 2$ là kết quả của phép tính nào dưới đây?

A.

$\dfrac{{{x^2} + 4}}{{x - 2}} - \dfrac{{4x}}{{2 - x}}$.
B.

$\dfrac{{{x^2} + 4}}{{x - 2}} + \dfrac{{4x}}{{2 - x}}$.
C.

$\dfrac{{2x}}{{x - 2}} + \dfrac{4}{{{x^2} - 4}}$.
D.

$\dfrac{x}{{x - 2}} + \dfrac{2}{{x - 2}}$.

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

Ta có $\dfrac{{{x^2} + 4}}{{x - 2}} - \dfrac{{4x}}{{2 - x}} = \dfrac{{{x^2} + 4}}{{x - 2}} + \dfrac{{4x}}{{x - 2}} = \dfrac{{{x^2} + 4x + 4}}{{x - 2}}$$ = \dfrac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{x - 2}}$ nên A sai.

* $\dfrac{{{x^2} + 4}}{{x - 2}} + \dfrac{{4x}}{{2 - x}}$$ = \dfrac{{{x^2} + 4}}{{x - 2}} - \dfrac{{4x}}{{x - 2}} = \dfrac{{{x^2} - 4x + 4}}{{x - 2}} = \dfrac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{x - 2}} = x - 2$ nên B đúng.

* $\dfrac{{2x}}{{x - 2}} + \dfrac{4}{{{x^2} - 4}}$$ = \dfrac{{2x}}{{x - 2}} + \dfrac{4}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \dfrac{{2x\left( {x + 2} \right) + 4}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \dfrac{{2{x^2} + 4x + 4}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}$ nên C sai.

* $\dfrac{{{x^2}}}{{x - 2}} - \dfrac{4}{{x - 2}}$$ = \dfrac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}} = \dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x - 2}} = x + 2$ nên D sai.

Câu 7 :

Chọn câu đúng. Cho hình vẽ sau. Đường trung bình của tam giác $ABC$ là:

A.

$DE$
B.

$DF$
C.

$EF$
D.

Cả A, B, C đều đúng

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Ta sử dụng định nghĩa: "Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác”.

Lời giải chi tiết :

Xét tam giác $ABC$ có $D,E,F$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB,AC,BC$ nên $DE,DF,EF$ là ba đường trung bình của tam giác $ABC.$

Câu 8 :

Cho $\dfrac{{{x^3} + 1}}{{{x^2} + 2x + 1}}:\dfrac{{3{x^2} - 3x + 3}}{{{x^2} - 1}} = \dfrac{{x - 1}}{{...}}$. Biểu thức thích hợp điền vào chỗ trống là:

A.

${x^2} - x + 1$
B.

$x + 1$
C.

$3$
D.

${x^3} + 1$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Bước 1: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu có thể).

Bước 2: Thực hiện phép chia hai phân thức: $\dfrac{A}{B}:\dfrac{C}{D} = \dfrac{A}{B}.\dfrac{D}{C};\,\,\left( {\dfrac{C}{D} \ne 0} \right)$

Bước 3: Rút gọn phân thức thu được.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\dfrac{{{x^3} + 1}}{{{x^2} + 2x + 1}}:\dfrac{{3{x^2} - 3x + 3}}{{{x^2} - 1}} $$= \dfrac{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}.\dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{3\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}$$ = \dfrac{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right).\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}.3\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}$ $ = \dfrac{{x - 1}}{3}$

Vậy số cần điền là $3$.

Câu 9 :

Điền vào chỗ trống $4{x^2} + 4x - {y^2} + 1 = \left( {...} \right)\left( {2x + y + 1} \right)$:

A.

$2x + y + 1$
B.

$2x - y + 1$
C.

$2x - y$
D.

$2x + y$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

- Đặt nhân tử chung, dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ hoặc nhóm các hạng tử một cách thích hợp để xuất hiện hằng đẳng thức hoặc nhân tử chung mới.

- Đặt nhân tử chung để được tích các đa thức.

- So sánh với yêu cầu của đề bài để chọn đáp án đúng.

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,4{x^2} + 4x - {y^2} + 1\\ = \left( {{{\left( {2x} \right)}^2} + 2.2x + 1} \right) - {y^2}\\ = {\left( {2x + 1} \right)^2} - {y^2}\\ = \left( {2x + 1 - y} \right)\left( {2x + 1 + y} \right)\\ = \left( {2x - y + 1} \right)\left( {2x + y + 1} \right).\end{array}$

Vậy đa thức trong chỗ trống là $2x - y + 1$.

Câu 10 :

Hai đường chéo hình thoi có độ dài là $10\,cm$ và $24\,cm$. Độ dài cạnh hình thoi là:

A.

$14\,cm$
B.

$7\,cm$
C.

$13\,cm$
D.

$22\,cm$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Tính $AO,BO$, áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông $AOB$ để tính cạnh $AB$.

Lời giải chi tiết :

Giả sử hình thoi $ABCD$ có đường chéo $AC$ vuông góc với $BD$ tại $O$, $BD = 10\,cm;\,AC = 24\,cm$.

Suy ra $BO = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{1}{2}. 12 = 6\,(cm);\,$$AO = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{2}. 24 = 12(cm)$.

Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông $AOB$ vuông tại $O$ ta có:

$AB = \sqrt {A{O^2} + B{O^2}} = \sqrt {{5^2} + {{12}^2}} = 13\,(cm)$.

Câu 11 :

Hãy chọn câu đúng?

