Đề kiểm tra giữa học kì 1 Toán 8 - Đề số 2
Đề bài
Hãy chọn câu sai. Hình chữ nhật có
-
A.
Bốn góc vuông
-
B.
Hai đường chéo giao nhau tại trung điểm mỗi đường
-
C.
Hai đường chéo vuông góc với nhau
-
D.
Các cạnh đối bằng nhau
Hãy chọn câu sai:
-
A.
Hình bình hành có tâm đối xứng là giao điểm của hai đường chéo.
-
B.
Đường tròn có tâm đối xứng chính là tâm của đường tròn.
-
C.
Hình thang có tâm đối xứng là giao điểm của hai đường chéo.
-
D.
Hình vuông có tâm đối xứng là giao điểm hai đường chéo.
Hình thang $ABCD$ ($AB\, // \, CD$ ) có số đo góc $D$ bằng ${70^0},$ số đo góc $A$ là:
-
A.
${130^0}$
-
B.
${90^0}$
-
C.
\(110^\circ \)
-
D.
${120^0}$
Trong các khai triển hằng đẳng thức sau, khai triển nào sai?
-
A.
\({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\)
-
B.
\({\left( {A - B} \right)^3} = {A^3} - 3{A^2}B - 3A{B^2} + {B^3}\)
-
C.
\({A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)\)
-
D.
\({A^3} - {B^3} = \left( {A - B} \right)\left( {{A^2} + AB + {B^2}} \right)\)
Rút gọn biểu thức \(A = {\left( {3x - 1} \right)^2} - 9x\left( {x + 1} \right)\) ta được
-
A.
$ - 15x + 1$
-
B.
$1$
-
C.
$15x + 1$
-
D.
$ - 1$
Chọn câu đúng nhất trong các câu sau khi định nghĩa tứ giác ABCD:
-
A.
Tứ giác ABCD là hình gồm 4 đoạn thẳng AB, BC, CD, DA.
-
B.
Tứ giác ABCD là hình gồm 4 đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, trong đó bất kì hai đoạn thẳng nào cũng không cùng nằm trên một đường thẳng.
-
C.
Tứ giác ABCD là hình gồm 4 đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, trong đó hai đoạn thẳng kề một đỉnh song song với nhau.
-
D.
Tứ giác ABCD là hình gồm 4 đoạn thẳng AB, BC, CD, DA và 4 góc tại đỉnh bằng nhau.
Phân tích đa thức \({x^3}{y^3} + 6{x^2}{y^2} + 12xy + 8\) thành nhân tử ta được
-
A.
\({\left( {xy + 2} \right)^3}\).
-
B.
\({\left( {xy + 8} \right)^3}\).
-
C.
\({x^3}{y^3} + 8\).
-
D.
\({\left( {{x^3}{y^3} + 2} \right)^3}\).
Chọn câu sai.
-
A.
\({x^2}{y^2} + {y^3} + a{x^2} + ay = \left( {{y^2} + a} \right)\left( {{x^2} + y} \right)\).
-
B.
\({a^3} - 4{a^2} + a - 4\)\(= \left( {a - 4} \right)\left( {{a^2} + 1} \right)\).
-
C.
\(m{x^2} - nx - mx + n = \left( {x - 1} \right)\left( {mx + n} \right)\).
-
D.
\({x^2} - 5y + x - 5xy = \left( {x + 1} \right)\left( {x - 5y} \right)\).
Cho hình bình hành $ABCD$ có \(\widehat A = 3\widehat B\) . Số đo các góc của hình bình hành là:
-
A.
\(\widehat A = \widehat C = 90^\circ ;\widehat B = \widehat D = 30^\circ \)
-
B.
\(\widehat A = \widehat D = 135^\circ ;\widehat B = \widehat C = 45^\circ \)
-
C.
\(\widehat A = \widehat C = 45^\circ ;\widehat B = \widehat D = 135^\circ \)
-
D.
\(\widehat A = \widehat C = 135^\circ ;\widehat B = \widehat D = 45^\circ \)
Phép chia đa thức \(2{x^4} - 3{x^3} + 3x - 2\) cho đa thức \({x^2} - 1\) được đa thức dư là:
-
A.
\(0\).
-
B.
\(1\).
-
C.
\(2\).
-
D.
\(10\).
Biết phần dư của phép chia đa thức \(\left( {{x^5} + {x^3} + {x^2} + 2} \right)\) cho đa thức \(\left( {{x^3} + 1} \right)\) là số tự nhiên \(a\) . Chọn câu đúng.
-
A.
\(a < 2\).
-
B.
\(a > 1\).
-
C.
\(a < 0\).
-
D.
\(a \vdots 2\).
Một tam giác đều có độ dài cạnh bằng $14{\rm{ }}cm$ . Độ dài một đường trung bình của tam giác đó là:
-
A.
\(34\,cm\)
-
B.
\(7\,cm\)
-
C.
\(6,5\,cm\)
-
D.
\(21\,cm\)
Cho tứ giác \(ABCD\) có \(\widehat A = {60^0};\;\widehat B = {135^0};\;\widehat D = {29^0}\) . Số đo góc $C$ bằng:
-
A.
$137^\circ $.
-
B.
$136^\circ $.
-
C.
$36^\circ $.
-
D.
$135^\circ $.
Viết biểu thức \(\left( {x - 3y} \right)\left( {{x^2} + 3xy + 9{y^2}} \right)\) dưới dạng hiệu hai lập phương
-
A.
\({x^3} + {\left( {3y} \right)^3}\).
-
B.
\({x^3} + {\left( {9y} \right)^3}\).
-
C.
\({x^3} - {\left( {3y} \right)^3}\).
-
D.
\({x^3} - {\left( {9y} \right)^3}\).
Phần dư của phép chia đa thức \({x^4} - 2{x^3} + {x^2} - 3x + 1\) cho đa thức \({x^2} + 1\) có hệ số tự do là
-
A.
\(2\).
-
B.
\(3\).
-
C.
\(1\).
-
D.
\(4\).
Cho \({x^2} + {y^2} = 2,\) đẳng thức nào sau đây đúng?
-
A.
\(2\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right) = \left( {x + y} \right)\left( {x + y - 2} \right)\)
-
B.
\(2\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right) = \left( {x + y} \right)\left( {x + y + 2} \right)\)
-
C.
\(2\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right) = \dfrac{{\left( {x + y} \right)\left( {x + y + 2} \right)}}{2}\)
-
D.
\(\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right) = \left( {x + y} \right)\left( {x + y + 2} \right)\)
Biểu thức \({\left( {a - b - c} \right)^2}\) bằng
-
A.
