Đề thi toán 9, đề kiểm tra toán 9 có đáp án và lời giải chi tiết

Đề kiểm tra 45 phút chương 4: Hàm số y=ax^2-Phương trình bậc hai một ẩn - Đề số 1

Tổng hợp đề thi học kì 2 lớp 9 tất cả các môn

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh - Sử - Địa - GDCD

Đề bài

Xem đáp án

Làm đề thi

Đề bài

Câu 1 :

Chọn phát biểu đúng. Phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ có $a - b + c = 0$. Khi đó

A.

Phương trình có một nghiệm ${x_1} = 1$, nghiệm kia là ${x_2} = \dfrac{c}{a}$
B.

Phương trình có một nghiệm ${x_1} = - 1$, nghiệm kia là ${x_2} = \dfrac{c}{a}$
C.

Phương trình có một nghiệm ${x_1} = - 1$, nghiệm kia là ${x_2} = - \dfrac{c}{a}.$
D.

Phương trình có một nghiệm ${x_1} = 1$, nghiệm kia là ${x_2} = - \dfrac{c}{a}.$

Câu 2 :

Cho hai số có tổng là $S$ và tích là $P$ với ${S^2} \ge 4P$. Khi đó hai số đó là hai nghiệm của phương trình nào dưới đây?

A.

${X^2} - PX + S = 0$
B.

${X^2} - SX + P = 0$
C.

$S{X^2} - X + P = 0$
D.

${X^2} - 2SX + P = 0$

Câu 3 :

Cho phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ có biệt thức $b = 2b';\Delta ' = b{'^2} - ac$. Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi

A.

$\Delta ' > 0$
B.

$\Delta ' = 0$
C.

$\Delta ' \ge 0$
D.

$\Delta ' \le 0$

Câu 4 :

Phương trình nào dưới đây là phương trình bậc hai một ẩn

A.

${x^2} - \sqrt x + 1 = 0$
B.

$2{x^2} - 2018 = 0$
C.

$x + \dfrac{1}{x} - 4 = 0$
D.

$2x - 1 = 0$

Câu 5 :

Tính biệt thức $\Delta $ từ đó tìm số nghiệm của phương trình $9{x^2} - 15x + 3 = 0$.

A.

$\Delta = 117$ và phương trình có nghiệm kép.
B.

$\Delta = - 117$ và phương trình vô nghiệm
C.

$\Delta = 117$ và phương trình có hai nghiệm phân biệt
D.

$\Delta = - 117$ và phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Câu 6 :

Số giao điểm của đường thẳng $d:y = 2x + 4$ và parabol $\left( P \right):y = {x^2}$ là:

A.

$2$
B.

$1$
C.

$0$
D.

$3$

Câu 7 :

Cho hai số tự nhiên biết rằng hai lần số thứ nhất hơn ba lần số thứ hai là $9$ và hiệu các bình phương của chúng bằng $119$ . Tìm số lớn hơn.

A.

$12$
B.

$13$
C.

$32$
D.

$33$

Câu 8 :

Gọi ${x_1};{x_2}$ là nghiệm của phương trình ${x^2} - 5x + 2 = 0$. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức $A = x_1^2 + x_2^2$

A.

$20$
B.

$21$
C.

$22$
D.

$23$

Câu 9 :

Chọn khẳng định đúng. Nếu phương trình $a{x^2} = mx + n$ vô nghiệm thì đường thẳng $d:y = mx + n$ và parabol $\left( P \right):y = a{x^2}$

A.

Cắt nhau tại hai điểm
B.

Tiếp xúc với nhau
C.

Không cắt nhau
D.

Cắt nhau tại gốc tọa độ

Câu 10 :

Tìm tích các giá trị của m để phương trình $4m{x^2} - x - 14{m^2} = 0$ có nghiệm $x = 2$.

A.

$\dfrac{1}{7}$
B.

$\dfrac{2}{7}$
C.

$\dfrac{6}{7}$
D.

$\dfrac{8}{7}$

Câu 11 :

Tìm $m$ để phương trình $2m{x^2} - \left( {2m + 1} \right)x - 3 = 0$ có nghiệm là $x = 2$.

A.

$m = - \dfrac{5}{4}$
B.

$m = \dfrac{1}{4}$
C.

$m = \dfrac{5}{4}$
D.

$m = - \dfrac{1}{4}$

Câu 12 :

Không giải phương trình, tính tổng hai nghiệm (nếu có) của phương trình ${x^2} - 6x + 7 = 0$

A.

$\dfrac{1}{6}$
B.

$3$
C.

$6$
D.

$7$

Câu 13 :

Phương trình ${\left( {x + 1} \right)^4} - 5{\left( {x + 1} \right)^2} - 84 = 0$ có tổng các nghiệm là

A.

