Cho một số có hai chữ số . Chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là $5$. Nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau ta được một số bằng $\dfrac{3}{8}$ số ban đầu. Tìm tích các chữ số của số ban đầu.

A.

$12$
B.

$16$
C.

$14$
D.

$6$

Câu 4 :

Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 1\\4x + y = 9\end{array} \right.$. Nghiệm của hệ phương trình là $\left( {x;y} \right)$, tính $x - y$

A.

$x - y = - 1$
B.

$x - y = 1$
C.

$x - y = 0$
D.

$x - y = 2$

Câu 5 :

Hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.$ có nghiệm duy nhất khi

A.

$\dfrac{a}{{a'}} \ne \dfrac{b}{{b'}}$
B.

$\dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}}$
C.

$\dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} \ne \dfrac{c}{{c'}}$
D.

$\dfrac{b}{{b'}} \ne \dfrac{c}{{c'}}$

Câu 6 :

Một ô tô đi quãng đường $AB$ với vận tốc $50\,\,km/h$ , rồi đi tiếp quãng đường $BC$ với vận tốc $45km/h.$ Biết quãng đường tổng cộng dài $165\,\,km$ và thời gian ô tô đi trên quãng đường $AB$ ít hơn thời gian đi trên quãng đường $BC$ là $30$ phút. Tính thời gian ô tô đi trên đoạn đường $AB$.

A.

$2$ giờ
B.

$1,5$ giờ
C.

$1$ giờ
D.

$3$ giờ

Câu 7 :

Không giải hệ phương trình , dự đoán số nghiệm của hệ $\left\{ \begin{array}{l}\sqrt 2 x - 2y = 3\\3\sqrt 2 x - 6y = 5\end{array} \right.$

A.

Vô số nghiệm
B.

Vô nghiệm
C.

Có nghiệm duy nhất
D.

Có hai nghiệm phân biệt

Câu 8 :

Biết hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}2x + by = a\\bx + ay = 5\end{array} \right.$ có nghiệm $x = 1$; $y = 3.$Tính $10\left( {a + b} \right)$

A.

$15$
B.

$16$
C.

$14$
D.

$17$

Câu 9 :

Số nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} - x - \sqrt 2 y = \sqrt 3 \\\sqrt 2 x + 2y = - \sqrt 6 \end{array} \right.$là

A.

$1$
B.

$0$
C.

$2$
D.

Vô số.

Câu 10 :

Xác định giá trị của tham số $m$ để hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = - 1\\mx + y = 2m\end{array} \right.$ vô nghiệm.

A.

$m = 1$
B.

$m = - 1$
C.

$m = 0$
D.

$m = \dfrac{1}{2}$

Câu 11 :

Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2x + by = - 1\\bx - 2ay = 1\end{array} \right.$. Biết rằng hệ phương trình có nghiệm là $\left( {1; - 2} \right)$, tính $a - b$.

A.

$\dfrac{{13}}{8}$
B.

$ - \dfrac{{13}}{8}$
C.

$\dfrac{5}{8}$
D.

$ - \dfrac{5}{8}$

Câu 12 :

Số nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{x - 2}} + \dfrac{1}{{2y - 1}} = 2\\\dfrac{2}{{x - 2}} - \dfrac{3}{{2y - 1}} = 1\end{array} \right.$là

A.

$1$
B.

$0$
C.

$2$
D.

Vô số.

Câu 13 :

Số nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + 1} \right)\left( {y - 1} \right) = xy - 1\\\left( {x - 3} \right)\left( {y - 3} \right) = xy - 3\end{array} \right.$ là

A.

$1$
B.

$0$
C.

$2$
D.

Vô số.

Câu 14 :

Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}4\sqrt x - 3\sqrt y = 4\\2\sqrt x + \sqrt y = 2\end{array} \right.$. Biết nghiệm của hệ phương trình là $\left( {x;y} \right)$, tính $x.y$

A.

$2$
B.

$0$
C.

$-2$
D.

$1$

Câu 15 :

Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{2}{x} + y = 3\\\dfrac{1}{x} - 2y = 4\end{array} \right.$. Biết nghiệm của hệ phương trình là $\left( {x;y} \right)$, tính $\dfrac{x}{y}$

A.

$2$
B.

$ - 2$
C.