\({a^2} + {b^2} + {c^2} - 2\left( {bc + ac + ab} \right)\)
-
B.
\({a^2} + {b^2} + {c^2} + bc - ac - 2ab\)
-
C.
\({a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {bc + ac - ab} \right)\)
-
D.
\({a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {bc - ac - ab} \right)\)
Rút gọn biểu thức \(M = \left( {2x + 3} \right)\left( {4{x^2} - 6x + 9} \right) - 4\left( {2{x^3} - 3} \right)\) ta được giá trị của \(M\) là
-
A.
Một số lẻ
-
B.
Một số chẵn
-
C.
Một số chính phương
-
D.
Một số chia hết cho \(5\)
Cho \({x^6} - 1 = \left( {x + A} \right)\left( {x + B} \right)\left( {{x^4} + {x^2} + C} \right)\), biết \(A,\,B,C\) là các số nguyên. Khi đó \(A + B + C\) bằng
-
A.
\(0\).
-
B.
\(1\).
-
C.
\(2\).
-
D.
\( - 1\).
Cho các phương trình \({\left( {x + 2} \right)^3} + {\left( {x - 3} \right)^3} = 0\,\,\left( 1 \right);\)\({\left( {{x^2} + x - 1} \right)^2} + 4{x^2} + 4x = 0\,\,\left( 2 \right).\) Chọn câu đúng.
-
A.
Phương trình (1) có hai nghiệm, phương trình (2) vô nghiệm.
-
B.
Phương trình (1) có 1 nghiệm, phương trình (2) có 2 nghiệm
-
C.
Phương trình (1) vô nghiệm, phương trình (2) vô nghiệm.
-
D.
Phương trình (1) có 1 nghiệm, phương trình (2) vô nghiệm.
Tìm \(x\) biết \({x^4} + 4{x^3} + 4{x^2} = 0\)
-
A.
\(x = 2;\,x = - 2\).
-
B.
\(x = 0;\,x = 2\).
-
C.
\(x = 0;\,x = - 2\).
-
D.
\(\,x = - 2\).
Tìm giá trị của \(a\) và \(b\) để đa thức \(4{x^3} + ax + b\) chia cho đa thức \({x^2} - 1\) dư \(2x - 3.\)
-
A.
\(a = - 6;b = - 3\).
-
B.
\(a = 6;b = - 3\).
-
C.
\(a = 2;b = - 3\).
-
D.
\(a = - 2;b = - 3\)
Tính giá trị biểu thức \(P = \left( { - 4{x^3}{y^3} + {x^3}{y^4}} \right):2x{y^2} - xy\left( {2x - xy} \right)\) cho \(x = 1,y = \dfrac{{ - 1}}{2}\);
-
A.
\(P = - \dfrac{{19}}{8}\)
-
B.
\(P = \dfrac{{19}}{8}\)
-
C.
\(P = \dfrac{8}{{19}}\)
-
D.
\(P = \dfrac{9}{8}\)
Chọn câu sai.
-
A.
${x^2} + 4x - {y^2} + 4 = \left( {x - y + 2} \right)\left( {x + y + 2} \right)$
-
B.
\({\left( {2{x^2} - y} \right)^2} - 64{y^2} = \left( {2{x^2} - 9y} \right)\left( {2{x^2} + 7y} \right)\)
-
C.
\( - {x^3} + 6{x^2}y - 12x{y^2} + 8{y^3} = {\left( {2y - x} \right)^3}\)
-
D.
\(\;{x^8} - {y^8} = {\left( {{x^4}} \right)^2} - {\left( {{y^4}} \right)^2} = \left( {{x^4} + {y^4}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {x + y} \right)\)
Cho hình bình hành $ABCD$ . Gọi $I,{\rm{ }}K$ theo thứ tự là trung điểm của $CD,{\rm{ }}AB$ . Đường chéo $BD$ cắt $AI,{\rm{ }}CK$ theo thứ tự ở $E,{\rm{ }}F$ . Chọn khẳng định đúng.
-
A.
\(DE = FE;FE > FB\)
-
B.
\(DE = FE = FB\)
-
C.
\(DE > FE;\,EF = FB\)
-
D.
\(DE > FE > FB\)
Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ , $AC = 6\,cm$ , điểm $M$ thuộc cạnh $BC$ . Gọi $D,E$ theo thứ tự là các chân đường vuông góc kẻ từ $M$ đến $AB,AC$. Chu vi của tứ giác $ADME$ bằng:
-
A.
$6\,cm\;\;\;\;$
-
B.
$36\,cm$
-
C.
$18\,cm\;\;\;\;$
-
D.
$12\,cm$
Cho hình vuông $ABCD$ . Trên các cạnh $AB,BC,CD,DA$ lần lượt lấy các điểm $E,F,G,H$ sao cho $AE = BF = CG = DH$ . Tứ giác \(EFGH\) là hình gì?
-
A.
Hình chữ nhật
-
B.
Hình thoi
-
C.
Hình bình hành
-
D.
Hình vuông
Cho tứ giác $ABCD.$ Gọi $M,{\rm{ }}N,{\rm{ }}P,{\rm{ }}Q$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB,{\rm{ }}BC,{\rm{ }}CD,{\rm{ }}DA.$ Hai đường chéo $AC$ và $BD$ phải thỏa mãn điều kiện gì để $M,{\rm{ }}N,{\rm{ }}P,{\rm{ }}Q$ là bốn đỉnh của hình vuông.
-
A.
\(BD = AC\)
-
B.
\(BD \bot AC\)
-
C.
\(BD\) tạo với \(AC\) góc \(60^\circ \)
-
D.
\(BD = AC;BD \bot AC\)
Cho hình vuông $ABCD,{\rm{ }}E$ là một điểm trên cạnh $CD.$ Tia phân giác của góc $BAE$ cắt $BC$ tại $M.$ Chọn câu đúng.
-
A.
\(AM = ME\)
-
B.
\(AM < ME\)
-
C.
\(AM \le 2ME\)
-
D.
\(AM > 2ME\)
Xác định hệ số \(a,b,c\) biết rằng với mọi giá trị của \(x\) thì \(\left( {ax + 4} \right)\left( {{x^2} + bx - 1} \right) = 9{x^3} + 58{x^2} + 15x + c\)
-
A.
\(a = 9,b = - 4,c = 6.\)
-
B.
\(a = 9,b = 6,c = - 4.\)
-
C.
\(a = 9,b = 6,c = 4.\)
-
D.
\(a = - 9,b = - 6,c = - 4.\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = {x^2} + 2{y^2} - 2xy + 2x - 10y\)
-
A.
$A=3$
-
B.
$A=-17$
-
C.
