Đề kiểm tra 45 phút chương 4: Bất phương trình bậc nhất một ẩn - Đề số 2
Đề bài
Với giá trị nào của $m$ thì bất phương trình $m(2x + 1) < 8$ là bất phương trình bậc nhất một ẩn?
-
A.
$m \ne 1$
-
B.
$m \ne - \dfrac{1}{3}$
-
C.
$m \ne 0$
-
D.
$m \ne 8$.
Phương trình \(\left| {5x - 4} \right| = \left| {x + 2} \right|\) có nghiệm là
-
A.
\(x = \dfrac{1}{3}\)
-
B.
\(x = 1,5;x = \dfrac{{ - 1}}{3}\)
-
C.
\(x = - 1,5;x = \dfrac{{ - 1}}{3}\)
-
D.
\(x = 1,5;x = \dfrac{1}{3}\)
Cho các bất phương trình sau, đâu là bất phương trình bậc nhất một ẩn
-
A.
$5x + 7 < 0$
-
B.
$0x + 6 > 0$
-
C.
${x^2} - 2x > 0$
-
D.
$x - 10 = 3$.
Nghiệm của bất phương trình $7(3x + 5) > 0$ là:
-
A.
$x > \dfrac{3}{5}$
-
B.
$x \le - \dfrac{5}{3}$
-
C.
$x \ge - \dfrac{5}{3}$
-
D.
$x > - \dfrac{5}{3}$.
Hãy chọn câu đúng, \(x = - 3\) là một nghiệm của bất phương trình:
-
A.
\(2x + 1 > 5\)
-
B.
\(7 - 2x < 10 - x\)
-
C.
\(2 + x < 2 + 2x\)
-
D.
\( - 3x > 4x + 3\)
Giá trị $x = 2$ là nghiệm của bất phương trình nào sau đây ?
-
A.
$7 - x < 2x$
-
B.
$2x + 3 > 9$
-
C.
$ - 4x \ge x + 5$
-
D.
$5 - x > 6x - 12$
Tập nghiệm của bất phương trình $3x + 7 > x + 9$ là
-
A.
$S = \left\{ {x|x > 1} \right\}$
-
B.
$S = \left\{ {x|x > -1} \right\}$
-
C.
$x = 1$
-
D.
$S = \left\{ {x|x < 1} \right\}$
Cho \(a > b > 0.\) So sánh \({a^2}\) và \(ab\); \({a^3}\) và \({b^3}\) .
-
A.
\({a^2} < ab\) và \({a^3} > {b^3}.\)
-
B.
\({a^2} > ab\) và \({a^3} > {b^3}.\)
-
C.
\({a^2} < ab\) và \({a^3} < {b^3}.\)
-
D.
\({a^2} > ab\) và \({a^3} < {b^3}.\)
Phương trình \(2.\left| {3 - 4x} \right| + 6 = 10\) có nghiệm là
-
A.
\(x = \dfrac{3}{4};\,x = \dfrac{5}{4}\)
-
B.
\(x = \dfrac{1}{4};\,x = \dfrac{5}{4}\)
-
C.
\(x = - \dfrac{1}{4};\,x = \dfrac{5}{4}\)
-
D.
\(x = \dfrac{1}{4};\,x = - \dfrac{5}{4}\)
Cho \( - 2x + 3 < - 2y + 3\). So sánh $x$ và $y$ . Đáp án nào sau đây là đúng?
-
A.
\(x < y\)
-
B.
\(x > y\)
-
C.
\(x \le y\)
-
D.
\(x \ge y\)
Biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình \(x \ge 8\) trên trục số, ta được
-
A.
-
B.
-
C.
-
D.
Số nghiệm của phương trình \(\left| {x - 3} \right| + 3x = 7\) là
-
A.
\(3\)
-
B.
\(2\)
-
C.
\(0\)
-
D.
\(1\)
Hãy chọn câu đúng. Tập nghiệm của bất phương trình \(1 - 3x \ge 2 - x\) là:
-
A.
\(S = \left\{ x \in R|{x \ge \dfrac{1}{2}} \right\}\)
-
B.
\(S = \left\{ x \in R|{x \ge - \dfrac{1}{2}} \right\}\)
-
C.
\(S = \left\{ x \in R|{x \le - \dfrac{1}{2}} \right\}\)
-
D.
\(S = \left\{ x \in R|{x \le \dfrac{1}{2}} \right\}\)
Bất đẳng thức nào sau đây đúng với mọi \(a > 0,b > 0:\)
-
A.
\({a^3} + {b^3} - a{b^2} - {a^2}b < 0\)
-
B.
\({a^3} + {b^3} - a{b^2} - {a^2}b \ge 0\)
-
C.
\({a^3} + {b^3} - a{b^2} - {a^2}b \le 0\)
-
D.
\({a^3} + {b^3} - a{b^2} - {a^2}b > 0\)
Với mọi \(a,b,c\) . Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
A.
