Đề thi toán 9, đề kiểm tra toán 9 có đáp án và lời giải chi tiết

Đề kiểm tra giữa học kì 1 Toán 9 - Đề số 1

Tổng hợp đề thi học kì 2 lớp 9 tất cả các môn

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh - Sử - Địa - GDCD

Làm đề thi

Đề bài

Câu 1 :

Cho $\alpha $ và $\beta $ là hai góc nhọn bất kỳ thỏa mãn $\alpha + \beta = 90^\circ $. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.

$\tan \alpha = \sin \beta $
B.

$\tan \alpha = \cot \beta $
C.

$\tan \alpha = \cos \alpha $
D.

$\tan \alpha = \tan \beta $

Câu 2 :

Cho số thực $a > 0$. Căn bậc hai số học của $a$ là $x$ khi và chỉ khi

A.

$x = \sqrt a $
B.

$\sqrt x = a$
C.

${a^2} = x\,$ và $x \ge 0$
D.

${x^2} = a\,$ và $x \ge 0$

Câu 3 :

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.

$\sqrt[3]{a} = x \Leftrightarrow {a^3} = x$
B.

$\sqrt[3]{a} = - x \Leftrightarrow {a^3} = - x$
C.

$\sqrt[3]{a} = x \Leftrightarrow a = {x^3}$
D.

$\sqrt[3]{a} = - x \Leftrightarrow a = {x^3}$

Câu 4 :

Tính $x$ trong hình vẽ sau (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

A.

$x \approx 8,81$
B.

$x \approx 8,82$
C.

$x \approx 8,83$
D.

$x \approx 8,80$

Câu 5 :

Kết quả của phép tính $\sqrt {\dfrac{{81}}{{169}}} $ là?

A.

$\dfrac{9}{{13}}$
B.

$\dfrac{9}{{169}}$
C.

$\dfrac{3}{{13}}$
D.

$\dfrac{{13}}{9}$

Câu 6 :

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$ (như hình vẽ). Hệ thức nào sau đây là đúng?

A.

$A{H^2} = AB.AC$
B.

$A{H^2} = BH.CH$
C.

$A{H^2} = AB.BH$
D.

$A{H^2} = CH.BC$

Câu 7 :

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $BC = 9\,cm,\,\,AC = 5cm.$ Tính tỉ số lượng giác $\tan C$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ $1$ )

A.

$\tan C \approx 0,67$
B.

$\tan C \approx 0,5$
C.

$\tan C \approx 1,4$
D.

$\tan C \approx 1,5$

Câu 8 :

Một cầu trượt trong công viên có độ dốc là ${28^0}$ và có độ cao là $2,1m.$Tính độ dài của mặt cầu trượt (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

A.

$3,95\,m$
B.

$3,8\,m$
C.

$4,5\,m$
D.

$4,47\,m$

Câu 9 :

So sánh hai số $5$ và $\sqrt {50} - 2$.

A.

$5 > \sqrt {50} - 2$
B.

$5 = \sqrt {50} - 2$
C.

$5 < \sqrt {50} - 2$
D.

Chưa đủ điều kiện để so sánh.

Câu 10 :

Đưa thừa số $5y\sqrt y $ ($y \ge 0$) vào trong dấu căn ta được

A.

$\sqrt {5{y^2}} $
B.

$\sqrt {25{y^3}} $
C.

$\sqrt {5{y^3}} $
D.

$\sqrt {25y\sqrt y } $

Câu 11 :

Phép tính $\sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2}{{.7}^2}} $ có kết quả là?

A.

$35$
B.

$5$
C.

$ - 35$
D.

Không tồn tại.

Câu 12 :

Cho $\alpha $ là góc nhọn bất kỳ. Chọn khẳng định đúng.

A.

$\sin \alpha + \cos \alpha = 1$
B.

${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$
C.

${\sin ^3}\alpha + {\cos ^3}\alpha = 1$
D.

$\sin \alpha - cos\alpha = 1$

Câu 13 :

Cho $a$ là số không âm, $b$ là số dương. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.

$\sqrt {\dfrac{a}{b}} = \dfrac{{\sqrt a }}{b}$
B.

$\sqrt {\dfrac{a}{b}} = \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}$
C.

$\sqrt {\dfrac{a}{b}}=\dfrac{{ - \sqrt a }}{{\sqrt b }}$
D.

$\sqrt {\dfrac{a}{b}}=\dfrac{a}{{\sqrt b }}$

Câu 14 :

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $BC = 15\,cm,\widehat B = 55^\circ .$ Tính $AC;\widehat C$ . (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

A.

$AC \approx 12,29;\widehat C = 45^\circ $
B.

$AC \approx 12,29;\widehat C = 35^\circ $
C.

$AC \approx 12,2;\widehat C = 35^\circ $
D.

$AC \approx 12,92;\widehat C = 40^\circ $

Câu 15 :

Tính $x,y$ trong hình vẽ sau:

A.

$x = 6,5;y = 9,5$
B.

$x = 6,25;y = 9,75$
C.

$x = 9,25;y = 6,75$
D.

$x = 6;y = 10$

Câu 16 :

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $C$ có $AC = 1\,cm,\,\,BC = 2\,cm.$ Tính các tỉ số lượng giác $\sin B;\cos B$

A.

$\sin B = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }};\cos B = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}$
B.