$ - \sqrt {12} $
B.

$ - 2$
C.

$ - 1$
D.

$2\sqrt {12} $

Câu 14 :

Cho hàm số $y = \left( { - {m^2} + 4m - 5} \right){x^2}$ . Kết luận nào sau đây là đúng

A.

Đồ thị của hàm số nằm phía trên trục hoành
B.

Đồ thị của hàm số nhận gốc tọa độ $O$ là điểm cao nhất
C.

Hàm số nghịch biến với $x < 0$
D.

Hàm số đồng biến với $x > 0$

Câu 15 :

Cho hàm số $y = \sqrt 3 {x^2}\,\,$có đồ thị là $(P)$. Có bao nhiêu điểm trên $\left( P \right)$ có tung độ gấp đôi hoành độ.

A.

$5$
B.

$4$
C.

$3$
D.

$2$

Câu 16 :

Cho phương trình $\left( {m - 3} \right){x^2} - 2mx + m - 6 = 0$. Tìm các giá trị của $m$ để phương trình vô nghiệm

A.

$m < - 2$
B.

$m < 2$
C.

$m < 3$
D.

$m < - 3$

Câu 17 :

Tìm hai nghiệm của phương trình $18{x^2} + 23x + 5 = 0$ sau đó phân tích đa thức $A = 18{x^2} + 23x + 5$ sau thành nhân tử.

A.

${x_1} = - 1;{x_2} = - \dfrac{5}{{18}};$

$A = 18\left( {x + 1} \right)\left( {x + \dfrac{5}{{18}}} \right)$
B.

${x_1} = - 1;{x_2} = - \dfrac{5}{{18}};$

$A = \left( {x + 1} \right)\left( {x + \dfrac{5}{{18}}} \right)$
C.

${x_1} = - 1;{x_2} = \dfrac{5}{{18}};$

$A = 18\left( {x + 1} \right)\left( {x - \dfrac{5}{{18}}} \right)$
D.

${x_1} = 1;{x_2} = - \dfrac{5}{{18}};$

$A = 18\left( {x - 1} \right)\left( {x + \dfrac{5}{{18}}} \right)$

Câu 18 :

Tìm giá trị của $m$ để phương trình ${x^2} + (4m + 1)x + 2(m - 4) = 0$ có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$ và biểu thức $A = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

A.

$m = 1$
B.

$m = 0$
C.

$m = 2$
D.

$m = 3$

Câu 19 :

Phương trình $\left( {\dfrac{{1 + x}}{{1 - x}} - \dfrac{{1 - x}}{{1 + x}}} \right):\left( {\dfrac{{1 + x}}{{1 - x}} - 1} \right) = \dfrac{3}{{14 - x}}$ có nghiệm là:

A.

$x = \sqrt 2 $
B.

$x = 2$
C.

$x = 3$
D.

$x = 5$

Câu 20 :

Tích các nghiệm của phương trình ${\left( {{x^2} + 2x - 5} \right)^2} = {\left( {{x^2} - x + 5} \right)^2}$ là:

A.

$\dfrac{{10}}{3}$
B.

$0$
C.

$\dfrac{1}{2}$
D.

$\dfrac{5}{3}$

Câu 21 :

Tìm tham số $m$ để đường thẳng $d:y = mx + m + 1$ và parabol $\left( P \right):y = {x^2}$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt nằm bên trái trục tung.

A.

$\left\{ \begin{array}{l}m < 0\\m \ne - 2\end{array} \right.$
B.

$\left\{ \begin{array}{l}m < - 1\\m \ne - 2\end{array} \right.$
C.

$m > - 1$
D.

$m \ge - 2$

Câu 22 :

Tìm tham số $m$ để đường thẳng $d:y = mx + 2$ cắt parabol $\left( P \right):y = \dfrac{{{x^2}}}{2}$ tại hai điểm phân biệt

A.

$m = 2$
B.

$m = - 2$
C.

$m = 4$
D.

$m \in \mathbb{R}$

Câu 23 :

Cho hai vòi nước cùng lúc chảy vào một bể cạn. Nếu chảy riêng từng vòi thì vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai $4$ giờ. Khi nước đầy bể, người ta khóa vòi thứ nhất và vòi thứ hai lại, đồng thời mở vòi thứ ba cho nước chảy ra thì sau 6 giờ bể cạn nước. Khi nước trong bể đã cạn mở cả ba vòi thì sau $24$ giờ bể lại đầy nước. Hỏi nếu chỉ dùng vòi thứ nhất thì sau bao lâu bể đầy nước?

A.

$9$ giờ
B.

$7$ giờ
C.

$10$ giờ
D.