\({a^2} + {b^2} + {c^2} < ab + bc + ca\)
-
B.
\({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca\)
-
C.
\({a^2} + {b^2} + {c^2} \le ab + bc + ca\)
-
D.
Cả A, B, C đều sai
Với điều kiện nào của \(x\) thì biểu thức \(B = \dfrac{{2x - 4}}{{3 - x}}\) nhận giá trị âm.
-
A.
$x < - 2$
-
B.
$x < 2$ hoặc $x>3$
-
C.
$x > 2$
-
D.
$2 < x < 3$
Bất phương trình $2{(x + 2)^2} < 2x(x + 2) + 4$ có nghiệm là
-
A.
$x > - 1$
-
B.
$x > 1$
-
C.
$x \ge - 1$
-
D.
$x < - 1$
Tổng các nghiệm của phương trình \(\left| {3x - 1} \right| = x + 4\) là
-
A.
\(7\)
-
B.
\(4\)
-
C.
\(\dfrac{4}{7}\)
-
D.
\(\dfrac{7}{4}\)
Nghiệm nhỏ nhất của phương trình \(\left| {2 + 3x} \right| = \left| {4x - 3} \right|\) là
-
A.
\(\dfrac{1}{7}\)
-
B.
\(5\)
-
C.
\( - \dfrac{1}{7}\)
-
D.
\( - 5\)
Cho hai phương trình \(4\left| {2x - 1} \right| + 3 = 15\,\,\,\left( 1 \right)\) và \(\left| {7x + 1} \right| - \left| {5x + 6} \right| = 0\,\left( 2 \right)\). Kết luận nào sau đây là đúng.
-
A.
Phương trình \(\left( 1 \right)\) có nhiều nghiệm hơn phương trình \(\left( 2 \right)\)
-
B.
Phương trình \(\left( 1 \right)\) có ít nghiệm hơn phương trình \(\left( 2 \right)\)
-
C.
Cả hai phương trình đều có hai nghiệm phân biệt
-
D.
Cả hai phương trình đều vô số nghiệm
Số nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình ${(x - 2)^2} - {x^2} - 8x + 3 \ge 0$ là
-
A.
$x = 1$
-
B.
$x = 0$
-
C.
\(x = - 1\)
-
D.
\(x \le \dfrac{7}{{12}}.\)
Tập nghiệm của bất phương trình \(\dfrac{{x - 3}}{{x + 4}} < 0\) là
-
A.
$x > 4$
-
B.
\( - 4 < x < 3.\)
-
C.
\(x < 3\)
-
D.
\(x \ne - 4\).
Bất phương trình $2(x - 1) - x > 3(x - 1) - 2x - 5$ có nghiệm là:
-
A.
Vô số nghiệm
-
B.
$x < 3,24$
-
C.
$x > 2,12$
-
D.
Vô nghiệm
Cho số thực \(x\) , chọn câu đúng nhất.
-
A.
\({x^4} + 3 \ge 4x\)
-
B.
\({x^4} + 5 > {x^2} + 4x\)
-
C.
Cả A, B đều sai
-
D.
Cả A, B đều đúng.
Giải phương trình \({\left| {x - 3y} \right|^{2017}} + {\left| {y + 4} \right|^{2018}} = 0\) ta được nghiệm \(\left( {x;y} \right)\). Khi đó \(y - x\) bằng
-
A.
\( - 16\)
-
B.
\( - 8\)
-
C.
\(16\)
-
D.
\(8\).
Lời giải và đáp án
Với giá trị nào của $m$ thì bất phương trình $m(2x + 1) < 8$ là bất phương trình bậc nhất một ẩn?
-
A.
$m \ne 1$
-
B.
$m \ne - \dfrac{1}{3}$
-
C.
$m \ne 0$
-
D.
$m \ne 8$.
Đáp án : C
Dựa vào định nghĩa bất phương trình bậc nhất một ẩn.
Bất phương trình dạng \(ax + b > 0\) (hoặc \(ax + b < 0,ax + b \ge 0,ax + b \le 0\)) trong đó \(a\) và \(b\) là hai số đã cho, \(a \ne 0\), gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn.
Ta có: $m(2x + 1) < 8 \Leftrightarrow 2mx + m < 8 \Leftrightarrow 2mx + m - 8 < 0$.
Vậy để bất phương trình \(m\left( {2x + 1} \right) < 8\) là bất phương trình bậc nhất 1 ẩn thì \(2mx + m - 8 < 0\) là bất phương trình bậc nhất một ẩn.
Theo định nghĩa bất phương trình bậc nhất một ẩn thì \(a \ne 0\) hay \(2m \ne 0\) $\Leftrightarrow m \ne 0$
Phương trình \(\left| {5x - 4} \right| = \left| {x + 2} \right|\) có nghiệm là
-
A.
\(x = \dfrac{1}{3}\)
-
B.