$\sin B = \dfrac{{\sqrt 5 }}{5};\cos B = \dfrac{{2\sqrt 5 }}{5}$
C.

$\sin B = \dfrac{1}{2};\cos B = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}$
D.

$\sin B = \dfrac{{2\sqrt 5 }}{5};\cos B = \dfrac{{\sqrt 5 }}{5}$

Câu 17 :

Tính giá trị biểu thức $\sqrt {19 + 8\sqrt 3 } + \sqrt {19 - 8\sqrt 3 } $.

A.

$2\sqrt 3 $
B.

$8 + 2\sqrt 3 $
C.

$6$
D.

$8$

Câu 18 :

Giá trị biểu thức $\sqrt {5x + 3} .\sqrt {5x - 3} $ khi $x = \sqrt {3,6} $ là:

A.

$3,6$
B.

$3$
C.

$81$
D.

$9$

Câu 19 :

Rút gọn biểu thức $4{a^4}{b^2}.\sqrt {\dfrac{9}{{{a^8}{b^4}}}} $ với $ab \ne 0$ ta được

A.

$\dfrac{{{a^2}}}{b}$
B.

$12$
C.

$6$
D.

$36$

Câu 20 :

Rút gọn biểu thức $\dfrac{a}{{\sqrt 5 + 1}} + \dfrac{a}{{\sqrt 5 - 2}} - \dfrac{a}{{3 - \sqrt 5 }} - \sqrt 5 a$ ta được

A.

$2a$
B.

$a$
C.

$3a$
D.

$12a$

Câu 21 :

Rút gọn biểu thức $5\sqrt a - 4b\sqrt {25{a^3}} + 5a\sqrt {16a{b^2}} - \sqrt {9a} $ với $a \ge 0;b \ge 0$ ta được kết quả là

A.

$2\sqrt {2a} $
B.

$4\sqrt a $
C.

$8\sqrt a $
D.

$2\sqrt a $

Câu 22 :

Cho $P = \dfrac{2}{{\sqrt x + 1}}$.

Có bao nhiêu giá trị $x \in \mathbb{Z}$ để $P \in \mathbb{Z}$ ?

A.

$1$
B.

$2$
C.

$0$
D.

$4$

Câu 23 :

Rút gọn biểu thức $2\sqrt a - \sqrt {9{a^3}} + {a^2}\sqrt {\dfrac{{16}}{a}} + \dfrac{2}{{{a^2}}}\sqrt {36{a^5}} $ với $a > 0$ ta được

A.

$14\sqrt a + a\sqrt a $
B.

$14\sqrt a - a\sqrt a $
C.

$14\sqrt a + 2a\sqrt a $
D.

$20\sqrt a - 2a\sqrt a $

Câu 24 :

Thu gọn biểu thức $\dfrac{{\sqrt[3]{{ - 64{a^5}{b^5}}}}}{{\sqrt[3]{{{a^2}{b^2}}}}}$ ta được:

A.

$4ab$
B.

$ - 8ab$
C.

$16ab$
D.

$ - 4ab$

Câu 25 :

Tính $x,y$ trong hình vẽ sau:

A.

$x = 3,2;y = 1,8$
B.

$x = 1,8;y = 3,2$
C.

$x = 2;y = 3$
D.

$x = 3;y = 2$

Câu 26 :

Tính $x,y$ trong hình vẽ sau:

A.

$x = \dfrac{{35\sqrt {74} }}{{74}};y = \sqrt {74} $
B.

$y = \dfrac{{35\sqrt {74} }}{{74}};x= \sqrt {74} $
C.

$x = 4;y = 6$
D.

$x = 2,8;y = 7,2$

Câu 27 :

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$ có $AB = 13\,cm,\,BH = 0,5\,dm$ Tính tỉ số lượng giác $\sin C$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ $2$ )

A.

$\sin C \approx 0,35$
B.

$\sin C \approx 0,37$
C.

$\sin C \approx 0,39$
D.

$\sin C \approx 0,38$

Câu 28 :

Tính giá trị biểu thức $B = \tan 10^\circ .\tan 20^\circ .\tan 30^\circ .....tan80^\circ $

A.

$B = 44$
B.

$B = 1$
C.

$B = 45$
D.

$B = 2$

Câu 29 :

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AC = 7\,cm,AB = \,5cm$. Tính $BC;\widehat C$ .

A.

$BC = \sqrt {74} (cm);\widehat C \approx 35^\circ 32'$
B.

$BC = \sqrt {74} (cm);\widehat C \approx 36^\circ 32'$
C.

$BC = \sqrt {74} (cm) ;\widehat C \approx 35^\circ 33'$
D.

$BC = \sqrt {75} (cm) ;\widehat C \approx 35^\circ 32'$

Câu 30 :

Cho tam giác $ABC$ có $AB = 16,AC = 14$ và $\widehat B = {60^0}$. Tính $BC$

A.

$BC = 10$
B.

$BC = 11$
C.

$BC = 9$
D.

$BC = 12$

Câu 31 :

Một máy bay đang bay ở độ cao $12km$ so với mặt đất, muốn hạ cánh xuống sân bay. Để đường bay và mặt đất hợp thành một góc an toàn là ${12^0}$ thì phi công phải bắt đầu hạ cánh từ vị trí cách sân bay bao xa? ( làm tròn kết quả đến một chữ số phần thập phân)

A.

