Đề kiểm tra học kì 1 Toán 8 - Đề số 1
Đề bài
Chọn câu đúng.
-
A.
${\left( {c + d} \right)^2} - {\left( {a + b} \right)^2} = \left( {c + d + a + b} \right)\left( {c + d - a + b} \right)$.
-
B.
${\left( {c - d} \right)^2} - {\left( {a + b} \right)^2} = \left( {c - d + a + b} \right)\left( {c - d - a + b} \right)$.
-
C.
$\left( {a + b + c - d} \right)\left( {a + b - c + d} \right) = {\left( {a + b} \right)^2} - {\left( {c - d} \right)^2}$.
-
D.
${\left( {c - d} \right)^2} - {\left( {a - b} \right)^2} = \left( {c - d + a - b} \right)\left( {c - d - a - b} \right)$.
Đa thức nào sau đây là mẫu thức chung của các phân thức $\dfrac{x}{{3{{\left( {x - y} \right)}^2}}},\dfrac{y}{{x - y}}$
-
A.
\({\left( {x - y} \right)^2}\)
-
B.
\(x - y\)
-
C.
\(3{\left( {x - y} \right)^2}\)
-
D.
\(3{\left( {x - y} \right)^3}\)
Chọn câu sai.
-
A.
Mẫu thức chung của các phân thức \(\dfrac{{2 - a}}{{3a}};\dfrac{1}{4}\) là \(12a\).
-
B.
Mẫu thức chung của các phân thức \(\dfrac{1}{{6a}};\dfrac{{4a + 1}}{{18ab}};\dfrac{{10a}}{{9b}}\) là \(18ab\).
-
C.
Mẫu thức chung của các phân thức \(\dfrac{1}{{{x^2} + 2x + 1}};\dfrac{1}{{{x^2} - 1}}\) là \(\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {x - 1} \right)\).
-
D.
Mẫu thức chung của các phân thức \(\dfrac{1}{{{{\left( {x - 2y} \right)}^2}}};\dfrac{{5x}}{{{{\left( {x - 2y} \right)}^4}}};\dfrac{1}{{3x}}\) là \(3x{\left( {x - 2y} \right)^4}\).
Cho \(56{x^2} - 45y - 40xy + 63x = \left( {7x - 5y} \right)\left( {mx + n} \right)\) với \(m,\,n \in \mathbb{R}\) . Tìm \(m\) và \(n\)
-
A.
\(m = 8;\,n = 9\).
-
B.
\(m = 9;\,n = 8\).
-
C.
\(m = - 8;\,n = 9\).
-
D.
\(m = 8;\,n = - 9\).
Chọn câu trả lời đúng. Tứ giác nào có hai đường chéo vuông góc với nhau?
-
A.
Hình thoi
-
B.
Hình vuông
-
C.
Hình chữ nhật
-
D.
Cả A và B.
Biểu thức \(x - 2\) là kết quả của phép tính nào dưới đây?
-
A.
\(\dfrac{{{x^2} + 4}}{{x - 2}} - \dfrac{{4x}}{{2 - x}}\).
-
B.
\(\dfrac{{{x^2} + 4}}{{x - 2}} + \dfrac{{4x}}{{2 - x}}\).
-
C.
\(\dfrac{{2x}}{{x - 2}} + \dfrac{4}{{{x^2} - 4}}\).
-
D.
\(\dfrac{x}{{x - 2}} + \dfrac{2}{{x - 2}}\).
Chọn câu đúng. Cho hình vẽ sau. Đường trung bình của tam giác \(ABC\) là:
![](https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1563627830130_llllllll.png)
-
A.
\(DE\)
-
B.
\(DF\)
-
C.
\(EF\)
-
D.
Cả A, B, C đều đúng
Cho \(\dfrac{{{x^3} + 1}}{{{x^2} + 2x + 1}}:\dfrac{{3{x^2} - 3x + 3}}{{{x^2} - 1}} = \dfrac{{x - 1}}{{...}}\). Biểu thức thích hợp điền vào chỗ trống là:
-
A.
\({x^2} - x + 1\)
-
B.
\(x + 1\)
-
C.
\(3\)
-
D.
\({x^3} + 1\)
Điền vào chỗ trống \(4{x^2} + 4x - {y^2} + 1 = \left( {...} \right)\left( {2x + y + 1} \right)\):
-
A.
\(2x + y + 1\)
-
B.
\(2x - y + 1\)
-
C.
\(2x - y\)
-
D.
\(2x + y\)
Hai đường chéo hình thoi có độ dài là \(10\,cm\) và \(24\,cm\). Độ dài cạnh hình thoi là:
-
A.
\(14\,cm\)
-
B.
\(7\,cm\)
-
C.
\(13\,cm\)
-
D.
\(22\,cm\)
Hãy chọn câu đúng?
Cho \(\Delta ABC\), \(I,K\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(BC\). Biết \(AC = 10\,cm\). Ta có:
-
A.
\(IK = 4\,cm\)
-
B.
\(IK = 5\,cm\)
-
C.
\(IK = 3,5\,cm\)
-
D.
\(IK = 10\,cm\)
Chọn câu sai.
-
A.
${\left( {x + y} \right)^2} = \left( {x + y} \right)\left( {x + y} \right)$.
-
B.
${x^2} - {y^2} = \left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right)$.
-
C.
${\left( { - x - y} \right)^2} = {\left( { - x} \right)^2} - 2\left( { - x} \right)y + {y^2}$.
-
D.
$\left( {x + y} \right)\left( {x + y} \right) = {y^2} - {x^2}$.
Cho hình thoi \(ABCD\) có chu vi bằng \(24\,cm\), đường cao \(AH\) bằng \(3\,cm\). Tính \(\widehat {DCA}\).
-
A.
\(\widehat {DCA} = 150^\circ \)
-
B.
\(\widehat {DCA} = 70^\circ \)
-
C.
\(\widehat {DCA} = 60^\circ \)
-
D.
\(\widehat {DCA} = 75^\circ \)
Chọn câu sai.
-
A.
\({A^3} + {B^3} \)\( = \left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right)\)
-
B.
\({A^3} - {B^3} \)\( = \left( {A - B} \right)\left( {{A^2} + AB + {B^2}} \right)\)
-
C.
${\left( {A + B} \right)^3} $$= {\left( {B + A} \right)^3}$
-
D.
${\left( {A - B} \right)^3} = {\left( {B - A} \right)^3}$
Viết biểu thức \({x^3} + 12{x^2} + 48x + 64\) dưới dạng lập phương của một tổng
-
A.
\({\left( {x + 4} \right)^3}\).
-
B.
\({\left( {x - 4} \right)^3}\).
-
C.
\({\left( {x - 8} \right)^3}\).
-
D.
\({\left( {x + 8} \right)^3}\).
Với \(B \ne 0,\,D \ne 0\) , hai phân thức \(\dfrac{A}{B}\) và \(\dfrac{C}{D}\) bằng nhau khi
-
A.
\(A.B = C.D\)
-
B.
\(A.C = B.D\)
-
C.
\(A.D = B.C\)
-
D.
\(AC < B.D\)
Câu nào sau đây là đúng khi nói về hình thang:
-
A.
Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song
-
B.
Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối bằng nhau
-
C.
Hình thang là tứ giác có hai cạnh kề bằng nhau
-
D.
Cả A, B, C đều sai
Chia đơn thức \({\left( { - 3x} \right)^5}\) cho đơn thức \({\left( { - 3x} \right)^2}\) ta được kết quả là
-
A.
\( - 9{x^3}\).
-
B.
\(9{x^3}\).
-
C.
\(27{x^3}\).
-
D.
\( - 27{x^3}\).
Thương của phép chia đa thức \(\left( {3{x^4} - 2{x^3} + 4x - 2{x^2} - 8} \right)\) cho đa thức \(\left( {{x^2} - 2} \right)\) có hệ số tự do là
-
A.
\(2\).
-
B.
\(3\).
-
C.
\(1\).
-
D.
\(4\).
Tính số đo các góc của hình bình hành $ABCD$ biết \(\widehat D - \widehat C = {30^0}\). Ta được:
-
A.
$\widehat A = \widehat C = {105^0}\,\& \,\,\widehat B = \widehat D = {75^0}$.
-
B.
$\widehat A = \widehat C = {75^0}\,\& \,\,\widehat B = \widehat D = {105^0}$.
-
C.
$\widehat A = \widehat C = {70^0}\,\& \,\,\widehat B = \widehat D = {110^0}$.
-
D.
$\widehat A = \widehat C = {60^0}\,\& \,\,\widehat B = \widehat D = {120^0}$.
Rút gọn biểu thức \(N = 2{x^n}\left( {3{x^{n + 2}} - 1} \right) - 3{x^{n + 2}}\left( {2{x^n} - 1} \right)\) ta được
-
A.
\(N = 2{x^n} + 3{x^{n + 2}}\)
-
B.
