Đề kiểm tra 45 phút chương 6: Đa giác, diện tích đa giác - Đề số 2
Đề bài
Hãy chọn câu đúng:
-
A.
Diện tích tam giác vuông bằng nửa tích hai cạnh góc vuông
-
B.
Diện tích hình chữ nhật bằng nửa tích hai kích thước của nó
-
C.
Diện tích hình vuông có cạnh \(a\) là $2a$
-
D.
Tất cả các đáp án trên đều đúng
Cho tam giác \(ABC\), đường cao \(AH = 9\,cm\), cạnh \(BC = 12\,cm\). Diện tích tam giác là:
-
A.
\(108c{m^2}\).
-
B.
\(72\,c{m^2}\).
-
C.
\(54\,c{m^2}\).
-
D.
\(216\,c{m^2}\).
Hãy chọn câu đúng:
-
A.
Diện tích của tứ giác có hai đường chéo vuông góc bằng tích hai đường chéo
-
B.
Diện tích của tứ giác có hai đường chéo vuông góc bằng hiệu hai đường chéo
-
C.
Diện tích của tứ giác có hai đường chéo vuông góc bằng tổng hai đường chéo
-
D.
Diện tích của tứ giác có hai đường chéo vuông góc bằng nửa tích hai đường chéo
Chọn câu đúng. Cho các hình: Hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông, tam giác cân, tam giác đều.
Có bao nhiêu đa giác đều trong các hình kể trên.
-
A.
$1$
-
B.
$2$
-
C.
$4$
-
D.
$5$
Số đo mỗi góc của hình \(9\) cạnh đều là:
-
A.
\(120^\circ \)
-
B.
\(60^\circ \)
-
C.
\(140^\circ \)
-
D.
\(135^\circ \)
Một đa giác lồi \(10\) cạnh thì có số đường chéo là:
-
A.
\(35\)
-
B.
\(30\)
-
C.
\(70\)
-
D.
\(27\)
Hai đường chéo hình thoi có độ dài là \(10\,cm\) và \(24\,cm\). Độ dài cạnh hình thoi là:
-
A.
\(14\,cm\)
-
B.
\(7\,cm\)
-
C.
\(13\,cm\)
-
D.
\(22\,cm\)
Một tam giác có độ dài ba cạnh là $12cm,{\rm{ 5}}cm,{\rm{ 13}}cm.$ Diện tích tam giác đó là
-
A.
\(60c{m^2}\)
-
B.
\(30c{m^2}\)
-
C.
\(45c{m^2}\)
-
D.
\(32,5c{m^2}\)
Tổng số đo các góc của hình đa giác \(n\) cạnh là \(900^\circ \) thì
-
A.
\(n = 7\)
-
B.
\(n = 8\)
-
C.
\(n = 9\)
-
D.
\(n = 6\)
Cho tam giác \(ABC,\,\,\widehat A = {90^0},\,\,AB = 6cm,\,\,AC = 8cm.\) Hạ $AH \bot BC,$ qua \(H\) kẻ \(HE \bot AB,\,\,HF \bot AC\) với \(E \in AB;F \in AC\).
Tính $BC$, $EF.$
-
A
\(BC = 10cm;EF = 4,8cm\)
-
B
\(BC = 10cm;EF = 2,4cm\)
-
C
\(BC = 5cm;EF = 4,8cm\)
-
D
\(BC = 12cm;EF = 5,4cm\)
Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(HB\) và \(HC\). Tính diện tích tứ giác $MNFE$ .
-
A
\(18c{m^2}\)
-
B
\(6c{m^2}\)
-
C
\(12c{m^2}\)
-
D
\(24c{m^2}\)
Đa giác nào dưới đây có số đường chéo bằng số cạnh?
-
A.
Tứ giác
-
B.
Ngũ giác
-
C.
Lục giác
-
D.