$A=-3$
-
D.
$A=17$
Phần dư của phép chia đa thức \({\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)^5} + {\left( {{x^2} - 4x - 4} \right)^5} - 1\) cho đa thức \(x + 1\) là
-
A.
\(3\)
-
B.
\(2\)
-
C.
\(0\)
-
D.
\(1\)
Lời giải và đáp án
Hãy chọn câu sai. Hình chữ nhật có
-
A.
Bốn góc vuông
-
B.
Hai đường chéo giao nhau tại trung điểm mỗi đường
-
C.
Hai đường chéo vuông góc với nhau
-
D.
Các cạnh đối bằng nhau
Đáp án : C
Sử dụng định nghĩa và tính chất hình chữ nhật:
+ Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông.
+ Hình chữ nhật có tất cả các tính chất của hình hành, của hình thang cân.
- Hai cạnh đối song song, hai cạnh đối bằng nhau, hai góc đối bằng nhau
- Hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Từ định nghĩa và tính chất hình chữ nhật ta có A, B, D đúng và C sai.
Hãy chọn câu sai:
-
A.
Hình bình hành có tâm đối xứng là giao điểm của hai đường chéo.
-
B.
Đường tròn có tâm đối xứng chính là tâm của đường tròn.
-
C.
Hình thang có tâm đối xứng là giao điểm của hai đường chéo.
-
D.
Hình vuông có tâm đối xứng là giao điểm hai đường chéo.
Đáp án : C
+ Giao điểm hai đường chéo của hình bình hành là tâm đối xứng của hình bình hành đó nên A đúng.
+ Đường tròn là hình có tâm đối xứng là tâm của đường tròn nên B đúng.
+ Giao điểm hai đường chéo của hình vuông là tâm đối xứng của hình vuông đó nên D đúng.
+ Hình thang không có tâm đối xứng nên C sai.
Hình thang $ABCD$ ($AB\, // \, CD$ ) có số đo góc $D$ bằng ${70^0},$ số đo góc $A$ là:
-
A.
${130^0}$
-
B.
${90^0}$
-
C.
\(110^\circ \)
-
D.
${120^0}$
Đáp án : C
Ta sử dụng tính chất của hình thang: Ta thấy góc $A$ và $D$ là hai góc trong cùng phía nên \(\widehat A + \widehat D = {180^0}\) từ đó ta suy ra số đo góc $A.$
Ta có: \(\widehat A + \widehat D = {180^0}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \widehat A = {180^0} - \widehat D\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {180^0} - {70^0}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {110^0}\end{array}\)
Trong các khai triển hằng đẳng thức sau, khai triển nào sai?
-
A.
\({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\)
-
B.
\({\left( {A - B} \right)^3} = {A^3} - 3{A^2}B - 3A{B^2} + {B^3}\)
-
C.
\({A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)\)
-
D.
\({A^3} - {B^3} = \left( {A - B} \right)\left( {{A^2} + AB + {B^2}} \right)\)
Đáp án : B
\({\left( {A - B} \right)^3} \)\(= {\left( {A + \left( { - B} \right)} \right)^3} \)\(= {A^3} + 3.{A^2}.\left( { - B} \right) + 3.A.{\left( { - B} \right)^2} + {\left( { - B} \right)^3}\)\( = {A^3} - 3{A^2}B + 3A{B^2} - {B^3}\)
\( \Rightarrow {\left( {A - B} \right)^3} \)\(= {A^3} - 3{A^2}B - 3A{B^2} + {B^3}\) là sai.
Rút gọn biểu thức \(A = {\left( {3x - 1} \right)^2} - 9x\left( {x + 1} \right)\) ta được
-
A.
$ - 15x + 1$
-
B.
$1$
-
C.
$15x + 1$
-
D.
$ - 1$
Đáp án : A
Sử dụng công thức bình phương của một hiệu \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\) và phép nhân đa thức để khai triển và rút gọn.
Ta có \(A = {\left( {3x - 1} \right)^2} - 9x\left( {x + 1} \right)\)\( = {\left( {3x} \right)^2} - 2.3x.1 + 1 - \left( {9x.x + 9x} \right) = 9{x^2} - 6x + 1 - 9{x^2} - 9x \)
\(= - 15x + 1\)
Chọn câu đúng nhất trong các câu sau khi định nghĩa tứ giác ABCD:
-
A.
Tứ giác ABCD là hình gồm 4 đoạn thẳng AB, BC, CD, DA.
-
B.
Tứ giác ABCD là hình gồm 4 đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, trong đó bất kì hai đoạn thẳng nào cũng không cùng nằm trên một đường thẳng.
-
C.
Tứ giác ABCD là hình gồm 4 đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, trong đó hai đoạn thẳng kề một đỉnh song song với nhau.
-
D.
Tứ giác ABCD là hình gồm 4 đoạn thẳng AB, BC, CD, DA và 4 góc tại đỉnh bằng nhau.
Đáp án : B
Ta sử dụng định nghĩa tứ giác ABCD: Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA trong đó bất kì hai đoạn thẳng nào cũng không nằm trên cùng một đường thẳng.
Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA trong đó bất kì hai đoạn thẳng nào cũng không nằm trên cùng một đường thẳng.
Phân tích đa thức \({x^3}{y^3} + 6{x^2}{y^2} + 12xy + 8\) thành nhân tử ta được
-
A.
\({\left( {xy + 2} \right)^3}\).
-
B.
\({\left( {xy + 8} \right)^3}\).
-
C.
\({x^3}{y^3} + 8\).
-
D.
\({\left( {{x^3}{y^3} + 2} \right)^3}\).
Đáp án : A
Sử dụng hằng đẳng thức
\({\left( {A + B} \right)^3} \)\(= {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}\) để phân tích đa thức thành nhân tử.
Ta có \({x^3}{y^3} + 6{x^2}{y^2} + 12xy + 8\)\( = {\left( {xy} \right)^3} + 3{\left( {xy} \right)^2}.2 + 3.xy{.2^2} + {2^3} = {\left( {xy + 2} \right)^3}\)
Chọn câu sai.
-
A.
\({x^2}{y^2} + {y^3} + a{x^2} + ay = \left( {{y^2} + a} \right)\left( {{x^2} + y} \right)\).
-
B.
\({a^3} - 4{a^2} + a - 4\)\(= \left( {a - 4} \right)\left( {{a^2} + 1} \right)\).
-
C.
\(m{x^2} - nx - mx + n = \left( {x - 1} \right)\left( {mx + n} \right)\).
-
D.
\({x^2} - 5y + x - 5xy = \left( {x + 1} \right)\left( {x - 5y} \right)\).