\(N = - 2{x^n} - 3{x^{n + 2}}\)
-
C.
\(N = - 2{x^n} + 3{x^{n + 2}}\)
-
D.
\(N = - 2{x^n} + {x^{n + 2}}\)
Rút gọn rồi tính giá trị các biểu thức \(A = {\left( {3x - 2} \right)^2} + {\left( {3x + 2} \right)^2} + 2\left( {9{x^2} - 6} \right)\) tại \(x = - \dfrac{1}{3}\)
-
A.
\(A = 36{x^2} + 4\) và \(A = 8\) khi \(x = - \dfrac{1}{3}\)
-
B.
\(A = 36{x^2} + 4\) và \(A = 0\) khi \(x = - \dfrac{1}{3}\)
-
C.
\(A = 18{x^2} - 4\) và \(A = \dfrac{1}{2}\) khi \(x = - \dfrac{1}{3}\)
-
D.
\(A = 36{x^2} - 4\) và \(A = 0\) khi \(x = - \dfrac{1}{3}\)
Rút gọn biểu thức \(M = \left( {2x + 3} \right)\left( {4{x^2} - 6x + 9} \right) - 4\left( {2{x^3} - 3} \right)\) ta được giá trị của \(M\) là
-
A.
Một số lẻ
-
B.
Một số chẵn
-
C.
Một số chính phương
-
D.
Một số chia hết cho \(5\)
Tìm giá trị \(x\) thỏa mãn \(3x\left( {x - 2} \right) - x + 2 = 0\)
-
A.
$x = 2;\,x = - \dfrac{1}{3}$.
-
B.
$x = - 2;\,x = \dfrac{1}{3}$.
-
C.
$x = 2;\,x = 3$.
-
D.
\(x = 2;\,x = \dfrac{1}{3}\).
Cho \({\left( {x + y} \right)^3} - {\left( {x - y} \right)^3} \)\(= A.y\left( {B{x^2} + C{y^2}} \right)\), biết $A,\,B,C$ là các số nguyên. Khi đó \(A + B + C\) bằng
-
A.
\(4\).
-
B.
\(5\).
-
C.
\(6\).
-
D.
\(7\).
Có bao nhiêu giá trị $x$ thỏa mãn $4{(x-3)^2}-(2x-1)(2x + 1) = 10$.
-
A.
\(0\).
-
B.
\(2\).
-
C.
\(1\).
-
D.
\(3\).
Giá trị số tự nhiên \(n\) để phép chia \({x^n}:{x^6}\) thực hiện được là:
-
A.
\(n \in \mathbb{N},n < 6\)
-
B.
\(n \in \mathbb{N},n \ge 6\)
-
C.
\(n \in \mathbb{N},n > 6\)
-
D.
\(n \in \mathbb{N},n \le 6\)
Để đa thức \({x^4} + a{x^2} + 1\) chia hết cho \({x^2} + 2x + 1\) thì giá trị của \(a\) là
-
A.
\(a = - 2\).
-
B.
\(a = 1\).
-
C.
\(a = - 1\).
-
D.
\(a = 0\).
Cho \(\dfrac{1}{{1 - x}} + \dfrac{1}{{1 + x}} + \dfrac{2}{{1 + {x^2}}} + \dfrac{4}{{1 + {x^4}}} + \dfrac{8}{{1 + {x^8}}} = \dfrac{{...}}{{1 - {x^{16}}}}\) . Số thích hợp điền vào chỗ trống là
-
A.
\(16\)
-
B.
\(8\)
-
C.
\(4\)
-
D.
\(20\)
Tính giá trị biểu thức \(C = \dfrac{{2{x^3}{y^2}}}{{{x^2}{y^5}{z^2}}}:\dfrac{{5{x^2}y}}{{4{x^2}{y^5}}}:\dfrac{{ - 8{x^3}{y^2}{z^3}}}{{15{x^5}{y^2}}}\) khi \(x = 4;y = 1;z = - 2\) .
-
A.
\(C = 6\)
-
B.
\(C = - 6\).
-
C.
\(C = - 3\).
-
D.
\(C = 3\).
Cho hình thang cân \(MNPQ\) (\(MN\) //\(PQ\)) có góc \(\widehat {MQP} = {45^0}\) và hai đáy có độ dài \(8cm\), \(30cm\). Diện tích của hình thang cân là:
-
A.
\(418\,c{m^2}\)
-
B.
\(209\,c{m^2}\)
-
C.
\(290\,c{m^2}\)
-
D.
\(580\,c{m^2}\)
Cho tam giác \(ABC\), đường trung tuyến \(AM\). Gọi \(D\) là trung điểm của \(AM,E\) là giao điểm của \(BD\) và \(AC,F\) là trung điểm của \(EC\). Tính \(AE\) biết \(AC = 9cm\).
-
A.
\(AE = 4,5\,cm\)
-
B.
\(AE = 3\,cm\)
-
C.
\(AE = 2\,cm\)
-
D.
\(AE = 6\,cm\)
Cho tứ giác \(ABCD\). Gọi \(E\), \(F\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD.\)\(M,N,P,Q\) lần lượt là trung điểm của \(AF,CE,BF,DE\). Khi đó \(MNPQ\) là hình gì? Chọn đáp án đúng nhất.
-
A.
Hình bình hành
-
B.
Hình thang vuông
-
C.
Hình thang cân
-
D.
Hình thang
Cho tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\), \(AC = 8\,cm\), điểm \(M\) thuộc cạnh \(BC\). Gọi \(D,E\) theo thứ tự là các chân đường vuông góc kẻ từ \(M\) đến \(AB,AC\). Chu vi của tứ giác \(ADME\) bằng:
-
A.
\(16\,cm\)
-
B.
\(38\,cm\)
-
C.
\(18\,cm\)
-
D.
\(12\,cm\)
Tứ giác \(ABCD\) có \(AB = CD.\) Gọi \(M,N\) theo thứ tự là trung đểm của \(BC,AD.\) Gọi \(I,K\) theo thứ tự là trung điểm của \(AC,BD.\) Chọn câu đúng nhất.
-
A.
\(IK\) vuông góc với \(MN\)
-
B.
\(MN\) là phân giác \(\widehat {IMK}\)
-
C.
Cả A, B đều đúng
-
D.
Cả A, B đều sai
Cho hình vuông ABCD. M là điểm nằm trong hình vuông. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của M trên cạnh AB và AD. Tứ giác AEMF là hình vuông khi.
-
A.
M trên đường chéo AC
-
B.
M thuộc cạnh DC
-
C.
M thuộc đường chéo BD
-
D.
M tùy ý nằm trong hình vuông ABCD
Cho tam giác \(ABC\), lấy \(M\) thuộc \(BC\) sao cho \(BM = 4CM\). Hãy chọn câu đúng:
-
A.
\({S_{ABM}} = \dfrac{4}{3}{S_{ABC}}\).
-
B.
\({S_{ABM}} = 5{S_{AMC}}\).
-
C.
\({S_{ABC}} = 5{S_{AMC}}\).
-
D.
\({S_{ABC}} = 4{S_{AMC}}\).
Tính diện tích mảnh đất hình thang vuông $ABCD$ có độ dài hai đáy \(AB = 10\,cm;\,DC = 13\,cm;\,\widehat A = \widehat D = 90^\circ \) ( hình vẽ), biết tam giác $BEC$ vuông tại $E$ và có diện tích bằng \(13,5\,c{m^2}\).
![](https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1528945148995_85.png)
-
A.
\(103,5\,\left( {c{m^2}} \right)\)
-
B.
\(103\,\left( {c{m^2}} \right)\)
-
C.
\(93,5\,\left( {c{m^2}} \right)\)
-
D.
\(113,5\,\left( {c{m^2}} \right)\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = {x^2} + 2{y^2} - 2xy + 2x - 10y\)
-
A.
\(17\).
-
B.
\(0\)
-
C.
\( - 17\).
-
D.
\( - 10\).
Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh CD. Tia phân giác của góc ABE cắt AD ở K. Chọn câu đúng.
-
A.
\(AK + CE = BE\)
-
B.
\(AK + CE = 2BE\)
-
C.
\(AK + CE = \dfrac{{BE}}{2}\)
-
D.
\(AK + CE > BE\)
Lời giải và đáp án
Chọn câu đúng.
-
A.
${\left( {c + d} \right)^2} - {\left( {a + b} \right)^2} = \left( {c + d + a + b} \right)\left( {c + d - a + b} \right)$.
-
B.
${\left( {c - d} \right)^2} - {\left( {a + b} \right)^2} = \left( {c - d + a + b} \right)\left( {c - d - a + b} \right)$.
-
C.
$\left( {a + b + c - d} \right)\left( {a + b - c + d} \right) = {\left( {a + b} \right)^2} - {\left( {c - d} \right)^2}$.
-
D.
${\left( {c - d} \right)^2} - {\left( {a - b} \right)^2} = \left( {c - d + a - b} \right)\left( {c - d - a - b} \right)$.