Cho $\Delta ABC$, $I,K$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $BC$. Biết $AC = 10\,cm$. Ta có:

A.

$IK = 4\,cm$
B.

$IK = 5\,cm$
C.

$IK = 3,5\,cm$
D.

$IK = 10\,cm$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Ta sử dụng định lý đường trung bình của tam giác để tính độ dài.

Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

Lời giải chi tiết :

+ Vì $I,K$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $BC$ nên $IK$ là đường trung bình của tam giác $ABC \Rightarrow IK = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{2}.10 = 5\,cm$.

Vậy $IK = 5\,cm$.

Câu 12 :

Chọn câu sai.

A.

${\left( {x + y} \right)^2} = \left( {x + y} \right)\left( {x + y} \right)$.
B.

${x^2} - {y^2} = \left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right)$.
C.

${\left( { - x - y} \right)^2} = {\left( { - x} \right)^2} - 2\left( { - x} \right)y + {y^2}$.
D.

$\left( {x + y} \right)\left( {x + y} \right) = {y^2} - {x^2}$.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng các công thức ${\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}$, ${\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}$ , ${A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)$

Lời giải chi tiết :

Ta có

$\left( {x + y} \right)\left( {x + y} \right) = {\left( {x + y} \right)^2} = {x^2} + 2xy + {y^2} \ne {y^2} - {x^2}$ nên câu D sai.

Câu 13 :

Cho hình thoi $ABCD$ có chu vi bằng $24\,cm$, đường cao $AH$ bằng $3\,cm$. Tính $\widehat {DCA}$.

A.

$\widehat {DCA} = 150^\circ $
B.

$\widehat {DCA} = 70^\circ $
C.

$\widehat {DCA} = 60^\circ $
D.

$\widehat {DCA} = 75^\circ $

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Bước 1: Tính cạnh hình thoi dựa vào chu vi của nó.

Bước 2: Sử dụng tính chất: “Trong tam giác vuông nếu độ dài một cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền thì góc đối diện với cạnh góc vuông đó bằng $30^\circ $” và tính chất hình thoi để tính các góc của nó.

Lời giải chi tiết :

Vì chu vi hình thoi là $24\,cm$ nên cạnh hình thoi có độ dài $24:\,4 = 6\,cm$. Suy ra $AD = 6\,cm$.

Xét tam giác $AHD$ vuông tại $H$ có: $AH = \dfrac{1}{2}AD \Rightarrow \widehat {ADH} = 30^\circ $ (tính chất)

Suy ra $\widehat {DAB} = 180^\circ - \widehat {ADC} = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ $ (vì $ABCD$ là hình thoi)

Nên hình thoi $ABCD$ có: $\,\widehat A = \widehat C = 150^\circ $ (vì hai góc đối bằng nhau).

Lại có: $CA$ là tia phân giác $\widehat {DCB}$ (tính chất hình thoi) nên $\widehat {DCA} = \dfrac{1}{2}\widehat {DCB} = \dfrac{1}{2}. 150^\circ = 75^\circ $.

Câu 14 :

Chọn câu sai.

A.

${A^3} + {B^3} $$ = \left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right)$
B.

${A^3} - {B^3} $$ = \left( {A - B} \right)\left( {{A^2} + AB + {B^2}} \right)$
C.

${\left( {A + B} \right)^3} $$= {\left( {B + A} \right)^3}$
D.

${\left( {A - B} \right)^3} = {\left( {B - A} \right)^3}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tổng hai lập phương và hiệu hai lập phương

${A^3} + {B^3} $$ = \left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right)$

${A^3} - {B^3}$$ = \left( {A - B} \right)\left( {{A^2} + AB + {B^2}} \right)$

Lời giải chi tiết :

Ta có ${A^3} + {B^3} $$ = \left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right)$ và ${A^3} - {B^3}$$ = \left( {A - B} \right)\left( {{A^2} + AB + {B^2}} \right)$ nên A, B đúng.

Vì $A + B = B + A $

$ \Rightarrow {\left( {A + B} \right)^3} $$ = {\left( {B + A} \right)^3}$ nên C đúng.

Vì $A - B = - \left( {B - A} \right)$

$ \Rightarrow {\left( {A - B} \right)^3} $$ = - {\left( {B - A} \right)^3}$ nên D sai.

Câu 15 :

Viết biểu thức ${x^3} + 12{x^2} + 48x + 64$ dưới dạng lập phương của một tổng

A.

${\left( {x + 4} \right)^3}$.
B.

${\left( {x - 4} \right)^3}$.
C.

${\left( {x - 8} \right)^3}$.
D.

${\left( {x + 8} \right)^3}$.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức lập phương của một tổng ${A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3} = {\left( {A + B} \right)^3}$

Lời giải chi tiết :

Ta có ${x^3} + 12{x^2} + 48x + 64 $$= {x^3} + 3{x^2}.4 + 3.x{.4^2} + {4^3} $$= {\left( {x + 4} \right)^3}$

Câu 16 :

Với $B \ne 0,\,D \ne 0$ , hai phân thức $\dfrac{A}{B}$ và $\dfrac{C}{D}$ bằng nhau khi

A.

$A.B = C.D$
B.

$A.C = B.D$
C.

$A.D = B.C$
D.

$AC < B.D$

Đáp án : C

Lời giải chi tiết :

Với hai phân thức $\dfrac{A}{B}$ và $\dfrac{C}{D}$, ta nói $\dfrac{A}{B} = \dfrac{C}{D}$ nếu $A.D = B.C$ .

Câu 17 :

Câu nào sau đây là đúng khi nói về hình thang:

A.

Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song
B.

Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối bằng nhau
C.

Hình thang là tứ giác có hai cạnh kề bằng nhau
D.

Cả A, B, C đều sai

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Theo định nghĩa: “Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song” nên A đúng.

Câu 18 :

Chia đơn thức ${\left( { - 3x} \right)^5}$ cho đơn thức ${\left( { - 3x} \right)^2}$ ta được kết quả là

A.

$ - 9{x^3}$.
B.

$9{x^3}$.
C.

$27{x^3}$.
D.

$ - 27{x^3}$.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

* Sử dụng quy tắc chia đơn thức cho đơn thức.

Muốn chia đơn thức $A$ cho đơn thức $B$ (trong trường hợp $A$ chia hết cho $B$ ) ta làm như sau:

+ Chia hệ số của đơn thức $A$ cho hệ số của đơn thức $B$

+ Chia lũy thừa của từng biến trong $A$ cho lũy thừa của cùng biến đó trong $B$ .

+ Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau.

* Sử dụng công thức chia hai lũy thừa cùng cơ số

Lời giải chi tiết :

Ta có ${\left( { - 3x} \right)^5}:{\left( { - 3x} \right)^2} $$= {\left( { - 3x} \right)^3} $$= {\left( { - 3} \right)^3}.{x^3} = - 27{x^3}$.

Câu 19 :

Thương của phép chia đa thức $\left( {3{x^4} - 2{x^3} + 4x - 2{x^2} - 8} \right)$ cho đa thức $\left( {{x^2} - 2} \right)$ có hệ số tự do là

A.

$2$.
B.

$3$.
C.

$1$.
D.

$4$.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Đặt phép chia.

- Chia hạng tử bậc cao nhất của đa thức bị chia cho hạng tử bậc cao nhất của đa thức chia.

- Nhân kết quả tìm được với đa thức chia, rồi lấy đa thức bị chia trừ đi tích nhận được, hiệu tìm được gọi là dư thứ nhất.

- Chia hạng tử bậc cao nhất của dư thứ nhất cho hạng tử bậc cao nhất của đa thức chia, được kết quả lại thực hiện tương tự như trên, cho đến khi dư cuối cùng không thể chia được nữa.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\left( {3{x^4} - 2{x^3} + 4x - 2{x^2} - 8} \right):\left( {{x^2} - 2} \right) $$= \left( {3{x^4} - 2{x^3} - 2{x^2} + 4x - 8} \right):\left( {{x^2} - 2} \right)$

$\left( {3{x^4} - 2{x^3} + 4x - 2{x^2} - 8} \right):\left( {{x^2} - 2} \right) = 3{x^2} - 2x + 4$

Hệ số tự do của thương là $4.$

Câu 20 :

Tính số đo các góc của hình bình hành $ABCD$ biết $\widehat D - \widehat C = {30^0}$. Ta được:

A.

$\widehat A = \widehat C = {105^0}\,\& \,\,\widehat B = \widehat D = {75^0}$.
B.

$\widehat A = \widehat C = {75^0}\,\& \,\,\widehat B = \widehat D = {105^0}$.
C.

$\widehat A = \widehat C = {70^0}\,\& \,\,\widehat B = \widehat D = {110^0}$.
D.

$\widehat A = \widehat C = {60^0}\,\& \,\,\widehat B = \widehat D = {120^0}$.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng tính chất hình bình hành và định lí tổng các góc trong một tứ giác

Lời giải chi tiết :

Trong hình bình hành $ABCD$ có: $\widehat A = \widehat C,\widehat B = \widehat D$ (tính chất), $\widehat D - \widehat C = {30^0} \Rightarrow \widehat D = \widehat C + 30^\circ $ nên $\widehat B = \widehat D = \widehat C + 30^\circ $

Theo định lí tổng các góc trong tứ giác ta có:

$\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = 360^\circ \Rightarrow 2\left( {\widehat A + \widehat B} \right) = 360^\circ \Rightarrow \widehat A + \widehat B = 180^\circ $$ \Leftrightarrow \widehat C + \widehat C + 30^\circ = 180^\circ \Rightarrow 2\widehat C = 150^\circ $ $ \Leftrightarrow \widehat C = 75^\circ $

$ \Rightarrow \widehat D = \widehat C + 30^\circ = 75^\circ + 30^\circ = 105^\circ $

Do đó $\widehat A = \widehat C = {75^0}\,\& \,\,\widehat B = \widehat D = {105^0}$.

Câu 21 :

Rút gọn biểu thức $N = 2{x^n}\left( {3{x^{n + 2}} - 1} \right) - 3{x^{n + 2}}\left( {2{x^n} - 1} \right)$ ta được

A.

$N = 2{x^n} + 3{x^{n + 2}}$
B.

$N = - 2{x^n} - 3{x^{n + 2}}$
C.

$N = - 2{x^n} + 3{x^{n + 2}}$
D.

