Đề kiểm tra 45 phút chương 8: Hình trụ-Hình nón-Hình cầu - Đề số 1

Gọi bán kính đáy và chiều cao của hình trụ lần lượt  là \(R,\,\,h\,\,\left( {R > 0;\,h > 0} \right)\)

Ta có \(V = \pi {R^2}h \Rightarrow h = \dfrac{V}{{\pi {R^2}}}\)

Diện tích toàn phần của hình trụ \({S_{tp}} = 2\pi Rh + 2\pi {R^2} = 2\pi R.\dfrac{V}{{\pi {R^2}}} + 2\pi {R^2} = \dfrac{{2V}}{R} + 2\pi {R^2}\)

\( = \dfrac{V}{R} + \dfrac{V}{R} + 2\pi {R^2}\mathop  \ge \limits_{\cos i} 3\sqrt[3]{{\dfrac{V}{R}.\dfrac{V}{R}.2\pi {R^2}}} = 3\sqrt[3]{{2\pi {V^2}}}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \dfrac{V}{R} = 2\pi {R^2} \Rightarrow R = \sqrt[3]{{\dfrac{V}{{2\pi }}}}\)

Vậy với \(R = \sqrt[3]{{\dfrac{V}{{2\pi }}}}\) thì \({S_{tp}}\) đạt giá trị nhỏ nhất là \(3\sqrt[3]{{2\pi {V^2}}}\).

Xét tam giác \(ABC\) đều có \(AM\) vừa là đường trung tuyến, đường cao, đường phân giác.

Nên ta có \(MC = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{a}{2}\) .

Khi quay tam giác $ABC$ quanh cạnh \(AM\) ta được hình nón đỉnh \(A\) , bán kính đáy là \(MC\) , đường sinh \(AC\) và chiều cao \(AM\) .

Diện tích toàn phần của hình nón là \({S_{tp}} = \pi Rl + \pi {R^2} = \pi .MC.AC + \pi .M{C^2} = \pi .\dfrac{a}{2}.a + \pi .{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)^2} = \dfrac{{3\pi {a^2}}}{4}\) .