Đáp án : C
Sử dụng công thức hiệu hai bình phương \({A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)\)
Ta có ${\left( {c + d} \right)^2} - {\left( {a + b} \right)^2} = \left( {c + d + a + b} \right)\left( {c + d - \left( {a + b} \right)} \right) = \left( {c + d + a + b} \right)\left( {c + d - a - b} \right)$ nên A sai.
${\left( {c - d} \right)^2} - {\left( {a + b} \right)^2} = \left( {c - d + a + b} \right)\left[ {c - d - \left( {a + b} \right)} \right] = \left( {c - d + a + b} \right)\left( {c - d - a - b} \right)$ nên B sai.
${\left( {c - d} \right)^2} - {\left( {a - b} \right)^2} = \left( {c - d + a - b} \right)\left( {c - d - \left( {a - b} \right)} \right) = \left( {c - d + a - b} \right)\left( {c - d - a + b} \right)$ nên D sai.
$\left( {a + b + c - d} \right)\left( {a + b - c + d} \right) = \left[ {\left( {a + b} \right) + \left( {c - d} \right)} \right]\left[ {\left( {a + b} \right) - \left( {c - d} \right)} \right] = {\left( {a + b} \right)^2} - {\left( {c - d} \right)^2}$
Nên C đúng.
Đa thức nào sau đây là mẫu thức chung của các phân thức $\dfrac{x}{{3{{\left( {x - y} \right)}^2}}},\dfrac{y}{{x - y}}$
-
A.
\({\left( {x - y} \right)^2}\)
-
B.
\(x - y\)
-
C.
\(3{\left( {x - y} \right)^2}\)
-
D.
\(3{\left( {x - y} \right)^3}\)
Đáp án : C
* Tìm mẫu chung
+ Phân tích phần hệ số thành thừa số nguyên tố và phần biến thành nhân tử
+ Mẫu chung bao gồm: phần hệ số là BCNN của các hệ số của mẫu và phần biến là tích giữa các nhân tử chung và riêng mỗi nhân tử lấy số mũ lớn nhất.
Mẫu thức của hai phân thức $\dfrac{x}{{3{{\left( {x - y} \right)}^2}}},\dfrac{y}{{x - y}}$ là \(3{\left( {x - y} \right)^2}\) và \(\left( {x - y} \right)\)
Nên mẫu thức chung có phần hệ số là \(3\) , phần biến số là \({\left( {x - y} \right)^2}\) \( \Rightarrow \) Mẫu thức chung \(3{\left( {x - y} \right)^2}\) .
Chọn câu sai.
-
A.
Mẫu thức chung của các phân thức \(\dfrac{{2 - a}}{{3a}};\dfrac{1}{4}\) là \(12a\).
-
B.
Mẫu thức chung của các phân thức \(\dfrac{1}{{6a}};\dfrac{{4a + 1}}{{18ab}};\dfrac{{10a}}{{9b}}\) là \(18ab\).
-
C.
Mẫu thức chung của các phân thức \(\dfrac{1}{{{x^2} + 2x + 1}};\dfrac{1}{{{x^2} - 1}}\) là \(\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {x - 1} \right)\).
-
D.
Mẫu thức chung của các phân thức \(\dfrac{1}{{{{\left( {x - 2y} \right)}^2}}};\dfrac{{5x}}{{{{\left( {x - 2y} \right)}^4}}};\dfrac{1}{{3x}}\) là \(3x{\left( {x - 2y} \right)^4}\).
Đáp án : C
Tìm mẫu chung:
+ Phân tích phần hệ số thành thừa số nguyên tố và phần biến thành nhân tử.
+ Mẫu chung bao gồm: phần hệ số là BCNN của các hệ số của mẫu và phần biến là tích giữa các nhân tử chung và riêng mỗi nhân tử lấy số mũ lớn nhất.
+ Hai phân thức \(\dfrac{{2 - a}}{{3a}};\dfrac{1}{4}\) có mẫu là \(3a;4\) nên mẫu thức chung là \(12a\), do đó A đúng.
+ Các phân thức \(\dfrac{1}{{6a}};\dfrac{{4a + 1}}{{18ab}};\dfrac{{10a}}{{9b}}\) có mẫu là \(6a;18ab;9b\) nên mẫu thức chung là \(18ab\), do đó B đúng.
+ Các phân thức \(\dfrac{1}{{{x^2} + 2x + 1}};\dfrac{1}{{{x^2} - 1}}\) có mẫu là \({x^2} + 2x + 1 = {\left( {x + 1} \right)^2};{x^2} - 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right).\) Nên mẫu thức chung là \(\left( {x - 1} \right){\left( {x + 1} \right)^2} = \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\), do đó C sai.
+ Các phân thức \(\dfrac{1}{{{{\left( {x - 2y} \right)}^2}}};\dfrac{{5x}}{{{{\left( {x - 2y} \right)}^4}}};\dfrac{1}{{3x}}\) có mẫu là \({\left( {x - 2y} \right)^2};{\left( {x - 2y} \right)^4};3x\) nên mẫu thức chung là \(3x{\left( {x - 2y} \right)^4}\), do đó D đúng.
Cho \(56{x^2} - 45y - 40xy + 63x = \left( {7x - 5y} \right)\left( {mx + n} \right)\) với \(m,\,n \in \mathbb{R}\) . Tìm \(m\) và \(n\)
-
A.
\(m = 8;\,n = 9\).
-
B.
\(m = 9;\,n = 8\).
-
C.
\(m = - 8;\,n = 9\).
-
D.
\(m = 8;\,n = - 9\).
Đáp án : A
Ta có \(56{x^2} - 45y - 40xy + 63x = \left( {56{x^2} + 63x} \right) - \left( {45y + 40xy} \right) = 7x\left( {8x + 9} \right) - 5y\left( {8x + 9} \right) = \left( {8x + 9} \right)\left( {7x - 5y} \right)\)
Suy ra \(m = 8;\,n = 9\) .
Chọn câu trả lời đúng. Tứ giác nào có hai đường chéo vuông góc với nhau?
-
A.
Hình thoi
-
B.
Hình vuông
-
C.
Hình chữ nhật
-
D.
Cả A và B.
Đáp án : D
+ Hình thoi và hình vuông đều có hai đường chéo vuông góc với nhau.
Biểu thức \(x - 2\) là kết quả của phép tính nào dưới đây?
-
A.
\(\dfrac{{{x^2} + 4}}{{x - 2}} - \dfrac{{4x}}{{2 - x}}\).
-
B.
\(\dfrac{{{x^2} + 4}}{{x - 2}} + \dfrac{{4x}}{{2 - x}}\).
-
C.
\(\dfrac{{2x}}{{x - 2}} + \dfrac{4}{{{x^2} - 4}}\).
-
D.
\(\dfrac{x}{{x - 2}} + \dfrac{2}{{x - 2}}\).
Đáp án : B
Ta có \(\dfrac{{{x^2} + 4}}{{x - 2}} - \dfrac{{4x}}{{2 - x}} = \dfrac{{{x^2} + 4}}{{x - 2}} + \dfrac{{4x}}{{x - 2}} = \dfrac{{{x^2} + 4x + 4}}{{x - 2}}\)\( = \dfrac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{x - 2}}\) nên A sai.
* \(\dfrac{{{x^2} + 4}}{{x - 2}} + \dfrac{{4x}}{{2 - x}}\)\( = \dfrac{{{x^2} + 4}}{{x - 2}} - \dfrac{{4x}}{{x - 2}} = \dfrac{{{x^2} - 4x + 4}}{{x - 2}} = \dfrac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{x - 2}} = x - 2\) nên B đúng.
* \(\dfrac{{2x}}{{x - 2}} + \dfrac{4}{{{x^2} - 4}}\)\( = \dfrac{{2x}}{{x - 2}} + \dfrac{4}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \dfrac{{2x\left( {x + 2} \right) + 4}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \dfrac{{2{x^2} + 4x + 4}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}\) nên C sai.
* \(\dfrac{{{x^2}}}{{x - 2}} - \dfrac{4}{{x - 2}}\)\( = \dfrac{{{x^2} - 4}}{{x - 2}} = \dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x - 2}} = x + 2\) nên D sai.
Chọn câu đúng. Cho hình vẽ sau. Đường trung bình của tam giác \(ABC\) là:
![](https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1563627830130_llllllll.png)
-
A.
\(DE\)
-
B.
\(DF\)
-
C.
\(EF\)
-
D.
Cả A, B, C đều đúng
Đáp án : D
Ta sử dụng định nghĩa: "Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác”.
Xét tam giác \(ABC\) có \(D,E,F\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(AB,AC,BC\) nên \(DE,DF,EF\) là ba đường trung bình của tam giác \(ABC.\)
Cho \(\dfrac{{{x^3} + 1}}{{{x^2} + 2x + 1}}:\dfrac{{3{x^2} - 3x + 3}}{{{x^2} - 1}} = \dfrac{{x - 1}}{{...}}\). Biểu thức thích hợp điền vào chỗ trống là:
-
A.