Đa giác có 7 cạnh
Cho tam giác \(ABC\), lấy \(M\) thuộc \(BC\) sao cho \(BM = 4CM\). Hãy chọn câu đúng:
-
A.
\({S_{ABM}} = \dfrac{4}{3}{S_{ABC}}\).
-
B.
\({S_{ABM}} = 5{S_{AMC}}\).
-
C.
\({S_{ABC}} = 5{S_{AMC}}\).
-
D.
\({S_{ABC}} = 4{S_{AMC}}\).
Cho tứ giác $ABCD$ có đường chéo $AC$ vuông góc với $BD$ , diện tích của $ABCD$ là \(25\,c{m^2};BD = 5cm\) . Độ dài đường chéo $AC$ là:
-
A.
\(10\,cm\)
-
B.
\(5\,cm\)
-
C.
\(15\,cm\)
-
D.
\(12,5\,cm\)
Cho hình chữ nhật ABCD có \(AD = 8cm,\;AB = 9cm\). Các điểm $M,{\rm{ }}N$ trên đường chéo $BD$ sao cho $BM = MN = ND.$ Tính diện tích tam giác $CMN.$
-
A.
\(12c{m^2}\)
-
B.
\(24c{m^2}\)
-
C.
\(36c{m^2}\)
-
D.
\(6c{m^2}\)
Cho tam giác $ABC$ trung tuyến $AM,$ chiều cao \(AH\). Chọn câu đúng
-
A.
\({S_{ABM}} = {S_{ACM}} = {S_{ABC}}\)
-
B.
\({S_{ABM}} = {S_{ACM}} = \dfrac{1}{2}{S_{ABC}}\)
-
C.
\({S_{ABM}} = {S_{ACB}} = \dfrac{1}{2}{S_{AMC}}\)
-
D.
\({S_{ABM}} = \dfrac{1}{2}{S_{ACM}} = \dfrac{1}{2}{S_{ABC}}\)
Cho hình thoi $ABCD$ có hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $O.$ Biết \(OA = 12cm\), diện tích hình thoi $ABCD$ là \(168c{m^2}\). Cạnh của hình thoi là:
-
A.
\(\sqrt {190} (cm)\)
-
B.
\(\sqrt {180} (cm)\)
-
C.
\(\sqrt {193} (cm)\)
-
D.
\(\sqrt {195} (cm)\)
Cho hình chữ nhật $ABCD$. Trên cạnh $AB$ lấy M . Tìm vị trí của M để \({S_{MBC}} = \dfrac{1}{4}{S_{ABCD}}\)
-
A.
\(M\) là điểm thuộc đoạn \(AB\) sao cho \(AM = \dfrac{1}{2}MB\)
-
B.
\(M\) là điểm thuộc đoạn \(AB\) sao cho \(AM = \dfrac{3}{4}AB\)
-
C.
\(M\) là trung điểm đoạn \(AB.\)
-
D.
$M$ là điểm thuộc đoạn \(AB\) sao cho \(AM = \dfrac{1}{4}AB\)
Tam giác $ABC$ có hai trung tuyến $AM$ và $BN$ vuông góc với nhau. Hãy tính diện tích tam giác đó theo hai cạnh $AM$ và $BN.$
-
A.
\({S_{ABC}} = AM.BN\)
-
B.
\({S_{ABC}} = \dfrac{3}{2}AM.BN\)
-
C.
\({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AM.BN\)
-
D.
\({S_{ABC}} = \dfrac{2}{3}AM.BN\)
Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi \(100cm,\) hình có diện tích lớn nhất là bao nhiêu?
-
A.
\(2500\,c{m^2}\)
-
B.
\(625\,c{m^2}\)
-
C.
\(500\,c{m^2}\)
-
D.
\(1250\,c{m^2}\)
Lời giải và đáp án
Hãy chọn câu đúng:
-
A.
Diện tích tam giác vuông bằng nửa tích hai cạnh góc vuông
-
B.
Diện tích hình chữ nhật bằng nửa tích hai kích thước của nó
-
C.