$ - \dfrac{1}{2}$
D.

$\dfrac{1}{2}$

Câu 16 :

Cho hệ phương trình$\left\{ \begin{array}{l}mx - y = 2m\\4x - my = m + 6\end{array} \right..$ Trong trường hợp hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right)$, tìm giá trị của m để : $6x - 2y = 13.$

A.

$m = - 9$
B.

$m = 9$
C.

$m = 8$
D.

$m = - 8$

Câu 17 :

Biết rằng hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}(m - 2)x - 3y = - 5\\x + my = 3\end{array} \right.$có nghiệm duy nhất với mọi $m$. Tìm nghiệm duy nhất đó theo $m$.

A.

$\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{{9 + 5m}}{{{m^2} - 2m + 3}};\dfrac{{3m + 1}}{{{m^2} - 2m + 3}}} \right)$
B.

$\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{{9 - 5m}}{{{m^2} - 2m + 3}};\dfrac{{3m - 1}}{{{m^2} - 2m + 3}}} \right)$
C.

$\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{{ - 9 - 5m}}{{{m^2} - 2m + 3}};\dfrac{{ - 3m - 1}}{{{m^2} - 2m + 3}}} \right)$
D.

$\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{{9 - 5m}}{{{m^2} - 2m + 3}};\dfrac{{3m + 1}}{{{m^2} - 2m + 3}}} \right)$

Câu 18 :

Một khách du lịch đi trên ôtô $4$ giờ, sau đó đi tiếp bằng tàu hỏa trong $7$ giờ được quãng đường dài $640\,km$. Hỏi vận tốc của tàu hỏa , biết rằng mỗi giờ tàu hỏa đi nhanh hơn ôtô $5\,km$ ?

A.

$40\,{\rm{km/h}}$
B.

$50\,{\rm{km/h}}$
C.

$60\,{\rm{km/h}}$
D.

$65\,{\rm{km/h}}$

Câu 19 :

Trong một kì thi, hai trường $A,B$ có tổng cộng $350$ học sinh dự thi. Kết quả hai trường đó có $338$ học sinh trúng tuyển. Tính ra thì trường $A$ có $97\% $ và trường $B$ có $96 \% $ số học sinh trúng tuyển. Hỏi trường $B$ có bao nhiêu học sinh dự thi.

A.

$200$ học sinh
B.

$150$ học sinh
C.

$250$ học sinh
D.

$225$ học sinh

Câu 20 :

Một tam giác có chiều cao bằng $\dfrac{3}{4}$ cạnh đáy. Nếu chiều cao tăng thêm $3$ $dm$ và cạnh đáy giảm đi $3$ $dm$ thì diện tích của nó tăng thêm $12$ $d{m^2}$ . Tính diện tích của tam giác ban đầu.

A.

$700\,\,d{m^2}$
B.

$678\,\,d{m^2}$
C.

$627\,\,d{m^2}$
D.

$726\,\,d{m^2}$

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Phương trình nào sau đây là phương trình bậc nhất hai ẩn?

A.

$2{x^2} + 2 = 0$
B.

$3y - 1 = 5\left( {y - 2} \right)$
C.

$2x + \dfrac{y}{2} - 1 = 0$
D.

$3\sqrt x + {y^2} = 0$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Phương trình bậc nhất hai ẩn là phương trình có dạng $ ax+ by = c$

(trong đó $a, b, c$ là những số cho trước $a \ne 0$ hoặc $b \ne 0$).

Lời giải chi tiết :

Phương trình $2x + \dfrac{y}{2} - 1 = 0$ là phương trình bậc nhất hai ẩn.

Câu 2 :

Phương trình $x - 5y + 7 = 0$ nhận cặp số nào sau đây làm nghiệm?

A.

$\left( {0;1} \right)$
B.

$\left( { - 1;2} \right)$
C.

$\left( {3;2} \right)$
D.

$\left( {2;4} \right)$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Nếu cặp số thực $({x_0},\,{y_0})$thỏa mãn ${\rm{ax}} + by = c$ thì nó được gọi là nghiệm của phương trình $ax + by = c$

Lời giải chi tiết :

+) Thay $x = 0;y = 1$ vào phương trình $x - 5y + 7 = 0$ ta được $0 - 5.1 + 7 = 0 \Leftrightarrow 2 = 0$ (vô lý) nên loại A.