\({x^2} - x + 1\)
-
B.
\(x + 1\)
-
C.
\(3\)
-
D.
\({x^3} + 1\)
Đáp án : C
Bước 1: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu có thể).
Bước 2: Thực hiện phép chia hai phân thức: \(\dfrac{A}{B}:\dfrac{C}{D} = \dfrac{A}{B}.\dfrac{D}{C};\,\,\left( {\dfrac{C}{D} \ne 0} \right)\)
Bước 3: Rút gọn phân thức thu được.
Ta có: \(\dfrac{{{x^3} + 1}}{{{x^2} + 2x + 1}}:\dfrac{{3{x^2} - 3x + 3}}{{{x^2} - 1}} \)\(= \dfrac{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}.\dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{3\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}\)\( = \dfrac{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right).\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}.3\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}\) \( = \dfrac{{x - 1}}{3}\)
Vậy số cần điền là \(3\).
Điền vào chỗ trống \(4{x^2} + 4x - {y^2} + 1 = \left( {...} \right)\left( {2x + y + 1} \right)\):
-
A.
\(2x + y + 1\)
-
B.
\(2x - y + 1\)
-
C.
\(2x - y\)
-
D.
\(2x + y\)
Đáp án : B
- Đặt nhân tử chung, dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ hoặc nhóm các hạng tử một cách thích hợp để xuất hiện hằng đẳng thức hoặc nhân tử chung mới.
- Đặt nhân tử chung để được tích các đa thức.
- So sánh với yêu cầu của đề bài để chọn đáp án đúng.
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,4{x^2} + 4x - {y^2} + 1\\ = \left( {{{\left( {2x} \right)}^2} + 2.2x + 1} \right) - {y^2}\\ = {\left( {2x + 1} \right)^2} - {y^2}\\ = \left( {2x + 1 - y} \right)\left( {2x + 1 + y} \right)\\ = \left( {2x - y + 1} \right)\left( {2x + y + 1} \right).\end{array}\)
Vậy đa thức trong chỗ trống là \(2x - y + 1\).
Hai đường chéo hình thoi có độ dài là \(10\,cm\) và \(24\,cm\). Độ dài cạnh hình thoi là:
-
A.
\(14\,cm\)
-
B.
\(7\,cm\)
-
C.
\(13\,cm\)
-
D.
\(22\,cm\)
Đáp án : C
Tính \(AO,BO\), áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông \(AOB\) để tính cạnh \(AB\).
![](https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1564115909602_333333.png)
Giả sử hình thoi \(ABCD\) có đường chéo \(AC\) vuông góc với \(BD\) tại \(O\), \(BD = 10\,cm;\,AC = 24\,cm\).
Suy ra \(BO = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{1}{2}. 12 = 6\,(cm);\,\)\(AO = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{2}. 24 = 12(cm)\).
Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông \(AOB\) vuông tại \(O\) ta có:
\(AB = \sqrt {A{O^2} + B{O^2}} = \sqrt {{5^2} + {{12}^2}} = 13\,(cm)\).
Hãy chọn câu đúng?
Cho \(\Delta ABC\), \(I,K\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(BC\). Biết \(AC = 10\,cm\). Ta có:
-
A.
\(IK = 4\,cm\)
-
B.
\(IK = 5\,cm\)
-
C.
\(IK = 3,5\,cm\)
-
D.
\(IK = 10\,cm\)
Đáp án : B
Ta sử dụng định lý đường trung bình của tam giác để tính độ dài.
Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
![](https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1563629742333_mmmm.png)
+ Vì \(I,K\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(BC\) nên \(IK\) là đường trung bình của tam giác \(ABC \Rightarrow IK = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{2}.10 = 5\,cm\).
Vậy \(IK = 5\,cm\).
Chọn câu sai.
-
A.
${\left( {x + y} \right)^2} = \left( {x + y} \right)\left( {x + y} \right)$.
-
B.
${x^2} - {y^2} = \left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right)$.
-
C.
${\left( { - x - y} \right)^2} = {\left( { - x} \right)^2} - 2\left( { - x} \right)y + {y^2}$.
-
D.
$\left( {x + y} \right)\left( {x + y} \right) = {y^2} - {x^2}$.
Đáp án : D
Sử dụng các công thức \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\), \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\) , \({A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)\)
Ta có
$\left( {x + y} \right)\left( {x + y} \right) = {\left( {x + y} \right)^2} = {x^2} + 2xy + {y^2} \ne {y^2} - {x^2}$ nên câu D sai.
Cho hình thoi \(ABCD\) có chu vi bằng \(24\,cm\), đường cao \(AH\) bằng \(3\,cm\). Tính \(\widehat {DCA}\).
-
A.
\(\widehat {DCA} = 150^\circ \)
-
B.
\(\widehat {DCA} = 70^\circ \)
-
C.
\(\widehat {DCA} = 60^\circ \)
-
D.
\(\widehat {DCA} = 75^\circ \)
Đáp án : D
Bước 1: Tính cạnh hình thoi dựa vào chu vi của nó.
Bước 2: Sử dụng tính chất: “Trong tam giác vuông nếu độ dài một cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền thì góc đối diện với cạnh góc vuông đó bằng \(30^\circ \)” và tính chất hình thoi để tính các góc của nó.
![](https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1563857244532_wwwww.png)
Vì chu vi hình thoi là \(24\,cm\) nên cạnh hình thoi có độ dài \(24:\,4 = 6\,cm\). Suy ra \(AD = 6\,cm\).
Xét tam giác \(AHD\) vuông tại \(H\) có: \(AH = \dfrac{1}{2}AD \Rightarrow \widehat {ADH} = 30^\circ \) (tính chất)
Suy ra \(\widehat {DAB} = 180^\circ - \widehat {ADC} = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ \) (vì \(ABCD\) là hình thoi)
Nên hình thoi \(ABCD\) có: \(\,\widehat A = \widehat C = 150^\circ \) (vì hai góc đối bằng nhau).
Lại có: \(CA\) là tia phân giác \(\widehat {DCB}\) (tính chất hình thoi) nên \(\widehat {DCA} = \dfrac{1}{2}\widehat {DCB} = \dfrac{1}{2}. 150^\circ = 75^\circ \).
Chọn câu sai.
-
A.
\({A^3} + {B^3} \)\( = \left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right)\)
-
B.
\({A^3} - {B^3} \)\( = \left( {A - B} \right)\left( {{A^2} + AB + {B^2}} \right)\)
-
C.
${\left( {A + B} \right)^3} $$= {\left( {B + A} \right)^3}$
-
D.
${\left( {A - B} \right)^3} = {\left( {B - A} \right)^3}$
Đáp án : D
Sử dụng công thức tổng hai lập phương và hiệu hai lập phương
\({A^3} + {B^3} \)\( = \left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right)\)
\({A^3} - {B^3}\)\( = \left( {A - B} \right)\left( {{A^2} + AB + {B^2}} \right)\)
Ta có \({A^3} + {B^3} \)\( = \left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right)\) và \({A^3} - {B^3}\)\( = \left( {A - B} \right)\left( {{A^2} + AB + {B^2}} \right)\) nên A, B đúng.
Vì \(A + B = B + A \)
\( \Rightarrow {\left( {A + B} \right)^3} \)\( = {\left( {B + A} \right)^3}\) nên C đúng.
Vì \(A - B = - \left( {B - A} \right)\)
\( \Rightarrow {\left( {A - B} \right)^3} \)\( = - {\left( {B - A} \right)^3}\) nên D sai.
Viết biểu thức \({x^3} + 12{x^2} + 48x + 64\) dưới dạng lập phương của một tổng
-
A.
\({\left( {x + 4} \right)^3}\).
-
B.
\({\left( {x - 4} \right)^3}\).
-
C.
\({\left( {x - 8} \right)^3}\).
-
D.
\({\left( {x + 8} \right)^3}\).
Đáp án : A
Sử dụng công thức lập phương của một tổng \({A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3} = {\left( {A + B} \right)^3}\)
Ta có \({x^3} + 12{x^2} + 48x + 64 \)\(= {x^3} + 3{x^2}.4 + 3.x{.4^2} + {4^3} \)\(= {\left( {x + 4} \right)^3}\)
Với \(B \ne 0,\,D \ne 0\) , hai phân thức \(\dfrac{A}{B}\) và \(\dfrac{C}{D}\) bằng nhau khi
-
A.
\(A.B = C.D\)
-
B.
\(A.C = B.D\)
-
C.
\(A.D = B.C\)
-
D.
\(AC < B.D\)
Đáp án : C
Với hai phân thức \(\dfrac{A}{B}\) và \(\dfrac{C}{D}\), ta nói \(\dfrac{A}{B} = \dfrac{C}{D}\) nếu $A.D = B.C$ .