Diện tích hình vuông có cạnh \(a\) là $2a$
-
D.
Tất cả các đáp án trên đều đúng
Đáp án : A
Dựa vào công thức tính diện tích hình chữ nhật, hình vuông, tam giác vuông
+) Diện tích hình chữ nhật bằng tích hai kích thước của nó.
+) Diện tích hình vuông có cạnh a là \({a^2}.\)
+) Diện tích tam giác vuông bằng nửa tích hai cạnh góc vuông của tam giác vuông đó.
Cho tam giác \(ABC\), đường cao \(AH = 9\,cm\), cạnh \(BC = 12\,cm\). Diện tích tam giác là:
-
A.
\(108c{m^2}\).
-
B.
\(72\,c{m^2}\).
-
C.
\(54\,c{m^2}\).
-
D.
\(216\,c{m^2}\).
Đáp án : C
Sử dụng công thức: Diện tích tam giác bằng nửa tích một cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó: \(S = \dfrac{1}{2}ah\) .
Từ công thức tính diện tích tam giác ta có \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AH.BC = \dfrac{1}{2}.9.12 = 54\,c{m^2}\) .
Hãy chọn câu đúng:
-
A.
Diện tích của tứ giác có hai đường chéo vuông góc bằng tích hai đường chéo
-
B.
Diện tích của tứ giác có hai đường chéo vuông góc bằng hiệu hai đường chéo
-
C.
Diện tích của tứ giác có hai đường chéo vuông góc bằng tổng hai đường chéo
-
D.
Diện tích của tứ giác có hai đường chéo vuông góc bằng nửa tích hai đường chéo
Đáp án : D
Dựa vào công thức tính diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc bằng tích hai đường chéo chia cho $2$.
Diện tích của tứ giác có hai đường chéo vuông góc bằng nửa tích hai đường chéo.
Chọn câu đúng. Cho các hình: Hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông, tam giác cân, tam giác đều.
Có bao nhiêu đa giác đều trong các hình kể trên.
-
A.
$1$
-
B.
$2$
-
C.
$4$
-
D.
$5$
Đáp án : B
Sử dụng định nghĩa đa giác đều: Đa giác đều là đa giác có tất cả các cạnh bằng nhau và tất cả các góc bằng nhau.
Hình vuông là tứ giác đều (có bốn cạnh bằng nhau và các góc cùng bằng \(90^\circ \) ) và tam giác đều là những đa giác đều.
Hình chữ nhật là đa giác không đều vì hình chữ nhật có $4$ góc vuông nhưng các cạnh không bằng nhau nên không là đa giác đều.
Hình thoi là đa giác không đều vì các cạnh bằng nhau nhưng các góc không bằng nhau.
Tam giác cân không là đa giác đều vì có ba cạnh không bằng nhau.
Số đo mỗi góc của hình \(9\) cạnh đều là:
-
A.
\(120^\circ \)
-
B.
\(60^\circ \)
-
C.
\(140^\circ \)
-
D.
\(135^\circ \)
Đáp án : C
Sử dụng công thức tính số đo góc của đa giác đều n cạnh: \(\dfrac{{\left( {n - 2} \right).180^\circ }}{n}\)
Số đo góc của đa giác đều 9 cạnh:\(\dfrac{{\left( {9 - 2} \right).180^\circ }}{9} = 140^\circ \)
Một đa giác lồi \(10\) cạnh thì có số đường chéo là:
-
A.
\(35\)
-
B.
\(30\)
-
C.
\(70\)
-
D.
\(27\)
Đáp án : A
Sử dụng công tính tính số đường chéo của hình n cạnh: \(\dfrac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2}\)
Số đường chéo của hình \(10\) cạnh là: \(\dfrac{{10\left( {10 - 3} \right)}}{2} = 35\) đường.
Hai đường chéo hình thoi có độ dài là \(10\,cm\) và \(24\,cm\). Độ dài cạnh hình thoi là:
-
A.