$8$ giờ

Câu 24 :

Một người đi xe máy từ $A$ đến $B$ với vận tốc $25$ km/h. Lúc về người đó đi với vận tốc $30$ km/h nên thời gian về ít hơn thời gian đi là $20$ phút. Tính quãng đường $AB$.

A.

$50\,km$
B.

$60\,km$
C.

$40\,km$
D.

$70\,km$

Câu 25 :

Cho phương trình ${x^2} + \left( {a + b + c} \right)x + \left( {ab + bc + ca} \right) = 0$ với $a,b,c$ là ba cạnh của một tam giác. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.

Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
B.

Phương trình luôn có nghiệm kép
C.

Chưa đủ điều kiện để kết luận
D.

Phương trình luôn vô nghiệm.

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Chọn phát biểu đúng. Phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ có $a - b + c = 0$. Khi đó

A.

Phương trình có một nghiệm ${x_1} = 1$, nghiệm kia là ${x_2} = \dfrac{c}{a}$
B.

Phương trình có một nghiệm ${x_1} = - 1$, nghiệm kia là ${x_2} = \dfrac{c}{a}$
C.

Phương trình có một nghiệm ${x_1} = - 1$, nghiệm kia là ${x_2} = - \dfrac{c}{a}.$
D.

Phương trình có một nghiệm ${x_1} = 1$, nghiệm kia là ${x_2} = - \dfrac{c}{a}.$

Đáp án : C

Lời giải chi tiết :

+) Nếu phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$có $a + b + c = 0$ thì phương trình có một nghiệm ${x_1} = 1$, nghiệm kia là ${x_2} = \dfrac{c}{a}.$

+ ) Nếu phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$có $a - b + c = 0$ thì phương trình có một nghiệm ${x_1} = - 1$, nghiệm kia là ${x_2} = - \dfrac{c}{a}.$

Câu 2 :

Cho hai số có tổng là $S$ và tích là $P$ với ${S^2} \ge 4P$. Khi đó hai số đó là hai nghiệm của phương trình nào dưới đây?

A.

${X^2} - PX + S = 0$
B.

${X^2} - SX + P = 0$
C.

$S{X^2} - X + P = 0$
D.

${X^2} - 2SX + P = 0$

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

Nếu hai số có tổng bằng $S$ và tích bằng $P$ thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình ${X^2} - SX + P = 0$ (ĐK: ${S^2} \ge 4P$)

Câu 3 :

Cho phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ có biệt thức $b = 2b';\Delta ' = b{'^2} - ac$. Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi

A.

$\Delta ' > 0$
B.

$\Delta ' = 0$
C.

$\Delta ' \ge 0$
D.

$\Delta ' \le 0$

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Xét phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0{\rm{ }}(a \ne 0)$ với $b = 2b'$ và biệt thức $\Delta ' = b{'^2} - ac.$

Trường hợp 1. Nếu $\Delta ' < 0$ thì phương trình vô nghiệm.

Trường hợp 2. Nếu $\Delta ' = 0$ thì phương trình có nghiệm kép ${x_1} = {x_2} = - \dfrac{{b'}}{a}$

Trường hợp 3. Nếu $\Delta ' > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${x_{1,}}_2 = - \dfrac{{b' \pm \sqrt {\Delta '} }}{a}$

Câu 4 :

Phương trình nào dưới đây là phương trình bậc hai một ẩn

A.

${x^2} - \sqrt x + 1 = 0$
B.

$2{x^2} - 2018 = 0$
C.

$x + \dfrac{1}{x} - 4 = 0$
D.

$2x - 1 = 0$

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

- Phương trình bậc hai một ẩn ( hay gọi tắt là phương trình bậc hai) là phương trình có dạng:

$a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ trong đó $a,b,c$ là các số thực cho trước, $x$ là ẩn số.

Câu 5 :

Tính biệt thức $\Delta $ từ đó tìm số nghiệm của phương trình $9{x^2} - 15x + 3 = 0$.

A.

$\Delta = 117$ và phương trình có nghiệm kép.
B.

$\Delta = - 117$ và phương trình vô nghiệm
C.

$\Delta = 117$ và phương trình có hai nghiệm phân biệt
D.

$\Delta = - 117$ và phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Bước 1: Xác định các hệ số $a,b,c$ và tính biệt thức $\Delta = {b^2} - 4ac$

Bước 2: Kết luận

- Nếu $\Delta < 0$ thì phương trình vô nghiệm.

- Nếu $\Delta = 0$ thì phương trình có nghiệm kép: ${x_1} = {x_2} = - \dfrac{b}{a}$

- Nếu $\Delta > 0$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${x_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt \Delta }}{{2a}}$

Lời giải chi tiết :

Ta có $9{x^2} - 15x + 3 = 0$$\left( {a = 9;b = - 15;c = 3} \right)$$ \Rightarrow \Delta = {b^2} - 4ac = {\left( { - 15} \right)^2} - 4.9.3 = 117 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Câu 6 :

Số giao điểm của đường thẳng $d:y = 2x + 4$ và parabol $\left( P \right):y = {x^2}$ là:

A.