$N = - 2{x^n} + {x^{n + 2}}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng các quy tắc nhân đơn thức với đa thức và sử dụng công thức ${x^m}.{x^n} = {x^{m + n}}$ rồi rút gọn $A$

Lời giải chi tiết :

Ta có $N = 2{x^n}\left( {3{x^{n + 2}} - 1} \right) - 3{x^{n + 2}}\left( {2{x^n} - 1} \right)$

$\begin{array}{l}N = 2{x^n}\left( {3{x^{n + 2}} - 1} \right) - 3{x^{n + 2}}\left( {2{x^n} - 1} \right)\\ = 2{x^n}.3{x^{n + 2}} - 2{x^n}.1 - 3{x^{n + 2}}.2{x^n} - 3{x^{n + 2}}.\left( { - 1} \right)\\ = 6{x^{n + n + 2}} - 2{x^n} - 6.{x^{n + 2 + n}} + 3{x^{n + 2}}\\ = 6{x^{2n + 2}} - 6{x^{2n + 2}} - 2{x^n} + 3{x^{n + 2}}\\ = - 2{x^n} + 3.{x^{n + 2}}\end{array}$

Vậy $N = - 2{x^n} + 3{x^{n + 2}}$

Câu 22 :

Rút gọn rồi tính giá trị các biểu thức $A = {\left( {3x - 2} \right)^2} + {\left( {3x + 2} \right)^2} + 2\left( {9{x^2} - 6} \right)$ tại $x = - \dfrac{1}{3}$

A.

$A = 36{x^2} + 4$ và $A = 8$ khi $x = - \dfrac{1}{3}$
B.

$A = 36{x^2} + 4$ và $A = 0$ khi $x = - \dfrac{1}{3}$
C.

$A = 18{x^2} - 4$ và $A = \dfrac{1}{2}$ khi $x = - \dfrac{1}{3}$
D.

$A = 36{x^2} - 4$ và $A = 0$ khi $x = - \dfrac{1}{3}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng các hằng đẳng thức ${\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2};{\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}$ để rút gọn A

Thay $x = - \dfrac{1}{3}$ vào biểu thức đã rút gọn để tính toán

Lời giải chi tiết :

Ta có $A = {\left( {3x - 2} \right)^2} + {\left( {3x + 2} \right)^2} + 2\left( {9{x^2} - 6} \right)$

$ = {\left( {3x} \right)^2} - 2.3x.2 + {2^2} + {\left( {3x} \right)^2} + 2.3x.2 + {2^2} + 18{x^2} - 12$

$ = 9{x^2} - 12x + 4 + 9{x^2} + 12x + 4 + 18{x^2} - 12$

$ = 36{x^2} - 4$

Vậy $A = 36{x^2} - 4$

Thay $x = - \dfrac{1}{3}$ vào $A = 36{x^2} - 4$ ta được $A = 36{\left( { - \dfrac{1}{3}} \right)^2} - 4 = 36.\dfrac{1}{9} - 4 = 0$

Câu 23 :

Rút gọn biểu thức $M = \left( {2x + 3} \right)\left( {4{x^2} - 6x + 9} \right) - 4\left( {2{x^3} - 3} \right)$ ta được giá trị của $M$ là

A.

Một số lẻ
B.

Một số chẵn
C.

Một số chính phương
D.

Một số chia hết cho $5$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng hằng đẳng thức $\left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right) = {A^3} + {B^3}$ để phân tích và rút gọn $M$

Lời giải chi tiết :

Ta có $M = \left( {2x + 3} \right)\left( {4{x^2} - 6x + 9} \right) - 4\left( {2{x^3} - 3} \right)$$ = \left( {2x + 3} \right)\left[ {{{\left( {2x} \right)}^2} - 2x.3 + {3^2}} \right] - 8{x^3} + 12$

$ = {\left( {2x} \right)^3} + {3^3} - 8{x^3} + 12 = 8{x^3} + 27 - 8{x^3} + 12 = 39$.

Vậy giá trị của $M$ là một số lẻ.

Câu 24 :

Tìm giá trị $x$ thỏa mãn $3x\left( {x - 2} \right) - x + 2 = 0$

A.

$x = 2;\,x = - \dfrac{1}{3}$.
B.

$x = - 2;\,x = \dfrac{1}{3}$.
C.

$x = 2;\,x = 3$.
D.

$x = 2;\,x = \dfrac{1}{3}$.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

+ Sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung để phân tích đa thức thành nhân tử

+ Từ đó đưa về dạng $A.B = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.$

Lời giải chi tiết :

Ta có $3x\left( {x - 2} \right) - x + 2 = 0$$ \Leftrightarrow 3x\left( {x - 2} \right) - \left( {x - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {3x - 1} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\3x - 1 = 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\3x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = \dfrac{1}{3}\end{array} \right.$

Vậy $x = 2;\,x = \dfrac{1}{3}$

Câu 25 :

Cho ${\left( {x + y} \right)^3} - {\left( {x - y} \right)^3} $$= A.y\left( {B{x^2} + C{y^2}} \right)$, biết $A,\,B,C$ là các số nguyên. Khi đó $A + B + C$ bằng

A.

$4$.
B.

$5$.
C.

$6$.
D.

$7$.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng hằng đẳng thức

${A^3} - {B^3} $$= \left( {A - B} \right)\left( {{A^2} + AB + {B^2}} \right)$ để phân tích đa thức thành nhân tử.

Sau đó sử dụng các hằng đẳng thức ${A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right);\,{\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2},$ $\,{\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}$ để biến đổi.

Lời giải chi tiết :

Ta có ${\left( {x + y} \right)^3} - {\left( {x - y} \right)^3} $$= \left[ {x + y - \left( {x - y} \right)} \right]\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} + \left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right) + {{\left( {x - y} \right)}^2}} \right]$

$ = \left( {x + y - x + y} \right)\left( {{x^2} + 2xy + {y^2} + {x^2} - {y^2} + {x^2} - 2xy + {y^2}} \right)$$ = 2y\left( {3{x^2} + {y^2}} \right) \Rightarrow A = 2;\,B = 3;\,C = 1$

Suy ra $A + B + C = 2 + 3 + 1 = 6$ .