\(14\,cm\)
-
B.
\(7\,cm\)
-
C.
\(13\,cm\)
-
D.
\(22\,cm\)
Đáp án : C
Tính \(AO,BO\), áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông \(AOB\) để tính cạnh \(AB\).
Giả sử hình thoi \(ABCD\) có đường chéo \(AC\) vuông góc với \(BD\) tại \(O\), \(BD = 10\,cm;\,AC = 24\,cm\).
Suy ra \(BO = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{1}{2}. 12 = 6\,(cm);\,\)\(AO = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{2}. 24 = 12(cm)\).
Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông \(AOB\) vuông tại \(O\) ta có:
\(AB = \sqrt {A{O^2} + B{O^2}} = \sqrt {{5^2} + {{12}^2}} = 13\,(cm)\).
Một tam giác có độ dài ba cạnh là $12cm,{\rm{ 5}}cm,{\rm{ 13}}cm.$ Diện tích tam giác đó là
-
A.
\(60c{m^2}\)
-
B.
\(30c{m^2}\)
-
C.
\(45c{m^2}\)
-
D.
\(32,5c{m^2}\)
Đáp án : B
Với kích thước đã cho chứng minh được tam giác này vuông nên diện tích tam giác bằng một nửa tích hai cạnh góc vuông.
Ta có: \({5^2} + {12^2} = 169;\,{13^2} = 169 \Rightarrow {5^2} + {12^2} = {13^2}\)
Do đó đây tam giác đã cho là tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là \(5cm\) và \(12cm.\)
Diện tích của nó là: \(\dfrac{1}{2}.12.5 = 30\left( {c{m^2}} \right)\)
Tổng số đo các góc của hình đa giác \(n\) cạnh là \(900^\circ \) thì
-
A.
\(n = 7\)
-
B.
\(n = 8\)
-
C.
\(n = 9\)
-
D.
\(n = 6\)
Đáp án : A
Tổng số đo các góc trong đa giác n cạnh là : \(\left( {n - 2} \right){.180^0}\) (với $n \ge 3$)
Áp dụng công thức tính tổng số đo các góc trong đa giác n cạnh là : \(\left( {n - 2} \right){.180^0}\) (với $n \ge 3$), ta có:
\(\begin{array}{l}\left( {n - 2} \right){.180^0} = 900^\circ \\ \Rightarrow n - 2 = 900^\circ :{180^0}\\ \Rightarrow n - 2 = 5\\ \Rightarrow n = 7\end{array}\)
Cho tam giác \(ABC,\,\,\widehat A = {90^0},\,\,AB = 6cm,\,\,AC = 8cm.\) Hạ $AH \bot BC,$ qua \(H\) kẻ \(HE \bot AB,\,\,HF \bot AC\) với \(E \in AB;F \in AC\).