Câu nào sau đây là đúng khi nói về hình thang:
-
A.
Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song
-
B.
Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối bằng nhau
-
C.
Hình thang là tứ giác có hai cạnh kề bằng nhau
-
D.
Cả A, B, C đều sai
Đáp án : A
Theo định nghĩa: “Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song” nên A đúng.
Chia đơn thức \({\left( { - 3x} \right)^5}\) cho đơn thức \({\left( { - 3x} \right)^2}\) ta được kết quả là
-
A.
\( - 9{x^3}\).
-
B.
\(9{x^3}\).
-
C.
\(27{x^3}\).
-
D.
\( - 27{x^3}\).
Đáp án : D
* Sử dụng quy tắc chia đơn thức cho đơn thức.
Muốn chia đơn thức \(A\) cho đơn thức \(B\) (trong trường hợp \(A\) chia hết cho \(B\) ) ta làm như sau:
+ Chia hệ số của đơn thức \(A\) cho hệ số của đơn thức \(B\)
+ Chia lũy thừa của từng biến trong \(A\) cho lũy thừa của cùng biến đó trong \(B\) .
+ Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau.
* Sử dụng công thức chia hai lũy thừa cùng cơ số
Ta có \({\left( { - 3x} \right)^5}:{\left( { - 3x} \right)^2} \)\(= {\left( { - 3x} \right)^3} \)\(= {\left( { - 3} \right)^3}.{x^3} = - 27{x^3}\).
Thương của phép chia đa thức \(\left( {3{x^4} - 2{x^3} + 4x - 2{x^2} - 8} \right)\) cho đa thức \(\left( {{x^2} - 2} \right)\) có hệ số tự do là
-
A.
\(2\).
-
B.
\(3\).
-
C.
\(1\).
-
D.
\(4\).
Đáp án : D
- Đặt phép chia.
- Chia hạng tử bậc cao nhất của đa thức bị chia cho hạng tử bậc cao nhất của đa thức chia.
- Nhân kết quả tìm được với đa thức chia, rồi lấy đa thức bị chia trừ đi tích nhận được, hiệu tìm được gọi là dư thứ nhất.
- Chia hạng tử bậc cao nhất của dư thứ nhất cho hạng tử bậc cao nhất của đa thức chia, được kết quả lại thực hiện tương tự như trên, cho đến khi dư cuối cùng không thể chia được nữa.
Ta có: \(\left( {3{x^4} - 2{x^3} + 4x - 2{x^2} - 8} \right):\left( {{x^2} - 2} \right) \)\(= \left( {3{x^4} - 2{x^3} - 2{x^2} + 4x - 8} \right):\left( {{x^2} - 2} \right)\)
\(\left( {3{x^4} - 2{x^3} + 4x - 2{x^2} - 8} \right):\left( {{x^2} - 2} \right) = 3{x^2} - 2x + 4\)
Hệ số tự do của thương là \(4.\)
Tính số đo các góc của hình bình hành $ABCD$ biết \(\widehat D - \widehat C = {30^0}\). Ta được:
-
A.
$\widehat A = \widehat C = {105^0}\,\& \,\,\widehat B = \widehat D = {75^0}$.
-
B.
$\widehat A = \widehat C = {75^0}\,\& \,\,\widehat B = \widehat D = {105^0}$.
-
C.
$\widehat A = \widehat C = {70^0}\,\& \,\,\widehat B = \widehat D = {110^0}$.
-
D.
$\widehat A = \widehat C = {60^0}\,\& \,\,\widehat B = \widehat D = {120^0}$.
Đáp án : B
Sử dụng tính chất hình bình hành và định lí tổng các góc trong một tứ giác
Trong hình bình hành $ABCD$ có: \(\widehat A = \widehat C,\widehat B = \widehat D\) (tính chất), \(\widehat D - \widehat C = {30^0} \Rightarrow \widehat D = \widehat C + 30^\circ \) nên \(\widehat B = \widehat D = \widehat C + 30^\circ \)
Theo định lí tổng các góc trong tứ giác ta có:
$\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = 360^\circ \Rightarrow 2\left( {\widehat A + \widehat B} \right) = 360^\circ \Rightarrow \widehat A + \widehat B = 180^\circ $\( \Leftrightarrow \widehat C + \widehat C + 30^\circ = 180^\circ \Rightarrow 2\widehat C = 150^\circ \) \( \Leftrightarrow \widehat C = 75^\circ \)
$ \Rightarrow \widehat D = \widehat C + 30^\circ = 75^\circ + 30^\circ = 105^\circ $
Do đó $\widehat A = \widehat C = {75^0}\,\& \,\,\widehat B = \widehat D = {105^0}$.
Rút gọn biểu thức \(N = 2{x^n}\left( {3{x^{n + 2}} - 1} \right) - 3{x^{n + 2}}\left( {2{x^n} - 1} \right)\) ta được
-
A.
\(N = 2{x^n} + 3{x^{n + 2}}\)
-
B.
\(N = - 2{x^n} - 3{x^{n + 2}}\)
-
C.
\(N = - 2{x^n} + 3{x^{n + 2}}\)
-
D.
\(N = - 2{x^n} + {x^{n + 2}}\)
Đáp án : C
Sử dụng các quy tắc nhân đơn thức với đa thức và sử dụng công thức \({x^m}.{x^n} = {x^{m + n}}\) rồi rút gọn \(A\)
Ta có \(N = 2{x^n}\left( {3{x^{n + 2}} - 1} \right) - 3{x^{n + 2}}\left( {2{x^n} - 1} \right)\)
\(\begin{array}{l}N = 2{x^n}\left( {3{x^{n + 2}} - 1} \right) - 3{x^{n + 2}}\left( {2{x^n} - 1} \right)\\ = 2{x^n}.3{x^{n + 2}} - 2{x^n}.1 - 3{x^{n + 2}}.2{x^n} - 3{x^{n + 2}}.\left( { - 1} \right)\\ = 6{x^{n + n + 2}} - 2{x^n} - 6.{x^{n + 2 + n}} + 3{x^{n + 2}}\\ = 6{x^{2n + 2}} - 6{x^{2n + 2}} - 2{x^n} + 3{x^{n + 2}}\\ = - 2{x^n} + 3.{x^{n + 2}}\end{array}\)
Vậy \(N = - 2{x^n} + 3{x^{n + 2}}\)
Rút gọn rồi tính giá trị các biểu thức \(A = {\left( {3x - 2} \right)^2} + {\left( {3x + 2} \right)^2} + 2\left( {9{x^2} - 6} \right)\) tại \(x = - \dfrac{1}{3}\)
-
A.
\(A = 36{x^2} + 4\) và \(A = 8\) khi \(x = - \dfrac{1}{3}\)
-
B.
\(A = 36{x^2} + 4\) và \(A = 0\) khi \(x = - \dfrac{1}{3}\)
-
C.
\(A = 18{x^2} - 4\) và \(A = \dfrac{1}{2}\) khi \(x = - \dfrac{1}{3}\)
-
D.
\(A = 36{x^2} - 4\) và \(A = 0\) khi \(x = - \dfrac{1}{3}\)
Đáp án : D
Sử dụng các hằng đẳng thức \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2};{\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\) để rút gọn A
Thay \(x = - \dfrac{1}{3}\) vào biểu thức đã rút gọn để tính toán
Ta có \(A = {\left( {3x - 2} \right)^2} + {\left( {3x + 2} \right)^2} + 2\left( {9{x^2} - 6} \right)\)
\( = {\left( {3x} \right)^2} - 2.3x.2 + {2^2} + {\left( {3x} \right)^2} + 2.3x.2 + {2^2} + 18{x^2} - 12\)
\( = 9{x^2} - 12x + 4 + 9{x^2} + 12x + 4 + 18{x^2} - 12\)
\( = 36{x^2} - 4\)
Vậy \(A = 36{x^2} - 4\)
Thay \(x = - \dfrac{1}{3}\) vào \(A = 36{x^2} - 4\) ta được \(A = 36{\left( { - \dfrac{1}{3}} \right)^2} - 4 = 36.\dfrac{1}{9} - 4 = 0\)
Rút gọn biểu thức \(M = \left( {2x + 3} \right)\left( {4{x^2} - 6x + 9} \right) - 4\left( {2{x^3} - 3} \right)\) ta được giá trị của \(M\) là
-
A.
Một số lẻ
-
B.
Một số chẵn
-
C.
Một số chính phương
-
D.
Một số chia hết cho \(5\)
Đáp án : A
Sử dụng hằng đẳng thức \(\left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right) = {A^3} + {B^3}\) để phân tích và rút gọn \(M\)
Ta có \(M = \left( {2x + 3} \right)\left( {4{x^2} - 6x + 9} \right) - 4\left( {2{x^3} - 3} \right)\)\( = \left( {2x + 3} \right)\left[ {{{\left( {2x} \right)}^2} - 2x.3 + {3^2}} \right] - 8{x^3} + 12\)
\( = {\left( {2x} \right)^3} + {3^3} - 8{x^3} + 12 = 8{x^3} + 27 - 8{x^3} + 12 = 39\).