\(x = 1,5;x = \dfrac{{ - 1}}{3}\)
-
C.
\(x = - 1,5;x = \dfrac{{ - 1}}{3}\)
-
D.
\(x = 1,5;x = \dfrac{1}{3}\)
Đáp án : D
Vận dụng tính chất: \(\left| a \right| = \left| b \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b\\a = - b\end{array} \right..\) Ta có: \(\left| {A\left( x \right)} \right| = \left| {B\left( x \right)} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A\left( x \right) = B\left( x \right)\\A\left( x \right) = - B\left( x \right)\end{array} \right..\)
$\begin{array}{l}\;\;\;\;\left| {5x - 4} \right| = \left| {x + 2} \right|\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5x - 4 = x + 2\\5x - 4 = - x - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x = 6\\6x = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{6}{4} = 1,5\\x = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\end{array} \right..\end{array}$
Cho các bất phương trình sau, đâu là bất phương trình bậc nhất một ẩn
-
A.
$5x + 7 < 0$
-
B.
$0x + 6 > 0$
-
C.
${x^2} - 2x > 0$
-
D.
$x - 10 = 3$.
Đáp án : A
Dựa vào định nghĩa bất phương trình bậc nhất một ẩn.
Bất phương trình dạng \(ax + b > 0\) (hoặc \(ax + b < 0,ax + b \ge 0,ax + b \le 0\)) trong đó \(a\) và \(b\) là hai số đã cho, \(a \ne 0\), gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn.
Dựa vào định nghĩa bất phương trình bậc nhất một ẩn ta có:
Đáp án A là bất phương trình bậc nhất một ẩn.
Đáp án B không phải bất phương trình bậc nhất một ẩn vì $a = 0.$
Đáp án C không phải bất phương trình bậc vì có \({x^2}.\)
Đáp án D không phải bất phương trình vì đây là phương trình bậc nhất một ẩn.
Nghiệm của bất phương trình $7(3x + 5) > 0$ là:
-
A.
$x > \dfrac{3}{5}$
-
B.
$x \le - \dfrac{5}{3}$
-
C.
$x \ge - \dfrac{5}{3}$
-
D.
$x > - \dfrac{5}{3}$.
Đáp án : D
Giải bất phương trình tìm nghiệm phù hợp bằng cách dùng qui tắc nhân và qui tắc chuyển vế
Vì \(7 > 0\) nên \(7\left( {3x + 5} \right) \ge 3 \Leftrightarrow 3x + 5 > 0 \Leftrightarrow 3x > - 5 \Leftrightarrow x > - \dfrac{5}{3}.\)
Hãy chọn câu đúng, \(x = - 3\) là một nghiệm của bất phương trình:
-
A.
\(2x + 1 > 5\)
-
B.
\(7 - 2x < 10 - x\)
-
C.
\(2 + x < 2 + 2x\)
-
D.
\( - 3x > 4x + 3\)
Đáp án : D
Thay \(x = - 3\) vào mỗi bất phương trình.
Nếu ta thu được một bất đẳng thức đúng thì \(x = - 3\) là nghiệm và ngược lại.
+ Thay \(x = - 3\) vào bất phương trình \(2x + 1 > 5\) ta được \(2.\left( { - 3} \right) + 1 > 5\) hay \( - 5 > 5\) (vô lý) nên \(x = - 3\) không là nghiệm của bất phương trình \(2x + 1 > 5\).
+ Thay \(x = - 3\) vào bất phương trình \(7 - 2x < 10 - x\) ta được \(7 - 2.\left( { - 3} \right) < 10 - \left( { - 3} \right) \) hay \( 13 < 13\) (vô lý) nên \(x = - 3\) không là nghiệm của bất phương trình \(7 - 2x < 10 - x\).
+ Thay \(x = - 3\) vào bất phương trình \(2 + x < 2 + 2x\) ta được \(2 + \left( { - 3} \right) < 2 + 2.\left( { - 3} \right)\) hay \( - 1 < - 4\) (vô lý) nên \(x = - 3\) không là nghiệm của bất phương trình \(2 + x < 2 + 2x\).
+ Thay \(x = - 3\) vào bất phương trình \( - 3x > 4x + 3\) ta được \( - 3.\left( { - 3} \right) > 4.\left( { - 3} \right) + 3 \) hay \( 9 > - 9\) (luôn đúng) nên \(x = - 3\) là nghiệm của bất phương trình \( - 3x > 4x + 3\).
Giá trị $x = 2$ là nghiệm của bất phương trình nào sau đây ?
-
A.
$7 - x < 2x$
-
B.
$2x + 3 > 9$
-
C.
$ - 4x \ge x + 5$
-
D.
$5 - x > 6x - 12$
Đáp án : D
Có 2 cách làm:
Cách 1: Giải từng bất phương trình tìm nghiệm rồi xem $x = 2$ có thỏa mãn không?