Câu 26 :

Có bao nhiêu giá trị $x$ thỏa mãn $4{(x-3)^2}-(2x-1)(2x + 1) = 10$.

A.

$0$.
B.

$2$.
C.

$1$.
D.

$3$.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng các hằng đẳng thức để biến đổi về dạng tìm $x$ thường gặp.

Lời giải chi tiết :

Ta có $4{(x-3)^2}-(2x-1)(2x + 1) = 10$$ \Leftrightarrow 4\left( {{x^2} - 6x + 9} \right) - \left( {4{x^2} - 1} \right) = 10 \Leftrightarrow 4{x^2} - 24x + 36 - 4{x^2} + 1 - 10 = 0$

$ \Leftrightarrow - 24x + 27 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{9}{8}$ .

Vậy có một giá trị $x$ thỏa mãn.

Câu 27 :

Giá trị số tự nhiên $n$ để phép chia ${x^n}:{x^6}$ thực hiện được là:

A.

$n \in \mathbb{N},n < 6$
B.

$n \in \mathbb{N},n \ge 6$
C.

$n \in \mathbb{N},n > 6$
D.

$n \in \mathbb{N},n \le 6$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng quy tắc ${x^m}:{x^n} = {x^{m - n}}$ với $x \ne 0;\,m,n \in \mathbb{N};\,m \ge n$.

Lời giải chi tiết :

Để phép chia ${x^n}:{x^6} = {x^{n - 6}}$ thực hiện được thì $n \in \mathbb{N};\,n - 6 \ge 0 \Leftrightarrow \,n \ge 6;\,n \in \mathbb{N}$

Câu 28 :

Để đa thức ${x^4} + a{x^2} + 1$ chia hết cho ${x^2} + 2x + 1$ thì giá trị của $a$ là

A.

$a = - 2$.
B.

$a = 1$.
C.

$a = - 1$.
D.

$a = 0$.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+ Sử dụng cách chia đa thức một biến đã sắp xếp.

+ Sử dụng nhận xét: Nếu phép chia có phần dư $R = 0$ thì phép chia đó là phép chia hết.

Chú ý: $Ax + B = 0$ với $\forall x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.$ .

Lời giải chi tiết :

Ta có

Phần dư của phép chia đa thức ${x^4} + a{x^2} + 1$ chia hết cho${x^2} + 2x + 1$ là $R = \left( { - 2a - 4} \right)x - a - 2$ .

Để phép chia trên là phép chia hết thì $R = 0 \Leftrightarrow \left( { - 2a - 4} \right)x - a - 2 = 0$ với mọi $x$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a - 4 = 0\\ - a - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow a = - 2$ .

Câu 29 :

A.

$16$
B.

$8$
C.

$4$
D.

$20$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Bước 1: Quy đồng mẫu thức lần lượt, sử dụng hằng đẳng thức ${a^2} - {b^2} = \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)$ .

Bước 2: Thực hiện phép cộng (trừ) các phân thức cùng mẫu: Cộng hoặc trừ tử với tử, mẫu chung giữ nguyên.

Lời giải chi tiết :

Ta có $\dfrac{1}{{1 - x}} + \dfrac{1}{{1 + x}} + \dfrac{2}{{1 + {x^2}}} + \dfrac{4}{{1 + {x^4}}} + \dfrac{8}{{1 + {x^8}}} = \dfrac{{1 + x + 1 - x}}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}} + \dfrac{2}{{1 + {x^2}}} + \dfrac{4}{{1 + {x^4}}} + \dfrac{8}{{1 + {x^8}}}$

$ = \dfrac{2}{{1 - {x^2}}} + \dfrac{2}{{1 + {x^2}}} + \dfrac{4}{{1 + {x^4}}} + \dfrac{8}{{1 + {x^8}}} = \dfrac{{2\left( {1 + {x^2}} \right) + 2\left( {1 - {x^2}} \right)}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 + {x^2}} \right)}} + \dfrac{4}{{1 + {x^4}}} + \dfrac{8}{{1 + {x^8}}}$

$ = \dfrac{4}{{1 - {x^4}}} + \dfrac{4}{{1 + {x^4}}} + \dfrac{8}{{1 + {x^8}}} = \dfrac{{4\left( {1 + {x^4}} \right) + 4\left( {1 - {x^4}} \right)}}{{\left( {1 - {x^4}} \right)\left( {1 + {x^4}} \right)}} + \dfrac{8}{{1 + {x^8}}}$

$ = \dfrac{8}{{1 - {x^8}}} + \dfrac{8}{{1 + {x^8}}} = \dfrac{{8\left( {1 + {x^8}} \right) + 8\left( {1 - {x^8}} \right)}}{{\left( {1 - {x^8}} \right)\left( {1 + {x^8}} \right)}} = \dfrac{{16}}{{1 - {x^{16}}}}$ .

Vậy số cần điền là $16$ .

Câu 30 :

Tính giá trị biểu thức $C = \dfrac{{2{x^3}{y^2}}}{{{x^2}{y^5}{z^2}}}:\dfrac{{5{x^2}y}}{{4{x^2}{y^5}}}:\dfrac{{ - 8{x^3}{y^2}{z^3}}}{{15{x^5}{y^2}}}$ khi $x = 4;y = 1;z = - 2$ .

A.

$C = 6$
B.

$C = - 6$.
C.

$C = - 3$.
D.