Vậy giá trị của \(M\) là một số lẻ.
Tìm giá trị \(x\) thỏa mãn \(3x\left( {x - 2} \right) - x + 2 = 0\)
-
A.
$x = 2;\,x = - \dfrac{1}{3}$.
-
B.
$x = - 2;\,x = \dfrac{1}{3}$.
-
C.
$x = 2;\,x = 3$.
-
D.
\(x = 2;\,x = \dfrac{1}{3}\).
Đáp án : D
+ Sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung để phân tích đa thức thành nhân tử
+ Từ đó đưa về dạng \(A.B = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.\)
Ta có \(3x\left( {x - 2} \right) - x + 2 = 0\)\( \Leftrightarrow 3x\left( {x - 2} \right) - \left( {x - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {3x - 1} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\3x - 1 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\3x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = \dfrac{1}{3}\end{array} \right.\)
Vậy \(x = 2;\,x = \dfrac{1}{3}\)
Cho \({\left( {x + y} \right)^3} - {\left( {x - y} \right)^3} \)\(= A.y\left( {B{x^2} + C{y^2}} \right)\), biết $A,\,B,C$ là các số nguyên. Khi đó \(A + B + C\) bằng
-
A.
\(4\).
-
B.
\(5\).
-
C.
\(6\).
-
D.
\(7\).
Đáp án : C
Sử dụng hằng đẳng thức
\({A^3} - {B^3} \)\(= \left( {A - B} \right)\left( {{A^2} + AB + {B^2}} \right)\) để phân tích đa thức thành nhân tử.
Sau đó sử dụng các hằng đẳng thức \({A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right);\,{\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2},\) \(\,{\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\) để biến đổi.
Ta có \({\left( {x + y} \right)^3} - {\left( {x - y} \right)^3} \)\(= \left[ {x + y - \left( {x - y} \right)} \right]\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} + \left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right) + {{\left( {x - y} \right)}^2}} \right]\)
\( = \left( {x + y - x + y} \right)\left( {{x^2} + 2xy + {y^2} + {x^2} - {y^2} + {x^2} - 2xy + {y^2}} \right)\)\( = 2y\left( {3{x^2} + {y^2}} \right) \Rightarrow A = 2;\,B = 3;\,C = 1\)
Suy ra \(A + B + C = 2 + 3 + 1 = 6\) .
Có bao nhiêu giá trị $x$ thỏa mãn $4{(x-3)^2}-(2x-1)(2x + 1) = 10$.
-
A.
\(0\).
-
B.
\(2\).
-
C.
\(1\).
-
D.
\(3\).
Đáp án : C
Sử dụng các hằng đẳng thức để biến đổi về dạng tìm \(x\) thường gặp.
Ta có $4{(x-3)^2}-(2x-1)(2x + 1) = 10$\( \Leftrightarrow 4\left( {{x^2} - 6x + 9} \right) - \left( {4{x^2} - 1} \right) = 10 \Leftrightarrow 4{x^2} - 24x + 36 - 4{x^2} + 1 - 10 = 0\)
\( \Leftrightarrow - 24x + 27 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{9}{8}\) .
Vậy có một giá trị $x$ thỏa mãn.
Giá trị số tự nhiên \(n\) để phép chia \({x^n}:{x^6}\) thực hiện được là:
-
A.
\(n \in \mathbb{N},n < 6\)
-
B.
\(n \in \mathbb{N},n \ge 6\)
-
C.
\(n \in \mathbb{N},n > 6\)
-
D.
\(n \in \mathbb{N},n \le 6\)
Đáp án : B
Sử dụng quy tắc ${x^m}:{x^n} = {x^{m - n}}$ với \(x \ne 0;\,m,n \in \mathbb{N};\,m \ge n\).
Để phép chia \({x^n}:{x^6} = {x^{n - 6}}\) thực hiện được thì \(n \in \mathbb{N};\,n - 6 \ge 0 \Leftrightarrow \,n \ge 6;\,n \in \mathbb{N}\)
Để đa thức \({x^4} + a{x^2} + 1\) chia hết cho \({x^2} + 2x + 1\) thì giá trị của \(a\) là
-
A.
\(a = - 2\).
-
B.
\(a = 1\).
-
C.
\(a = - 1\).
-
D.
\(a = 0\).
Đáp án : A
+ Sử dụng cách chia đa thức một biến đã sắp xếp.
+ Sử dụng nhận xét: Nếu phép chia có phần dư \(R = 0\) thì phép chia đó là phép chia hết.
Chú ý: \(Ax + B = 0\) với \(\forall x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.\) .
Ta có
![](https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1528257324778_Untitled10.png)
Phần dư của phép chia đa thức \({x^4} + a{x^2} + 1\) chia hết cho\({x^2} + 2x + 1\) là \(R = \left( { - 2a - 4} \right)x - a - 2\) .
Để phép chia trên là phép chia hết thì \(R = 0 \Leftrightarrow \left( { - 2a - 4} \right)x - a - 2 = 0\) với mọi $x$
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a - 4 = 0\\ - a - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow a = - 2\) .
Cho \(\dfrac{1}{{1 - x}} + \dfrac{1}{{1 + x}} + \dfrac{2}{{1 + {x^2}}} + \dfrac{4}{{1 + {x^4}}} + \dfrac{8}{{1 + {x^8}}} = \dfrac{{...}}{{1 - {x^{16}}}}\) . Số thích hợp điền vào chỗ trống là
-
A.
\(16\)
-
B.
\(8\)
-
C.
\(4\)
-
D.
\(20\)
Đáp án : A
Bước 1: Quy đồng mẫu thức lần lượt, sử dụng hằng đẳng thức \({a^2} - {b^2} = \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)\) .
Bước 2: Thực hiện phép cộng (trừ) các phân thức cùng mẫu: Cộng hoặc trừ tử với tử, mẫu chung giữ nguyên.
Ta có \(\dfrac{1}{{1 - x}} + \dfrac{1}{{1 + x}} + \dfrac{2}{{1 + {x^2}}} + \dfrac{4}{{1 + {x^4}}} + \dfrac{8}{{1 + {x^8}}} = \dfrac{{1 + x + 1 - x}}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}} + \dfrac{2}{{1 + {x^2}}} + \dfrac{4}{{1 + {x^4}}} + \dfrac{8}{{1 + {x^8}}}\)
\( = \dfrac{2}{{1 - {x^2}}} + \dfrac{2}{{1 + {x^2}}} + \dfrac{4}{{1 + {x^4}}} + \dfrac{8}{{1 + {x^8}}} = \dfrac{{2\left( {1 + {x^2}} \right) + 2\left( {1 - {x^2}} \right)}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 + {x^2}} \right)}} + \dfrac{4}{{1 + {x^4}}} + \dfrac{8}{{1 + {x^8}}}\)
\( = \dfrac{4}{{1 - {x^4}}} + \dfrac{4}{{1 + {x^4}}} + \dfrac{8}{{1 + {x^8}}} = \dfrac{{4\left( {1 + {x^4}} \right) + 4\left( {1 - {x^4}} \right)}}{{\left( {1 - {x^4}} \right)\left( {1 + {x^4}} \right)}} + \dfrac{8}{{1 + {x^8}}}\)
\( = \dfrac{8}{{1 - {x^8}}} + \dfrac{8}{{1 + {x^8}}} = \dfrac{{8\left( {1 + {x^8}} \right) + 8\left( {1 - {x^8}} \right)}}{{\left( {1 - {x^8}} \right)\left( {1 + {x^8}} \right)}} = \dfrac{{16}}{{1 - {x^{16}}}}\) .
Vậy số cần điền là \(16\) .
Tính giá trị biểu thức \(C = \dfrac{{2{x^3}{y^2}}}{{{x^2}{y^5}{z^2}}}:\dfrac{{5{x^2}y}}{{4{x^2}{y^5}}}:\dfrac{{ - 8{x^3}{y^2}{z^3}}}{{15{x^5}{y^2}}}\) khi \(x = 4;y = 1;z = - 2\) .
-
A.
\(C = 6\)
-
B.
\(C = - 6\).
-
C.
\(C = - 3\).
-
D.
\(C = 3\).
Đáp án : A
Bước 1: Sử dụng phép chia hai phân thức: \(\dfrac{A}{B}:\dfrac{C}{D} = \dfrac{A}{B}.\dfrac{D}{C};\,\,\left( {\dfrac{C}{D} \ne 0} \right)\). Thực hiện phép chia từ trái qua phải.
Bước 2: Rút gọn phân thức thu được.
Bước 3: Thay các giá trị của \(x,\,y,\,z\) vào biểu thức đã rút gọn rồi tính.
