Đề kiểm tra giữa học kì 1 Toán 8 - Đề số 1
Đề bài
Chọn câu sai.
-
A.
\({\left( {x + 2y} \right)^2} = {x^2} + 4xy + 4{y^2}\).
-
B.
\({\left( {x - 2y} \right)^2} = {x^2} - 4xy + 4{y^2}\).
-
C.
\({\left( {x - 2y} \right)^2} = {x^2} - 4{y^2}\).
-
D.
\(\left( {x - 2y} \right)\left( {x + 2y} \right) = {x^2} - 4{y^2}\).
Viết biểu thức \(\left( {\dfrac{y}{2} + 6} \right)\left( {\dfrac{{{y^2}}}{4} - 3y + 36} \right)\) dưới dạng tổng hai lập phương
-
A.
\({y^3} + {6^3}\).
-
B.
\({\left( {\dfrac{y}{2}} \right)^3} + {6^3}\).
-
C.
\({\left( {\dfrac{y}{2}} \right)^3} + {36^3}\).
-
D.
\({\left( {\dfrac{y}{4}} \right)^3} + {6^3}\).
Hãy chọn câu sai
-
A.
Độ dài đường trung bình của hình thang bằng nửa tổng hai đáy.
-
B.
Độ dài đường trung bình của hình thang bằng nửa hiệu hai đáy.
-
C.
Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy.
-
D.
Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
Cho tam giác $ABC,$ đường cao $AH$ . Gọi $I$ là trung điểm của $AC,E$ là điểm đối xứng với $H$ qua $I$. Tứ giác $AECH$ là hình gì?
-
A.
Hình chữ nhật
-
B.
Hình bình hành
-
C.
Hình thang cân
-
D.
Hình thang vuông.
Cho \({x^2} + ax + x + a = \left( {x + a} \right).\left( {...} \right)\) Biểu thức thích hợp điền vào dấu \(...\) là
-
A.
\(\left( {x + 1} \right) \)
-
B.
\(\left( {x + a} \right)\).
-
C.
\(\left( {x + 2} \right)\).
-
D.
\(\left( {x - 1} \right)\).
Thu gọn biểu thức \(\dfrac{1}{9}{x^2}{y^3}:{\left( { - 3xy} \right)^2}\) ta được
-
A.
\(\dfrac{1}{{81}}y\)
-
B.
\( - \dfrac{1}{{27}}y\)
-
C.
\(\dfrac{1}{{81}}xy\)
-
D.
\( - \dfrac{1}{{81}}y\)
Hình thoi không có tính chất nào dưới đây?
-
A.
Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
-
B.
Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi.
-
C.
Hai đường chéo bằng nhau.
-
D.
Hai đường chéo vuông góc với nhau.
Cho \(27{x^3} - 0,001 = \left( {3x - 0,1} \right)\left( {...} \right)\) . Biểu thức thích hợp điền vào dấu \(...\) là
-
A.
\(9{x^2} + 0,03x + 0,1\).
-
B.
\(9{x^2} + 0,6x + 0,01\).
-
C.
\(9{x^2} + 0,3x + 0,01\).
-
D.
\(9{x^2} - 0,3x + 0,01\).
Cho $B = {\left( {{x^2} + 3} \right)^2} - {x^2}\left( {{x^2} + 3} \right) - 3\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)$. Chọn câu đúng.
-
A.
$B < 12$
-
B.
$B > 13$
-
C.
$12 < B < 14$
-
D.
$11 < B < 13$
Chọn câu đúng.
-
A.
$\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} + 2x} \right) = {x^4} - {x^3} - 2x$
-
B.
$\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} + 2x} \right) = {x^4} - {x^2} - 2x$
-
C.
$\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} + 2x} \right) = {x^4} + 2{x^3} - {x^2} - 2x$
-
D.
$\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} + 2x} \right) = {x^4} + 2{x^3} - 2x$
Chọn câu đúng.
-
A.
${\left( {A + B} \right)^3} $$= {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}$
-
B.
${\left( {A - B} \right)^3}$$ = {A^3} - 3{A^2}B - 3A{B^2} - {B^3}$
-
C.
${\left( {A + B} \right)^3} = {A^3} + {B^3}$
-
D.
${\left( {A - B} \right)^3} = {A^3} - {B^3}$
Cho hình vuông có chu vi \(28\,cm\) . Độ dài cạnh hình vuông là:
-
A.
\(4\,cm\)
-
B.
\(7\,cm\)
-
C.
\(14\,cm\)
-
D.
\(8\,cm\)
Chia đơn thức \({\left( { - 3x} \right)^5}\) cho đơn thức \({\left( { - 3x} \right)^2}\) ta được kết quả là
-
A.
\( - 9{x^3}\).
-
B.
\(9{x^3}\).
-
C.
\(27{x^3}\).
-
D.
\( - 27{x^3}\).
Cho \({x^2} - 4xy + 4{y^2} - 4 = \left( {x - my + 2} \right)\left( {x - 2y - 2} \right)\) với \(m \in \mathbb{R}\) . Chọn câu đúng
-
A.
\(m < 0\).
-
B.
\(1 < m < 3\).
-
C.
\(2 < m < 4\).
-
D.
\(m > 4\).
Hãy chọn câu đúng. Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành nếu.
-
A.
\(\widehat A = \widehat C\).
-
B.
\(\widehat B = \widehat D\).
-
C.
$AB$ //$CD$ ,$BC = AD$ .
-
D.
$\widehat A = \widehat C;\widehat B = \widehat D$.
Biết phần dư của phép chia đa thức \(\left( {{x^5} + {x^3} + {x^2} + 2} \right)\) cho đa thức \(\left( {{x^3} + 1} \right)\) là số tự nhiên \(a\) . Chọn câu đúng.
-
A.
\(a < 2\).
-
B.
\(a > 1\).
-
C.
\(a < 0\).
-
D.
\(a \vdots 2\).
So sánh \(A = 2019.2021.a\) và \(B = \left( {{{2019}^2} + 2.2019 + 1} \right).a\) (với \(a > 0\))
-
A.
\(A = B\)
-
B.
\(A \ge B\)
-
C.
\(A > B\)
-
D.
\(A < B\)
Biểu thức \(E = {x^2} - 20x + 101\) đạt giá trị nhỏ nhất khi
-
A.
$x = 9$
-
B.