$2$
B.

$1$
C.

$0$
D.

$3$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Bước 1: Giải phương trình hoành độ giao điểm.

Bước 2: Số nghiệm vừa tìm được của phương trình là số giao điểm của đường thẳng và parabol

Lời giải chi tiết :

Xét phương trình hoành độ giao điểm ${x^2} = 2x + 4 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 4 = 0$ có $\Delta ' = 5 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt hay đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt.

Câu 7 :

Cho hai số tự nhiên biết rằng hai lần số thứ nhất hơn ba lần số thứ hai là $9$ và hiệu các bình phương của chúng bằng $119$ . Tìm số lớn hơn.

A.

$12$
B.

$13$
C.

$32$
D.

$33$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Gọi số thứ nhất là $a;a \in {\mathbb{N}}$ ; số thứ hai là $b;b \in {\mathbb{N}}.$

Vì hai lần số thứ nhất hơn ba lần số thứ hai là $9$ nên ta biểu diễn được b theo a.

Vì hiệu các bình phương của chúng bằng $119$ nên ta viết được phương trình theo a.

Tính $\Delta '$ để tìm a, từ đó ta tính được b.

Lời giải chi tiết :

Gọi số thứ nhất là $a;a \in {\mathbb{N}}$ ; số thứ hai là $b;b \in {\mathbb{N}}.$

Vì hai lần số thứ nhất hơn ba lần số thứ hai là $9$ nên ta có

$2a - 3b = 9 \Rightarrow $$b = \dfrac{{2a - 9}}{3}$

Vì hiệu các bình phương của chúng bằng $119$ nên ta có phương trình: ${a^2} - {\left( {\dfrac{{2a - 9}}{3}} \right)^2} = 119 \Leftrightarrow 9{a^2} - {\left( {2a - 9} \right)^2} = 1071 \Leftrightarrow 5{a^2} + 36a - 1152 = 0$

$\Delta ' = 6084 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a = \dfrac{{ - 18 + \sqrt {6084} }}{5}\\a = \dfrac{{ - 18 - \sqrt {6084} }}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 12\,\left( N \right)\\a = - \dfrac{{96}}{5}\,\left( L \right)\end{array} \right.$

Với $a = 12 \Rightarrow b = 5$

Vậy số lớn hơn là $12$ .

Câu 8 :

Gọi ${x_1};{x_2}$ là nghiệm của phương trình ${x^2} - 5x + 2 = 0$. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức $A = x_1^2 + x_2^2$

A.

$20$
B.

$21$
C.

$22$
D.

$23$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Bước 1: Sử dụng hệ thức Vi-et

Nếu ${x_1},{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ thì $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\{x_1} \cdot {x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right..$

Bước 2: Biến đổi $A = x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}$

Lời giải chi tiết :

Phương trình ${x^2} - 5x + 2 = 0$ có $\Delta = {\left( { - 5} \right)^2} - 4.1.2 = 17 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm ${x_1};{x_2}$

Theo hệ thức Vi-et ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\{x_1} \cdot {x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 5\\{x_1}.{x_2} = 2\end{array} \right.$.

Ta có $A = x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {5^2} - 2.2 = 21$

Câu 9 :

Chọn khẳng định đúng. Nếu phương trình $a{x^2} = mx + n$ vô nghiệm thì đường thẳng $d:y = mx + n$ và parabol $\left( P \right):y = a{x^2}$

A.

Cắt nhau tại hai điểm
B.

Tiếp xúc với nhau
C.

Không cắt nhau
D.

Cắt nhau tại gốc tọa độ

Đáp án : C

Lời giải chi tiết :

Đường thẳng $d:y = mx + n$ và parabol $\left( P \right):y = a{x^2}$ không cắt nhau khi phương trình $a{x^2} = mx + n$ vô nghiệm.

Câu 10 :

Tìm tích các giá trị của m để phương trình $4m{x^2} - x - 14{m^2} = 0$ có nghiệm $x = 2$.

A.

$\dfrac{1}{7}$
B.

$\dfrac{2}{7}$
C.

$\dfrac{6}{7}$
D.

$\dfrac{8}{7}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Bước 1: Thay nghiệm $x = {x_0}$ vào phương trình ta được phương trình mới ẩn $m$

Bước 2: Giải phương trình thu được ta tìm được $m$.