$56,6\,km$
B.

$56,5\,km$
C.

$55,6\,km$
D.

$57\,km$

Câu 32 :

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = \sqrt {{m^2} + 2m + 1} + \sqrt {{m^2} - 8m + 16} $.

A.

$2$
B.

$9$
C.

$5$
D.

$10$

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Cho $\alpha $ và $\beta $ là hai góc nhọn bất kỳ thỏa mãn $\alpha + \beta = 90^\circ $. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.

$\tan \alpha = \sin \beta $
B.

$\tan \alpha = \cot \beta $
C.

$\tan \alpha = \cos \alpha $
D.

$\tan \alpha = \tan \beta $

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

Với hai góc $\alpha ,\beta $ mà $\alpha + \beta = {90^0}$.

Ta có: $\sin \alpha = \cos \beta ;\cos \alpha = \sin \beta ;$

$\tan \alpha = \cot \beta ;\cot \alpha = \tan \beta $.

Câu 2 :

Cho số thực $a > 0$. Căn bậc hai số học của $a$ là $x$ khi và chỉ khi

A.

$x = \sqrt a $
B.

$\sqrt x = a$
C.

${a^2} = x\,$ và $x \ge 0$
D.

${x^2} = a\,$ và $x \ge 0$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức về căn bậc hai số học, lưu ý rằng căn hậc hai số học của một số không âm luôn là một số không âm.

Lời giải chi tiết :

Với số dương $a$, số $x$ được gọi là căn bậc hai số học của $a$ khi và chỉ khi $\sqrt a = x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} = a\end{array} \right.$

Câu 3 :

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.

$\sqrt[3]{a} = x \Leftrightarrow {a^3} = x$
B.

$\sqrt[3]{a} = - x \Leftrightarrow {a^3} = - x$
C.

$\sqrt[3]{a} = x \Leftrightarrow a = {x^3}$
D.

$\sqrt[3]{a} = - x \Leftrightarrow a = {x^3}$

Đáp án : C

Lời giải chi tiết :

Với $a$ ta có $\sqrt[3]{a} = x \Leftrightarrow a = {x^3}$

Và $\sqrt[3]{a} = - x \Leftrightarrow a = {\left( { - x} \right)^3} \Leftrightarrow a = - {x^3}$

Câu 4 :

Tính $x$ trong hình vẽ sau (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

A.

$x \approx 8,81$
B.

$x \approx 8,82$
C.

$x \approx 8,83$
D.

$x \approx 8,80$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Tính $x$ theo hệ thức lượng $\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}}$

Lời giải chi tiết :

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông $ABC$ ta có:

$\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}}$

$ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{{A{B^2} + A{C^2}}}{{A{B^2}.A{C^2}}} $$\Leftrightarrow A{H^2} = \dfrac{{A{B^2}.A{C^2}}}{{A{B^2} + A{C^2} }}$

$ \Rightarrow AH = \dfrac{{AB.AC}}{{\sqrt {A{B^2} + A{C^2}} }} = \dfrac{{12.13}}{{\sqrt {{{12}^2} + {{13}^2}} }} \approx 8,82$

Vậy $x \approx 8,82$.

Câu 5 :

Kết quả của phép tính $\sqrt {\dfrac{{81}}{{169}}} $ là?

A.

$\dfrac{9}{{13}}$
B.

$\dfrac{9}{{169}}$
C.

$\dfrac{3}{{13}}$
D.

$\dfrac{{13}}{9}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức khai phương một thương: Với số $a$ không âm và số $b$ dương , ta có $\sqrt {\dfrac{a}{b}} = \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}$.

Lời giải chi tiết :

$\sqrt {\dfrac{{81}}{{169}}} = \dfrac{{\sqrt {81} }}{{\sqrt {169} }} = \dfrac{{\sqrt {{9^2}} }}{{\sqrt {{{13}^2}} }} = \dfrac{9}{{13}}$

Câu 6 :

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$ (như hình vẽ). Hệ thức nào sau đây là đúng?

A.

$A{H^2} = AB.AC$
B.

$A{H^2} = BH.CH$
C.

$A{H^2} = AB.BH$
D.

$A{H^2} = CH.BC$

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Khi đó ta có hệ thức $H{A^2} = HB.HC$

Câu 7 :

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $BC = 9\,cm,\,\,AC = 5cm.$ Tính tỉ số lượng giác $\tan C$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ $1$ )

A.

$\tan C \approx 0,67$
B.

$\tan C \approx 0,5$
C.

$\tan C \approx 1,4$
D.

$\tan C \approx 1,5$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Bước 1: Tính cạnh còn lại theo định lý Pytago

Bước 2: Sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn

Lời giải chi tiết :

Theo định lý Py-ta-go ta có: $B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} \Rightarrow AB = \sqrt {{9^2} - {5^2}} = 2\sqrt {14} $

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $C$ có $\tan C = \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{2\sqrt {14} }}{5} \approx 1,5$

Câu 8 :

Một cầu trượt trong công viên có độ dốc là ${28^0}$ và có độ cao là $2,1m.$Tính độ dài của mặt cầu trượt (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

A.

$3,95\,m$
B.

$3,8\,m$
C.

$4,5\,m$
D.