Cách 2: Thay \(x = 2\) vào bất phương trình rồi so sánh hai vế của từng bất phương trình và kết luận
Trong bài này các em nên sử dụng cách thứ 2 để cho nhanh gọn hơn đỡ tốn thời gian làm bài.
(Trong bài này chúng ta làm theo cách thứ 2) thay \(x = 2\) vào từng bất phương trình:
Đáp án A: \(7 - 2 < 2.2 \Leftrightarrow 5 < 4\) vô lý. Loại đáp án A.
Đáp án B: \(2.2 + 3 > 9 \Leftrightarrow 7 > 9\) vô lý. Loại đáp án B.
Đáp án C: \( - 4.2 \ge 2 + 5 \Leftrightarrow - 8 \ge 7\) vô lý. Loại đáp án C.
Đáp án D: \(5 - 2 > 6.2 - 12 \Leftrightarrow 3 > 0\) luôn đúng. Chọn đáp án D.
Tập nghiệm của bất phương trình $3x + 7 > x + 9$ là
-
A.
$S = \left\{ {x|x > 1} \right\}$
-
B.
$S = \left\{ {x|x > -1} \right\}$
-
C.
$x = 1$
-
D.
$S = \left\{ {x|x < 1} \right\}$
Đáp án : A
Áp dụng quy tắc chuyển vế để tìm nghiệm và biểu diễn trên trục số
\(3x + 7 > x + 9 \Leftrightarrow 3x - x > 9 - 7 \Leftrightarrow 2x > 2 \Leftrightarrow x >1\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left\{ {x|x > 1} \right\}$
Cho \(a > b > 0.\) So sánh \({a^2}\) và \(ab\); \({a^3}\) và \({b^3}\) .
-
A.
\({a^2} < ab\) và \({a^3} > {b^3}.\)
-
B.
\({a^2} > ab\) và \({a^3} > {b^3}.\)
-
C.
\({a^2} < ab\) và \({a^3} < {b^3}.\)
-
D.
\({a^2} > ab\) và \({a^3} < {b^3}.\)
Đáp án : B
+) Nhân với cùng một số dương thì bất đẳng thức không đổi chiều.
+) Cộng cả 2 vế với cùng một số thì bất đẳng thức không đổi chiều.
+) Áp dụng tính chất bắc cầu để so sánh.
* Với \(a > b > 0\) ta có:
+) \(a.a > a.b\) hay \({a^2} > ab\;\;\)
+) Ta có: \({a^2} > ab \) suy ra \( {a^2}.a > a.ab \) hay \( {a^3} > {a^2}b\)
Mà \(a > b > 0 \) suy ra \( ab > b.b \) hay \( ab > {b^2}\)
Suy ra \(ab.a > {b^2}.b\) nên \( {a^2}b > {b^3}.\)
Suy ra \({a^2}b > {b^3} \)
Do đó \({a^3} > {a^2}b > {b^3}\) hay \( {a^3} > {b^3}\)
Vậy \({a^2} > ab\) và \({a^3} > {b^3}.\)
Phương trình \(2.\left| {3 - 4x} \right| + 6 = 10\) có nghiệm là
-
A.
\(x = \dfrac{3}{4};\,x = \dfrac{5}{4}\)
-
B.
\(x = \dfrac{1}{4};\,x = \dfrac{5}{4}\)
-
C.
\(x = - \dfrac{1}{4};\,x = \dfrac{5}{4}\)
-
D.
\(x = \dfrac{1}{4};\,x = - \dfrac{5}{4}\)
Đáp án : B
+ Bỏ dấu giá trị tuyệt đối bằng công thức: \(\left| a \right| = \left\{ \begin{array}{l}a\;\;khi\;\;a \ge 0\\ - a\;\;khi\;\;a < 0\end{array} \right..\)
+ Sau đó giải phương trình thu được.
TH1: \(\left| {3 - 4x} \right| = 3 - 4x\) khi \(3 - 4x \ge 0 \Leftrightarrow 4x \le 3 \Leftrightarrow x \le \dfrac{3}{4}\)
Phương trình đã cho trở thành \(2\left( {3 - 4x} \right) + 6 = 10 \)\(\Leftrightarrow 2\left( {3 - 4x} \right) = 4 \)\(\Leftrightarrow 3 - 4x = 2 \)\(\Leftrightarrow x = \dfrac{1}{4}\,\left( {TM} \right)\)
TH2: \(\left| {3 - 4x} \right| = - \left( {3 - 4x} \right)\) khi \(3 - 4x < 0 \)\(\Leftrightarrow 4x > 3\)\( \Leftrightarrow x > \dfrac{3}{4}\)
Phương trình đã cho trở thành \(2\left( {4x - 3} \right) + 6 = 10 \)\(\Leftrightarrow 2\left( {4x - 3} \right) = 4 \)\(\Leftrightarrow 4x - 3 = 2 \)\(\Leftrightarrow x = \dfrac{5}{4}\,\left( {TM} \right)\)
Phương trình có nghiệm \(x = \dfrac{1}{4};\,x = \dfrac{5}{4}\) .