Lời giải chi tiết :

Thay $x = 2$ vào phương trình $4m{x^2} - x - 10{m^2} = 0$ , ta có

$4m{.2^2} - 2 - 14{m^2} = 0 $

$\Leftrightarrow 14{m^2} - 16m + 2 = 0$

$ \Leftrightarrow \left( {14m - 2} \right)\left( {m - 1} \right) = 0 $

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \dfrac{1}{7}\\m = 1\end{array} \right.$

Suy ra tích các giá trị của $m$ là $\dfrac{1}{7}.1 = \dfrac{1}{7}$.

Câu 11 :

Tìm $m$ để phương trình $2m{x^2} - \left( {2m + 1} \right)x - 3 = 0$ có nghiệm là $x = 2$.

A.

$m = - \dfrac{5}{4}$
B.

$m = \dfrac{1}{4}$
C.

$m = \dfrac{5}{4}$
D.

$m = - \dfrac{1}{4}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Thay $x = {x_0}$ vào phương trình đã cho ta được phương trình ẩn $m$. Giải phương trình ta tìm được $m$.

Lời giải chi tiết :

Thay $x = 2$ vào phương trình $2m{x^2} - \left( {2m + 1} \right)x - 3 = 0$ ta được: $2m{.2^2} - \left( {2m + 1} \right).2 - 3 = 0 \Leftrightarrow 4m - 5 = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{5}{4}$

Vậy $m = \dfrac{5}{4}$ là giá trị cần tìm.

Câu 12 :

Không giải phương trình, tính tổng hai nghiệm (nếu có) của phương trình ${x^2} - 6x + 7 = 0$

A.

$\dfrac{1}{6}$
B.

$3$
C.

$6$
D.

$7$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng hệ thức Vi-et

Lời giải chi tiết :

Phương trình ${x^2} - 6x + 7 = 0$ có $\Delta = {\left( { - 6} \right)^2} - 4.1.7 = 8 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm ${x_1};{x_2}$

Theo hệ thức Vi-et ta có ${x_1} + {x_2} = - \dfrac{{ - 6}}{1} \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} = 6$

Câu 13 :

Phương trình ${\left( {x + 1} \right)^4} - 5{\left( {x + 1} \right)^2} - 84 = 0$ có tổng các nghiệm là

A.

$ - \sqrt {12} $
B.

$ - 2$
C.

$ - 1$
D.

$2\sqrt {12} $

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

Đặt ${\left( {x + 1} \right)^2} = t\,\left( {t \ge 0} \right)$ ta được phương trình ${t^2} - 5t - 84 = 0$ (*)

Ta có $\Delta = 361$ nên phương trình (*) có hai nghiệm ${t_1} = \dfrac{{5 + \sqrt {361} }}{2} = 12\,\,\left( N \right);{t_2} = \dfrac{{5 - \sqrt {361} }}{2} = - 7\,\left( L \right)$

Thay lại cách đặt ta có ${\left( {x + 1} \right)^2} = 12 \Leftrightarrow x = - 1 \pm \sqrt {12} $

Suy ra tổng các nghiệm là $ - 1 + \sqrt {12} - 1 - \sqrt {12} = - 2$.

Câu 14 :

Cho hàm số $y = \left( { - {m^2} + 4m - 5} \right){x^2}$ . Kết luận nào sau đây là đúng

A.

Đồ thị của hàm số nằm phía trên trục hoành
B.

Đồ thị của hàm số nhận gốc tọa độ $O$ là điểm cao nhất
C.

Hàm số nghịch biến với $x < 0$
D.

Hàm số đồng biến với $x > 0$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Bước 1: Đánh giá hệ số $a$ của ${x^2}$

Bước 2: Ta sử dụng các kiến thức sau để kết luận

* Xét hàm số $y = a{x^2}\left( {a \ne 0} \right).$ Ta có:

- Nếu $a > 0$ thì hàm số nghịch biến khi $x < 0$ và đồng biến khi $x > 0$.

- Nếu $a < 0$ thì hàm số đồng biến khi $x < 0$ và nghịch biến khi $x > 0$.

* Đồ thị của hàm số $y = a{x^2}\,\,\left( {a \ne 0} \right)$ là một đường cong (parabol) đi qua gốc tọa độ $O$.

- Nếu $a > 0$ thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị.

- Nếu $a < 0$ thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị.

Lời giải chi tiết :

Ta thấy hàm số $y = \left( { - {m^2} + 4m - 5} \right){x^2}$ có

$a = - {m^2} + 4m - 5 = - \left( {{m^2} - 4m + 4} \right) - 1 = - {\left( {m - 2} \right)^2} - 1$

Vì $(m-2)^2\ge 0$ với mọi $m$ nên $-(m-2)^2\le 0$ với mọi m

Suy ra $-(m-2)^2-1\le 0-1\Rightarrow -(m-2)^2-1\le -1<0$ với mọi m

Hay $a<0$ với mọi m

Nên hàm số đồng biến khi $x < 0$ và nghịch biến khi $x > 0$. Suy ra C,D sai.