Tính $BC$, $EF.$
-
A
\(BC = 10cm;EF = 4,8cm\)
-
B
\(BC = 10cm;EF = 2,4cm\)
-
C
\(BC = 5cm;EF = 4,8cm\)
-
D
\(BC = 12cm;EF = 5,4cm\)
Đáp án: A
+) Sử dụng định lý Pi-ta-go để tính độ dài cạnh huyền $BC.$
+) Áp dụng định lý Pi-ta-go với các tam giác vuông $AHC$ và $BHC$ để tính cạnh $AH.$
+) Chứng minh tứ giác $AEHF$ là hình chữ nhật, từ đó suy ra hai đường chéo $AH = EF.$
Áp dụng định lý Pi-ta-go trong tam giác $ABC$ vuông tại $A$ ta có:
\(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{6^2} + {8^2}} = \sqrt {100} = 10\,cm.\)
Áp dụng định lý Pi-ta-go trong tam giác $ABH$ vuông tại $H$ ta có:
\(A{H^2} = A{B^2} - B{H^2} = 36 - B{H^2}.\)
Áp dụng định lý Pi-ta-go trong tam giác $ACH$ vuông tại $H$ ta có:
\(\begin{array}{l}A{H^2} = A{C^2} - H{C^2} = 64 - H{C^2}.\\ \Rightarrow 36 - B{H^2} = 64 - H{C^2}\\ \Leftrightarrow 36 - B{H^2} = 64 - {\left( {10 - BH} \right)^2}\\\left( {do\,\,\,HC + BH = BC = 10} \right)\\ \Leftrightarrow 28 - 100 + 20BH - B{H^2} + B{H^2} = 0\\ \Leftrightarrow 20BH = 72\\ \Leftrightarrow BH = 3,6\,\,\,cm.\\ \Rightarrow AH = \sqrt {36 - B{H^2}} = \sqrt {36 - 3,{6^2}} = 4,8\,\,cm.\end{array}\)
Xét tứ giác $AEHF$ có: \(\widehat A = \widehat E = \widehat F = {90^0}\,\,\,\left( {gt} \right)\)
\( \Rightarrow AEHF\) là hình chữ nhật (dhnb) \( \Rightarrow AH = EF\,\,\,\) (hai đường chéo hình chữ nhật bằng nhau).
\( \Rightarrow EF = AH = 4,8\,\,cm.\)
Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(HB\) và \(HC\). Tính diện tích tứ giác $MNFE$ .
-
A
\(18c{m^2}\)
-
B
\(6c{m^2}\)
-
C
\(12c{m^2}\)
-
D
\(24c{m^2}\)
Đáp án: C
+) Tính diện tích theo mối quan hệ \({S_{MNFE}} = {S_{\Delta MEH}} + {S_{\Delta HEF}} + {S_{\Delta NFH}}\)
Kẻ \(MP \bot EH\,\,\left( {P \in EH} \right),\,\,NQ \bot HF\,\,\left( {Q \in HF} \right)\) ta có: MP và NQ lần lượt là đường trung bình của tam giác HBE và HFC nên \(MP = \dfrac{1}{2}BE,\,\,NQ = \dfrac{1}{2}FC\)
\(\begin{array}{l}{S_{\Delta MEH}} = \dfrac{1}{2}MP.EH = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}BE.EH = \dfrac{1}{2}{S_{\Delta HBE}}\\{S_{\Delta HNF}} = \dfrac{1}{2}NQ.HF = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}CF.HF = \dfrac{1}{2}{S_{\Delta HCF}}\\{S_{\Delta H{\rm{EF}}}} = \dfrac{1}{2}{S_{AEHF}}\\ \Rightarrow {S_{EMNF}} = \dfrac{1}{2}\left( {{S_{\Delta HBE}} + {S_{\Delta HCF}} + {S_{AEHF}}} \right) \\= \dfrac{1}{2}{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}\,.\dfrac{1}{2}.AB.AC = \dfrac{1}{4}.6.8 = 12\,\,\left( {c{m^2}} \right).\end{array}\)
Đa giác nào dưới đây có số đường chéo bằng số cạnh?
-
A.
Tứ giác
-
B.
Ngũ giác
-
C.
Lục giác
-
D.
Đa giác có 7 cạnh
Đáp án : B
Số đường chéo của đa giác \(n\left( {n \ge 3} \right)\) cạnh là \(\dfrac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2}\).
Gọi số cạnh của đa giác là \(n\left( {n \ge 3;\,n \in \mathbb{N}} \right)\)
Số đường chéo của đa giác là \(\dfrac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2}\)
Theo đề bài ta có: \(\dfrac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2} = n \Leftrightarrow {n^2} - 3n = 2n\)\( \Leftrightarrow {n^2} - 5n = 0 \Leftrightarrow n\left( {n - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 0\left( {ktm} \right)\\n = 5\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)
Vậy đa giác thỏa mãn đề bài là ngũ giác.