+) Thay $x = - 1;y = 2$ vào phương trình $x - 5y + 7 = 0$ ta được $ - 1 - 5.2 + 7 = 0 \Leftrightarrow - 4 = 0$ (vô lý) nên loại B.

+) Thay $x = 2;y = 4$ vào phương trình $x - 5y + 7 = 0$ ta được $2 - 5.4 + 7 = 0 \Leftrightarrow - 11 = 0$ (vô lý) nên loại D.

+) Thay $x = 3;y = 2$ vào phương trình $x - 5y + 7 = 0$ ta được $3 - 5.2 + 7 = 0 \Leftrightarrow 0 = 0$ (luôn đúng) nên chọn C.

Câu 3 :

A.

$12$
B.

$16$
C.

$14$
D.

$6$

Đáp án : C

Lời giải chi tiết :

Gọi số cần tìm là $\overline {ab} ,\,\,a \in {\mathbb{N}^*},\,\,b \in {\mathbb{N}^*}$, $a,b \le 9$.

Đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số mới là $\overline {ba} $

Ta có hệ phương trình :

$\left\{ \begin{array}{l}a - b = 5\\\overline {ba} = \dfrac{3}{8}\overline {ab} \end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b + 5\\b.10 + a = \dfrac{3}{8}\left( {a.10 + b} \right)\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b + 5\\80b + 8\left( {b + 5} \right) = 30\left( {b + 5} \right) + 3b\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b + 5\\55b = 110\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 2\\a = 7\end{array} \right.$(thỏa mãn)

Vậy số cần tìm là $72$ nên tích các chữ số là $2.7 = 14$.

Câu 4 :

Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 1\\4x + y = 9\end{array} \right.$. Nghiệm của hệ phương trình là $\left( {x;y} \right)$, tính $x - y$

A.

$x - y = - 1$
B.

$x - y = 1$
C.

$x - y = 0$
D.

$x - y = 2$

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 1\\4x + y = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 1\\12x + 3y = 27\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 1\\2x - 3y+12x+3y =1+ 27\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 3y = 1\\14x = 28\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right.$

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( {2;1} \right)$

$ \Rightarrow x - y = 2 - 1 = 1$.

Câu 5 :

Hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.$ có nghiệm duy nhất khi

A.

$\dfrac{a}{{a'}} \ne \dfrac{b}{{b'}}$
B.

$\dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}}$
C.

$\dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} \ne \dfrac{c}{{c'}}$
D.

$\dfrac{b}{{b'}} \ne \dfrac{c}{{c'}}$

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Xét hệ phương trình bậc nhất hai ẩn $\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.$

- Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $ \Leftrightarrow \dfrac{a}{{a'}} \ne \dfrac{b}{{b'}}$

- Hệ phương trình vô nghiệm $ \Leftrightarrow \dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} \ne \dfrac{c}{{c'}}$

- Hệ phương trình có vô số nghiệm $ \Leftrightarrow \dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} = \dfrac{c}{{c'}}$

Câu 6 :

A.

$2$ giờ
B.

$1,5$ giờ
C.

$1$ giờ
D.

$3$ giờ

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

Gọi thời gian ô tô đi trên mỗi đoạn đường $AB$ và $BC$ lần lượt là $x,y$

($x>0;y>0,5$ ; đơn vị : giờ). Ta có hệ phương trình :

$\left\{ \begin{array}{l}50.x + 45.y = 165\\y - x = 0,5\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1,5\\y = 2\end{array} \right.$ (Thỏa mãn)

Vậy thời gian ô tô đi hết quãng đường $AB$ là $1,5$ giờ. Thời gian ô tô đi hết quãng đường $BC$ là $2$ giờ.

Câu 7 :

Không giải hệ phương trình , dự đoán số nghiệm của hệ $\left\{ \begin{array}{l}\sqrt 2 x - 2y = 3\\3\sqrt 2 x - 6y = 5\end{array} \right.$

A.

Vô số nghiệm
B.

Vô nghiệm
C.

Có nghiệm duy nhất
D.