$4,47\,m$

Đáp án : D

Lời giải chi tiết :

Ta có độ dài của mặt cầu trượt là $AB$; $AC = 2,1\,m$ và $\widehat {ABC} = 28^\circ $

Xét tam giác $ACB$ vuông tại $A$ có

$BC = AB:\sin B = 2,1:\sin 28^\circ \simeq 4,47\,m$

Vậy độ dài của mặt cầu trượt là $4,47\,m.$

Câu 9 :

So sánh hai số $5$ và $\sqrt {50} - 2$.

A.

$5 > \sqrt {50} - 2$
B.

$5 = \sqrt {50} - 2$
C.

$5 < \sqrt {50} - 2$
D.

Chưa đủ điều kiện để so sánh.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

So sánh hai căn bậc hai: Với hai số $a,b$ không âm ta có $a < b \Leftrightarrow \sqrt a < \sqrt b $.

Lời giải chi tiết :

Tách $5 = 7 - 2 = \sqrt {49} - 2$.

Vì $49 < 50 \Leftrightarrow \sqrt {49} < \sqrt {50} $$ \Leftrightarrow 7 < \sqrt {50} \Leftrightarrow 7 - 2 < \sqrt {50} - 2 $$\Leftrightarrow 5 < \sqrt {50} - 2$.

Câu 10 :

Đưa thừa số $5y\sqrt y $ ($y \ge 0$) vào trong dấu căn ta được

A.

$\sqrt {5{y^2}} $
B.

$\sqrt {25{y^3}} $
C.

$\sqrt {5{y^3}} $
D.

$\sqrt {25y\sqrt y } $

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Đưa thừa số vào trong dấu căn

+) $A\sqrt B = \sqrt {{A^2}B} $ với $A \ge 0$ và $B \ge 0$

+) $A\sqrt B = - \sqrt {{A^2}B} $ với $A < 0$ và $B \ge 0$

Lời giải chi tiết :

Ta có $5y\sqrt y $$ = \sqrt {{{\left( {5y} \right)}^2}y} = \sqrt {25{y^2}.y} = \sqrt {25{y^3}} $.

Câu 11 :

Phép tính $\sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2}{{.7}^2}} $ có kết quả là?

A.

$35$
B.

$5$
C.

$ - 35$
D.

Không tồn tại.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

-Sử dụng công thức khai phương một tích: Với hai số $a,b$ không âm, ta có $\sqrt a .\sqrt b = \sqrt {ab} $

-Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$

Lời giải chi tiết :

Cách giải:

$\sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2}{{.7}^2}} = \sqrt {{{\left( { - 5} \right)}^2}} .\sqrt {{7^2}} = \left| { - 5} \right|.\left| 7 \right| = 5.7 = 35$.

Câu 12 :

Cho $\alpha $ là góc nhọn bất kỳ. Chọn khẳng định đúng.

A.

$\sin \alpha + \cos \alpha = 1$
B.

${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$
C.

${\sin ^3}\alpha + {\cos ^3}\alpha = 1$
D.

$\sin \alpha - cos\alpha = 1$

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

Cho $\alpha $ là góc nhọn bất kỳ, khi đó ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$

Câu 13 :

Cho $a$ là số không âm, $b$ là số dương. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.

$\sqrt {\dfrac{a}{b}} = \dfrac{{\sqrt a }}{b}$
B.

$\sqrt {\dfrac{a}{b}} = \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}$
C.

$\sqrt {\dfrac{a}{b}}=\dfrac{{ - \sqrt a }}{{\sqrt b }}$
D.

$\sqrt {\dfrac{a}{b}}=\dfrac{a}{{\sqrt b }}$

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

Với số $a$ không âm và số $b$ dương , ta có $\sqrt {\dfrac{a}{b}} = \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}$.

Câu 14 :

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $BC = 15\,cm,\widehat B = 55^\circ .$ Tính $AC;\widehat C$ . (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

A.

$AC \approx 12,29;\widehat C = 45^\circ $
B.

$AC \approx 12,29;\widehat C = 35^\circ $
C.

$AC \approx 12,2;\widehat C = 35^\circ $
D.

$AC \approx 12,92;\widehat C = 40^\circ $

Đáp án : B

Phương pháp giải :

+Tính góc còn lại theo định lý về tổng ba góc trong tam giác

+) Sử dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông để tìm các cạnh .

Lời giải chi tiết :

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có

+) $\sin B = \dfrac{{AC}}{{BC}} \Rightarrow AC = BC.\sin B = 15.\sin 55^\circ \approx 12,29$

+) $\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \Rightarrow \widehat C = 180^\circ - 55^\circ - 90^\circ = 35^\circ $

Vậy $AC \approx 12,29;\widehat C = 35^\circ $.

Câu 15 :

Tính $x,y$ trong hình vẽ sau:

A.

$x = 6,5;y = 9,5$
B.

$x = 6,25;y = 9,75$
C.

$x = 9,25;y = 6,75$
D.

$x = 6;y = 10$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Tính $x$ theo hệ thức lượng $A{B^2} = BH.BC$ từ đó suy ra $y$.

Lời giải chi tiết :

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:

$A{B^2} = BH.BC \Leftrightarrow BH = \dfrac{{A{B^2}}}{{BC}} = \dfrac{{100}}{{16}} = 6,25$ $ \Rightarrow CH = BC - BH = 16 - 6,25 = 9,75$

Vậy $x = 6,25;y = 9,75$

Câu 16 :

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $C$ có $AC = 1\,cm,\,\,BC = 2\,cm.$ Tính các tỉ số lượng giác $\sin B;\cos B$

A.