Cho \( - 2x + 3 < - 2y + 3\). So sánh $x$ và $y$ . Đáp án nào sau đây là đúng?
-
A.
\(x < y\)
-
B.
\(x > y\)
-
C.
\(x \le y\)
-
D.
\(x \ge y\)
Đáp án : B
+) Áp dụng tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép cộng.
+) Áp dụng tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép nhân.
Theo đề bài ta có: \( - 2x + 3 < - 2y + 3\)
\(\begin{array}{l} - 2x + 3 - 3 < - 2y + 3 - 3\\ - 2x < - 2y\\ - 2.\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)x > - 2.\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)y\\ x > y.\end{array}\)
Biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình \(x \ge 8\) trên trục số, ta được
-
A.
-
B.
-
C.
-
D.
Đáp án : C
Biểu diễn tập nghiệm trên trục số
Ta biểu diễn \(x \ge 8\) trên trục số như sau:
Số nghiệm của phương trình \(\left| {x - 3} \right| + 3x = 7\) là
-
A.
\(3\)
-
B.
\(2\)
-
C.
\(0\)
-
D.
\(1\)
Đáp án : D
+ Phá dấu giá trị tuyệt đối theo định nghĩa \(\left| a \right| = \left\{ \begin{array}{l}a\;\;khi\;\;a \ge 0\\ - a\;\;khi\;\;a < 0\end{array} \right..\)
+ Giải các phương trình bậc nhất một ẩn
+ So sánh với điều kiện và kết luận.
TH1: \(\left| {x - 3} \right| = x - 3\) khi \(x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 3\)
Phương trình đã cho trở thành \(x - 3 + 3x = 7\)\( \Leftrightarrow 4x = 10 \)\(\Leftrightarrow x = \dfrac{5}{2}\,\left( {KTM} \right)\)
TH2: \(\left| {x - 3} \right| = - \left( {x - 3} \right)\) khi \(x - 3 < 0 \)\(\Leftrightarrow x < 3\)
Phương trình đã cho trở thành \( - \left( {x - 3} \right) + 3x = 7 \)\(\Leftrightarrow 2x = 4 \)\(\Leftrightarrow x = 2\,\left( {TM} \right)\)
Vậy phương trình có một nghiệm \(x = 2\).
Hãy chọn câu đúng. Tập nghiệm của bất phương trình \(1 - 3x \ge 2 - x\) là:
-
A.
\(S = \left\{ x \in R|{x \ge \dfrac{1}{2}} \right\}\)
-
B.
\(S = \left\{ x \in R|{x \ge - \dfrac{1}{2}} \right\}\)
-
C.
\(S = \left\{ x \in R|{x \le - \dfrac{1}{2}} \right\}\)
-
D.
\(S = \left\{ x \in R|{x \le \dfrac{1}{2}} \right\}\)
Đáp án : C
\(1 - 3x \ge 2 - x\)
\(\Leftrightarrow 1 - 3x + x - 2 \ge 0 \)\(\Leftrightarrow - 2x - 1 \ge 0\\ \Leftrightarrow - 2x \ge 1 \)\(\Leftrightarrow x \le - \dfrac{1}{2}\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình \(S = \left\{ x \in R|{x \le - \dfrac{1}{2}} \right\}\) .
Bất đẳng thức nào sau đây đúng với mọi \(a > 0,b > 0:\)
-
A.
\({a^3} + {b^3} - a{b^2} - {a^2}b < 0\)
-
B.
\({a^3} + {b^3} - a{b^2} - {a^2}b \ge 0\)
-
C.
\({a^3} + {b^3} - a{b^2} - {a^2}b \le 0\)
-
D.
\({a^3} + {b^3} - a{b^2} - {a^2}b > 0\)
Đáp án : B
+ Phân tích vế trái thành nhân tử và đánh giá theo điều kiện của \(a,\,b\).
Ta có ${a^3} + {b^3} - a{b^2} - {a^2}b = {a^2}(a - b) - {b^2}(a - b)$
$ = {(a - b)^2}(a + b) \ge 0$ ( vì \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\,\) với mọi \(a,b\) và \(a + b > 0\) với \(a > 0,b > 0\)).
Với mọi \(a,b,c\) . Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
A.
\({a^2} + {b^2} + {c^2} < ab + bc + ca\)
-
B.
\({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca\)
-
C.
\({a^2} + {b^2} + {c^2} \le ab + bc + ca\)
-
D.
Cả A, B, C đều sai
Đáp án : B
+) Phương pháp xét hiệu \(\;P = {a^2} + {b^2} + {c^2} - \left( {ab + bc + ca} \right)\)
+) Sử dụng quy tắc chuyển vế đổi dấu và sử dụng các hằng đẳng thức để đánh giá hiệu \(P\) với \(0\).