$x = 10$
-
C.
$x = 11$
-
D.
$x = 12$
Tìm giá trị \(x\) thỏa mãn \(2x\left( {x - 3} \right) - \left( {3 - x} \right) = 0\)
-
A.
\(x = 3;\,x = - \dfrac{1}{2}\).
-
B.
\(x = - 3;\,x = - \dfrac{1}{2}\).
-
C.
\(x = 3;\,x = \dfrac{1}{2}\).
-
D.
\(x = - 3;\,x = \dfrac{1}{2}\).
Cho \({x^6} - 1 = \left( {x + A} \right)\left( {x + B} \right)\left( {{x^4} + {x^2} + C} \right)\), biết \(A,\,B,C\) là các số nguyên. Khi đó \(A + B + C\) bằng
-
A.
\(0\).
-
B.
\(1\).
-
C.
\(2\).
-
D.
\( - 1\).
Tính giá trị của biểu thức \(B = {x^6} - 2{x^4} + {x^3} + {x^2} - x\) khi \({x^3} - x = 6\)
-
A.
$36$
-
B.
$42$
-
C.
$48$
-
D.
$56$
Ta có \((x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24 = \left( {{x^2} + 7x + a} \right)\left( {{x^2} + 7x + b} \right)\) với \(a,\,b\) là các số nguyên và \(a < b\) . Khi đó \(a - b\) bằng
-
A.
\(10\).
-
B.
\(14\).
-
C.
\( - 14\).
-
D.
\( - 10\).
Thương của phép chia
\(\left( {9{x^4}{y^3} - 18{x^5}{y^4} - 81{x^6}{y^5}} \right):\left( { - 9{x^3}{y^3}} \right)\) là đa thức có bậc là:
-
A.
\(5\)
-
B.
\(9\)
-
C.
\(3\)
-
D.
\(1\)
Xác định hằng số \(a\) và \(b\) sao cho \(\left( {{x^4} + ax + b} \right) \vdots \left( {{x^2} - 4} \right)\):
-
A.
\(a = 0\) và \(b = - 16\)
-
B.
\(a = 0\) và \(b = 16\)
-
C.
\(a = 0\) và \(b = 0\)
-
D.
\(a = 1\) và \(b = 1\)
Tính độ dài đường trung bình của hình thang cân, biết rằng hai đường chéo vuông góc với nhau và đường cao của nó bằng $10cm$ .
-
A.
\(8\,cm\)
-
B.
$5\,cm$
-
C.
$6\,cm$
-
D.
$10\,cm$
Cho hình bình hành $ABCD$ . Gọi $I,{\rm{ }}K$ theo thứ tự là trung điểm của $CD,{\rm{ }}AB$ . Đường chéo $BD$ cắt $AI,{\rm{ }}CK$ theo thứ tự ở $E,{\rm{ }}F$ . Chọn khẳng định đúng.
-
A.
\(DE = FE;FE > FB\)
-
B.
\(DE = FE = FB\)
-
C.
\(DE > FE;\,EF = FB\)
-
D.
\(DE > FE > FB\)
Cho tứ giác \(ABCD\), lấy \(M,N,P,Q\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB,BC,CD,DA.\) Tứ giác \(ABCD\) cần có điều kiện gì để \(MNPQ\) là hình chữ nhật.
-
A.
\(AB = BC.\)
-
B.
\(BC = CD.\)
-
C.
\(AD = DC.\)
-
D.
\(AC \bot BD.\)
Cho tứ giác $ABCD$ . Gọi $E,F,G$$,H$ lần lượt là trung điểm của $AB,BC,CD,DA$ . Các đường chéo $AC,BD$ của tứ giác $ABCD$ phải có điều kiện gì thì $EFGH$ là hình thoi?
-
A.
\(AC = BD\)
-
B.
\(AC \bot BD\)
-
C.
\(AB = DC\)
-
D.
\(AB{\rm{//}}DC\)
Cho hình vuông $ABCD$ . Trên các cạnh $AB,BC,CD,DA$ lần lượt lấy các điểm $E,F,G,H$ sao cho $AE = BF = CG = DH$ . Tứ giác \(EFGH\) là hình gì?
-
A.
Hình chữ nhật
-
B.
Hình thoi
-
C.
Hình bình hành
-
D.
Hình vuông
Cho \({\left( {a + b + c} \right)^2} + 12 = 4\left( {a + b + c} \right) + 2\left( {ab + bc + ca} \right)\). Khi đó
-
A.
\(a = b = 2c\)
-
B.
\(a = b = c\)
-
C.
\(a = 2b = c\)
-
D.
\(a = b = c = 2\)
Phân tích đa thức \(A = ab\left( {a + b} \right) - bc\left( {b + c} \right) - ac\left( {c - a} \right)\) thành nhân tử ta được
-
A.
\(\left( {a + b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)\).
-
B.
\(\left( {a + b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b + c} \right)\)
-
C.
\(\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)\).
-
D.
\(\left( {a + b} \right)\left( {c - a} \right)\left( {b + c} \right)\).
Cho hình chữ nhật $ABCD$ có \(AB = a;\,AD = b\) . Cho $M$ , $N$ , $P$ , $Q$ là các đỉnh của tứ giác $MNPQ$ và lần lượt thuộc các cạnh $AB$ , $BC$ ,$CD,DA$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tứ giác $MNPQ$ .
-
A.
\({a^2} + {b^2}\).
-
B.
\(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \).
-
C.
\(2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \).
-
D.
\(2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\).
Lời giải và đáp án
Chọn câu sai.
-
A.
\({\left( {x + 2y} \right)^2} = {x^2} + 4xy + 4{y^2}\).
-
B.
\({\left( {x - 2y} \right)^2} = {x^2} - 4xy + 4{y^2}\).
-
C.
\({\left( {x - 2y} \right)^2} = {x^2} - 4{y^2}\).
-
D.
\(\left( {x - 2y} \right)\left( {x + 2y} \right) = {x^2} - 4{y^2}\).
Đáp án : C
Sử dụng các công thức \({\left( {A + B} \right)^2} = {A^2} + 2AB + {B^2}\), \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\) , \({A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)\)
Ta có \({\left( {x + 2y} \right)^2} = {x^2} + 2x.2y + {\left( {2y} \right)^2}\)\( = {x^2} + 4xy + 4{y^2}\) nên A đúng
\({\left( {x - 2y} \right)^2} = {x^2} - 2x.2y + {\left( {2y} \right)^2}\)\( = {x^2} - 4xy + 4{y^2}\) nên B đúng, C sai.