$C = 3$.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Bước 1: Sử dụng phép chia hai phân thức: $\dfrac{A}{B}:\dfrac{C}{D} = \dfrac{A}{B}.\dfrac{D}{C};\,\,\left( {\dfrac{C}{D} \ne 0} \right)$. Thực hiện phép chia từ trái qua phải.

Bước 2: Rút gọn phân thức thu được.

Bước 3: Thay các giá trị của $x,\,y,\,z$ vào biểu thức đã rút gọn rồi tính.

Lời giải chi tiết :

Ta có $C = \dfrac{{2{x^3}{y^2}}}{{{x^2}{y^5}{z^2}}}:\dfrac{{5{x^2}y}}{{4{x^2}{y^5}}}:\dfrac{{ - 8{x^3}{y^2}{z^3}}}{{15{x^5}{y^2}}}$$ = \dfrac{{2{x^3}{y^2}}}{{{x^2}{y^5}{z^2}}}.\dfrac{{4{x^2}{y^5}}}{{5{x^2}y}}:\dfrac{{ - 8{x^3}{y^2}{z^3}}}{{15{x^5}{y^2}}} = \dfrac{{8{x^5}{y^7}}}{{5{x^4}{y^6}{z^2}}}:\dfrac{{ - 8{x^3}{y^2}{z^3}}}{{15{x^5}{y^2}}}$

$ = \dfrac{{8xy}}{{5{z^2}}}:\dfrac{{ - 8{x^3}{y^2}{z^3}}}{{15{x^5}{y^2}}} $$= \dfrac{{8xy}}{{5{z^2}}}.\dfrac{{15{x^5}{y^2}}}{{ - 8{x^3}{y^2}{z^3}}} $$= \dfrac{{120{x^6}{y^3}}}{{ - 40{x^3}{y^2}{z^5}}} $$= \dfrac{{ - 3{x^3}y}}{{{z^5}}}$ . Vậy $C = \dfrac{{ - 3{x^3}y}}{{{z^5}}}.$

Thay $x = 4;y = 1;z = - 2$ vào $C = \dfrac{{ - 3{x^3}y}}{{{z^5}}}$ ta được $C = \dfrac{{ - {{3.4}^3}.1}}{{{{\left( { - 2} \right)}^5}}} = 6.$

Câu 31 :

Cho hình thang cân $MNPQ$ ($MN$ //$PQ$) có góc $\widehat {MQP} = {45^0}$ và hai đáy có độ dài $8cm$, $30cm$. Diện tích của hình thang cân là:

A.

$418\,c{m^2}$
B.

$209\,c{m^2}$
C.

$290\,c{m^2}$
D.

$580\,c{m^2}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Bước 1: Kẻ các đường cao $MH,\,NK$. Sử dụng tính chất về cạnh của hình thang cân để tính chiều cao hình thang.

Bước 2: Áp dụng công thức diện tích ${S_{MNPQ}} = \dfrac{{\left( {MN + PQ} \right).MH}}{2}$.

Lời giải chi tiết :

Kẻ $MH \bot QP;\,NK \bot QP$ tại $H,\,K \Rightarrow MH{\rm{//}}NK$.

Tứ giác $MNHK$ có: $MN{\rm{//}}HK$ nên $MNHK$ là hình thang, lại có $MH{\rm{//}}NK \Rightarrow MN = HK;\,MH = NK$.

(Vì hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau và hai cạnh đáy bằng nhau)

Lại có: $MQ = NP$ (vì $MNPQ$ là hình thang cân) suy ra $\Delta MQH = \Delta NKP\,\left( {ch - cgv} \right)$$ \Rightarrow QH = KP = \dfrac{{QP - HK}}{2}$

Mà $HK = MN = 8\,cm$ nên $QH = KP = \dfrac{{30 - 8}}{2} = 11\,cm$.

Mà $\widehat {MQP} = 45^\circ \Rightarrow \Delta MHQ$ vuông cân tại $H \Rightarrow MH = QH = 11\,cm$.

Diện tích hình thang cân $MNPQ$ là ${S_{MNPQ}} = \dfrac{{\left( {MN + PQ} \right).MH}}{2} = \dfrac{{\left( {8 + 30} \right).11}}{2} = 209\,c{m^2}$.

Câu 32 :

A.

$AE = 4,5\,cm$
B.

$AE = 3\,cm$
C.

$AE = 2\,cm$
D.

$AE = 6\,cm$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Bước 1: Sử dụng các dấu hiệu nhận biết đường trung bình để chứng minh các đoạn thẳng là đường trung bình của tam giác.

Bước 2: Từ đó rút ra các mối liện hệ giữa các đoạn thẳng.

Lời giải chi tiết :

Xét tam giác $BEM$ có $BM = MC,EF = FC$ nên $MF$ là đường trung bình của tam giác $BEC$. Do đó $MF{\rm{//}}BE$.

Xét tam giác $AMF$ có $AD = DM,DE//MF$ nên $DE$ là đường trung bình của tam giác $AMF$. Do đó $AE = EF$.

Do đó $AE = EF = FC$ nên $AE = \dfrac{1}{3}AC = \dfrac{1}{3}. 9 = 3cm$.

Câu 33 :

A.

Hình bình hành
B.

Hình thang vuông
C.

Hình thang cân
D.

Hình thang

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Bước 1: Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác để chứng minh các cạnh song song và bằng nhau.

Bước 2: Sử dụng dấu hiệu nhận biết “tứ giác có hai đường chéo giao nhau tại trung điểm mỗi đường”.

Lời giải chi tiết :

Nối $EF;EP,FQ,EM,PM,QN$. Gọi $O$ là giao của $QN$ và $EF$.