$\sin B = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }};\cos B = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}$
B.

$\sin B = \dfrac{{\sqrt 5 }}{5};\cos B = \dfrac{{2\sqrt 5 }}{5}$
C.

$\sin B = \dfrac{1}{2};\cos B = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}$
D.

$\sin B = \dfrac{{2\sqrt 5 }}{5};\cos B = \dfrac{{\sqrt 5 }}{5}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Bước 1: Tính cạnh còn lại theo định lý Pytago

Bước 2: Sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn

Lời giải chi tiết :

Theo định lý Py-ta-go ta có: $A{B^2} = A{C^2} + B{C^2} \Rightarrow AB = \sqrt {{1^2} + {2^2}} = \sqrt 5 $

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $C$ có $\sin B = \dfrac{{AC}}{{AB}} = \dfrac{1}{{\sqrt 5 }} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{5}$ và $\cos B = \dfrac{{BC}}{{AB}} = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }} = \dfrac{{2\sqrt 5 }}{5}$

Câu 17 :

Tính giá trị biểu thức $\sqrt {19 + 8\sqrt 3 } + \sqrt {19 - 8\sqrt 3 } $.

A.

$2\sqrt 3 $
B.

$8 + 2\sqrt 3 $
C.

$6$
D.

$8$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Đưa biểu thức dưới dấu căn thành hằng đẳng thức ${\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}$ và ${\left( {a - b} \right)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}$.

- Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$

- Phá dấu giá trị tuyệt đối $\left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,khi\,A \ge 0\\ - A\,\,\,khi\,A < 0\end{array} \right.$.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\sqrt {19 + 8\sqrt 3 } = \sqrt {{4^2} + 2.4.\sqrt 3 + 3} = \sqrt {{{\left( {4 + \sqrt 3 } \right)}^2}} = \left| {4 + \sqrt 3 } \right| = 4 + \sqrt 3 $

Và $\sqrt {19 - 8\sqrt 3 } = \sqrt {{4^2} - 2.4.\sqrt 3 + 3} = \sqrt {{{\left( {4 - \sqrt 3 } \right)}^2}} = \left| {4 - \sqrt 3 } \right| = 4 - \sqrt 3 $ (vì $4 = \sqrt {16} > \sqrt 3 \Rightarrow 4 - \sqrt 3 > 0$)

Nên $\sqrt {19 + 8\sqrt 3 } + \sqrt {19 - 8\sqrt 3 } $$ = 4 + \sqrt 3 + 4 - \sqrt 3 = 8$

Câu 18 :

Giá trị biểu thức $\sqrt {5x + 3} .\sqrt {5x - 3} $ khi $x = \sqrt {3,6} $ là:

A.

$3,6$
B.

$3$
C.

$81$
D.

$9$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Sử dụng công thức khai phương một tích: Với hai số $a,b$ không âm, ta có $\sqrt a .\sqrt b = \sqrt {ab} $

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\sqrt {\left( {5x - 3} \right)\left( {5x + 3} \right)} = \sqrt {25{x^2} - 9} $ với $x \ge \dfrac{3}{5}$

Thay $x = \sqrt {3,6} $ (tm đk $x \ge \dfrac{3}{5}$) vào biểu thức ta được: $\sqrt {25{x^2} - 9} = \sqrt {25.{{\left( {\sqrt {3,6} } \right)}^2} - 9} = \sqrt {81} = 9$.

Câu 19 :

Rút gọn biểu thức $4{a^4}{b^2}.\sqrt {\dfrac{9}{{{a^8}{b^4}}}} $ với $ab \ne 0$ ta được

A.

$\dfrac{{{a^2}}}{b}$
B.

$12$
C.

$6$
D.

$36$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

+ Sử dụng công thức khai phương một thương: Với số $a$ không âm và số $b$ dương, ta có $\sqrt {\dfrac{a}{b}} = \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}$.

+ Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$

Lời giải chi tiết :

Ta có $4{a^4}{b^2}.\sqrt {\dfrac{9}{{{a^8}{b^4}}}} $$ = 4{a^4}{b^2}.\dfrac{{\sqrt 9 }}{{\sqrt {{a^8}{b^4}} }} = 4{a^4}{b^2}.\dfrac{3}{{\sqrt {{a^8}} .\sqrt {{b^4}} }}$$ = \dfrac{{12{a^4}{b^2}}}{{\sqrt {{{\left( {{a^4}} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( {{b^2}} \right)}^2}} }} = \dfrac{{12{a^4}{b^2}}}{{{a^4}.{b^2}}} = 12$.

Câu 20 :

Rút gọn biểu thức $\dfrac{a}{{\sqrt 5 + 1}} + \dfrac{a}{{\sqrt 5 - 2}} - \dfrac{a}{{3 - \sqrt 5 }} - \sqrt 5 a$ ta được

A.

$2a$
B.

$a$
C.

$3a$
D.