Có hai nghiệm phân biệt

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Xét hệ phương trình bậc nhất hai ẩn $\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.$ (các hệ số khác $0$)

- Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $ \Leftrightarrow \dfrac{a}{{a'}} \ne \dfrac{b}{{b'}}$

- Hệ phương trình vô nghiệm $ \Leftrightarrow \dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} \ne \dfrac{c}{{c'}}$

- Hệ phương trình có vô số nghiệm $ \Leftrightarrow \dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} = \dfrac{c}{{c'}}$

Lời giải chi tiết :

Xét hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\sqrt 2 x - 2y = 3\\3\sqrt 2 x - 6y = 5\end{array} \right.$ có $\dfrac{{\sqrt 2 }}{{3\sqrt 2 }} = \dfrac{{ - 2}}{{ - 6}} \ne \dfrac{3}{5} \Leftrightarrow \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{3} \ne \dfrac{3}{5}$ nên hệ phương trình vô nghiệm.

Câu 8 :

Biết hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}2x + by = a\\bx + ay = 5\end{array} \right.$ có nghiệm $x = 1$; $y = 3.$Tính $10\left( {a + b} \right)$

A.

$15$
B.

$16$
C.

$14$
D.

$17$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

-Thay $x;y$ vào hệ phương trình ta được hệ phương trình mới ẩn $a,b$.

-Giải hệ phương trình mới bằng phương pháp cộng đại số hoặc phương pháp thế ta tìm được $a,b$

Lời giải chi tiết :

Thay $x = 1$; $y = 3$ vào hệ ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}2.1 + b.3 = a\\b.1 + a.3 = 5\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow $$\left\{ \begin{array}{l}a - 3b = 2\\3a + b = 5\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow $$\left\{ \begin{array}{l}3a - 9b = 6\\3a + b = 5\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow $$\left\{ \begin{array}{l}10b = - 1\\3a + b = 5\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow $$\left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{{ - 1}}{{10}}\\a = \dfrac{{17}}{{10}}\end{array} \right.$.

Vậy $a = \dfrac{{ - 1}}{{10}}$; $y = \dfrac{{17}}{{10}}$ thì hệ phương trình có nghiệm $x = 1$; $y = 3.$

$ \Rightarrow 10\left( {a + b} \right) = 16$

Câu 9 :

Số nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} - x - \sqrt 2 y = \sqrt 3 \\\sqrt 2 x + 2y = - \sqrt 6 \end{array} \right.$là

A.

$1$
B.

$0$
C.

$2$
D.

Vô số.

Đáp án : D

Lời giải chi tiết :

Ta có $\left\{ \begin{array}{l} - x - \sqrt 2 y = \sqrt 3 \\\sqrt 2 x + 2y = - \sqrt 6 \end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \sqrt 2 y - \sqrt 3 \\\sqrt 2 \left( { - \sqrt 2 y - \sqrt 3 } \right) + 2 y = - \sqrt 6 \end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \sqrt 2 y - \sqrt 3 \\ - 2y - \sqrt 6 + 2 y = - \sqrt 6 \end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \sqrt 2 y - \sqrt 3 \\ - \sqrt 6 = - \sqrt 6 \end{array} \right.$$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y \in \mathbb{R}\\x = - \sqrt 2 y - \sqrt 3 \end{array} \right.$

Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm.

Câu 10 :

Xác định giá trị của tham số $m$ để hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = - 1\\mx + y = 2m\end{array} \right.$ vô nghiệm.

A.

$m = 1$
B.

$m = - 1$
C.

$m = 0$
D.

$m = \dfrac{1}{2}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Xét hệ phương trình bậc nhất hai ẩn $\left\{ \begin{array}{l}ax + by = c\\a'x + b'y = c'\end{array} \right.$ (các hệ số khác $0$)

- Hệ phương trình có nghiệm duy nhất $ \Leftrightarrow \dfrac{a}{{a'}} \ne \dfrac{b}{{b'}}$

- Hệ phương trình vô nghiệm $ \Leftrightarrow \dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} \ne \dfrac{c}{{c'}}$

- Hệ phương trình có vô số nghiệm $ \Leftrightarrow \dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{b}{{b'}} = \dfrac{c}{{c'}}$

Lời giải chi tiết :

Để hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = - 1\\mx + y = 2m\end{array} \right.$ vô nghiệm thì $\dfrac{m}{1} = \dfrac{1}{1} \ne \dfrac{{2m}}{1} $

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 1\\m \ne \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Rightarrow m = 1$

Câu 11 :

Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2x + by = - 1\\bx - 2ay = 1\end{array} \right.$. Biết rằng hệ phương trình có nghiệm là $\left( {1; - 2} \right)$, tính $a - b$.