Và đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị.

Suy ra A sai.

Câu 15 :

Cho hàm số $y = \sqrt 3 {x^2}\,\,$có đồ thị là $(P)$. Có bao nhiêu điểm trên $\left( P \right)$ có tung độ gấp đôi hoành độ.

A.

$5$
B.

$4$
C.

$3$
D.

$2$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Bước 1: Gọi điểm $M$$\left( {x;y} \right)$ thỏa mãn điều kiện đề bài. Biểu diễn $x$ theo $y$ hoặc $y$ theo$x$ .

Bước 2: Thay tọa độ điểm $M$ vào hàm số ta tìm được $x$ từ đó suy ra $M$ .

Lời giải chi tiết :

Gọi điểm $M$$\left( {x;y} \right)$ là điểm cần tìm. Vì $M$ có tung độ gấp đôi hoành độ nên $M\left( {x;2x} \right)$.

Thay tọa độ điểm $M$ vào hàm số ta được

$2x = \sqrt 3 {x^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = 0\\x = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow y = \dfrac{{4\sqrt 3 }}{3}\end{array} \right.$

Hay có hai điểm thỏa mãn điều kiện là $O\left( {0;0} \right),M\left( {\dfrac{{2\sqrt 3 }}{3};\dfrac{{4\sqrt 3 }}{3}} \right)$.

Câu 16 :

Cho phương trình $\left( {m - 3} \right){x^2} - 2mx + m - 6 = 0$. Tìm các giá trị của $m$ để phương trình vô nghiệm

A.

$m < - 2$
B.

$m < 2$
C.

$m < 3$
D.

$m < - 3$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Xét phương trình bậc hai dạng $a{x^2} + bx + c = 0$ với $b = 2b'$

TH1: $a = 0$

TH2: $a \ne 0$. Khi đó, phương trình vô nghiệm$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' < 0\end{array} \right.$

Lời giải chi tiết :

Phương trình $\left( {m - 3} \right){x^2} - 2mx + m - 6 = 0$ có $a = m - 3;b' = - m;c = m - 6$

Suy ra $\Delta ' = {m^2} - \left( {m - 3} \right)\left( {m - 6} \right) = 9m - 18$

TH1: $m - 3 = 0 \Leftrightarrow m = 3 \Rightarrow - 6x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = - \dfrac{1}{2}$

TH2: $m - 3 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 3$

Để phương trình có vô nghiệm phân biệt thì $\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta ' < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 3\\9m - 18 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 3\\m < 2\end{array} \right. \Rightarrow m < 2$

Vậy $m < 2$ là giá trị cần tìm.

Câu 17 :

Tìm hai nghiệm của phương trình $18{x^2} + 23x + 5 = 0$ sau đó phân tích đa thức $A = 18{x^2} + 23x + 5$ sau thành nhân tử.

A.

${x_1} = - 1;{x_2} = - \dfrac{5}{{18}};$

$A = 18\left( {x + 1} \right)\left( {x + \dfrac{5}{{18}}} \right)$
B.

${x_1} = - 1;{x_2} = - \dfrac{5}{{18}};$

$A = \left( {x + 1} \right)\left( {x + \dfrac{5}{{18}}} \right)$
C.

${x_1} = - 1;{x_2} = \dfrac{5}{{18}};$

$A = 18\left( {x + 1} \right)\left( {x - \dfrac{5}{{18}}} \right)$
D.

${x_1} = 1;{x_2} = - \dfrac{5}{{18}};$

$A = 18\left( {x - 1} \right)\left( {x + \dfrac{5}{{18}}} \right)$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Bước 1 : Tìm hai nghiệm của phương trình đã cho

Bước 2 : Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách sử dụng

Nếu tam thức bậc hai $a{x^2} + bx + c{\rm{ }}\left( {a \ne 0} \right)$ có hai nghiệm ${x_1}$ và ${x_2}$ thì nó được phân tích thành nhân tử: $a{x^2} + bx + c = a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)$

Lời giải chi tiết :

Phương trình $18{x^2} + 23x + 5 = 0$ có $a - b + c = 18 - 23 + 5 = 0$ nê phương trình có hai nghiệm phân biệt là ${x_1} = - 1;{x_2} = - \dfrac{5}{{18}}$. Khi đó $A = 18.\left( {x + 1} \right)\left( {x + \dfrac{5}{{18}}} \right)$.

Câu 18 :

A.

$m = 1$
B.

$m = 0$
C.

$m = 2$
D.

$m = 3$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Bước 1. Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm $\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta \ge 0\end{array} \right.$.