$12a$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

-Trục căn thức ở mẫu theo công thức

Với các biểu thức $A,B,C$ mà $A \ge 0,A \ne {B^2}$, ta có $\dfrac{C}{{\sqrt A + B}} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A - B} \right)}}{{A - {B^2}}};\dfrac{C}{{\sqrt A - B}} = \dfrac{{C\left( {\sqrt A + B} \right)}}{{A - {B^2}}}$

-Quy đồng mẫu số các phân số rồi rút gọn

Lời giải chi tiết :

Ta có $\dfrac{a}{{\sqrt 5 + 1}} + \dfrac{a}{{\sqrt 5 - 2}} - \dfrac{a}{{3 - \sqrt 5 }} - \sqrt 5 a$$ = \dfrac{{a\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)\left( {\sqrt 5 + 1} \right)}} + \dfrac{{a\left( {\sqrt 5 + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt 5 - 2} \right)\left( {\sqrt 5 + 2} \right)}} - \dfrac{{a\left( {3 + \sqrt 5 } \right)}}{{\left( {3 + \sqrt 5 } \right)\left( {3 - \sqrt 5 } \right)}} - \sqrt 5 a$

$ = \dfrac{{a\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}}{4} + \dfrac{{a\left( {\sqrt 5 + 2} \right)}}{1} - \dfrac{{a\left( {3 + \sqrt 5 } \right)}}{4} - \sqrt 5 a$$ = \dfrac{{a\left( {\sqrt 5 - 1} \right) + 4a\left( {2 + \sqrt 5 } \right) - a\left( {3 + \sqrt 5 } \right) - 4\sqrt 5 a}}{4}$

$ = \dfrac{{a\left( {\sqrt 5 - 1 + 8+ 4\sqrt 5 - 3 - \sqrt 5 - 4\sqrt 5 } \right)}}{4} = \dfrac{{4a}}{4} = a$

Câu 21 :

Rút gọn biểu thức $5\sqrt a - 4b\sqrt {25{a^3}} + 5a\sqrt {16a{b^2}} - \sqrt {9a} $ với $a \ge 0;b \ge 0$ ta được kết quả là

A.

$2\sqrt {2a} $
B.

$4\sqrt a $
C.

$8\sqrt a $
D.

$2\sqrt a $

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức đưa thừa số vào trong dấu căn và công thức khai phương một tích để xuất hiện nhân tử chung từ đó thực hiện phép tính.

Đưa thừa số vào trong dấu căn

+) $A\sqrt B = \sqrt {{A^2}B} $ với $A \ge 0$ và $B \ge 0$

+) $A\sqrt B = - \sqrt {{A^2}B} $ với $A < 0$ và $B \ge 0$

Công thức khai phương một tích

$\sqrt {AB} = \sqrt A .\sqrt B \,\,\left( {A \ge 0;B \ge 0} \right)$

Lời giải chi tiết :

Ta có $5\sqrt a - 4b\sqrt {25{a^3}} + 5a\sqrt {16a{b^2}} - \sqrt {9a} $$ = 5\sqrt a - 4\sqrt {25{a^3}{b^2}} + 5\sqrt {16a{b^2}.{a^2}} - \sqrt 9 .\sqrt a $

$ = 5\sqrt a - 4\sqrt {25} .\sqrt {{a^3}{b^2}} + 5\sqrt {16} .\sqrt {{a^3}{b^2}} - 3\sqrt a $$ = \left( {5\sqrt a - 3\sqrt a } \right) - \left( {4.5\sqrt {{a^3}{b^2}} - 5.4\sqrt {{a^3}{b^2}} } \right)$$ = 2\sqrt a $

Câu 22 :

Cho $P = \dfrac{2}{{\sqrt x + 1}}$.

Có bao nhiêu giá trị $x \in \mathbb{Z}$ để $P \in \mathbb{Z}$ ?

A.

$1$
B.

$2$
C.

$0$
D.

$4$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng: với $P = \dfrac{a}{b}$ với $a,b \in \mathbb{Z}$ thì $P \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow a \vdots b$

Lời giải chi tiết :

Ta có để $P = \dfrac{2}{{\sqrt x + 1}}$ thì $2 \vdots \left( {\sqrt x + 1} \right)$ $\Leftrightarrow \left( {\sqrt x + 1} \right) \in $Ư$\left( 2 \right) = \left\{ {1; - 1;2; - 2} \right\}$

Mà $\sqrt x + 1 > 0$ với $x \ge 0$ nên $\sqrt x + 1 \in \left\{ {1;2} \right\}$

+) $\sqrt x + 1 = 1 \Leftrightarrow x = 0$ (TM )

+) $\sqrt x + 1 = 2 \Leftrightarrow x = 1$ (TM )

Vậy có hai giá trị của $x$ thỏa mãn điều kiện.

Câu 23 :

Rút gọn biểu thức $2\sqrt a - \sqrt {9{a^3}} + {a^2}\sqrt {\dfrac{{16}}{a}} + \dfrac{2}{{{a^2}}}\sqrt {36{a^5}} $ với $a > 0$ ta được

A.

$14\sqrt a + a\sqrt a $
B.

$14\sqrt a - a\sqrt a $
C.

$14\sqrt a + 2a\sqrt a $
D.

$20\sqrt a - 2a\sqrt a $

Đáp án : A

Phương pháp giải :

-Sử dụng công thức khai phương một thương $\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}$ với $A \ge 0,B > 0$ và công thức khai phương một tích $\sqrt {AB} = \sqrt A .\sqrt B ,\,\,\left( {A,B \ge 0} \right)$

-Khử mẫu biểu thức lấy căn theo công thức $\sqrt {\dfrac{A}{B}} = \dfrac{{\sqrt {AB} }}{B}\,\left( {A \ge 0,B > 0} \right)$

-Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$

-Cộng trừ các căn thức bậc hai.