Xét tam giác $CED$ có $FN$ là đường trung bình nên $\left\{ \begin{array}{l}FN = \dfrac{1}{2}DE = EQ\\FN//ED\end{array} \right. \Rightarrow NFQE$ là hình bình hành nên hai đường chéo $QN$ và $EF$ giao nhau tại trung điểm của mỗi đường. Suy ra $O$ là trung điểm của $QN$ (1) và $EF$.

Xét tam giác $ABF$ có $EM$ là đường trung bình nên $\left\{ \begin{array}{l}EM = \dfrac{1}{2}BF = PF\\EM//PF\end{array} \right. \Rightarrow EMFB$ là hình bình hành nên hai đường chéo $PM$ và $EF$ giao nhau tại trung điểm của mỗi đường. Mà $O$ là trung điểm của $EF$ nên $O$ cũng là trung điểm của $PM$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: tứ giác $QMNP$ có hai đường chéo $QN,PM$ giao nhau tại trung điểm $O$ mỗi đường nên $QMNP$ là hình bình hành (dhnb).

Câu 34 :

A.

$16\,cm$
B.

$38\,cm$
C.

$18\,cm$
D.

$12\,cm$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Bước 1: Trước hết ta chứng minh $ADME$ là hình chữ nhật dựa vào dấu hiệu tứ giác có $3$ góc vuông là hình chữ nhật.

Bước 2: Chứng minh tam giác $BDM$ vuông cân tại $D$ để suy ra $BD = DM$.

Bước 3: Tính chu vi $ADME$ thông độ dài cạnh tam giác vuông cân.

Lời giải chi tiết :

+ Xét tứ giác $ADME$ có $\widehat A = \widehat E = \widehat D = {90^ \circ }$ nên $ADME$ là hình chữ nhật.

+ Xét tam giác $DMB$ có $\widehat B = {45^ \circ }$(do tam giác $ABC$ vuông cân) nên tam giác $BDM$ vuông cân tại $D$. Do đó $DM = BD$.

+ Do $ADME$ là hình chữ nhật nên chu vi $ADME$ là:

$\left( {AD + DM} \right). 2 = \left( {AD + BD} \right). 2 = 8. 2 = 16\left( {cm} \right)$.

Vậy chu vi $ADME$ là $16\,cm$.

Câu 35 :

Tứ giác $ABCD$ có $AB = CD.$ Gọi $M,N$ theo thứ tự là trung đểm của $BC,AD.$ Gọi $I,K$ theo thứ tự là trung điểm của $AC,BD.$ Chọn câu đúng nhất.

A.

$IK$ vuông góc với $MN$
B.

$MN$ là phân giác $\widehat {IMK}$
C.

Cả A, B đều đúng
D.

Cả A, B đều sai

Đáp án : C

Phương pháp giải :

+ Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác.

+ Sử dụng dấu hiệu nhận biết hình thoi và tính chất hình thoi.

Lời giải chi tiết :

Từ giả thiết ta có: $KM;IM;IN;KN$ lần lượt là các đường trung bình của các tam giác $BCD,CAB,ADC,DBA$. (định nghĩa đường trung bình).

Đặt $BA = CD = 2a$.

Áp dụng định lý đường trung bình và giả thiết vào bốn tam giác trên ta được:

$MK = \dfrac{1}{2}CD = a;IM = \dfrac{1}{2}AB = a;NI = \dfrac{1}{2}CD = a;KN = \dfrac{1}{2}AB = a$.

Suy ra $MK = KN = NI = IM$.

Tứ giác $KMIN$ có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi.

Áp dụng tính chất về đường chéo vào hình thoi $KMIN$ ta được: $MN \bot KI;MN$ là đường phân giác $\widehat {KMI}$.

Câu 36 :

Cho hình vuông ABCD. M là điểm nằm trong hình vuông. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của M trên cạnh AB và AD. Tứ giác AEMF là hình vuông khi.

A.

M trên đường chéo AC
B.

M thuộc cạnh DC
C.

M thuộc đường chéo BD
D.

M tùy ý nằm trong hình vuông ABCD

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Dựa vào hai dấu hiệu nhận biết: “Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông”

Sử dụng tính chất hình vuông.

Lời giải chi tiết :

Tứ giác $AFME$ có: $\widehat A = \widehat {AFM} = \widehat {AEM} = 90^\circ $ nên $AEMF$ là hình chữ nhật.

Để hình chữ nhật $AEMF$ là hình vuông thì $AM$ là phân giác $\widehat {EAF}$.

Mà ta lại có: $AC$ là phân giác $\widehat {DAB}$ (do $ABCD$ là hình vuông).

Nên suy ra $M \in AC$.

Câu 37 :

Cho tam giác $ABC$, lấy $M$ thuộc $BC$ sao cho $BM = 4CM$. Hãy chọn câu đúng:

A.

${S_{ABM}} = \dfrac{4}{3}{S_{ABC}}$.
B.

${S_{ABM}} = 5{S_{AMC}}$.
C.

${S_{ABC}} = 5{S_{AMC}}$.
D.

${S_{ABC}} = 4{S_{AMC}}$.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Bước 1: Sử dụng công thức: Diện tích tam giác bằng nửa tích một cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó: $S = \dfrac{1}{2}ah$

Bước 2: Từ đó dựa vào dữ kiện $BM = 4CM$ ta tìm được mối quan hệ diện tích giữa các tam giác.

Lời giải chi tiết :

Kẻ $AH \bot BC$ tại $H$.