Đáp án : C
Ta có \({x^2}{y^2} + {y^3} + a{x^2} + ay \)\(= \left( {{x^2}{y^2} + {y^3}} \right) + \left( {a{x^2} + ay} \right) \)\(= {y^2}\left( {{x^2} + y} \right) + a\left( {{x^2} + y} \right)\)$ = \left( {{y^2} + a} \right)\left( {{x^2} + y} \right)$ nên A đúng.
*) \({a^3} - 4{a^2} + a - 4\)\( = \left( {{a^3} - 4{a^2}} \right) + \left( {a - 4} \right) \)\(= {a^2}\left( {a - 4} \right) + \left( {a - 4} \right) \)\(= \left( {a - 4} \right)\left( {{a^2} + 1} \right)\) nên B đúng.
*) \(m{x^2} - nx - mx + n\)\( = \left( {m{x^2} - nx} \right) - \left( {mx - n} \right)\)\( = x\left( {mx - n} \right) - \left( {mx - n} \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {mx - n} \right)\) nên C sai.
*) \({x^2} - 5y + x - 5xy \)\(= \left( {{x^2} + x} \right) - \left( {5y + 5xy} \right) \)\(= x\left( {x + 1} \right) - 5y\left( {x + 1} \right) \)\(= \left( {x + 1} \right)\left( {x - 5y} \right)\) nên D đúng.
Cho hình bình hành $ABCD$ có \(\widehat A = 3\widehat B\) . Số đo các góc của hình bình hành là:
-
A.
\(\widehat A = \widehat C = 90^\circ ;\widehat B = \widehat D = 30^\circ \)
-
B.
\(\widehat A = \widehat D = 135^\circ ;\widehat B = \widehat C = 45^\circ \)
-
C.
\(\widehat A = \widehat C = 45^\circ ;\widehat B = \widehat D = 135^\circ \)
-
D.
\(\widehat A = \widehat C = 135^\circ ;\widehat B = \widehat D = 45^\circ \)
Đáp án : D
Sử dụng tính chất hình bình hành và định lí tổng các góc trong một tứ giác
Trong hình bình hành $ABCD$ có: \(\widehat A = \widehat C,\widehat B = \widehat D\) (tính chất), \(\widehat A = 3\widehat B\)
Theo định lí tổng các góc trong tứ giác ta có:
\(\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = 360^\circ \Rightarrow 2\left( {\widehat A + \widehat B} \right) = 360^\circ \Rightarrow \widehat A + \widehat B = 180^\circ \)
\( \Rightarrow 3\widehat B + \widehat B = 180^\circ \Rightarrow \widehat B = 45^\circ \)
\( \Rightarrow \widehat A = 3\widehat B = 3.45^\circ = 135^\circ \)
Vậy \(\widehat A = \widehat C = 135^\circ ;\widehat B = \widehat D = 45^\circ \).
Phép chia đa thức \(2{x^4} - 3{x^3} + 3x - 2\) cho đa thức \({x^2} - 1\) được đa thức dư là:
-
A.
\(0\).
-
B.
\(1\).
-
C.
\(2\).
-
D.
\(10\).
Đáp án : A
Vậy đa thức dư là \(R = 0\) .
Biết phần dư của phép chia đa thức \(\left( {{x^5} + {x^3} + {x^2} + 2} \right)\) cho đa thức \(\left( {{x^3} + 1} \right)\) là số tự nhiên \(a\) . Chọn câu đúng.
-
A.
\(a < 2\).
-
B.
\(a > 1\).
-
C.
\(a < 0\).
-
D.
\(a \vdots 2\).
Đáp án : A
Phần dư của phép chia là \(a = 1 < 2\)
Một tam giác đều có độ dài cạnh bằng $14{\rm{ }}cm$ . Độ dài một đường trung bình của tam giác đó là:
-
A.
\(34\,cm\)
-
B.
\(7\,cm\)
-
C.
\(6,5\,cm\)
-
D.
\(21\,cm\)
Đáp án : B
Dựa vào tính chất: đường trung bình của tam giác bằng một nửa cạnh đáy.
Độ dài một đường trung bình của tam giác là: \(14:2 = 7\,cm.\)
Cho tứ giác \(ABCD\) có \(\widehat A = {60^0};\;\widehat B = {135^0};\;\widehat D = {29^0}\) . Số đo góc $C$ bằng:
-
A.
$137^\circ $.
-
B.
$136^\circ $.
-
C.
$36^\circ $.
-
D.
$135^\circ $.
Đáp án : B
Ta sử dụng định lý về tổng các góc trong tứ giác.
Định lý: Tổng các góc của một tứ giác bằng \(360^\circ \) .
Xét tứ giác \(ABCD\) có \(\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = 360^\circ \)(định lý)
hay \(60^\circ + 135^\circ + \widehat C + 29^\circ = 360^\circ \Rightarrow \widehat C = 360^\circ - 60^\circ - 135^\circ - 29^\circ \) \( \Leftrightarrow \widehat C = 136^\circ \) .
Viết biểu thức \(\left( {x - 3y} \right)\left( {{x^2} + 3xy + 9{y^2}} \right)\) dưới dạng hiệu hai lập phương
-
A.
\({x^3} + {\left( {3y} \right)^3}\).
-
B.
\({x^3} + {\left( {9y} \right)^3}\).
-
C.
\({x^3} - {\left( {3y} \right)^3}\).
-
D.
\({x^3} - {\left( {9y} \right)^3}\).
Đáp án : C
Sử dụng công thức hiệu hai lập phương \(\left( {A - B} \right)\left( {{A^2} + AB + {B^2}} \right) = {A^3} - {B^3}\)
Ta có \(\left( {x - 3y} \right)\left( {{x^2} + 3xy + 9{y^2}} \right) = \left( {x - 3y} \right)\left( {x + x.3y + {{\left( {3y} \right)}^2}} \right) \)\(= {x^3} - {\left( {3y} \right)^3}\)
Phần dư của phép chia đa thức \({x^4} - 2{x^3} + {x^2} - 3x + 1\) cho đa thức \({x^2} + 1\) có hệ số tự do là
-
A.
\(2\).
-
B.
\(3\).
-
C.
\(1\).
-
D.
\(4\).
Đáp án : C
Đa thức dư là \( - x + 1\) có hệ số tự do là \(1\) .
Cho \({x^2} + {y^2} = 2,\) đẳng thức nào sau đây đúng?
-
A.
\(2\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right) = \left( {x + y} \right)\left( {x + y - 2} \right)\)
-
B.
\(2\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right) = \left( {x + y} \right)\left( {x + y + 2} \right)\)
-
C.