\(\;P = {a^2} + {b^2} + {c^2} - \left( {ab + bc + ca} \right)\)\( = \dfrac{1}{2}\left( {2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2ac - 2bc} \right)\)
\( = \dfrac{1}{2}\left[ {\left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) + \left( {{a^2} - 2ac + {c^2}} \right) + \left( {{b^2} - 2bc + {c^2}} \right)} \right]\)
\( = \dfrac{1}{2}\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {a - c} \right)}^2} + {{\left( {b - c} \right)}^2}} \right] \ge 0\) với mọi \(a,b,c\) (vì \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0;\,{\left( {a - c} \right)^2} \ge 0;\)\({\left( {b - c} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(a,b,c\) )
Nên \(P \ge 0\) khi và chỉ khi \( {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ac\) .
Với điều kiện nào của \(x\) thì biểu thức \(B = \dfrac{{2x - 4}}{{3 - x}}\) nhận giá trị âm.
-
A.
$x < - 2$
-
B.
$x < 2$ hoặc $x>3$
-
C.
$x > 2$
-
D.
$2 < x < 3$
Đáp án : B
+ \(B = \dfrac{{2x - 4}}{{3 - x}}\) âm \( \Leftrightarrow A < 0\). Giải bất phương trình tìm $x$ .
+ Bất phương trình có dạng: \(\dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) > 0\\g\left( x \right) < 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) < 0\\g\left( x \right) > 0\end{array} \right.\end{array} \right..\)
Ta có: \(B = \dfrac{{2x - 4}}{{3 - x}} < 0\)
\( \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2x - 4 > 0\\3 - x < 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}2x - 4 < 0\\3 - x > 0\end{array} \right.\end{array} \right. \\\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x > 2\\x > 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 2\\x < 3\end{array} \right.\,\,\end{array} \right. \\\left[ \begin{array}{l}
x < 2\\
x > 3
\end{array} \right.\)
Vậy với \(\left[ \begin{array}{l}
x < 2\\
x > 3
\end{array} \right.\) thì \(B\) âm.
Bất phương trình $2{(x + 2)^2} < 2x(x + 2) + 4$ có nghiệm là
-
A.
$x > - 1$
-
B.
$x > 1$
-
C.
$x \ge - 1$
-
D.
$x < - 1$
Đáp án : D
- Khai triển các hằng đẳng thức
- Bỏ dấu ngoặc
- Áp dụng quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân với một số để giải bất phương trình.
$\begin{array}{l}\;2{(x + 2)^2} < 2x(x + 2) + 4\\ 2{x^2} + 8x + 8 < 2{x^2} + 4x + 4\\ 4x < - 4\\ x < - 1\end{array}$
Vậy \(x < - 1\) .
Tổng các nghiệm của phương trình \(\left| {3x - 1} \right| = x + 4\) là
-
A.
\(7\)
-
B.
\(4\)
-
C.
\(\dfrac{4}{7}\)
-
D.
\(\dfrac{7}{4}\)
Đáp án : D
+ Phá dấu giá trị tuyệt đối theo định nghĩa \(\left| a \right| = \left\{ \begin{array}{l}a\;\;khi\;\;a \ge 0\\ - a\;\;khi\;\;a < 0\end{array} \right..\)
+ Giải các phương trình bậc nhất một ẩn
+ So sánh với điều kiện và kết luận.
TH1: \(\left| {3x - 1} \right| = 3x - 1\) khi \(3x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow 3x \ge 1 \Leftrightarrow x \ge \dfrac{1}{3}\)
Phương trình đã cho trở thành \(3x - 1 = x + 4 \)\(\Leftrightarrow 2x = 5\)\( \Leftrightarrow x = \dfrac{5}{2}\left( {TM} \right)\)
TH2: \(\left| {3x - 1} \right| = 1 - 3x\) khi \(3x - 1 < 0 \)\(\Leftrightarrow x < \dfrac{1}{3}\)
Phương trình đã cho trở thành \(1 - 3x = x + 4 \)\(\Leftrightarrow 4x = - 3 \)\(\Leftrightarrow x = - \dfrac{3}{4}\,\left( {TM} \right)\)
Vậy \(S = \left\{ {\dfrac{{ - 3}}{4};\dfrac{5}{2}} \right\}\)
Tổng các nghiệm của phương trình là \( - \dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{2} = \dfrac{7}{4}\) .
Nghiệm nhỏ nhất của phương trình \(\left| {2 + 3x} \right| = \left| {4x - 3} \right|\) là
-
A.
\(\dfrac{1}{7}\)
-
B.
\(5\)
-
C.
\( - \dfrac{1}{7}\)
-
D.