A.

$\dfrac{{13}}{8}$
B.

$ - \dfrac{{13}}{8}$
C.

$\dfrac{5}{8}$
D.

$ - \dfrac{5}{8}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có nghiệm $\left( {{x_0};{y_0}} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a{x_0} + b{y_0} = c\\a'{x_0} + b'{y_0} = c'\end{array} \right..$

Lời giải chi tiết :

Thay $x = 1;y = - 2$ vào hệ ta được

$\left\{ \begin{array}{l}2.1 + b.\left( { - 2} \right) = - 1\\b.1 - 2a.\left( { - 2} \right) = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2b = - 3\\b + 4a = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{3}{2}\\\dfrac{3}{2} + 4a = 1\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{3}{2}\\a = - \dfrac{1}{8}\end{array} \right. \Rightarrow a - b = - \dfrac{{13}}{8}$

Vậy $a - b = - \dfrac{{13}}{8}$.

Câu 12 :

Số nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{x - 2}} + \dfrac{1}{{2y - 1}} = 2\\\dfrac{2}{{x - 2}} - \dfrac{3}{{2y - 1}} = 1\end{array} \right.$là

A.

$1$
B.

$0$
C.

$2$
D.

Vô số.

Đáp án : A

Lời giải chi tiết :

Điều kiện: $x \ne 2;y \ne \dfrac{1}{2}$

Đặt $\dfrac{1}{{x - 2}} = a;\dfrac{1}{{2y - 1}} = b$ khi đó ta có hệ phương trình

$\left\{ \begin{array}{l}a + b = 2\\2a - 3b = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2 - b\\2\left( {2 - b} \right) - 3b = 1\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2 - b\\ - 5b = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{3}{5}\\a = 2 - b\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{3}{5}\\a = 2 - \dfrac{3}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{7}{5}\\b = \dfrac{3}{5}\end{array} \right.$

Trả lại biến ta được

$\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{x - 2}} = \dfrac{7}{5}\\\dfrac{1}{{2y - 1}} = \dfrac{3}{5}\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7x - 14 = 5\\6y - 3 = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{19}}{7}\\y = \dfrac{4}{3}\end{array} \right.$(Thỏa mãn điều kiện)

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{{19}}{7};\dfrac{4}{3}} \right)$.

Câu 13 :

Số nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + 1} \right)\left( {y - 1} \right) = xy - 1\\\left( {x - 3} \right)\left( {y - 3} \right) = xy - 3\end{array} \right.$ là

A.

$1$
B.

$0$
C.

$2$
D.

Vô số.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Đưa hệ phương trình về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn rồi giải bằng phương pháp thế.

Lời giải chi tiết :

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + 1} \right)\left( {y - 1} \right) = xy - 1\\\left( {x - 3} \right)\left( {y - 3} \right) = xy - 3\end{array} \right..$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy - x + y - 1 = xy - 1\\xy - 3x - 3y + 9 = xy - 3\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - x + y = 0\\ - 3x - 3y = -12\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y\\ - 3y - 3y = -12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y\\ - 6y = -12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y\\y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y =2\end{array} \right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( { 2; 2} \right)$

Câu 14 :

A.

$2$
B.

$0$
C.

$-2$
D.

$1$

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

ĐK: $x \ge 0;y \ge 0$

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}4\sqrt x - 3\sqrt y = 4\\2\sqrt x + \sqrt y = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4\sqrt x - 3\sqrt y = 4\\4\sqrt x + 2\sqrt y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5\sqrt y = 0\\2\sqrt x + \sqrt y = 2\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt y = 0\\2\sqrt x = 2\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 0\\x = 1\end{array} \right.$ (Thỏa mãn)

Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( {1;0} \right) \Rightarrow x.y = 0.$

Câu 15 :

A.

$2$
B.

$ - 2$
C.

$ - \dfrac{1}{2}$
D.