\(\left( {x - 2y} \right)\left( {x + 2y} \right) = {x^2} - {\left( {2y} \right)^2} = {x^2} - 4{y^2}\) nên D đúng.
Viết biểu thức \(\left( {\dfrac{y}{2} + 6} \right)\left( {\dfrac{{{y^2}}}{4} - 3y + 36} \right)\) dưới dạng tổng hai lập phương
-
A.
\({y^3} + {6^3}\).
-
B.
\({\left( {\dfrac{y}{2}} \right)^3} + {6^3}\).
-
C.
\({\left( {\dfrac{y}{2}} \right)^3} + {36^3}\).
-
D.
\({\left( {\dfrac{y}{4}} \right)^3} + {6^3}\).
Đáp án : B
Sử dụng công thức hiệu hai lập phương \(\left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right) = {A^3} + {B^3}\)
Ta có \(\left( {\dfrac{y}{2} + 6} \right)\left( {\dfrac{{{y^2}}}{4} - 3y + 36} \right)\)\( = \left( {\dfrac{y}{2} + 6} \right)\left( {{{\left( {\dfrac{y}{2}} \right)}^2} - \dfrac{y}{2}.6 + {6^2}} \right)\)\( = {\left( {\dfrac{y}{2}} \right)^3} + {6^3}\)
Hãy chọn câu sai
-
A.
Độ dài đường trung bình của hình thang bằng nửa tổng hai đáy.
-
B.
Độ dài đường trung bình của hình thang bằng nửa hiệu hai đáy.
-
C.
Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy.
-
D.
Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
Đáp án : B
Ta sử dụng định lý đường trung bình và hình thang
+ Độ dài đường trung bình hình thang bằng nửa tổng hai đáy nên đáp án B sai.
Cho tam giác $ABC,$ đường cao $AH$ . Gọi $I$ là trung điểm của $AC,E$ là điểm đối xứng với $H$ qua $I$. Tứ giác $AECH$ là hình gì?
-
A.
Hình chữ nhật
-
B.
Hình bình hành
-
C.
Hình thang cân
-
D.
Hình thang vuông.
Đáp án : A
+ Chứng minh $AECH$ là hình bình hành dựa vào dấu hiệu tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.
+ Chứng minh hình bình hành $AECH$ là hình chữ nhật dựa vào dấu hiệu hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.
![](https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1528860201553_25.png)
Xét tứ giác $AECH$ có: $I$ là trung điểm của $AC$ (gt); $I$ là trung điểm của $HE$ (do $H$ và $E$ đối xứng nhau qua $I$ )
Do đó $AECH$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).
Lại có \(\widehat {AHC} = {90^ \circ }\) , nên $AECH$ là hình chữ nhật (dhnb).
Cho \({x^2} + ax + x + a = \left( {x + a} \right).\left( {...} \right)\) Biểu thức thích hợp điền vào dấu \(...\) là
-
A.
\(\left( {x + 1} \right) \)
-
B.
\(\left( {x + a} \right)\).
-
C.
\(\left( {x + 2} \right)\).
-
D.
\(\left( {x - 1} \right)\).
Đáp án : A
Ta có \({x^2} + ax + x + a \)\( = \left( {{x^2} + x} \right) + \left( {ax + a} \right) \)\( = x\left( {x + 1} \right) + a\left( {x + 1} \right) \)\( = \left( {x + a} \right)\left( {x + 1} \right)\)
Thu gọn biểu thức \(\dfrac{1}{9}{x^2}{y^3}:{\left( { - 3xy} \right)^2}\) ta được
-
A.
\(\dfrac{1}{{81}}y\)
-
B.
\( - \dfrac{1}{{27}}y\)
-
C.
\(\dfrac{1}{{81}}xy\)
-
D.
\( - \dfrac{1}{{81}}y\)
Đáp án : A
Sử dụng các công thức lũy thừa của một tích\({\left( {x.y} \right)^m} = {x^m}.{y^m}\) và thương các lũy thừa\({x^m}:{x^n} = {x^{m - n}}\,\,\left( {m \ge n,\,m,\,n \in \mathbb{N}} \right)\)
Tacó\(\dfrac{1}{9}{x^2}{y^3}:{\left( { - 3xy} \right)^2} = \dfrac{1}{9}{x^2}{y^3}:\left[ {{{\left( { - 3} \right)}^2}{x^2}{y^2}} \right]\)\( = \dfrac{1}{9}{x^2}{y^3}:\left( {9{x^2}{y^2}} \right) = \dfrac{1}{{81}}y\)
Hình thoi không có tính chất nào dưới đây?
-
A.
Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
-
B.
Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi.
-
C.
Hai đường chéo bằng nhau.
-
D.
Hai đường chéo vuông góc với nhau.
Đáp án : C
Hình thoi có tất cả các tính chất của hình bình hành
+ Các cạnh đối song song và bằng nhau, các góc đối bằng nhau
+ Hai đường chéo giao nhau tại trung điểm mỗi đường.
Ngoài ra còn có
+ Hai đường chéo vuông góc với nhau.
+ Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi.
Cho \(27{x^3} - 0,001 = \left( {3x - 0,1} \right)\left( {...} \right)\) . Biểu thức thích hợp điền vào dấu \(...\) là
-
A.
\(9{x^2} + 0,03x + 0,1\).
-
B.
\(9{x^2} + 0,6x + 0,01\).
-
C.
\(9{x^2} + 0,3x + 0,01\).
-
D.
\(9{x^2} - 0,3x + 0,01\).
Đáp án : C
Sử dụng hằng đẳng thức \({A^3} - {B^3} = \left( {A - B} \right)\left( {{A^2} + AB + {B^2}} \right)\) để phân tích đa thức thành nhân tử.
Ta có \(27{x^3} - 0,001 = {\left( {3x} \right)^3} - {\left( {0,1} \right)^3} = \left( {3x - 0,1} \right)\left( {{{\left( {3x} \right)}^2} + 3x.0,1 + 0,{1^2}} \right)\)\( = \left( {3x - 0,1} \right)\left( {9{x^2} + 0,3x + 0,01} \right)\)
Cho $B = {\left( {{x^2} + 3} \right)^2} - {x^2}\left( {{x^2} + 3} \right) - 3\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)$. Chọn câu đúng.