\(2\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right) = \dfrac{{\left( {x + y} \right)\left( {x + y + 2} \right)}}{2}\)
-
D.
\(\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right) = \left( {x + y} \right)\left( {x + y + 2} \right)\)
Đáp án : B
Sử dụng quy tắc nhân đa thức với đa thức và dữ kiện đề bài để biến đổi \(2\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right)\)
Sử dụng \(AB + AC = A\left( {B + C} \right)\)
Ta có \(2\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right) = 2\left( {xy + x + y + 1} \right)\) \( = 2xy + 2x + 2y + 2\)
Thay \({x^2} + {y^2} = 2\) ta được
\(2xy + 2x + 2y + {x^2} + {y^2}\) \( = \left( {{x^2} + xy + 2x} \right) + \left( {{y^2} + xy + 2y} \right)\) \( = x\left( {x + y + 2} \right) + y\left( {x + y + 2} \right) = \left( {x + y} \right)\left( {x + y + 2} \right)\)
Từ đó ta có \(2\left( {x + 1} \right)\left( {y + 1} \right) = \left( {x + y} \right)\left( {x + y + 2} \right)\)
Biểu thức \({\left( {a - b - c} \right)^2}\) bằng
-
A.
\({a^2} + {b^2} + {c^2} - 2\left( {bc + ac + ab} \right)\)
-
B.
\({a^2} + {b^2} + {c^2} + bc - ac - 2ab\)
-
C.
\({a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {bc + ac - ab} \right)\)
-
D.
\({a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {bc - ac - ab} \right)\)
Đáp án : D
Sử dụng hẳng đẳng thức \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\)
Ta có \({\left( {a - b - c} \right)^2}\)\( = {\left[ {\left( {a - b} \right) - c} \right]^2} = {\left( {a - b} \right)^2} - 2\left( {a - b} \right).c + {c^2}\)
\( = {a^2} - 2ab + {b^2} - 2ac + 2bc + {c^2}\) \( = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {bc - ac - ab} \right)\) .
Rút gọn biểu thức \(M = \left( {2x + 3} \right)\left( {4{x^2} - 6x + 9} \right) - 4\left( {2{x^3} - 3} \right)\) ta được giá trị của \(M\) là
-
A.
Một số lẻ
-
B.
Một số chẵn
-
C.
Một số chính phương
-
D.
Một số chia hết cho \(5\)
Đáp án : A
Sử dụng hằng đẳng thức \(\left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right) = {A^3} + {B^3}\) để phân tích và rút gọn \(M\)
Ta có \(M = \left( {2x + 3} \right)\left( {4{x^2} - 6x + 9} \right) - 4\left( {2{x^3} - 3} \right)\)\( = \left( {2x + 3} \right)\left[ {{{\left( {2x} \right)}^2} - 2x.3 + {3^2}} \right] - 8{x^3} + 12\)
\( = {\left( {2x} \right)^3} + {3^3} - 8{x^3} + 12 = 8{x^3} + 27 - 8{x^3} + 12 = 39\).
Vậy giá trị của \(M\) là một số lẻ.
Cho \({x^6} - 1 = \left( {x + A} \right)\left( {x + B} \right)\left( {{x^4} + {x^2} + C} \right)\), biết \(A,\,B,C\) là các số nguyên. Khi đó \(A + B + C\) bằng
-
A.
\(0\).
-
B.
\(1\).
-
C.
\(2\).
-
D.
\( - 1\).
Đáp án : B
Sau đó sử dụng hằng đẳng thức \({A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right);\,{A^3} - {B^3} = \left( {A - B} \right)\left( {{A^2} + AB + {B^2}} \right)\) để biến đổi.
Ta có \({x^6} - 1 = {\left( {{x^2}} \right)^3} - 1 \)\(= \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^4} + {x^2} + 1} \right)\)\( = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^4} + {x^2} + 1} \right)\)
\( \Rightarrow A = - 1;B = C = 1\)
Suy ra \(A + B + C = - 1 + 1 + 1 = 1\) .
Cho các phương trình \({\left( {x + 2} \right)^3} + {\left( {x - 3} \right)^3} = 0\,\,\left( 1 \right);\)\({\left( {{x^2} + x - 1} \right)^2} + 4{x^2} + 4x = 0\,\,\left( 2 \right).\) Chọn câu đúng.
-
A.
Phương trình (1) có hai nghiệm, phương trình (2) vô nghiệm.
-
B.
Phương trình (1) có 1 nghiệm, phương trình (2) có 2 nghiệm
-
C.
Phương trình (1) vô nghiệm, phương trình (2) vô nghiệm.
-
D.
Phương trình (1) có 1 nghiệm, phương trình (2) vô nghiệm.
Đáp án : D
Với phương trình (1): Sử dụng \({A^3} = - {\left( { - A} \right)^3};\,{A^3} = {B^3} \Leftrightarrow A = B\)
Với phương trình (2):
+ Sử dụng hằng đẳng thức \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\) để phân tích đa thức thành nhân tử.
+ Từ đó đưa về dạng \({A^2} = 0 \Leftrightarrow A = 0\)
Xét phương trình (1) ta có \({\left( {x + 2} \right)^3} + {\left( {x - 3} \right)^3} = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^3} - {\left( {3 - x} \right)^3} = 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^3} = {\left( {3 - x} \right)^3}\)
\( \Leftrightarrow x + 2 = 3 - x \Leftrightarrow 2x = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}\)
Xét phương trình (2) ta có \({\left( {{x^2} + x - 1} \right)^2} + 4{x^2} + 4x = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + x - 1} \right)^2} + 4{x^2} + 4x - 4 + 4 = 0\)
\( \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + x - 1} \right)^2} + 4\left( {{x^2} + x - 1} \right) + 4 = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + x - 1 + 2} \right)^2} = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + x + 1} \right)^2} = 0\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + x + 1 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + x + \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4} = 0\)
Vì \({\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4} > 0,\forall x\) nên phương trình (2) vô nghiệm.
Vậy phương trình (1) có 1 nghiệm, phương trình (2) vô nghiệm.
Tìm \(x\) biết \({x^4} + 4{x^3} + 4{x^2} = 0\)
-
A.
\(x = 2;\,x = - 2\).
-
B.
\(x = 0;\,x = 2\).
-
C.
\(x = 0;\,x = - 2\).
-
D.
\(\,x = - 2\).
Đáp án : C
Phân tích vế trái thành nhân tử để đưa về dạng \(A.B = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.\)
Ta có \({x^4} + 4{x^3} + 4{x^2} = 0\)\( \Leftrightarrow {x^2}\left( {{x^2} + 4x + 4} \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2}{\left( {x + 2} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 0\\{\left( {x + 2} \right)^2} = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 2\end{array} \right.\)
Vậy \(x = 0;\,x = - 2\) .