$\dfrac{1}{2}$

Đáp án : C

Lời giải chi tiết :

ĐK: $x \ne 0$

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{2}{x} + y = 3\\\dfrac{1}{x} - 2y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{4}{x} + 2y = 6\\\dfrac{1}{x} - 2y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}\\\dfrac{2}{x} + y = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}\\y = - 1\end{array} \right.(TM)$

Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất $\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{1}{2}; - 1} \right)$ $ \Rightarrow \dfrac{x}{y} = - \dfrac{1}{2}$

Câu 16 :

A.

$m = - 9$
B.

$m = 9$
C.

$m = 8$
D.

$m = - 8$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Bước 1: Giải hệ phương trình tìm được nghiệm $\left( {x,y} \right)$ theo tham số $m$

Bước 2: Thay $x,y$ vừa tìm được vào phương trình yêu cầu để tìm $m$

Lời giải chi tiết :

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}mx - y = 2m\\4x - my = m + 6\end{array} \right..$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = mx - 2m\\4x - m\left( {mx - 2m} \right) = m + 6\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = mx - 2m\\x\left( {{m^2} - 4} \right) = 2{m^2} - m - 6\end{array} \right.$

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi ${m^2} - 4 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \left\{ { -2;2} \right\}$

Khi đó $x = \dfrac{{2{m^2} - m - 6}}{{{m^2} - 4}} = \dfrac{{\left( {2m + 3} \right)\left( {m - 2} \right)}}{{\left( {m - 2} \right)\left( {m + 2} \right)}} = \dfrac{{2m + 3}}{{m + 2}}$$ \Rightarrow y = m.\dfrac{{2m + 3}}{{m + 2}} - 2m$.

Thay $\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{2m + 3}}{{m + 2}}\\y = \dfrac{{ - m}}{{m + 2}}\end{array} \right.$ vào phương trình $6x - 2y = 13$ ta được

$6.\dfrac{{2m + 3}}{{m + 2}} - 2.\dfrac{{ - m}}{{m + 2}} = 13$

$\Leftrightarrow \dfrac{{14m + 18}}{{m + 2}} = 13$

$\Rightarrow 14m + 18 = 13m + 26 $

$\Leftrightarrow m = 8\left( {TM} \right)$

Vậy $m = 8$ là giá trị cần tìm.

Câu 17 :

Biết rằng hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}(m - 2)x - 3y = - 5\\x + my = 3\end{array} \right.$có nghiệm duy nhất với mọi $m$. Tìm nghiệm duy nhất đó theo $m$.

A.

$\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{{9 + 5m}}{{{m^2} - 2m + 3}};\dfrac{{3m + 1}}{{{m^2} - 2m + 3}}} \right)$
B.

$\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{{9 - 5m}}{{{m^2} - 2m + 3}};\dfrac{{3m - 1}}{{{m^2} - 2m + 3}}} \right)$
C.

$\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{{ - 9 - 5m}}{{{m^2} - 2m + 3}};\dfrac{{ - 3m - 1}}{{{m^2} - 2m + 3}}} \right)$
D.

$\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{{9 - 5m}}{{{m^2} - 2m + 3}};\dfrac{{3m + 1}}{{{m^2} - 2m + 3}}} \right)$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Bước 1: Rút $x$ từ phương trình dưới thay vào phương trình trên

Bước 2: Tìm $y$ theo phương trình mới, từ đó suy ra $x$

Lời giải chi tiết :

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}(m - 2)x - 3y = - 5\\x + my = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}(m - 2)(3 - my) - 3y = - 5\\x = 3 - my\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3m - {m^2}y - 6 + 2my - 3y = - 5\\x = 3 - my\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}({m^2} - 2m + 3)y = 3m - 1{\rm{ }}(1)\\x = 3 - my{\rm{ }}\,{\rm{ }}(2)\end{array} \right.$

Ta có: ${m^2} - 2m + 3 = {(m - 1)^2} + 2 > 0 \,\,\,\forall m$ nên PT $\left( 1 \right)$ có nghiệm duy nhất $\forall m$

Hay hệ phương trình có nghiệm duy nhất $\forall m$

Từ $\left( 1 \right)$ ta có:$y = \dfrac{{3m - 1}}{{{m^2} - 2m + 3}}$ thay vào $\left( 2 \right)$ ta có $x = \dfrac{{9 - 5m}}{{{m^2} - 2m + 3}}$

Vậy $\left( {x;y} \right) = \left( {\dfrac{{9 - 5m}}{{{m^2} - 2m + 3}};\dfrac{{3m - 1}}{{{m^2} - 2m + 3}}} \right)$

Câu 18 :

A.