-
A.
$B < 12$
-
B.
$B > 13$
-
C.
$12 < B < 14$
-
D.
$11 < B < 13$
Đáp án : D
Sử dụng công thức \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\) , \(\left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right) = {A^2} - {B^2}\) và phép nhân đa thức để khai triển và rút gọn.
Ta có $B = {\left( {{x^2} + 3} \right)^2} - {x^2}\left( {{x^2} + 3} \right) - 3\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)$\( = {\left( {{x^2}} \right)^2} + 2.{x^2}.3 + {3^2} - \left( {{x^2}.{x^2} + {x^2}.3} \right) - 3\left( {{x^2} - 1} \right)\)
\( = {x^4} + 6{x^2} + 9 - {x^4} - 3{x^2} - 3{x^2} + 3\) \( = 12\) .
Chọn câu đúng.
-
A.
$\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} + 2x} \right) = {x^4} - {x^3} - 2x$
-
B.
$\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} + 2x} \right) = {x^4} - {x^2} - 2x$
-
C.
$\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} + 2x} \right) = {x^4} + 2{x^3} - {x^2} - 2x$
-
D.
$\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} + 2x} \right) = {x^4} + 2{x^3} - 2x$
Đáp án : C
Sử dụng quy tắc nhân đa thức với đa thức:
Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau: \(\left( {A + B} \right)\left( {C + D} \right) = AC + AD + BC + BD\)
Ta có $\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} + 2x} \right) $$= {x^2}.{x^2} + {x^2}.2x - 1.{x^2} - 1.2x $$= {x^4} + 2{x^3} - {x^2} - 2x$
Chọn câu đúng.
-
A.
${\left( {A + B} \right)^3} $$= {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}$
-
B.
${\left( {A - B} \right)^3}$$ = {A^3} - 3{A^2}B - 3A{B^2} - {B^3}$
-
C.
${\left( {A + B} \right)^3} = {A^3} + {B^3}$
-
D.
${\left( {A - B} \right)^3} = {A^3} - {B^3}$
Đáp án : A
Ta có
\({\left( {A + B} \right)^3} \)\( = {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}\) nên phương án C sai, A đúng.
\({\left( {A - B} \right)^3} \)\( = {A^3} - 3{A^2}B + 3A{B^2} - {B^3}\) nên phương án B sai, D sai
Cho hình vuông có chu vi \(28\,cm\) . Độ dài cạnh hình vuông là:
-
A.
\(4\,cm\)
-
B.
\(7\,cm\)
-
C.
\(14\,cm\)
-
D.
\(8\,cm\)
Đáp án : B
Hình vuông có bốn cạnh bằng nhau nên chu vi hình vuông bằng \(4a\) . (\(a\) là độ dài một cạnh)
Từ giả thiết ta có \(4a = 28 \Leftrightarrow a = 7\,cm\) . Vậy cạnh hình vuông là \(a = 7\,cm\) .
Chia đơn thức \({\left( { - 3x} \right)^5}\) cho đơn thức \({\left( { - 3x} \right)^2}\) ta được kết quả là
-
A.
\( - 9{x^3}\).
-
B.
\(9{x^3}\).
-
C.
\(27{x^3}\).
-
D.
\( - 27{x^3}\).
Đáp án : D
* Sử dụng quy tắc chia đơn thức cho đơn thức.
Muốn chia đơn thức \(A\) cho đơn thức \(B\) (trong trường hợp \(A\) chia hết cho \(B\) ) ta làm như sau:
+ Chia hệ số của đơn thức \(A\) cho hệ số của đơn thức \(B\)
+ Chia lũy thừa của từng biến trong \(A\) cho lũy thừa của cùng biến đó trong \(B\) .
+ Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau.
* Sử dụng công thức chia hai lũy thừa cùng cơ số
Ta có \({\left( { - 3x} \right)^5}:{\left( { - 3x} \right)^2} \)\(= {\left( { - 3x} \right)^3} \)\(= {\left( { - 3} \right)^3}.{x^3} = - 27{x^3}\).
Cho \({x^2} - 4xy + 4{y^2} - 4 = \left( {x - my + 2} \right)\left( {x - 2y - 2} \right)\) với \(m \in \mathbb{R}\) . Chọn câu đúng
-
A.
\(m < 0\).
-
B.
\(1 < m < 3\).
-
C.
\(2 < m < 4\).
-
D.
\(m > 4\).
Đáp án : B
Sử dụng phương pháp nhóm hạng tử thích hợp để phân tích đa thức thành nhân tử.
Nhóm ba hạng tử đầu và sử dụng các hằng đẳng thức \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2};\,{A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)\)
Ta có \({x^2} - 4xy + 4{y^2} - 4 = \left( {{x^2} - 2.x.2y + {{\left( {2y} \right)}^2}} \right) - 4\)\( = {\left( {x - 2y} \right)^2} - {2^2} = \left( {x - 2y - 2} \right)\left( {x - 2y + 2} \right)\)
Suy ra \(m = 2\) .
Hãy chọn câu đúng. Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành nếu.
-
A.
\(\widehat A = \widehat C\).
-
B.
\(\widehat B = \widehat D\).
-
C.
$AB$ //$CD$ ,$BC = AD$ .
-
D.
$\widehat A = \widehat C;\widehat B = \widehat D$.
Đáp án : D
Sử dụng dấu hiệu nhận biết hình bình hành.
+ Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành
+ Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.
+ Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành
![](https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1528782934772_Untitled60.png)
+ Tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành khi $AB$ //$CD$ ,$BC{\rm{//}}AD$ nên C sai.
+ Tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành khi $\widehat A = \widehat C;\widehat B = \widehat D$ nên D đúng.
+ A, B sai vì chưa đủ điều kiện để kết luận.
Biết phần dư của phép chia đa thức \(\left( {{x^5} + {x^3} + {x^2} + 2} \right)\) cho đa thức \(\left( {{x^3} + 1} \right)\) là số tự nhiên \(a\) . Chọn câu đúng.
-
A.
\(a < 2\).
-
B.
\(a > 1\).
-
C.
\(a < 0\).
-
D.
\(a \vdots 2\).