Tìm giá trị của \(a\) và \(b\) để đa thức \(4{x^3} + ax + b\) chia cho đa thức \({x^2} - 1\) dư \(2x - 3.\)
-
A.
\(a = - 6;b = - 3\).
-
B.
\(a = 6;b = - 3\).
-
C.
\(a = 2;b = - 3\).
-
D.
\(a = - 2;b = - 3\)
Đáp án : D
+ Sử dụng cách chia đa thức một biến đã sắp xếp.
+ Đồng nhất hệ số của đa thức dư tìm được và đa thức dư theo giả thiết ta tìm được \(a,b\)
Ta có
Phần dư của phép chia trên là \(R = \left( {a + 4} \right)x + b\) . Theo bài ra ta có \(\left( {a + 4} \right)x + b = 2x - 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 4 = 2\\b = - 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\b = - 3\end{array} \right.\)
Vậy có hai giá trị của \(a\) thỏa mãn điều kiện đề bài \(a = - 2;b = - 3\) .
Tính giá trị biểu thức \(P = \left( { - 4{x^3}{y^3} + {x^3}{y^4}} \right):2x{y^2} - xy\left( {2x - xy} \right)\) cho \(x = 1,y = \dfrac{{ - 1}}{2}\);
-
A.
\(P = - \dfrac{{19}}{8}\)
-
B.
\(P = \dfrac{{19}}{8}\)
-
C.
\(P = \dfrac{8}{{19}}\)
-
D.
\(P = \dfrac{9}{8}\)
Đáp án : B
- Rút gọn biểu thức đã cho, sau đó thay giá trị của biến vào biểu thức rút gọn để tìm ra giá trị của biểu thức.
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,P = \left( { - 4{x^3}{y^3} + {x^3}{y^4}} \right):2x{y^2} - xy\left( {2x - xy} \right)\\ \Leftrightarrow P = \left( { - 4{x^3}{y^3}} \right):2x{y^2} + {x^3}{y^4}:2x{y^2} - xy.2x + xy.xy\\ \Leftrightarrow P = - 2{x^2}y + \dfrac{1}{2}{x^2}{y^2} - 2{x^2}y + {x^2}{y^2}\\ \Leftrightarrow P = \dfrac{3}{2}{x^2}{y^2} - 4{x^2}y\\ \Leftrightarrow P = {x^2}y\left( {\dfrac{3}{2}y - 4} \right)\end{array}\)
Tại \(x = 1,y = \dfrac{{ - 1}}{2}\), ta có: \(P = {1^2}.\left( {\dfrac{{ - 1}}{2}} \right)\left( {\dfrac{3}{2}\left( {\dfrac{{ - 1}}{2}} \right) - 4} \right) = \left( {\dfrac{{ - 1}}{2}} \right)\left( {\dfrac{{ - 3}}{4} - 4} \right) = \left( {\dfrac{{ - 1}}{2}} \right)\left( {\dfrac{{ - 19}}{4}} \right) = \dfrac{{19}}{8}\)
Chọn câu sai.
-
A.
${x^2} + 4x - {y^2} + 4 = \left( {x - y + 2} \right)\left( {x + y + 2} \right)$
-
B.
\({\left( {2{x^2} - y} \right)^2} - 64{y^2} = \left( {2{x^2} - 9y} \right)\left( {2{x^2} + 7y} \right)\)
-
C.
\( - {x^3} + 6{x^2}y - 12x{y^2} + 8{y^3} = {\left( {2y - x} \right)^3}\)
-
D.
\(\;{x^8} - {y^8} = {\left( {{x^4}} \right)^2} - {\left( {{y^4}} \right)^2} = \left( {{x^4} + {y^4}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {x + y} \right)\)
Đáp án : D
Sử dụng các phương pháp đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, thêm bớt hạng tử .. và phối hợp nhiều phương pháp để phân tích.
\( + )\;{x^2} + 4x - {y^2} + 4 = \left( {{x^2} + 4x + 4} \right) - {y^2} = \left( {{x^2} + 2.2.x + {2^2}} \right) - {y^2} = {\left( {x + 2} \right)^2} - {y^2} = \left( {x - y + 2} \right)\left( {x + y + 2} \right)\)
\( + )\;{\left( {2{x^2} - y} \right)^2} - 64{y^2} = {\left( {2{x^2} - y} \right)^2} - {\left( {8y} \right)^2} = \left( {2{x^2} - y - 8y} \right)\left( {2{x^2} - y + 8y} \right) = \left( {2{x^2} - 9y} \right)\left( {2{x^2} + 7y} \right)\)
\( + )\; - {x^3} + 6{x^2}y - 12x{y^2} + 8{y^3} = {\left( { - x} \right)^3} + 3.{x^2}.2y + 3.\left( { - x} \right).{\left( {2y} \right)^2} + {\left( {2y} \right)^3} = {\left( { - x + 2y} \right)^3} = {\left( {2y - x} \right)^3}\)
\( + )\;{x^8} - {y^8} = {\left( {{x^4}} \right)^2} - {\left( {{y^4}} \right)^2} = \left( {{x^4} + {y^4}} \right)\left( {{x^4} - {y^4}} \right)\)
\( = \left( {{x^4} + {y^4}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {{x^2} - {y^2}} \right) = \left( {{x^4} + {y^4}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right)\)
Nên A, B, C đúng. D sai.
Cho hình bình hành $ABCD$ . Gọi $I,{\rm{ }}K$ theo thứ tự là trung điểm của $CD,{\rm{ }}AB$ . Đường chéo $BD$ cắt $AI,{\rm{ }}CK$ theo thứ tự ở $E,{\rm{ }}F$ . Chọn khẳng định đúng.
-
A.
\(DE = FE;FE > FB\)
-
B.
\(DE = FE = FB\)
-
C.
\(DE > FE;\,EF = FB\)
-
D.
\(DE > FE > FB\)
Đáp án : B
Bước 1: Chứng minh tứ giác $AKCI$ là hình bình hành để suy ra \(AI{\rm{//}}CK\) .Bước 2: Sau đó sử dụng định lí đường trung bình của các tam giác \(\Delta DCF,\Delta ABE\) để suy ra mối quan hệ giữa \(DE;\,EF;\,FB\) .
Vì \(AK = \dfrac{{AB}}{2},IC = \dfrac{{CD}}{2}\) (gt) mà \(AB = CD\) (cạnh đối hình bình hành) nên \(AK = IC\) .
Vì $AB{\rm{//}}CD(gt),K \in AB,I \in DC \Rightarrow AK{\rm{//}}IC$ .