Lời giải chi tiết :

Với $a>0$ ta có $2\sqrt a - \sqrt {9{a^3}} + {a^2}\sqrt {\dfrac{{16}}{a}} + \dfrac{2}{{{a^2}}}\sqrt {36{a^5}} $$ = 2\sqrt a - \sqrt {9{a^2}.a} + {a^2}\dfrac{{\sqrt {16a} }}{a} + \dfrac{2}{{{a^2}}}.\sqrt {36{a^4}.a} $

$ = 2\sqrt a - 3a\sqrt a + 4a\sqrt a + \dfrac{2}{{{a^2}}}.6{a^2}\sqrt a $$ = 2\sqrt a - 3a\sqrt a + 4a\sqrt a + 12\sqrt a = 14\sqrt a + a\sqrt a $

Câu 24 :

Thu gọn biểu thức $\dfrac{{\sqrt[3]{{ - 64{a^5}{b^5}}}}}{{\sqrt[3]{{{a^2}{b^2}}}}}$ ta được:

A.

$4ab$
B.

$ - 8ab$
C.

$16ab$
D.

$ - 4ab$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

- Áp dụng $\dfrac{{\sqrt[3]{a}}}{{\sqrt[3]{b}}} = \sqrt[3]{{\dfrac{a}{b}}}$ và $\sqrt[3]{{{a^3}}} = a$.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\dfrac{{\sqrt[3]{{ - 64{a^5}{b^5}}}}}{{\sqrt[3]{{{a^2}{b^2}}}}}$$ = \sqrt[3]{{\dfrac{{ - 64{a^5}{b^5}}}{{{a^2}{b^2}}}}} = \sqrt[3]{{ - 64{a^3}{b^3}}} = \sqrt[3]{{{{\left( { - 4ab} \right)}^3}}} = - 4ab$.

Câu 25 :

Tính $x,y$ trong hình vẽ sau:

A.

$x = 3,2;y = 1,8$
B.

$x = 1,8;y = 3,2$
C.

$x = 2;y = 3$
D.

$x = 3;y = 2$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Bước 1: Tính $BC$ theo định lý Pytago

Bước 2: Tính $x,y$ theo hệ thức lượng $A{B^2} = BH.BC;A{C^2} = CH.BC$

Lời giải chi tiết :

Theo định lý Pytago ta có $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} \Leftrightarrow B{C^2} = 25 \Leftrightarrow BC = 5$

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:

$A{B^2} = BH.BC \Rightarrow BH = \dfrac{{A{B^2}}}{{BC}} = \dfrac{{{3^2}}}{5} = 1,8$ hay $x = 1,8$

$ \Rightarrow CH = BC - BH = 5 - 1,8 = 3,2$ hay $y = 3,2$.

Vậy $x = 1,8;y = 3,2$

Câu 26 :

Tính $x,y$ trong hình vẽ sau:

A.

$x = \dfrac{{35\sqrt {74} }}{{74}};y = \sqrt {74} $
B.

$y = \dfrac{{35\sqrt {74} }}{{74}};x= \sqrt {74} $
C.

$x = 4;y = 6$
D.

$x = 2,8;y = 7,2$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Bước 1: Tính $BC$ theo định lý Pytago

Bước 2: Tính $x,y$ theo hệ thức lượng $AH.BC = AB.AC$

Lời giải chi tiết :

Theo định lý Pytago ta có $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} \Leftrightarrow B{C^2} = 74 \Leftrightarrow BC = \sqrt {74} $

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông ta có:

$AH.BC = AB.AC \Leftrightarrow AH = \dfrac{{AB.AC}}{{BC}} = \dfrac{{5.7}}{{\sqrt {74} }} = \dfrac{{35\sqrt {74} }}{{74}}$

Vậy $x = \dfrac{{35\sqrt {74} }}{{74}};y = \sqrt {74} $

Câu 27 :

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$ có $AB = 13\,cm,\,BH = 0,5\,dm$ Tính tỉ số lượng giác $\sin C$ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ $2$ )

A.

$\sin C \approx 0,35$
B.

$\sin C \approx 0,37$
C.

$\sin C \approx 0,39$
D.

$\sin C \approx 0,38$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Bước 1: Tính cạnh cần thiết lại theo định lý Pytago hoặc hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Bước 2: Sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn

Lời giải chi tiết :

Đổi $0,5\,dm = 5\,cm$

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$,

theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có

$A{B^2} = BH.BC \Rightarrow BC = \dfrac{{A{B^2}}}{{BH}} = \dfrac{{{{13}^2}}}{5} = 33,8\,\,cm$

$ \Rightarrow \sin C = \dfrac{{AB}}{{BC}}$

$= \dfrac{{13}}{{33,8}} \approx 0,38$

Câu 28 :

Tính giá trị biểu thức $B = \tan 10^\circ .\tan 20^\circ .\tan 30^\circ .....tan80^\circ $

A.

$B = 44$
B.

$B = 1$
C.

$B = 45$
D.