Cho tam giác \(ABC\), lấy \(M\) thuộc \(BC\) sao cho \(BM = 4CM\). Hãy chọn câu đúng:
-
A.
\({S_{ABM}} = \dfrac{4}{3}{S_{ABC}}\).
-
B.
\({S_{ABM}} = 5{S_{AMC}}\).
-
C.
\({S_{ABC}} = 5{S_{AMC}}\).
-
D.
\({S_{ABC}} = 4{S_{AMC}}\).
Đáp án : C
Bước 1: Sử dụng công thức: Diện tích tam giác bằng nửa tích một cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó: \(S = \dfrac{1}{2}ah\)
Bước 2: Từ đó dựa vào dữ kiện \(BM = 4CM\) ta tìm được mối quan hệ diện tích giữa các tam giác.
Kẻ \(AH \bot BC\) tại \(H\).
Mà \(BM = 4CM\)\( \Rightarrow BM = \dfrac{4}{5}BC;\,CM = \dfrac{1}{5}BC;\,\)
Khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}{S_{ABM}} = \dfrac{1}{2}.\,AH.BM = \dfrac{1}{2}AH.\dfrac{4}{5}BC\\ = \dfrac{4}{5}.\left( {\dfrac{1}{2}AH.BC} \right) = \dfrac{4}{5}{S_{ABC}}\end{array}\)
Suy ra A sai.
\(\begin{array}{l}{S_{AMB}} = \dfrac{1}{2}.\,AH.MB = \dfrac{1}{2}AH.4MC\\ = 4.\left( {\dfrac{1}{2}AH.MC} \right) = 4{S_{AMC}}\end{array}\)
Suy ra B sai.
\({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}.\,AH.BC = \dfrac{1}{2}AH.5MC = 5{S_{AMC}}\)
suy ra C đúng, D sai.
Cho tứ giác $ABCD$ có đường chéo $AC$ vuông góc với $BD$ , diện tích của $ABCD$ là \(25\,c{m^2};BD = 5cm\) . Độ dài đường chéo $AC$ là:
-
A.
\(10\,cm\)
-
B.
\(5\,cm\)
-
C.
\(15\,cm\)
-
D.
\(12,5\,cm\)
Đáp án : A
Sử dụng công thức: Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau bằng nửa tích hai đường chéo.
Từ đó suy ra cách tính độ dài đường chéo còn lại.
\({S_{ABCD}} = \dfrac{1}{2}BD.AC \)\(\Rightarrow AC = \dfrac{{2{S_{ABCD}}}}{{BD}} = \dfrac{{2.25}}{5} = 10\,cm.\)
Cho hình chữ nhật ABCD có \(AD = 8cm,\;AB = 9cm\). Các điểm $M,{\rm{ }}N$ trên đường chéo $BD$ sao cho $BM = MN = ND.$ Tính diện tích tam giác $CMN.$
-
A.
\(12c{m^2}\)
-
B.
\(24c{m^2}\)
-
C.
\(36c{m^2}\)
-
D.
\(6c{m^2}\)
Đáp án : A
+ Tính tỉ số diện tích tam giác \(CMN\) và tam giác \(BCD\)
+ Tính diện tích \(\Delta BCD\) suy ra diện tích tam giác \(CMN.\)
+ Ta có \(CD = AB = 9cm;BC = AD = 8cm\) nên \({S_{BCD}} = \dfrac{1}{2}BC.DC = \dfrac{1}{2}.8.9 = 36\,c{m^2}\)
+ Kẻ \(CH \bot BD\) tại \(H.\)
+ Ta có \({S_{BCD}} = \dfrac{1}{2}CH.BD;{S_{CMN}} = \dfrac{1}{2}CH.MN\) mà \(MN = \dfrac{1}{3}BD \Rightarrow {S_{CMN}} = \dfrac{1}{3}{S_{BCD}} = \dfrac{1}{3}.36 = 12\,c{m^2}\)
Cho tam giác $ABC$ trung tuyến $AM,$ chiều cao \(AH\). Chọn câu đúng
-
A.