\( - 5\)
Đáp án : A
Vận dụng tính chất: \(\left| a \right| = \left| b \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b\\a = - b\end{array} \right..\)
Ta có: \(\left| {A\left( x \right)} \right| = \left| {B\left( x \right)} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A\left( x \right) = B\left( x \right)\\A\left( x \right) = - B\left( x \right)\end{array} \right..\)
Ta có \(\left| {2 + 3x} \right| = \left| {4x - 3} \right|\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2 + 3x = 4x - 3\\2 + 3x = 3 - 4x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\7x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = \dfrac{1}{7}\end{array} \right.\)
Vậy nghiệm nhỏ nhất của phương trình là \(x = \dfrac{1}{7}\) .
Cho hai phương trình \(4\left| {2x - 1} \right| + 3 = 15\,\,\,\left( 1 \right)\) và \(\left| {7x + 1} \right| - \left| {5x + 6} \right| = 0\,\left( 2 \right)\). Kết luận nào sau đây là đúng.
-
A.
Phương trình \(\left( 1 \right)\) có nhiều nghiệm hơn phương trình \(\left( 2 \right)\)
-
B.
Phương trình \(\left( 1 \right)\) có ít nghiệm hơn phương trình \(\left( 2 \right)\)
-
C.
Cả hai phương trình đều có hai nghiệm phân biệt
-
D.
Cả hai phương trình đều vô số nghiệm
Đáp án : C
Để giải phương trình \(\left( 1 \right)\) ta thực hiện các bước sau:
+ Phá dấu giá trị tuyệt đối theo định nghĩa \(\left| a \right| = \left\{ \begin{array}{l}a\;\;khi\;\;a \ge 0\\ - a\;\;khi\;\;a < 0\end{array} \right..\)
+ Giải các phương trình bậc nhất một ẩn
+ So sánh với điều kiện và kết luận.
Để giải phương trình \(\left( 2 \right)\), ta chuyển vế biến đổi phương trình về dạng \(\left| {A\left( x \right)} \right| = \left| {B\left( x \right)} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A\left( x \right) = B\left( x \right)\\A\left( x \right) = - B\left( x \right)\end{array} \right.\)
* Xét phương trình \(4\left| {2x - 1} \right| + 3 = 15\,\,\,\left( 1 \right)\)
TH1: \(\left| {2x - 1} \right| = 2x - 1\) khi \(x \ge \dfrac{1}{2}\)
Phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành \(4\left( {2x - 1} \right) + 3 = 15 \)\(\Leftrightarrow 4\left( {2x - 1} \right) = 12 \)\(\Leftrightarrow 2x - 1 = 3 \)\(\Leftrightarrow x = 2\,\left( {TM} \right)\)
TH2: \(\left| {2x - 1} \right| = 1 - 2x\) khi \(x < \dfrac{1}{2}\)
Phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành \(4\left( {1 - 2x} \right) + 3 = 15 \)\(\Leftrightarrow 4\left( {1 - 2x} \right) = 12 \)\(\Leftrightarrow 1 - 2x = 3 \)\( \Leftrightarrow x = - 1\left( {TM} \right)\)
Vậy phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm \(x = - 1;\,x = 2\).
Xét phương trình
\(\;\left| {7x + 1} \right| - \left| {5x + 6} \right| = 0\\ \Leftrightarrow \left| {7x + 1} \right| = \left| {5x + 6} \right|\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}7x + 1 = 5x + 6\\7x + 1 = - (5x + 6)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = 5\\12x = - 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{5}{2}\\x = - \dfrac{7}{{12}}\end{array} \right.\)
Vậy phương trình \(\left( 2 \right)\) có hai nghiệm là \(x = \dfrac{5}{2};x = - \dfrac{7}{{12}}.\)
Số nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình ${(x - 2)^2} - {x^2} - 8x + 3 \ge 0$ là
-
A.
$x = 1$
-
B.
$x = 0$
-
C.
\(x = - 1\)
-
D.
\(x \le \dfrac{7}{{12}}.\)
Đáp án : B
Phân tích hằng đẳng thức, biến đổi vế trái
Áp dụng quy tắc chuyển vế, nhân với một số âm hoặc dương.
\(\begin{array}{l}{(x - 2)^2} - {x^2} - 8x + 3 \ge 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4 - {x^2} - 8x + 3 \ge 0\\ \Leftrightarrow - 12x + 7 \ge 0\\ \Leftrightarrow x \le \dfrac{{ 7}}{{12}}\end{array}\)
Vậy nghiệm của bất phương trình là \(x \le \dfrac{7}{{12}}.\)
Nên số nguyên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình là \(x = 0.\)
Tập nghiệm của bất phương trình \(\dfrac{{x - 3}}{{x + 4}} < 0\) là
-
A.
$x > 4$
-
B.
\( - 4 < x < 3.\)
-
C.
\(x < 3\)
-
D.
\(x \ne - 4\).