$B = 2$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Bước 1 : Đưa các tỉ số lượng giác về cùng một góc hoặc cùng loại (sử dụng tính chất "Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia")

Bước 2 : Sử dụng đẳng thức lượng giác $\tan \alpha .\cot\alpha = 1$.

Lời giải chi tiết :

Ta có $\tan 80^\circ = cot10^\circ ;\tan 70^\circ = cot20^\circ ;\tan 50^\circ = cot40^\circ ;\tan 60^\circ = \cot 30^\circ $ và $\tan \alpha .cot\alpha = 1$

Nên $B = \tan 10^\circ .\tan 20^\circ .\tan 30^\circ .\tan 40^\circ .\tan 50^\circ .\tan 60^\circ .\tan 70^\circ .tan80^\circ $$ = \tan 10^\circ .\tan 20^\circ .\tan 30^\circ .\tan 40^\circ .\cot 40^\circ .\cot 30^\circ .\cot 20^\circ .\cot 10^\circ $

$ = \left( {\tan 10^\circ .\cot 10^\circ } \right).\left( {\tan 20^\circ .\cot 20^\circ } \right).\left( {\tan 30^\circ .\cot 30^\circ } \right).\left( {\tan 40^\circ .\cot 40^\circ } \right)$

$ = 1.1.1.1 = 1$

Vậy $B = 1$.

Câu 29 :

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AC = 7\,cm,AB = \,5cm$. Tính $BC;\widehat C$ .

A.

$BC = \sqrt {74} (cm);\widehat C \approx 35^\circ 32'$
B.

$BC = \sqrt {74} (cm);\widehat C \approx 36^\circ 32'$
C.

$BC = \sqrt {74} (cm) ;\widehat C \approx 35^\circ 33'$
D.

$BC = \sqrt {75} (cm) ;\widehat C \approx 35^\circ 32'$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+) Tính cạnh còn lại theo định lý Py-ta-go

+) Tìm tỉ số lượng giác của góc từ đó suy ra góc.

Lời giải chi tiết :

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có

+) $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {5^2} + {7^2} = 74 \Rightarrow BC = \sqrt {74} (cm)$

+) $\tan C = \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{5}{7} \Rightarrow \widehat C \approx 35^\circ 32'$

Vậy $BC = \sqrt {74}(cm) ;\widehat C \approx 35^\circ 32'$.

Câu 30 :

Cho tam giác $ABC$ có $AB = 16,AC = 14$ và $\widehat B = {60^0}$. Tính $BC$

A.

$BC = 10$
B.

$BC = 11$
C.

$BC = 9$
D.

$BC = 12$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

+) Kẻ đường cao $AH$

+) Sử dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông thích hợp và định lý Py-ta-go để tính cạnh.

Lời giải chi tiết :

Kẻ đường cao $AH$.

Xét tam giác vuông $ABH$, ta có: $BH = AB.\cos B = AB.\cos {60^0} = 16.\dfrac{1}{2} = 8$$AH = AB.\sin B = AB.\sin {60^0} = 16.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = 8\sqrt 3 $.

Áp dụng định lý Pythago vào tam giác vuông $AHC$ ta có:

$H{C^2} = A{C^2} - A{H^2} = {14^2} - {\left( {8\sqrt 3 } \right)^2} = 196 - 192 = 4$. Suy ra $HC = 2$. Vậy $BC = CH + HB = 2 + 8 = 10$.

Câu 31 :

A.

$56,6\,km$
B.

$56,5\,km$
C.

$55,6\,km$
D.

$57\,km$

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

Từ giả thiết suy ra $AC = 12\,\,km;\,\,\widehat B = 12^\circ $.

Xét tam giác $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có $AB = AC.\cot B = 12.\cot 12^\circ \simeq 56,5\,km$

Câu 32 :

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = \sqrt {{m^2} + 2m + 1} + \sqrt {{m^2} - 8m + 16} $.

A.

$2$
B.

$9$
C.

$5$
D.

$10$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Đưa biểu thức dưới dấu căn thành hằng đẳng thức.

- Sử dụng hằng đẳng thức $\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|$

- Sử dụng bất đẳng thức $\left| A \right| + \left| B \right| \ge \left| {A + B} \right|$ với mọi $A,B.$ Dấu ‘=’ xảy ra $ \Leftrightarrow A = B$

Lời giải chi tiết :

Ta có $A = \sqrt {{m^2} + 2m + 1} + \sqrt {{m^2} - 8m + 16} $$ = \sqrt {{{\left( {m + 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {m - 4} \right)}^2}} = \left| {m + 1} \right| + \left| {m - 4} \right|$

Ta có $\left| {m + 1} \right| + \left| {m - 4} \right| = \left| {m + 1} \right| + \left| {4 - m} \right| \ge \left| {m + 1 + 4 - m} \right| = 5$

Dấu “=” xảy ra khi $m + 1 = 4 - m \Leftrightarrow 2m = 3 \Leftrightarrow m = \dfrac{3}{2}$

Suy ra GTNN của $B$ là $5 \Leftrightarrow m = \dfrac{3}{2}$ .

>> Học trực tuyến lớp 9 và luyện vào lớp 10 tại Tuyensinh247.com, cam kết giúp học sinh lớp 9 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Các bài khác cùng chuyên mục

Đề kiểm tra giữa học kì 1 Toán 9 - Đề số 1

Bài giải mới nhất

Báo lỗi góp ý