Ta có \(C = \dfrac{{2{x^3}{y^2}}}{{{x^2}{y^5}{z^2}}}:\dfrac{{5{x^2}y}}{{4{x^2}{y^5}}}:\dfrac{{ - 8{x^3}{y^2}{z^3}}}{{15{x^5}{y^2}}}\)\( = \dfrac{{2{x^3}{y^2}}}{{{x^2}{y^5}{z^2}}}.\dfrac{{4{x^2}{y^5}}}{{5{x^2}y}}:\dfrac{{ - 8{x^3}{y^2}{z^3}}}{{15{x^5}{y^2}}} = \dfrac{{8{x^5}{y^7}}}{{5{x^4}{y^6}{z^2}}}:\dfrac{{ - 8{x^3}{y^2}{z^3}}}{{15{x^5}{y^2}}}\)
$ = \dfrac{{8xy}}{{5{z^2}}}:\dfrac{{ - 8{x^3}{y^2}{z^3}}}{{15{x^5}{y^2}}} $$= \dfrac{{8xy}}{{5{z^2}}}.\dfrac{{15{x^5}{y^2}}}{{ - 8{x^3}{y^2}{z^3}}} $$= \dfrac{{120{x^6}{y^3}}}{{ - 40{x^3}{y^2}{z^5}}} $$= \dfrac{{ - 3{x^3}y}}{{{z^5}}}$ . Vậy \(C = \dfrac{{ - 3{x^3}y}}{{{z^5}}}.\)
Thay \(x = 4;y = 1;z = - 2\) vào \(C = \dfrac{{ - 3{x^3}y}}{{{z^5}}}\) ta được \(C = \dfrac{{ - {{3.4}^3}.1}}{{{{\left( { - 2} \right)}^5}}} = 6.\)
Cho hình thang cân \(MNPQ\) (\(MN\) //\(PQ\)) có góc \(\widehat {MQP} = {45^0}\) và hai đáy có độ dài \(8cm\), \(30cm\). Diện tích của hình thang cân là:
-
A.
\(418\,c{m^2}\)
-
B.
\(209\,c{m^2}\)
-
C.
\(290\,c{m^2}\)
-
D.
\(580\,c{m^2}\)
Đáp án : B
Bước 1: Kẻ các đường cao \(MH,\,NK\). Sử dụng tính chất về cạnh của hình thang cân để tính chiều cao hình thang.
Bước 2: Áp dụng công thức diện tích \({S_{MNPQ}} = \dfrac{{\left( {MN + PQ} \right).MH}}{2}\).
![](https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1563853550336_55555555.png)
Kẻ \(MH \bot QP;\,NK \bot QP\) tại \(H,\,K \Rightarrow MH{\rm{//}}NK\).
Tứ giác \(MNHK\) có: \(MN{\rm{//}}HK\) nên \(MNHK\) là hình thang, lại có \(MH{\rm{//}}NK \Rightarrow MN = HK;\,MH = NK\).
(Vì hình thang có hai cạnh bên song song thì hai cạnh bên bằng nhau và hai cạnh đáy bằng nhau)
Lại có: \(MQ = NP\) (vì \(MNPQ\) là hình thang cân) suy ra \(\Delta MQH = \Delta NKP\,\left( {ch - cgv} \right)\)\( \Rightarrow QH = KP = \dfrac{{QP - HK}}{2}\)
Mà \(HK = MN = 8\,cm\) nên \(QH = KP = \dfrac{{30 - 8}}{2} = 11\,cm\).
Mà \(\widehat {MQP} = 45^\circ \Rightarrow \Delta MHQ\) vuông cân tại \(H \Rightarrow MH = QH = 11\,cm\).
Diện tích hình thang cân \(MNPQ\) là \({S_{MNPQ}} = \dfrac{{\left( {MN + PQ} \right).MH}}{2} = \dfrac{{\left( {8 + 30} \right).11}}{2} = 209\,c{m^2}\).
Cho tam giác \(ABC\), đường trung tuyến \(AM\). Gọi \(D\) là trung điểm của \(AM,E\) là giao điểm của \(BD\) và \(AC,F\) là trung điểm của \(EC\). Tính \(AE\) biết \(AC = 9cm\).
-
A.
\(AE = 4,5\,cm\)
-
B.
\(AE = 3\,cm\)
-
C.
\(AE = 2\,cm\)
-
D.
\(AE = 6\,cm\)
Đáp án : B
Bước 1: Sử dụng các dấu hiệu nhận biết đường trung bình để chứng minh các đoạn thẳng là đường trung bình của tam giác.
Bước 2: Từ đó rút ra các mối liện hệ giữa các đoạn thẳng.
![](https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1563631903363_uuuuuu.png)
Xét tam giác \(BEM\) có \(BM = MC,EF = FC\) nên \(MF\) là đường trung bình của tam giác \(BEC\). Do đó \(MF{\rm{//}}BE\).
Xét tam giác \(AMF\) có \(AD = DM,DE//MF\) nên \(DE\) là đường trung bình của tam giác \(AMF\). Do đó \(AE = EF\).
Do đó \(AE = EF = FC\) nên \(AE = \dfrac{1}{3}AC = \dfrac{1}{3}. 9 = 3cm\).
Cho tứ giác \(ABCD\). Gọi \(E\), \(F\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD.\)\(M,N,P,Q\) lần lượt là trung điểm của \(AF,CE,BF,DE\). Khi đó \(MNPQ\) là hình gì? Chọn đáp án đúng nhất.
-
A.
Hình bình hành
-
B.
Hình thang vuông
-
C.
Hình thang cân
-
D.
Hình thang
Đáp án : A
Bước 1: Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác để chứng minh các cạnh song song và bằng nhau.
Bước 2: Sử dụng dấu hiệu nhận biết “tứ giác có hai đường chéo giao nhau tại trung điểm mỗi đường”.
![](https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1563638694420_8888888888.png)
Nối \(EF;EP,FQ,EM,PM,QN\). Gọi \(O\) là giao của \(QN\) và \(EF\).
Xét tam giác \(CED\) có \(FN\) là đường trung bình nên \(\left\{ \begin{array}{l}FN = \dfrac{1}{2}DE = EQ\\FN//ED\end{array} \right. \Rightarrow NFQE\) là hình bình hành nên hai đường chéo \(QN\) và \(EF\) giao nhau tại trung điểm của mỗi đường. Suy ra \(O\) là trung điểm của \(QN\) (1) và \(EF\).
Xét tam giác \(ABF\) có \(EM\) là đường trung bình nên \(\left\{ \begin{array}{l}EM = \dfrac{1}{2}BF = PF\\EM//PF\end{array} \right. \Rightarrow EMFB\) là hình bình hành nên hai đường chéo \(PM\) và \(EF\) giao nhau tại trung điểm của mỗi đường. Mà \(O\) là trung điểm của \(EF\) nên \(O\) cũng là trung điểm của \(PM\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: tứ giác \(QMNP\) có hai đường chéo \(QN,PM\) giao nhau tại trung điểm \(O\) mỗi đường nên \(QMNP\) là hình bình hành (dhnb).
Cho tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\), \(AC = 8\,cm\), điểm \(M\) thuộc cạnh \(BC\). Gọi \(D,E\) theo thứ tự là các chân đường vuông góc kẻ từ \(M\) đến \(AB,AC\). Chu vi của tứ giác \(ADME\) bằng:
-
A.
\(16\,cm\)
-
B.
\(38\,cm\)
-
C.
\(18\,cm\)
-
D.
\(12\,cm\)
Đáp án : A
Bước 1: Trước hết ta chứng minh \(ADME\) là hình chữ nhật dựa vào dấu hiệu tứ giác có \(3\) góc vuông là hình chữ nhật.
Bước 2: Chứng minh tam giác \(BDM\) vuông cân tại \(D\) để suy ra \(BD = DM\).
Bước 3: Tính chu vi \(ADME\) thông độ dài cạnh tam giác vuông cân.
![](https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1563680776824_4444444444.png)
+ Xét tứ giác \(ADME\) có \(\widehat A = \widehat E = \widehat D = {90^ \circ }\) nên \(ADME\) là hình chữ nhật.
+ Xét tam giác \(DMB\) có \(\widehat B = {45^ \circ }\)(do tam giác \(ABC\) vuông cân) nên tam giác \(BDM\) vuông cân tại \(D\). Do đó \(DM = BD\).
+ Do \(ADME\) là hình chữ nhật nên chu vi \(ADME\) là:
\(\left( {AD + DM} \right). 2 = \left( {AD + BD} \right). 2 = 8. 2 = 16\left( {cm} \right)\).
Vậy chu vi \(ADME\) là \(16\,cm\).
Tứ giác \(ABCD\) có \(AB = CD.\) Gọi \(M,N\) theo thứ tự là trung đểm của \(BC,AD.\) Gọi \(I,K\) theo thứ tự là trung điểm của \(AC,BD.\) Chọn câu đúng nhất.