Đáp án : A
![](https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1528256294100_Untitled4.png)
Phần dư của phép chia là \(a = 1 < 2\)
So sánh \(A = 2019.2021.a\) và \(B = \left( {{{2019}^2} + 2.2019 + 1} \right).a\) (với \(a > 0\))
-
A.
\(A = B\)
-
B.
\(A \ge B\)
-
C.
\(A > B\)
-
D.
\(A < B\)
Đáp án : D
Biến đổi \(A\) để sử dụng công thức \(\left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right) = {A^2} - {B^2}\) , \({A^2} + 2AB + {B^2} = {\left( {A + B} \right)^2}\)
Sau đó so sánh \(A\) và \(B\) .
Ta có \(A = 2019.2021.a\)\( = \left( {2020 - 1} \right)\left( {2020 + 1} \right)a = \left( {{{2020}^2} - 1} \right)a\)
Và \(B = \left( {{{2019}^2} + 2.2019 + 1} \right)a = {\left( {2019 + 1} \right)^2}a = {2020^2}a\)
Vì \({2020^2} - 1 < {2020^2}\) và \(a > 0\) nên \(\left( {{{2020}^2} - 1} \right)a < {2020^2}a\) hay \(A < B\) .
Biểu thức \(E = {x^2} - 20x + 101\) đạt giá trị nhỏ nhất khi
-
A.
$x = 9$
-
B.
$x = 10$
-
C.
$x = 11$
-
D.
$x = 12$
Đáp án : B
Biến đổi \(E\) về dạng \({\left( {A - B} \right)^2} + m\) rồi đánh giá \({\left( {A - B} \right)^2} + m \ge m\) . Dấu “=” xảy ra khi \(A = B\)
Giá trị nhỏ nhất của \(E\) là \(m\) khi \(A = B\)
Ta có \(E = {x^2} - 20x + 101 = {x^2} - 2.x.10 + 100 + 1 = {\left( {x - 10} \right)^2} + 1\)
Vì \({\left( {x - 10} \right)^2} \ge 0;\,\forall x\)\( \Rightarrow {\left( {x - 10} \right)^2} + 1 \ge 1.\)
Dấu “=” xảy ra khi \({\left( {x - 10} \right)^2} = 0 \)\(\Leftrightarrow x - 10 = 0 \Leftrightarrow x = 10\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(E\) là \(1\) khi \(x = 10.\)
Tìm giá trị \(x\) thỏa mãn \(2x\left( {x - 3} \right) - \left( {3 - x} \right) = 0\)
-
A.
\(x = 3;\,x = - \dfrac{1}{2}\).
-
B.
\(x = - 3;\,x = - \dfrac{1}{2}\).
-
C.
\(x = 3;\,x = \dfrac{1}{2}\).
-
D.
\(x = - 3;\,x = \dfrac{1}{2}\).
Đáp án : A
+ Sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung để phân tích đa thức thành nhân tử
+ Từ đó đưa về dạng \(A.B = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.\)
Ta có \(2x\left( {x - 3} \right) - \left( {3 - x} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 2x\left( {x - 3} \right) + \left( {x - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {2x + 1} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 3 = 0\\2x + 1 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\2x = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)
Vậy \(x = 3;\,x = - \dfrac{1}{2}\)
Cho \({x^6} - 1 = \left( {x + A} \right)\left( {x + B} \right)\left( {{x^4} + {x^2} + C} \right)\), biết \(A,\,B,C\) là các số nguyên. Khi đó \(A + B + C\) bằng
-
A.
\(0\).
-
B.
\(1\).
-
C.
\(2\).
-
D.
\( - 1\).
Đáp án : B
Sau đó sử dụng hằng đẳng thức \({A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right);\,{A^3} - {B^3} = \left( {A - B} \right)\left( {{A^2} + AB + {B^2}} \right)\) để biến đổi.
Ta có \({x^6} - 1 = {\left( {{x^2}} \right)^3} - 1 \)\(= \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^4} + {x^2} + 1} \right)\)\( = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {{x^4} + {x^2} + 1} \right)\)
\( \Rightarrow A = - 1;B = C = 1\)
Suy ra \(A + B + C = - 1 + 1 + 1 = 1\) .
Tính giá trị của biểu thức \(B = {x^6} - 2{x^4} + {x^3} + {x^2} - x\) khi \({x^3} - x = 6\)
-
A.
$36$
-
B.
$42$
-
C.
$48$
-
D.
$56$
Đáp án : B
Sử dụng phương pháp giao hoán, kết hợp và tách hạng tử (tách hạng tử thứ 2 thành 2 hạng tử giống nhau) để sắp xếp và tạo ra các hạng tử cần thiết.
Sau khi tách hạng tử, nhóm hạng tử thứ 1 với hạng tử thứ 2, nhóm hạng tử thứ 3 với hạng tử thứ 5và nhóm hạng tử thứ 4 với hạng tử thứ 6 để xuất hiện nhân tử chung giống với \({x^3} - x\).
Đặt nhân tử chung để được tích của các đa thức.
Sau đó thế biểu thức \({x^3} - x = 6\) vào biểu thức vừa biến đổi để tính giá trị biểu thức.
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,B = {x^6} - 2{x^4} + {x^3} + {x^2} - x\\ \Leftrightarrow B = {x^6} - {x^4} - {x^4} + {x^3} + {x^2} - x\\ \Leftrightarrow B = \left( {{x^6} - {x^4}} \right) - \left( {{x^4} - {x^2}} \right) + \left( {{x^3} - x} \right)\\ \Leftrightarrow B = {x^3}\left( {{x^3} - x} \right) - x\left( {{x^3} - x} \right) + \left( {{x^3} - x} \right)\\ \Leftrightarrow B = \left( {{x^3} - x + 1} \right)\left( {{x^3} - x} \right)\end{array}\)
Tại \({x^3} - x = 6\), ta có: \(B = \left( {6 + 1} \right).6 = 7.6 = 42\)
Ta có \((x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24 = \left( {{x^2} + 7x + a} \right)\left( {{x^2} + 7x + b} \right)\) với \(a,\,b\) là các số nguyên và \(a < b\) . Khi đó \(a - b\) bằng
-
A.
\(10\).
-
B.
\(14\).
-
C.
\( - 14\).
-
D.
\( - 10\).
Đáp án : D
Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ sau đó dùng hằng đẳng thức để phân tích đa thức vế trái thành nhân tử.