Tứ giác $AKCI$ có \(AK{\rm{//}}CI,AK = IC(cmt)\) nên là hình bình hành. Suy ra \(AI{\rm{//}}CK\) .
Mà \(E \in AI,F \in CK \Rightarrow EI{\rm{//}}CF,KF{\rm{//}}AE\) .
Xét \(\Delta DCF\) có: \(DI = IC(gt),IE{\rm{//}}CF(cmt) \Rightarrow ED = FE\,\,\,(1)\)
Xét \(\Delta ABE\) có: \(AK = KB(gt),KF{\rm{//}}AE(cmt) \Rightarrow EF = FB\,\,\,\,(2)\).
Từ (1) và (2) suy ra \(ED = FE = FB\).
Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ , $AC = 6\,cm$ , điểm $M$ thuộc cạnh $BC$ . Gọi $D,E$ theo thứ tự là các chân đường vuông góc kẻ từ $M$ đến $AB,AC$. Chu vi của tứ giác $ADME$ bằng:
-
A.
$6\,cm\;\;\;\;$
-
B.
$36\,cm$
-
C.
$18\,cm\;\;\;\;$
-
D.
$12\,cm$
Đáp án : D
Bước 1: Trước hết ta chứng minh $ADME$ là hình chữ nhật dựa vào dấu hiệu tứ giác có $3$ góc vuông là hình chữ nhật.
Bước 2: Chứng minh tam giác$BDM$ vuông cân tại $D$ để suy ra$BD = DM$ .
Bước 3: Tính chu vi $ADME$ thông độ dài cạnh tam giác vuông cân.
+ Xét tứ giác $ADME$ có \(\widehat A = \widehat E = \widehat D = {90^ \circ }\) nên $ADME$ là hình chữ nhật.
+ Xét tam giác $DMB$ có \(\widehat B = {45^ \circ }\)(do tam giác $ABC$ vuông cân) nên tam giác $BDM$ vuông cân tại$D$ . Do đó$DM = BD$ .
+ Do $ADME$ là hình chữ nhật nên chu vi$ADME$ là:
$\left( {AD + DM} \right).2 = \left( {AD + BD} \right).2 = 6.2 = 12\left( {cm} \right)$
Vậy chu vi $ADME$ là $12\,cm$ .
Cho hình vuông $ABCD$ . Trên các cạnh $AB,BC,CD,DA$ lần lượt lấy các điểm $E,F,G,H$ sao cho $AE = BF = CG = DH$ . Tứ giác \(EFGH\) là hình gì?
-
A.
Hình chữ nhật
-
B.
Hình thoi
-
C.
Hình bình hành
-
D.
Hình vuông
Đáp án : D
Bước 1: Ta chứng minh \(DG = CF = EB = AH\). Từ đó suy ra \(\Delta AHE = \Delta DGH = \Delta CFG = \Delta EBF\) nên \(HG = GF = HE = EF\) . Do đó tứ giác \(EFGH\) là hình thoi.
Bước 2: Chứng minh góc \(\widehat {HEF} = 90^\circ \) để suy ra \(EFGH\) là hình vuông.
+ Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(AB = BC = CD = DA\) (tính chất).
Mà $AE = BF = CG = DH\,\left( {gt} \right)$ nên \(AB - AE = BC - BF = CD - CG = DA - DH\) hay \(DG = CF = EB = AH\).
Từ đó suy ra \(\Delta AHE = \Delta DGH = \Delta CFG = \Delta EBF\) (c-g-c) nên \(HG = GF = HE = EF\).
Vì \(HG = GF = HE = EF\) nên tứ giác \(EFGH\) là hình thoi.
+ Vì \(\Delta AHE = \Delta BEF\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow \widehat {AHE} = \widehat {BEF}\) (hai góc tương ứng) mà \(\widehat {AHE} + \widehat {HEA} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {BEF} + \widehat {HEA} = 90^\circ \)
Từ đó \(\widehat {HEF} = 180^\circ - \left( {\widehat {HEA} + \widehat {BEF}} \right) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \) .
Hình thoi \(EFGH\) có \(\widehat {HEF} = 90^\circ \) nên \(EFGH\) là hình vuông.
Cho tứ giác $ABCD.$ Gọi $M,{\rm{ }}N,{\rm{ }}P,{\rm{ }}Q$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB,{\rm{ }}BC,{\rm{ }}CD,{\rm{ }}DA.$ Hai đường chéo $AC$ và $BD$ phải thỏa mãn điều kiện gì để $M,{\rm{ }}N,{\rm{ }}P,{\rm{ }}Q$ là bốn đỉnh của hình vuông.
-
A.
\(BD = AC\)
-
B.
\(BD \bot AC\)
-
C.
\(BD\) tạo với \(AC\) góc \(60^\circ \)
-
D.
\(BD = AC;BD \bot AC\)
Đáp án : D
Chứng minh \(MNPQ\) là hình bình hành
Dựa vào dấu hiệu nhận biết hình vuông để tìm ra điều kiện của hai đường chéo $AC$ và $BD$ tương ứng.
Xét tam giác $ABD$ có:
$M$ là trung điểm của $AB$ (gt)
$Q$ là trung điểm của $AD$ (gt)
\( \Rightarrow \) $QM$ là đường trung bình của tam giác $ABD.$ (định lý)
Do đó $QM//BD$ và \(QM = \dfrac{1}{2}BD\) (1)
Tương tự ta cũng có $NP$ là đường trung bình của tam giác $BCD.$
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}NP//BD\\NP = \dfrac{1}{2}BD\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Từ (1) và (2) ta suy ra $MNPQ$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).
Tương tự ta cũng có $MN$ là đường trung bình của tam giác $BAC$ nên $MN//AC$ và \(MN = \dfrac{1}{2}AC\)
Để hình bình hành $MNPQ$ là hình vuông \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}MN \bot NP\\MN = NP\end{array} \right.\)
+ Để \(MN \bot NP \Leftrightarrow AC \bot BD\) (vì $MN//AC,{\rm{ }}NP//BD$ )
+ Để \(MN = NP \Leftrightarrow AC = BD\) (vì \(MN = \dfrac{1}{2}AC,NP = \dfrac{1}{2}BD\) )
Vậy điều kiện cần tìm để $MNPQ$ là hình vuông là \(BD = AC;BD \bot AC.\) .
Cho hình vuông $ABCD,{\rm{ }}E$ là một điểm trên cạnh $CD.$ Tia phân giác của góc $BAE$ cắt $BC$ tại $M.$ Chọn câu đúng.
-
A.
\(AM = ME\)
-
B.
\(AM < ME\)
-
C.