-
A.
\(IK\) vuông góc với \(MN\)
-
B.
\(MN\) là phân giác \(\widehat {IMK}\)
-
C.
Cả A, B đều đúng
-
D.
Cả A, B đều sai
Đáp án : C
+ Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác.
+ Sử dụng dấu hiệu nhận biết hình thoi và tính chất hình thoi.
![](https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1563858360613_yyyyyyy.png)
Từ giả thiết ta có: \(KM;IM;IN;KN\) lần lượt là các đường trung bình của các tam giác \(BCD,CAB,ADC,DBA\). (định nghĩa đường trung bình).
Đặt \(BA = CD = 2a\).
Áp dụng định lý đường trung bình và giả thiết vào bốn tam giác trên ta được:
\(MK = \dfrac{1}{2}CD = a;IM = \dfrac{1}{2}AB = a;NI = \dfrac{1}{2}CD = a;KN = \dfrac{1}{2}AB = a\).
Suy ra \(MK = KN = NI = IM\).
Tứ giác \(KMIN\) có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi.
Áp dụng tính chất về đường chéo vào hình thoi \(KMIN\) ta được: \(MN \bot KI;MN\) là đường phân giác \(\widehat {KMI}\).
Cho hình vuông ABCD. M là điểm nằm trong hình vuông. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của M trên cạnh AB và AD. Tứ giác AEMF là hình vuông khi.
-
A.
M trên đường chéo AC
-
B.
M thuộc cạnh DC
-
C.
M thuộc đường chéo BD
-
D.
M tùy ý nằm trong hình vuông ABCD
Đáp án : A
Dựa vào hai dấu hiệu nhận biết: “Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông”
Sử dụng tính chất hình vuông.
![](https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1563898425039_444444444.png)
Tứ giác \(AFME\) có: \(\widehat A = \widehat {AFM} = \widehat {AEM} = 90^\circ \) nên \(AEMF\) là hình chữ nhật.
Để hình chữ nhật \(AEMF\) là hình vuông thì \(AM\) là phân giác \(\widehat {EAF}\).
Mà ta lại có: \(AC\) là phân giác \(\widehat {DAB}\) (do \(ABCD\) là hình vuông).
Nên suy ra \(M \in AC\).
Cho tam giác \(ABC\), lấy \(M\) thuộc \(BC\) sao cho \(BM = 4CM\). Hãy chọn câu đúng:
-
A.
\({S_{ABM}} = \dfrac{4}{3}{S_{ABC}}\).
-
B.
\({S_{ABM}} = 5{S_{AMC}}\).
-
C.
\({S_{ABC}} = 5{S_{AMC}}\).
-
D.
\({S_{ABC}} = 4{S_{AMC}}\).
Đáp án : C
Bước 1: Sử dụng công thức: Diện tích tam giác bằng nửa tích một cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó: \(S = \dfrac{1}{2}ah\)
Bước 2: Từ đó dựa vào dữ kiện \(BM = 4CM\) ta tìm được mối quan hệ diện tích giữa các tam giác.
![](https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1564155558652_222.png)
Kẻ \(AH \bot BC\) tại \(H\).
Mà \(BM = 4CM\)\( \Rightarrow BM = \dfrac{4}{5}BC;\,CM = \dfrac{1}{5}BC;\,\)
Khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}{S_{ABM}} = \dfrac{1}{2}.\,AH.BM = \dfrac{1}{2}AH.\dfrac{4}{5}BC\\ = \dfrac{4}{5}.\left( {\dfrac{1}{2}AH.BC} \right) = \dfrac{4}{5}{S_{ABC}}\end{array}\)
Suy ra A sai.
\(\begin{array}{l}{S_{AMB}} = \dfrac{1}{2}.\,AH.MB = \dfrac{1}{2}AH.4MC\\ = 4.\left( {\dfrac{1}{2}AH.MC} \right) = 4{S_{AMC}}\end{array}\)
Suy ra B sai.
\({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}.\,AH.BC = \dfrac{1}{2}AH.5MC = 5{S_{AMC}}\)
suy ra C đúng, D sai.
Tính diện tích mảnh đất hình thang vuông $ABCD$ có độ dài hai đáy \(AB = 10\,cm;\,DC = 13\,cm;\,\widehat A = \widehat D = 90^\circ \) ( hình vẽ), biết tam giác $BEC$ vuông tại $E$ và có diện tích bằng \(13,5\,c{m^2}\).
![](https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1528945148995_85.png)
-
A.
\(103,5\,\left( {c{m^2}} \right)\)
-
B.
\(103\,\left( {c{m^2}} \right)\)
-
C.
\(93,5\,\left( {c{m^2}} \right)\)
-
D.
\(113,5\,\left( {c{m^2}} \right)\)
Đáp án : A
Tứ giác $ABED$ có \(\widehat A = \widehat D = \widehat E = 90^\circ \) nên là hình chữ nhật.
Suy ra \(DE = AB = 10\,cm\) . Do đó: \(EC = DC - DE = 13 - 10 = 3\,(cm)\)
Ta có:
\({S_{BEC}} = \dfrac{1}{2}BE.EC \Rightarrow BE = \dfrac{{2{S_{BEC}}}}{{EC}} = \dfrac{{2.13,5}}{3} = 9\,(cm)\)
\({S_{ABED}} = AB.BE = 10.9 = 90\,\,\left( {c{m^2}} \right)\)
\({S_{ABCD}} = {S_{ABED}} + {S_{BEC}} = 90 + 13,5 = 103,5\,(c{m^2})\).
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = {x^2} + 2{y^2} - 2xy + 2x - 10y\)
-
A.
\(17\).
-
B.
\(0\)
-
C.
\( - 17\).
-
D.
\( - 10\).
Đáp án : C
- Tách 1 hạng tử thành nhiều hạng tử hoặc thêm, bớt cùng một hạng tử một cách thích hợp để tách biểu thức đã cho thành dạng C = a2 + b2 + c.
- Khi đó, \(A \ge c\) với mọi x.
- Suy ra, giá trị nhỏ nhất của A.
\(A = {x^2} + 2{y^2} - 2xy + 2x - 10y\)
\(\Leftrightarrow A = {x^2} + {y^2} + 1 - 2xy + 2x - 2y + {y^2} - 8y + 16 - 17\)
\( \Leftrightarrow A = \left( {{x^2} + {y^2} + {1^2} - 2.x.y + 2.x.1 - 2.y.1} \right) + \left( {{y^2} - 2.4.y + {4^2}} \right) - 17\)
\( \Leftrightarrow A = {\left( {x - y + 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} - 17.\)
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - y + 1} \right)^2} \ge 0\\{\left( {y - 4} \right)^2} \ge 0\end{array} \right.\) với mọi \(x,y\) nên \(A \ge - 17\) với mọi \(x,y.\)
\( \Rightarrow A = - 17 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y + 1 = 0\\y - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y - 1\\y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 4\end{array} \right.\)
Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là \(A = - 17\) tại \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 4\end{array} \right.\).
Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh CD. Tia phân giác của góc ABE cắt AD ở K. Chọn câu đúng.
-
A.
\(AK + CE = BE\)
-
B.
\(AK + CE = 2BE\)
-
C.
\(AK + CE = \dfrac{{BE}}{2}\)
-
D.
\(AK + CE > BE\)
Đáp án : A
Vẽ thêm điểm M trên tia đối của tia CD sao cho \(CM = AK\).
Sử dụng tính chất hai tam giác bằng nhau và tính chất tam giác cân.
![](https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1563899982624_9999999.png)
Trên tia đối của tia CD lấy điểm M sao cho \(CM = AK\) . Ta có: \(AK + CE = CM + CE = EM\) .
Ta cần chứng minh \(EM = BE\) .
Xét \(\Delta BAK\) và \(\Delta BCM\) có:
\(AK = CM\) ( cách vẽ)
\(\begin{array}{l}\widehat A = \widehat C = 90^\circ (gt)\\BA = BC(gt)\\ \Rightarrow \Delta BAK = \Delta BCM(c.g.c)\end{array}\)
\( \Rightarrow \widehat {ABK} = \widehat {CBM};\widehat {\,\,AKB} = \widehat {CMB}\) (góc tương ứng)
Mà \(\widehat {ABK} = \widehat {KBE}\) (gt) nên \(\widehat {KBE} = \widehat {CBM}\) (bắc cầu).
Ta có:
\(\widehat {EBM} = \widehat {EBC} + \widehat {CBM} = \widehat {EBC} + \widehat {KBE} = \widehat {KBC} = \widehat {AKB}(slt) = \widehat {CMB}\).
Suy ra: tam giác EBM cân tại E (định nghĩa tam giác cân).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow BE = EM\\ \Rightarrow AK + CE = CM + CE = EM = BE\\ \Rightarrow AK + CE = BE\,\,\,\,\end{array}\).