+ Nhân hai hạng tử $(x+2)(x+5)$; $(x+3)(x+4)$
+ Đặt \({x^2} + 7x + 11 = t\)
+ Phân tích biểu thức ẩn $t$ thu được
+ Thay trở lại \(t={x^2} + 7x + 11\) ta thu được tích các nhân tử cần tìm từ đó suy ra $a,b.$
Ta có \(T = (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24\)\( = \left[ {\left( {x + 2} \right)\left( {x + 5} \right)} \right].\left[ {\left( {x + 3} \right)\left( {x + 4} \right)} \right] - 24\)\( = \left( {{x^2} + 7x + 10} \right).\left( {{x^2} + 7x + 12} \right) - 24\)
Đặt \({x^2} + 7x + 11 = t\), ta được \(T = \left( {t - 1} \right)\left( {t + 1} \right) - 24 = {t^2} - 1 - 24 = {t^2} - 25 = \left( {t - 5} \right)\left( {t + 5} \right)\)
Thay \(t={x^2} + 7x + 11 \), ta được
\( T= \left( {t - 5} \right)\left( {t + 5} \right)= \left( {{x^2} + 7x + 11 - 5} \right)\left( {{x^2} + 7x + 11 + 5} \right)\)\( = \left( {{x^2} + 7x + 6} \right)\left( {{x^2} + 7x + 16} \right)\)
Suy ra \(a = 6;b = 16\, \Rightarrow a - b = - 10\)
Thương của phép chia
\(\left( {9{x^4}{y^3} - 18{x^5}{y^4} - 81{x^6}{y^5}} \right):\left( { - 9{x^3}{y^3}} \right)\) là đa thức có bậc là:
-
A.
\(5\)
-
B.
\(9\)
-
C.
\(3\)
-
D.
\(1\)
Đáp án : A
+ Sử dụng quy tắc chia đa thức cho đơn thức.
+ Xác định bậc của đa thức là bậc cao nhất của các đơn thức trong đa thức.
Ta có \(\left( {9{x^4}{y^3} - 18{x^5}{y^4} - 81{x^6}{y^5}} \right):\left( { - 9{x^3}{y^3}} \right)\)\( = \left[ {\left( {9{x^4}{y^3}} \right):\left( { - 9{x^3}{y^3}} \right)} \right] - \left[ {18{x^5}{y^4}:\left( { - 9{x^3}{y^3}} \right)} \right] - \left[ {81{x^6}{y^5}:\left( { - 9{x^3}{y^3}} \right)} \right]\)
\( = - x + 2{x^2}y + 9{x^3}{y^2}\)
Đa thức \( - x + 2{x^2}y + 9{x^3}{y^2}\) có bậc \(3 + 2 = 5\) .
Xác định hằng số \(a\) và \(b\) sao cho \(\left( {{x^4} + ax + b} \right) \vdots \left( {{x^2} - 4} \right)\):
-
A.
\(a = 0\) và \(b = - 16\)
-
B.
\(a = 0\) và \(b = 16\)
-
C.
\(a = 0\) và \(b = 0\)
-
D.
\(a = 1\) và \(b = 1\)
Đáp án : A
+ Sử dụng cách chia đa thức một biến đã sắp xếp.
+ Sử dụng nhận xét: Nếu phép chia có phần dư \(R = 0\) thì phép chia đó là phép chia hết.
Chú ý: \(Ax + B = 0\) với \(\forall x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.\) .
Ta có
Để \({x^4} + ax + b\) chia hết cho \({x^2} - 4\) thì \(ax + b + 16 = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}ax = 0\\b + 16 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = - 16\end{array} \right.\)
Tính độ dài đường trung bình của hình thang cân, biết rằng hai đường chéo vuông góc với nhau và đường cao của nó bằng $10cm$ .
-
A.
\(8\,cm\)
-
B.
$5\,cm$
-
C.
$6\,cm$
-
D.
$10\,cm$
Đáp án : D
Ta đi chứng minh độ dài đường trung bình của hình thang cân \(ABCD\) bằng với độ dài đường cao đi qua giao điểm của hai đường chéo của hình thang. Từ đó suy ra độ dài đường trung bình của hình thang.
![](https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1528729846565_Untitled50.png)
+ Xét hình thang cân $ABCD\left( {AB//CD} \right)$ , hai đường chéo $AC$ và $BD$ vuông góc với nhau tại $O,{\rm{ }}MN$ là đường trung bình của hình thang $ABCD$ . Qua $O$ kẻ đường thẳng vuông góc với $AB$ tại $E$ , với $CD$ tại $F$ .
Xét \(\Delta ADC\) và \(\Delta BCD\) có:
\(AD = BC\) (gt)
DC cạnh chung
\(\widehat {ADC} = \widehat {BCD}\) (gt)
\( \Rightarrow \Delta ADC = \Delta BCD(c.g.c) \Rightarrow \widehat {ACD} = \widehat {BDC}\) ( hai góc tương ứng)\( \Rightarrow \Delta OCD\) cân tại O\( \Rightarrow OC = OD\)
Mà \(AC = BD\) nên \(OA = OB \Rightarrow \Delta OAB\) cân tại $O$ .
Lại có \(\widehat {AOB} = 90^\circ \) ( do $AB$ vuông góc với $CD$) nên \(\Delta AOB\) vuông cân tại $O$, do đó $OE$ là đường cao cũng là đường trung tuyến nên \(OE = \dfrac{{AB}}{2}.\)
Tương tự: tam giác $DOC$ vuông cân tại $O$ nên $FO = \dfrac{{CD}}{2}$
Do đó \(FE = \dfrac{{AB + CD}}{2}\)
$MN$ là đường trung bình của hình thang $ABCD$ nên \(MN = \dfrac{{AB + CD}}{2}\)
\( \Rightarrow MN = FE = 10cm\) .
Cho hình bình hành $ABCD$ . Gọi $I,{\rm{ }}K$ theo thứ tự là trung điểm của $CD,{\rm{ }}AB$ . Đường chéo $BD$ cắt $AI,{\rm{ }}CK$ theo thứ tự ở $E,{\rm{ }}F$ . Chọn khẳng định đúng.
-
A.
\(DE = FE;FE > FB\)
-
B.
\(DE = FE = FB\)
-
C.
\(DE > FE;\,EF = FB\)
-
D.