Bước 2. Từ hệ thức đã cho và hệ thức Vi-ét, tìm được điều kiện của tham số.

Bước 3. Kiểm tra điều kiện của tham số xem có thỏa mãn điều kiện ở bước 1 hay không rồi kết luận.

Lời giải chi tiết :

Phương trình ${x^2} + (4m + 1)x + 2(m - 4) = 0$ có $a = 1 \ne 0$ và $\Delta = {\left( {4m + 1} \right)^2} - 8\left( {m - 4} \right) = 16{m^2} + 33 > 0;\forall m$

Nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2}$.

Theo hệ thức Vi-ét ta có $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 4m - 1\\{x_1}.{x_2} = 2m - 8\end{array} \right.$

Xét $A = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 16{m^2} + 33 \ge 33$

Dấu “=” xảy ra khi $m = 0$

Vậy $m = 0$ là giá trị cần tìm.

Câu 19 :

Phương trình $\left( {\dfrac{{1 + x}}{{1 - x}} - \dfrac{{1 - x}}{{1 + x}}} \right):\left( {\dfrac{{1 + x}}{{1 - x}} - 1} \right) = \dfrac{3}{{14 - x}}$ có nghiệm là:

A.

$x = \sqrt 2 $
B.

$x = 2$
C.

$x = 3$
D.

$x = 5$

Đáp án : D

Lời giải chi tiết :

Điều kiện: $x \ne 1;x \ne - 1;x \ne 14$

Ta có $\left( {\dfrac{{1 + x}}{{1 - x}} - \dfrac{{1 - x}}{{1 + x}}} \right):\left( {\dfrac{{1 + x}}{{1 - x}} - 1} \right) = \dfrac{3}{{14 - x}}$$ \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {1 + x} \right)}^2} - {{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}}:\dfrac{{1 + x - 1 + x}}{{1 - x}} = \dfrac{3}{{14 - x}}$

$ \Leftrightarrow \dfrac{{4x}}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)}}.\dfrac{{1 - x}}{{2x}} = \dfrac{3}{{14 - x}} \Leftrightarrow \dfrac{2}{{x + 1}} = \dfrac{3}{{14 - x}}$$ \Rightarrow 28 - 2x = 3x + 3 \Leftrightarrow 5x = 25 \Leftrightarrow x = 5\,\left( {TM} \right)$

Vậy phương trình có nghiệm $x = 5$

Câu 20 :

Tích các nghiệm của phương trình ${\left( {{x^2} + 2x - 5} \right)^2} = {\left( {{x^2} - x + 5} \right)^2}$ là:

A.

$\dfrac{{10}}{3}$
B.

$0$
C.

$\dfrac{1}{2}$
D.

$\dfrac{5}{3}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng ${A^2} = {B^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = B\\A = - B\end{array} \right.$

Lời giải chi tiết :

Ta có ${\left( {{x^2} + 2x - 5} \right)^2} = {\left( {{x^2} - x + 5} \right)^2}$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + 2x - 5 = {x^2} - x + 5\\{x^2} + 2x - 5 = - {x^2} + x - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = 10\\2{x^2} - x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{10}}{3}\\x = 0\\x = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.$

Nên tích các nghiệm là $\dfrac{{10}}{3}.0.\dfrac{1}{2} = 0$

Câu 21 :

Tìm tham số $m$ để đường thẳng $d:y = mx + m + 1$ và parabol $\left( P \right):y = {x^2}$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt nằm bên trái trục tung.

A.

$\left\{ \begin{array}{l}m < 0\\m \ne - 2\end{array} \right.$
B.

$\left\{ \begin{array}{l}m < - 1\\m \ne - 2\end{array} \right.$
C.

$m > - 1$
D.

$m \ge - 2$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Bước 1: Viết phương trình hoành độ giao điểm (*)

Bước 2: Đường thẳng $d$ cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt nằm bên trái trục tung $ \Leftrightarrow $ phương trình (*) có hai nghiệm âm phân biệt $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\S < 0\\P > 0\end{array} \right.$

Lời giải chi tiết :

Phương trình hoành độ giao điểm ${x^2} = mx + m + 1 \Leftrightarrow {x^2} - mx - m - 1 = 0\left( * \right)$ có

$\Delta = {m^2} - 4\left( { - m - 1} \right) = {m^2} + 4m + 4 = {\left( {m + 2} \right)^2} \ge 0$, $\forall m$; $S = {x_1} + {x_2} = m;P = {x_1}.{x_2} = - m - 1$ với ${x_1};{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình (*).