\({S_{ABM}} = {S_{ACM}} = {S_{ABC}}\)
-
B.
\({S_{ABM}} = {S_{ACM}} = \dfrac{1}{2}{S_{ABC}}\)
-
C.
\({S_{ABM}} = {S_{ACB}} = \dfrac{1}{2}{S_{AMC}}\)
-
D.
\({S_{ABM}} = \dfrac{1}{2}{S_{ACM}} = \dfrac{1}{2}{S_{ABC}}\)
Đáp án : B
Sử dụng công thức tính diện tích tam giác: \(S = \dfrac{1}{2}ah\) với \(a\) là độ dài đáy, \(h\) là độ dài chiều cao ứng với đáy.
Ta có \({S_{ABM}} = \dfrac{1}{2}AH.BM\) ; \({S_{AMC}} = \dfrac{1}{2}AH.MC\) ; \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AH.BC\)
Mà \(M\) là trung điểm của \(BC\) nên \(MB = MC = \dfrac{{BC}}{2}\)
Từ đó ta suy ra \({S_{ABM}} = \dfrac{1}{2}AH.BM = \dfrac{1}{2}AH.CM = \dfrac{1}{2}AH.\dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{2}\dfrac{{AH.BC}}{2}\)
Hay \({S_{ABM}} = {S_{ACM}} = \dfrac{1}{2}{S_{ABC}}\) .
Cho hình thoi $ABCD$ có hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $O.$ Biết \(OA = 12cm\), diện tích hình thoi $ABCD$ là \(168c{m^2}\). Cạnh của hình thoi là:
-
A.
\(\sqrt {190} (cm)\)
-
B.
\(\sqrt {180} (cm)\)
-
C.
\(\sqrt {193} (cm)\)
-
D.
\(\sqrt {195} (cm)\)
Đáp án : C
Tính $BO$, áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông $AOB$ để tính cạnh $AB$
Ta có:
\(AC = 2AO = 2.12 = 24cm\)
\(\begin{array}{l}{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{2}BD.AC \Rightarrow BD = \dfrac{{2{S_{ABCD}}}}{{AC}} = \dfrac{{2.168}}{{24}} = 14(cm)\\ \Rightarrow BO = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{1}{2}.14 = 7(cm)\end{array}\)
Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông AOB vuông tại O ta có:
\(AB = \sqrt {A{O^2} + B{O^2}} = \sqrt {{{12}^2} + {7^2}} = \sqrt {193} (cm)\)
Cho hình chữ nhật $ABCD$. Trên cạnh $AB$ lấy M . Tìm vị trí của M để \({S_{MBC}} = \dfrac{1}{4}{S_{ABCD}}\)
-
A.
\(M\) là điểm thuộc đoạn \(AB\) sao cho \(AM = \dfrac{1}{2}MB\)
-
B.
\(M\) là điểm thuộc đoạn \(AB\) sao cho \(AM = \dfrac{3}{4}AB\)
-
C.
\(M\) là trung điểm đoạn \(AB.\)
-
D.
$M$ là điểm thuộc đoạn \(AB\) sao cho \(AM = \dfrac{1}{4}AB\)
Đáp án : C
Sử dụng công thức tính diện tích hình chữ nhật và diện tích tam giác vuông.
Ta có \({S_{ABCD}} = AB.BC\) ; \({S_{MBC}} = \dfrac{1}{2}MB.BC\)
Để \({S_{MBC}} = \dfrac{1}{4}{S_{ABCD}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}MB.BC = \dfrac{1}{4}AB.BC\)\( \Leftrightarrow MB = \dfrac{1}{2}AB\)
Mà \(M \in AB\) nên \(M\) là trung điểm đoạn \(AB.\)
Tam giác $ABC$ có hai trung tuyến $AM$ và $BN$ vuông góc với nhau. Hãy tính diện tích tam giác đó theo hai cạnh $AM$ và $BN.$
-
A.