\(DE > FE > FB\)
Đáp án : B
Bước 1: Chứng minh tứ giác $AKCI$ là hình bình hành để suy ra \(AI{\rm{//}}CK\) .Bước 2: Sau đó sử dụng định lí đường trung bình của các tam giác \(\Delta DCF,\Delta ABE\) để suy ra mối quan hệ giữa \(DE;\,EF;\,FB\) .
![](https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1528819219403_11.png)
Vì \(AK = \dfrac{{AB}}{2},IC = \dfrac{{CD}}{2}\) (gt) mà \(AB = CD\) (cạnh đối hình bình hành) nên \(AK = IC\) .
Vì $AB{\rm{//}}CD(gt),K \in AB,I \in DC \Rightarrow AK{\rm{//}}IC$ .
Tứ giác $AKCI$ có \(AK{\rm{//}}CI,AK = IC(cmt)\) nên là hình bình hành. Suy ra \(AI{\rm{//}}CK\) .
Mà \(E \in AI,F \in CK \Rightarrow EI{\rm{//}}CF,KF{\rm{//}}AE\) .
Xét \(\Delta DCF\) có: \(DI = IC(gt),IE{\rm{//}}CF(cmt) \Rightarrow ED = FE\,\,\,(1)\)
Xét \(\Delta ABE\) có: \(AK = KB(gt),KF{\rm{//}}AE(cmt) \Rightarrow EF = FB\,\,\,\,(2)\).
Từ (1) và (2) suy ra \(ED = FE = FB\).
Cho tứ giác \(ABCD\), lấy \(M,N,P,Q\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB,BC,CD,DA.\) Tứ giác \(ABCD\) cần có điều kiện gì để \(MNPQ\) là hình chữ nhật.
-
A.
\(AB = BC.\)
-
B.
\(BC = CD.\)
-
C.
\(AD = DC.\)
-
D.
\(AC \bot BD.\)
Đáp án : D
Bước 1: Chứng minh \(MNPQ\) là hình bình hành bằng cách chứng minh cặp cạnh song song và bằng nhau được suy ra từ tính chất đường trung bình.
Bước 2: Dựa vào dấu hiệu nhận biết “hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật” suy ra điều kiện của \(ABCD\) để hình bình hành \(MNPQ\) là hình chữ nhật.
![](https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1528859956929_23.png)
Nối \(AC\) , $BD$.
+ Xét tam giác \(ABD\) có \(M,\,Q\) lần lượt là trung điểm của \(AB;\,AD\) nên \(MQ\) là đường trung bình của tam giác \(ABD\)
Suy ra \(MQ{\rm{//}}BD;\,MQ = \dfrac{1}{2}BD\) \(\left( 1 \right)\) .
+ Tương tự, xét tam giác \(CBD\) có \(N,P\) lần lượt là trung điểm của \(BC;\,CD\) nên \(NP\) là đường trung bình của tam giác \(CBD\). Suy ra \(NP{\rm{//}}BD;\,NP = \dfrac{1}{2}BD\)\(\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right);\,\left( 2 \right) \Rightarrow MQ{\rm{//}}NP;\,MQ = NP \Rightarrow MNPQ\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).
+ Để hình bình hành \(MNPQ\) là hình chữ nhật thì \(\widehat {MQP} = 90^\circ \) hay \(MQ \bot QP\)
Lại có \(QP{\rm{//}}AC\) (do \(QP\) là đường trung bình của tam giác \(DAC\) ) nên \(MQ \bot AC\) mà \(MQ{\rm{//}}BD\) (cmt) nên \(AC \bot BD\) .
Vậy tứ giác \(ABCD\) cần có \(AC \bot BD\) thì \(MNPQ\) là hình chữ nhật.
Cho tứ giác $ABCD$ . Gọi $E,F,G$$,H$ lần lượt là trung điểm của $AB,BC,CD,DA$ . Các đường chéo $AC,BD$ của tứ giác $ABCD$ phải có điều kiện gì thì $EFGH$ là hình thoi?
-
A.
\(AC = BD\)
-
B.
\(AC \bot BD\)
-
C.
\(AB = DC\)
-
D.
\(AB{\rm{//}}DC\)
Đáp án : A
Sử dụng dấu hiệu nhận biết hình thoi
![](https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1528877783611_46.png)
Vì $E,F$ lần lượt là trung điểm của$AB$ , $BC$ nên $EF$ là đường trung bình của $\Delta ABC$ . Suy ra \(EF{\rm{//}}AC\) và \(EF = \dfrac{1}{2}AC\) (1).
Tương tự ta có : \(HG{\rm{//}}AC\) và \(HG = \dfrac{1}{2}AC\) (2).
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác $EFGH$ là hình bình hành.
Muốn cho tứ giác $EFGH$ là hình thoi thì nó cần phải có thêm hai cạnh kề bằng nhau.
Nên \(EH = EF \Leftrightarrow AC = BD\).
Cho hình vuông $ABCD$ . Trên các cạnh $AB,BC,CD,DA$ lần lượt lấy các điểm $E,F,G,H$ sao cho $AE = BF = CG = DH$ . Tứ giác \(EFGH\) là hình gì?
-
A.
Hình chữ nhật
-
B.
Hình thoi
-
C.
Hình bình hành
-
D.
Hình vuông
Đáp án : D
Bước 1: Ta chứng minh \(DG = CF = EB = AH\). Từ đó suy ra \(\Delta AHE = \Delta DGH = \Delta CFG = \Delta EBF\) nên \(HG = GF = HE = EF\) . Do đó tứ giác \(EFGH\) là hình thoi.
Bước 2: Chứng minh góc \(\widehat {HEF} = 90^\circ \) để suy ra \(EFGH\) là hình vuông.
![](https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1528879517318_50.png)
+ Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(AB = BC = CD = DA\) (tính chất).
Mà $AE = BF = CG = DH\,\left( {gt} \right)$ nên \(AB - AE = BC - BF = CD - CG = DA - DH\) hay \(DG = CF = EB = AH\).
Từ đó suy ra \(\Delta AHE = \Delta DGH = \Delta CFG = \Delta EBF\) (c-g-c) nên \(HG = GF = HE = EF\).
Vì \(HG = GF = HE = EF\) nên tứ giác \(EFGH\) là hình thoi.