Đáp án : B
Giải bất phương trình dạng \(\dfrac{{A\left( x \right)}}{{B\left( x \right)}} > 0\)
TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}A\left( x \right) > 0\\B\left( x \right) > 0\end{array} \right.\)
TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}A\left( x \right) < 0\\B\left( x \right) < 0\end{array} \right.\)
Xét \(\dfrac{{x - 3}}{{x + 4}} < 0.\)
Trường hợp 1:
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 3 < 0\\x + 4 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < 3\\x > - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow - 4 < x < 3.\)
Trường hợp 2:
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 3 > 0\\x + 4 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 3\\x < - 4\end{array} \right. \Rightarrow \) Bất phương trình vô nghiệm.
Vậy \( - 4 < x < 3.\)
Bất phương trình $2(x - 1) - x > 3(x - 1) - 2x - 5$ có nghiệm là:
-
A.
Vô số nghiệm
-
B.
$x < 3,24$
-
C.
$x > 2,12$
-
D.
Vô nghiệm
Đáp án : A
- Quy tắc chuyển vế.
- Tìm $x.$
Ta có:
$\begin{array}{l}\;\;\;\;\;2(x - 1) - x > 3(x - 1) - 2x - 5\\ \Leftrightarrow 2x - 2 - x > 3x - 3 - 2x - 5\\ \Leftrightarrow x - 2 > x - 8\\ \Leftrightarrow - 2 > - 8\end{array}$
Luôn đúng
Vậy bất phương trình trên có vô số nghiệm.
Cho số thực \(x\) , chọn câu đúng nhất.
-
A.
\({x^4} + 3 \ge 4x\)
-
B.
\({x^4} + 5 > {x^2} + 4x\)
-
C.
Cả A, B đều sai
-
D.
Cả A, B đều đúng.
Đáp án : D
Biến đổi tương đương các bất đẳng thức, sử dụng các hằng đẳng thức để chứng minh.
+) Đáp án A: Bất đẳng thức tương đương với \({x^4} - 4x + 3 \ge 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^3} + {x^2} + x - 3} \right) \ge 0 \\\Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {\left( {{x^3} - 1} \right) + \left( {{x^2} + x - 2} \right)} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right) + \left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1 + x + 2} \right) \ge 0 \\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {{x^2} + 2x + 3} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2}\left[ {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 1} \right] \ge 0\end{array}\)
(luôn đúng với mọi số thực $x$)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x = 1.$
Nên A đúng.
+) Đáp án B: Bất đẳng thức tương đương với \({x^4} - {x^2} - 4x + 5 > 0\)
\( \Leftrightarrow {x^4} - 2{x^2} + 1 + {x^2} - 4x + 4 > 0 \)\( \Leftrightarrow {\left( {{x^2} - 1} \right)^2} + {\left( {x - 2} \right)^2} > 0\)
Ta có: \(\left( {{x^2} - 1} \right) \ge 0,\,\,{\left( {x - 2} \right)^2} \ge 0 \)\( \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 1} \right) + {\left( {x - 2} \right)^2} \ge 0\)
Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 1 = 0\\x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \pm 1\\x = 2\end{array} \right. \) điều này không xảy ra.
\( \Rightarrow {\left( {{x^2} - 1} \right)^2} + {\left( {x - 2} \right)^2} > 0\) nên B đúng.
Giải phương trình \({\left| {x - 3y} \right|^{2017}} + {\left| {y + 4} \right|^{2018}} = 0\) ta được nghiệm \(\left( {x;y} \right)\). Khi đó \(y - x\) bằng
-
A.
\( - 16\)
-
B.
\( - 8\)
-
C.
\(16\)
-
D.
\(8\).
Đáp án : D
Vận dụng tính chất không âm của giá trị tuyệt đối dẫn đến phương pháp bất đẳng thức.
* Nhận xét: Tổng của các số không âm là một số không âm và tổng đó bằng 0 khi và chỉ khi các số hạng của tổng đồng thời bằng 0.
* Cách giải chung: \(\left| A \right| + \left| B \right| = 0\)
Bước1: Đánh giá: \(\left. \begin{array}{l}\left| A \right| \ge 0\\\left| B \right| \ge 0\end{array} \right\} \Rightarrow \left| A \right| + \left| B \right| \ge 0\)
Bước 2: Khẳng định: \(\left| A \right| + \left| B \right| = 0\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.\)
\({\left| {x - 3y} \right|^{2017}} + {\left| {y + 4} \right|^{2018}} = 0\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}\left| {x - 3y} \right| \ge 0\\\left| {y + 4} \right| \ge 0\end{array} \right\} \Rightarrow {\left| {x - 3y} \right|^{2017}} + {\left| {y + 4} \right|^{2018}} \ge 0\\ \Rightarrow {\left| {x - 3y} \right|^{2017}} + {\left| {y + 4} \right|^{2018}} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3y = 0\\y + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3.( - 4) = 0\\y = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 12\\y = - 4\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy nghiệm của phương trình là $x = - 12$ và $y = - 4.$
Suy ra \(y - x = - 4 - \left( { - 12} \right) = 8.\)