Đường thẳng $d$ cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt nằm bên trái trục tung $ \Leftrightarrow $ phương trình (*) có hai nghiệm âm phân biệt $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\S < 0\\P > 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m + 2} \right)^2} > 0\\m < 0\\ - m - 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne - 2\\m < 0\\m < - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < - 1\\m \ne - 2\end{array} \right.$

Vậy $\left\{ \begin{array}{l}m < - 1\\m \ne - 2\end{array} \right.$ .

Câu 22 :

Tìm tham số $m$ để đường thẳng $d:y = mx + 2$ cắt parabol $\left( P \right):y = \dfrac{{{x^2}}}{2}$ tại hai điểm phân biệt

A.

$m = 2$
B.

$m = - 2$
C.

$m = 4$
D.

$m \in \mathbb{R}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Bước 1: Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và parabol

Bước 2: Để đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt thì phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt.

Lời giải chi tiết :

Xét phương trình hoành độ giao điểm $\dfrac{{{x^2}}}{2} = mx + 2 \Leftrightarrow {x^2} - 2mx - 4 = 0$ có $\Delta ' = {m^2} + 4$

Vì $\Delta ' = {m^2} + 4 > 0;\forall m$ nên đường thẳng $d:y = mx + 2$ cắt parabol $\left( P \right):y = \dfrac{{{x^2}}}{2}$ tại hai điểm phân biệt với mọi $m$.

Câu 23 :

A.

$9$ giờ
B.

$7$ giờ
C.

$10$ giờ
D.

$8$ giờ

Đáp án : D

Lời giải chi tiết :

Gọi thời gian mà vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể là $x$ (giờ), $\left( {x > 0} \right)$.

Trong một giờ:

-Vòi thứ nhất chảy được $\dfrac{1}{x}$ ( bể).

- Vòi thứ hai chảy được $\dfrac{1}{{x + 4}}$ ( bể).

- Vòi thứ ba chảy được $\dfrac{1}{6}$ ( bể).

Khi mở cả ba vòi thì vòi thứ nhất và vòi thứ hai chảy vào bể còn vòi thứ ba cho nước ở bể chảy ra nên ta có phương trình $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{x + 4}} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{{24}} \Leftrightarrow \dfrac{{2x + 4}}{{x\left( {x + 4} \right)}} = \dfrac{5}{{24}} $$\Rightarrow 5{x^2} - 28x - 96 = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 8\,\left( {TM} \right)\\x = - \dfrac{{12}}{5}\,\left( L \right)\end{array} \right.$

Vậy chỉ dùng vòi thứ nhất thì sau $8$ giờ bể đầy nước.

Câu 24 :

A.

$50\,km$
B.

$60\,km$
C.

$40\,km$
D.

$70\,km$

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Gọi thời gian người đó đi từ $A$ đến $B$ là $t$ giờ. $\left( {t > \dfrac{1}{3}} \right)$

Vì thời gian về ít hơn thời gian đi $20$ phút nên thời gian về là $t - \dfrac{1}{3}$ và quãng đường đi về là như nhau nên ta có : $25t = 30.\left( {t - \dfrac{1}{3}} \right) \Leftrightarrow t = 2\,\left( {TM} \right)$

Vậy quãng đường $AB$ là $50km$ .

Câu 25 :

Cho phương trình ${x^2} + \left( {a + b + c} \right)x + \left( {ab + bc + ca} \right) = 0$ với $a,b,c$ là ba cạnh của một tam giác. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.

Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
B.

Phương trình luôn có nghiệm kép
C.

Chưa đủ điều kiện để kết luận
D.

Phương trình luôn vô nghiệm.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

+) Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai

+) Sử dụng bất đẳng thức tam giác để đánh giá $\Delta $.

Lời giải chi tiết :

Phương trình ${x^2} + \left( {a + b + c} \right)x + \left( {ab + bc + ca} \right) = 0$

Có $\Delta = {\left( {a + b + c} \right)^2} - 4\left( {ab + bc + ca} \right)$$ = {a^2} + {b^2} + {c^2} - 2ab - 2ac - 2bc = {\left( {a - b} \right)^2} - {c^2} + {\left( {b - c} \right)^2} - {a^2} + {\left( {a - c} \right)^2} - {b^2}$

$ = \left( {a - b - c} \right)\left( {a + c - b} \right) + \left( {b - c - a} \right)\left( {a + b - c} \right) + \left( {a - c - b} \right)\left( {a - c + b} \right)$

Mà $a,b,c$ là ba cạnh của tam giác nên $\left\{ \begin{array}{l}a - b - c < 0\\b - c - a < 0\\a - c - b < 0\end{array} \right.;\left\{ \begin{array}{l}a + c - b > 0\\a + b - c > 0\end{array} \right.$

Nên $\Delta < 0$ với mọi $a,b,c$

Hay phương trình luôn vô nghiệm với mọi $a,b,c$.