+ Vì \(\Delta AHE = \Delta BEF\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow \widehat {AHE} = \widehat {BEF}\) (hai góc tương ứng) mà \(\widehat {AHE} + \widehat {HEA} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {BEF} + \widehat {HEA} = 90^\circ \)
Từ đó \(\widehat {HEF} = 180^\circ - \left( {\widehat {HEA} + \widehat {BEF}} \right) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \) .
Hình thoi \(EFGH\) có \(\widehat {HEF} = 90^\circ \) nên \(EFGH\) là hình vuông.
Cho \({\left( {a + b + c} \right)^2} + 12 = 4\left( {a + b + c} \right) + 2\left( {ab + bc + ca} \right)\). Khi đó
-
A.
\(a = b = 2c\)
-
B.
\(a = b = c\)
-
C.
\(a = 2b = c\)
-
D.
\(a = b = c = 2\)
Đáp án : D
Biến đổi giả thiết bằng cách sử dụng hằng đẳng thức \({\left( {a + b + c} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + bc + ca} \right)\)
\({\left( {a - b} \right)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}\)
Từ đó đưa về dạng \({A^2} + {B^2} + {C^2} = 0 \Leftrightarrow A = B = C = 0\)
Ta có \({\left( {a + b + c} \right)^2} + 12 = 4\left( {a + b + c} \right) + 2\left( {ab + bc + ca} \right)\)
\( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + bc + ca} \right) + 12 = 4\left( {a + b + c} \right) + 2\left( {ab + ac + bc} \right)\)
\( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - 4a - 4b - 4c + 12 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {{a^2} - 4a + 4} \right) + \left( {{b^2} - 4b + 4} \right) + \left( {{c^2} - 4c + 4} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} + {\left( {c - 2} \right)^2} = 0\)
Mà \({\left( {a - 2} \right)^2} \ge 0;\,{\left( {b - 2} \right)^2} \ge 0;{\left( {c - 2} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(a,b,c.\)
Nên \({\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} + {\left( {c - 2} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(a,b,c\)
Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}a - 2 = 0\\b - 2 = 0\\c - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 2\\c = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c = 2\)
Phân tích đa thức \(A = ab\left( {a + b} \right) - bc\left( {b + c} \right) - ac\left( {c - a} \right)\) thành nhân tử ta được
-
A.
\(\left( {a + b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)\).
-
B.
\(\left( {a + b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b + c} \right)\)
-
C.
\(\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right)\).
-
D.
\(\left( {a + b} \right)\left( {c - a} \right)\left( {b + c} \right)\).
Đáp án : B
- Ta viết \(b + c = \left( {a + b} \right) + \left( {c - a} \right)\) từ đó nhóm các hạng tử thích hợp
Ta có \(b + c = \left( {a + b} \right) + \left( {c - a} \right)\) nên \(A = ab\left( {a + b} \right) - bc\left[ {\left( {a + b} \right) + \left( {c - a} \right)} \right] - ac\left( {c - a} \right)\)
\( = ab\left( {a + b} \right) - bc\left( {a + b} \right) - bc\left( {c - a} \right) - ac\left( {c - a} \right)\)
\( = b\left( {a + b} \right)\left( {a - c} \right) - c\left( {c - a} \right)\left( {b + a} \right)\)
\( = \left( {a + b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b + c} \right)\)
Cho hình chữ nhật $ABCD$ có \(AB = a;\,AD = b\) . Cho $M$ , $N$ , $P$ , $Q$ là các đỉnh của tứ giác $MNPQ$ và lần lượt thuộc các cạnh $AB$ , $BC$ ,$CD,DA$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tứ giác $MNPQ$ .
-
A.
\({a^2} + {b^2}\).
-
B.
\(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \).
-
C.
\(2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \).
-
D.
\(2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\).
Đáp án : C
Bước 1: Gọi thêm các điểm $I,H,K$ lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng $QM,QN,PN$ .
Bước 2: Ta tính chu vi tứ giác $MNPQ$ :
\( AI = \dfrac{1}{2}QM, \)\(IH= \dfrac{1}{2}MN,\)\(HK = \dfrac{1}{2}PQ,\)\(KC= \dfrac{1}{2}NP\)\( \Rightarrow AI + IH + HK + KC \)\(= \dfrac{1}{2}(QM + MN + PQ + NP) \)\(= \dfrac{1}{2}{P_{MNPQ}}\)
Mà \(AI + IH + HK + KC \ge AC\), từ đó suy ra lời giải bài toán.
Bước 3: Dùng định lý Pytago tính \(AC\) theo $a,\,b$ rồi kết luận.
![](https://cdn.vungoi.vn/vungoi/1528875093415_32.png)
Gọi $I,H,K$ lần lượt là trung điểm các đoạn $QM,QN,PN$ .
Xét tam giác $AQM$ vuông tại $A$ có $AI$ là đường trung tuyến nên suy ra \(AI = \dfrac{1}{2}QM\).
$IH$ là đường trung bình của tam giác $QMN$ nên \(IH = \dfrac{1}{2}MN\), $IH$ //$MN$ .
Tương tự \(KC = \dfrac{1}{2}NP,HK = \dfrac{1}{2}PQ\), $HK$ //$PQ$ .
Do đó $AI{\rm{ }} + {\rm{ }}IH{\rm{ }} + {\rm{ }}HK{\rm{ }} + {\rm{ }}KC{\rm{ }} = \dfrac{1}{2}{P_{MNPQ}}$
Mặt khác nếu xét các điểm $A,I,H,K,C$ ta có: $AI{\rm{ }} + {\rm{ }}IH{\rm{ }} + {\rm{ }}HK{\rm{ }} + {\rm{ }}KC{\rm{ }} \ge AC$
Do đó \({P_{MNPQ}} \ge 2AC\) (không đổi)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $A,I,H,K,C$ thẳng hàng theo thứ tự đó. Điều đó tương đương với
$MN$ //$AC$ //$QP$ , $QM$ //$BD$ //$NP$
hay $MNPQ$ là hình bình hành.
Theo định lý Pytago cho tam giác \(ACB\) vuông tại \(A\) ta có
\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = A{B^2} + A{D^2}\) \( = {a^2} + {b^2} \Rightarrow AC = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \) .
Vậy giá trị nhỏ nhất của chu vi $MNPQ$ là $2AC$ \( = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \) .