\(AM \le 2ME\)
-
D.
\(AM > 2ME\)
Đáp án : C
Vẽ $EF \bot AM(F \in AB)$
Chứng minh $EF = AM.$
Chứng minh tam giác $AEF$ cân đỉnh$A.$
Chỉ ra $ME = MF.$
Xét ba điểm $M,{\rm{ }}E,{\rm{ }}F$ ta có: \(EF \le ME + MF\) để suy ra hệ thức đúng.
Vẽ $EF \bot AM(F \in AB),EG \bot AB(G \in AB)$.
Tứ giác $AGED$ là hình chữ nhật( vì \(\widehat G = \widehat A = \widehat D = {90^0}\) ), suy ra $GE = AD.$
Lại thấy \(\widehat {FEG} = \widehat {MAB}\) (vì cùng phụ với \(\widehat {AFE}\) )
Xét \(\Delta GEF\) và \(\Delta BAM\)có: \(\widehat {EGF} = \widehat {ABM} = {90^0}\); $GE = AB{\rm{ }}\left( { = CD} \right);$\(\widehat {FEG} = \widehat {MAB}\)
Do đó \(\Delta GEF = \Delta BAM\)(g.c.g) suy ra $EF = AM.$
Tam giác $AEF$ có $AM$ là đường phân giác và là đường cao nên tam giác $AEF$ cân đỉnh $A.$
Ta có $AM$ là đường trung trực của $EF,$ nên $ME = MF.$
Xét ba điểm $M,{\rm{ }}E,{\rm{ }}F$ ta có: \(EF \le ME + MF \Leftrightarrow EF \le 2ME\). Do đó \(AM \le 2ME\).
Xác định hệ số \(a,b,c\) biết rằng với mọi giá trị của \(x\) thì \(\left( {ax + 4} \right)\left( {{x^2} + bx - 1} \right) = 9{x^3} + 58{x^2} + 15x + c\)
-
A.
\(a = 9,b = - 4,c = 6.\)
-
B.
\(a = 9,b = 6,c = - 4.\)
-
C.
\(a = 9,b = 6,c = 4.\)
-
D.
\(a = - 9,b = - 6,c = - 4.\)
Đáp án : B
Bước 1: Thực hiện phép nhân đa thức với đa thức
Bước 2: Cho các hệ số của các lũy thừa tương ứng ở hai vế bằng nhau ta tìm được các hệ số \(a,b,c.\)
Ta có \(VT = \left( {ax + 4} \right)\left( {{x^2} + bx - 1} \right)\)\( = ax.{x^2} + ax.bx + ax.\left( { - 1} \right) + 4.{x^2} + 4.bx + 4.\left( { - 1} \right)\)
\( = a{x^3} + ab{x^2} - ax + 4{x^2} + 4bx - 4\)
\( = a{x^3} + \left( {ab{x^2} + 4{x^2}} \right) + \left( {4bx - ax} \right) - 4\)
\( = a{x^3} + \left( {ab + 4} \right){x^2} + \left( {4b - a} \right)x - 4\)
Theo bài ra ta có \(\left( {ax + 4} \right)\left( {{x^2} + bx - 1} \right) = 9{x^3} + 58{x^2} + 15x + c\) đúng với mọi \(x\)
\( \Leftrightarrow a{x^3} + \left( {ab + 4} \right){x^2} + \left( {4b - a} \right)x - 4 = 9{x^3} + 58{x^2} + 15x + c\) đúng với mọi \(x.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 9\\ab + 4 = 58\\4b - a = 15\\ - 4 = c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 9\\9.b = 54\\4b - 9 = 15\\c = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 9\\b = 6\\c = - 4\end{array} \right.\)
Vậy \(a = 9,b = 6,c = - 4.\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = {x^2} + 2{y^2} - 2xy + 2x - 10y\)
-
A.
$A=3$
-
B.
$A=-17$
-
C.
$A=-3$
-
D.
$A=17$
Đáp án : B
- Tách 1 hạng tử thành nhiều hạng tử hoặc thêm, bớt cùng một hạng tử một cách thích hợp để tách biểu thức đã cho thành dạng $C = a^2 + b^2 + c.$
- Khi đó, \(A \ge c\) với mọi $x.$
- Suy ra, giá trị nhỏ nhất của $A.$
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,A = {x^2} + 2{y^2} - 2xy + 2x - 10y\\ \Leftrightarrow A = {x^2} + {y^2} + 1 - 2xy + 2x - 2y + {y^2} - 8y + 16 - 17\\ \Leftrightarrow A = \left( {{x^2} + {y^2} + {1^2} - 2.x.y + 2.x.1 - 2.y.1} \right) + \left( {{y^2} - 2.4.y + {4^2}} \right) - 17\\ \Leftrightarrow A = {\left( {x - y + 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} - 17.\end{array}\)
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - y + 1} \right)^2} \ge 0\\{\left( {y - 4} \right)^2} \ge 0\end{array} \right.\) với mọi $x;y$ nên \(A \ge - 17\) với mọi $x;y.$
\( \Rightarrow A = - 17 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y + 1 = 0\\y - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y - 1\\y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 4\end{array} \right.\)
Vậy $A$ đạt giá trị nhỏ nhất là \(A = - 17\) tại \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 4\end{array} \right.\).
Phần dư của phép chia đa thức \({\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)^5} + {\left( {{x^2} - 4x - 4} \right)^5} - 1\) cho đa thức \(x + 1\) là
-
A.
\(3\)
-
B.
\(2\)
-
C.
\(0\)
-
D.
\(1\)
Đáp án : C
Sử dụng \(P\left( x \right) = Q\left( x \right).\left( {x + 1} \right) + R\)
Thay \(x = - 1\) vào biểu thức trên ta nhận được phần dư \(r.\)
Ta có đa thức chia \(\left( {x + 1} \right)\) nên phần dư là một hằng số
Gọi thương là \(Q\left( x \right)\) và dư \(r\). Khi đó với mọi \(x\) ta có \({\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)^5} + {\left( {{x^2} - 4x - 4} \right)^5} - 1 = Q\left( x \right)\left( {x + 1} \right) + r\) (1)
Thay \(x = - 1\) vào (1) ta được \({\left( {{{\left( { - 1} \right)}^2} + 3.\left( { - 1} \right) + 2} \right)^5} + {\left( {{{\left( { - 1} \right)}^2} - 4\left( { - 1} \right) - 4} \right)^5} - 1 = Q\left( x \right).\left( { - 1 + 1} \right) + r\)
\(r = {0^5} + {1^5} - 1 \Leftrightarrow r = 0\)
Vậy phần dư của phép chia là \(r = 0.\)