$40\,{\rm{km/h}}$
B.

$50\,{\rm{km/h}}$
C.

$60\,{\rm{km/h}}$
D.

$65\,{\rm{km/h}}$

Đáp án : C

Lời giải chi tiết :

Gọi vận tốc của tàu hỏa và ô tô lần lượt là $x,y\,\,\left( {{\rm{km/h}},x > y > 0; x>5} \right)$

Vì khách du lịch đi trên ôtô $4$ giờ, sau đó đi tiếp bằng tàu hỏa trong $7$ giờ được quãng đường dài $640\,km$ nên ta có phương trình $7x + 4y = 640$

Và mỗi giờ tàu hỏa đi nhanh hơn ôtô $5\,km$ nên ta có phương trình $x - y = 5$

Suy ra hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x - y = 5\\7x + 4y = 640\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y + 5\\7\left( {y + 5} \right) + 4y = 640\end{array} \right. $

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 55\\x = 60\end{array} \right.$ (thỏa mãn)

Vậy vận tốc tàu hỏa là $60\,\,{\rm{km/h}}$.

Câu 19 :

A.

$200$ học sinh
B.

$150$ học sinh
C.

$250$ học sinh
D.

$225$ học sinh

Đáp án : B

Lời giải chi tiết :

Gọi số học sinh dự thi của hai trường $A,B$ lần lượt là $x,y$ $ (350>x,y>0)$ (học sinh)

Vì hai trường $A,B$ có tổng cộng $350$ học sinh dự thi nên ta có phương trình $x + y = 350$ (học sinh)

Vì trường $A$ có $97\% $ và trường B có $96\% $ số học sinh trúng tuyển và cả hai trường có $338$ học sinh trúng tuyển nên ta có phương trình $97\% .x + 96\% .y = 338$

Suy ra hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 350\\97\% .x + 96\% .y = 338\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 350 - y\\97\left( {350 - y} \right) + 96y = 33800\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 150\\x = 200\end{array} \right.$ (thỏa mãn)

Vậy trường $B$ có 150 học sinh dự thi.

Câu 20 :

A.

$700\,\,d{m^2}$
B.

$678\,\,d{m^2}$
C.

$627\,\,d{m^2}$
D.

$726\,\,d{m^2}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Giải bài toán có nội dung hình học bằng cách lập hệ phương trình.

Chú ý các công thức: Diện tích tam giác $ = $ (cạnh đáy$.$Chiều cao) $:2$

Lời giải chi tiết :

Gọi chiều cao của tam giác là $h$, cạnh đáy tam giác là $a$. $\left( {h,a \in {N^*}, a>3,dm} \right)$.

Diện tích tam giác ban đầu là $\dfrac{1}{2}ah$ ($d{m^2}$)

Vì chiều cao bằng $\dfrac{3}{4}$ cạnh đáy nên ta có phương trình $h = \dfrac{3}{4}a$

Nếu chiều cao tăng thêm $3$ $dm$ và cạnh đáy giảm đi $3$ $dm$ thì diện tích của nó tăng thêm $12$ $d{m^2}$

Nên ta có hương trình $\dfrac{1}{2}\left( {h + 3} \right)\left( {a - 3} \right) - \dfrac{1}{2}ah = 12$

Ta có hệ phương trình : $\left\{ \begin{array}{l}h = \dfrac{3}{4}a\\\dfrac{1}{2}\left( {h + 3} \right)\left( {a - 3} \right) - \dfrac{1}{2}ah = 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}h = \dfrac{3}{4}a\\\dfrac{{ - 3h}}{2} + \dfrac{{3a}}{2} = \dfrac{{33}}{2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 44\\h = 33\end{array} \right.$ (thỏa mãn)

Vậy chiều cao của tam giác bằng $44dm$, cạnh đáy tam giác bằng $33dm$.

Suy ra diện tích tam giác ban đầu là $\dfrac{1}{2}.44.33 = 726\,\,\left( {d{m^2}} \right)$.