\({S_{ABC}} = AM.BN\)
-
B.
\({S_{ABC}} = \dfrac{3}{2}AM.BN\)
-
C.
\({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AM.BN\)
-
D.
\({S_{ABC}} = \dfrac{2}{3}AM.BN\)
Đáp án : D
$ABMN$ là tứ giác có hai đường chéo $AM$ và $BN$ vuông góc nên có diện tích bằng nửa tích hai đường chéo
Tính diện tích tam giác $ABC$ thông qua diện tích của tứ giác $ABMN$
Ta có $ABMN$ là tứ giác có hai đường chéo $AM$ và $BN$ vuông góc nên có diện tích là: \({S_{ABMN}} = \dfrac{1}{2}AB.MN\)
Hai tam giác $AMC$ và $ABC$ có chung đường cao hạ từ $A$ nên \(\dfrac{{{S_{AMC}}}}{{{S_{ABC}}}} = \dfrac{{MC}}{{BC}} = \dfrac{1}{2}\)\( \Rightarrow {S_{AMC}} = \dfrac{1}{2}{S_{ABC}}\,(1)\)
Hai tam giác $AMN$ và $AMC$ có chung đường cao hạ từ $M$ nên \(\dfrac{{{S_{AMN}}}}{{{S_{AMC}}}} = \dfrac{{AN}}{{AC}} = \dfrac{1}{2}\)\( \Rightarrow {S_{AMN}} = \dfrac{1}{2}{S_{AMC}}\,(2)\)
Từ (1) và (2) suy ra \({S_{AMN}} = \dfrac{1}{4}{S_{ABC}}\,\)
Hai tam giác $AMB$ và $ABC$ có chung đường cao hạ từ $A$ nên \(\dfrac{{{S_{AMB}}}}{{{S_{ABC}}}} = \dfrac{{MB}}{{BC}} = \dfrac{1}{2}\)\( \Rightarrow {S_{AMB}} = \dfrac{1}{2}{S_{ABC}}\,\)
Ta có: \({S_{ABMN}} = {S_{AMN}} + {S_{ABM}} = \dfrac{1}{4}{S_{ABC}} + \dfrac{1}{2}{S_{ABC}} = \dfrac{3}{4}{S_{ABC}}\)
\( \Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{4}{3}{S_{ABMN}} = \dfrac{4}{3}.\dfrac{1}{2}.AM.BN = \dfrac{2}{3}AM.BN\)
Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi \(100cm,\) hình có diện tích lớn nhất là bao nhiêu?
-
A.
\(2500\,c{m^2}\)
-
B.
\(625\,c{m^2}\)
-
C.
\(500\,c{m^2}\)
-
D.
\(1250\,c{m^2}\)
Đáp án : B
Sử dụng công thức tính diện tích hình chữ nhật bằng tích chiều dài với chiều rộng.
Sử dụng đánh giá \(m - {A^2} \le m\), dấu “=” xảy ra khi \(A = 0.\)
Nửa chu vi của hình chữ nhật là \(100:2 = 50cm\).
Gọi một kích thước của hình chữ nhật là \(x\,\,\left( {cm;x > 0} \right)\) thì kích thước còn lại là \(50 - x\,\,\left( {cm} \right)\).
Diện tích hình chữ nhật bằng \(x\left( {50 - x} \right) = - {x^2} + 50x = - \left( {{x^2} - 50x + 625} \right) + 625\)\( = 625 - {\left( {x - 25} \right)^2}\).
Ta có: \({\left( {x - 25} \right)^2} \ge 0;\forall x \Leftrightarrow 625 - {\left( {x - 25} \right)^2} \le 625;\,\forall x\).
Dấu “=” xảy ra khi \(x = 25\).
Vậy hình chữ nhật có diện tích lớn nhất là \(625\,c{m^2}.\)