Mà $BM = 4CM$$ \Rightarrow BM = \dfrac{4}{5}BC;\,CM = \dfrac{1}{5}BC;\,$

Khi đó ta có:

$\begin{array}{l}{S_{ABM}} = \dfrac{1}{2}.\,AH.BM = \dfrac{1}{2}AH.\dfrac{4}{5}BC\\ = \dfrac{4}{5}.\left( {\dfrac{1}{2}AH.BC} \right) = \dfrac{4}{5}{S_{ABC}}\end{array}$

Suy ra A sai.

$\begin{array}{l}{S_{AMB}} = \dfrac{1}{2}.\,AH.MB = \dfrac{1}{2}AH.4MC\\ = 4.\left( {\dfrac{1}{2}AH.MC} \right) = 4{S_{AMC}}\end{array}$

Suy ra B sai.

${S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}.\,AH.BC = \dfrac{1}{2}AH.5MC = 5{S_{AMC}}$

suy ra C đúng, D sai.

Câu 38 :

A.

$103,5\,\left( {c{m^2}} \right)$
B.

$103\,\left( {c{m^2}} \right)$
C.

$93,5\,\left( {c{m^2}} \right)$
D.

$113,5\,\left( {c{m^2}} \right)$

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Tứ giác $ABED$ có $\widehat A = \widehat D = \widehat E = 90^\circ $ nên là hình chữ nhật.

Suy ra $DE = AB = 10\,cm$ . Do đó: $EC = DC - DE = 13 - 10 = 3\,(cm)$

Ta có:

${S_{BEC}} = \dfrac{1}{2}BE.EC \Rightarrow BE = \dfrac{{2{S_{BEC}}}}{{EC}} = \dfrac{{2.13,5}}{3} = 9\,(cm)$

${S_{ABED}} = AB.BE = 10.9 = 90\,\,\left( {c{m^2}} \right)$

${S_{ABCD}} = {S_{ABED}} + {S_{BEC}} = 90 + 13,5 = 103,5\,(c{m^2})$.

Câu 39 :

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = {x^2} + 2{y^2} - 2xy + 2x - 10y$

A.

$17$.
B.

$0$
C.

$ - 17$.
D.

$ - 10$.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Tách 1 hạng tử thành nhiều hạng tử hoặc thêm, bớt cùng một hạng tử một cách thích hợp để tách biểu thức đã cho thành dạng C = a² + b² + c.

- Khi đó, $A \ge c$ với mọi x.

- Suy ra, giá trị nhỏ nhất của A.

Lời giải chi tiết :

$A = {x^2} + 2{y^2} - 2xy + 2x - 10y$

$\Leftrightarrow A = {x^2} + {y^2} + 1 - 2xy + 2x - 2y + {y^2} - 8y + 16 - 17$

$ \Leftrightarrow A = \left( {{x^2} + {y^2} + {1^2} - 2.x.y + 2.x.1 - 2.y.1} \right) + \left( {{y^2} - 2.4.y + {4^2}} \right) - 17$

$ \Leftrightarrow A = {\left( {x - y + 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} - 17.$

Vì $\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - y + 1} \right)^2} \ge 0\\{\left( {y - 4} \right)^2} \ge 0\end{array} \right.$ với mọi $x,y$ nên $A \ge - 17$ với mọi $x,y.$

$ \Rightarrow A = - 17 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y + 1 = 0\\y - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y - 1\\y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 4\end{array} \right.$

Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là $A = - 17$ tại $\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 4\end{array} \right.$.

Câu 40 :

Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh CD. Tia phân giác của góc ABE cắt AD ở K. Chọn câu đúng.

A.

$AK + CE = BE$
B.

$AK + CE = 2BE$
C.

$AK + CE = \dfrac{{BE}}{2}$
D.

$AK + CE > BE$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Vẽ thêm điểm M trên tia đối của tia CD sao cho $CM = AK$.

Sử dụng tính chất hai tam giác bằng nhau và tính chất tam giác cân.

Lời giải chi tiết :

Trên tia đối của tia CD lấy điểm M sao cho $CM = AK$ . Ta có: $AK + CE = CM + CE = EM$ .

Ta cần chứng minh $EM = BE$ .

Xét $\Delta BAK$ và $\Delta BCM$ có:

$AK = CM$ ( cách vẽ)

$\begin{array}{l}\widehat A = \widehat C = 90^\circ (gt)\\BA = BC(gt)\\ \Rightarrow \Delta BAK = \Delta BCM(c.g.c)\end{array}$

$ \Rightarrow \widehat {ABK} = \widehat {CBM};\widehat {\,\,AKB} = \widehat {CMB}$ (góc tương ứng)

Mà $\widehat {ABK} = \widehat {KBE}$ (gt) nên $\widehat {KBE} = \widehat {CBM}$ (bắc cầu).

Ta có:

$\widehat {EBM} = \widehat {EBC} + \widehat {CBM} = \widehat {EBC} + \widehat {KBE} = \widehat {KBC} = \widehat {AKB}(slt) = \widehat {CMB}$.

Suy ra: tam giác EBM cân tại E (định nghĩa tam giác cân).

$\begin{array}{l} \Rightarrow BE = EM\\ \Rightarrow AK + CE = CM + CE = EM = BE\\ \Rightarrow AK + CE = BE\,\,\,\,\end{array}$.

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3 bước: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Các bài khác cùng chuyên mục

Đề kiểm tra học kì 1 Toán 8 - Đề số 1

Bài giải mới nhất

Báo lỗi góp ý