Đề kiểm tra 45 phút chương 2: Phân thức đại số - Đề số 1
Đề bài
Thực hiện phép tính \(\dfrac{{3x + 12}}{{4x - 16}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{8 - 2x}}{{x + 4}}\) ta được:
-
A.
\(\dfrac{3}{2}\)
-
B.
\(\dfrac{3}{{2(x - 4)}}\)
-
C.
\(\dfrac{{ - 3}}{2}\)
-
D.
\(\dfrac{{ - 3}}{{2(x - 4)}}\)
Mẫu thức chung của các phân thức \(\dfrac{1}{{6{x^2}y}},\dfrac{1}{{{x^2}{y^3}}},\dfrac{1}{{12x{y^4}}}\) là:
-
A.
\(12{x^2}{y^3}\)
-
B.
\(12{x^2}{y^4}\)
-
C.
\(6{x^3}{y^2}\)
-
D.
\(12{x^4}y\)
Cho \(A = \dfrac{{2{x^2} - 4x + 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\) . Khi đó
-
A.
$A = 2$
-
B.
$A = 3$
-
C.
$A > 4$
-
D.
$A = 1$
Phép tính \(3{x^3}{y^5}.\left( { - \dfrac{{7z}}{{9x{y^6}}}} \right)\) có kết quả là:
-
A.
\(\dfrac{{ - 7{x^2}z}}{{3y}}\)
-
B.
\(\dfrac{{7{x^2}z}}{3}\)
-
C.
\(\dfrac{{ - 7xz}}{{3y}}\)
-
D.
\(\dfrac{{ - 7{x^2}}}{{3y}}\)
Cho ba phân thức $\dfrac{1}{{xy}},\dfrac{1}{{yz}},\dfrac{3}{{xz}}$.Chọn khẳng định đúng.
-
A.
$\dfrac{1}{{xy}} = \dfrac{z}{{xyz}},\dfrac{1}{{yz}} = \dfrac{x}{{xyz}},\dfrac{3}{{xz}} = \dfrac{3}{{xyz}}$.
-
B.
$\dfrac{1}{{xy}} = \dfrac{z}{{xyz}},\dfrac{1}{{yz}} = \dfrac{x}{{xyz}},\dfrac{3}{{xz}} = \dfrac{{3y}}{{xyz}}$.
-
C.
$\dfrac{1}{{xy}} = \dfrac{z}{{xyz}},\dfrac{1}{{yz}} = \dfrac{1}{{xyz}},\dfrac{3}{{xz}} = \dfrac{{3y}}{{xyz}}$.
-
D.
$\dfrac{1}{{xy}} = \dfrac{1}{{xyz}},\dfrac{1}{{yz}} = \dfrac{x}{{xyz}},\dfrac{3}{{xz}} = \dfrac{{3y}}{{xyz}}$.
Với \(B \ne 0,\,D \ne 0\) , hai phân thức \(\dfrac{A}{B}\) và \(\dfrac{C}{D}\) bằng nhau khi
-
A.
\(A.B = C.D\)
-
B.
\(A.C = B.D\)
-
C.
\(A.D = B.C\)
-
D.
\(AC < B.D\)
Chọn câu sai.
-
A.
Mẫu thức chung của các phân thức \(\dfrac{{2 - a}}{{3a}};\dfrac{1}{4}\) là \(12a\).
-
B.
Mẫu thức chung của các phân thức \(\dfrac{1}{{6a}};\dfrac{{4a + 1}}{{18ab}};\dfrac{{10a}}{{9b}}\) là \(18ab\).
-
C.
Mẫu thức chung của các phân thức \(\dfrac{1}{{{x^2} + 2x + 1}};\dfrac{1}{{{x^2} - 1}}\) là \(\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {x - 1} \right)\).
-
D.
Mẫu thức chung của các phân thức \(\dfrac{1}{{{{\left( {x - 2y} \right)}^2}}};\dfrac{{5x}}{{{{\left( {x - 2y} \right)}^4}}};\dfrac{1}{{3x}}\) là \(3x{\left( {x - 2y} \right)^4}\).
Chọn câu đúng.
-
A.
\(\dfrac{{{x^2} - 3xy}}{{21{y^2} - 7xy}} = \dfrac{x}{{7y}}\)
-
B.
\(\dfrac{{2x + 4}}{{{x^2} - x - 6}} = \dfrac{4}{{x - 3}}\)
-
C.
\(\dfrac{{2x - 6y}}{{{x^2} - 9{y^2}}} = \dfrac{2}{{x + 9y}}\)
-
D.
\(\dfrac{{{x^2} - 2x}}{{{x^3} - 4x}} = \dfrac{1}{{x + 2}}\)
Với \(B \ne 0\), kết quả của phép cộng \(\dfrac{A}{B} + \dfrac{C}{B}\) là
-
A.
\(\dfrac{{A.C}}{B}\)
-
B.
\(\dfrac{{A + C}}{B}\)
-
C.
\(\dfrac{{A + C}}{{{B^2}}}\)
-
D.
\(\dfrac{{A + C}}{{2B}}\)
Thực hiện phép tính sau: \(\dfrac{{{x^3}}}{{{x^2} + 1}} + \dfrac{x}{{{x^2} + 1}}\)
-
A.
\( - x\)
-
B.
\(2x\)
-
C.
\(\dfrac{x}{2}\)
-
D.
\(x\)
Chọn câu sai.
-
A.
\(\dfrac{A}{B}.\dfrac{B}{A} = 1\).
-
B.
\(\dfrac{A}{B}.\dfrac{C}{D} = \dfrac{C}{D}.\dfrac{A}{B}\).
-
C.
\(\dfrac{A}{B}.\left( {\dfrac{C}{D}.\dfrac{E}{F}} \right) = \dfrac{E}{F}.\left( {\dfrac{C}{D}.\dfrac{A}{B}} \right)\).
-
D.
\(\dfrac{A}{B}\left( {\dfrac{C}{D} + \dfrac{E}{F}} \right) = \dfrac{A}{B}.\dfrac{C}{D} + \dfrac{E}{F}\).
Cho phân thức \(\dfrac{{{x^2} - 4x + 4}}{{x - 2}}\)
Tìm điều kiện của \(x\) để phân thức xác định.
-
A
\(x = 2\).
-
B
\(x \ne 2\).
-
C
\(x > 2\).
-
D
\(x < 2\).
Tính giá trị biểu thức khi \(x = 2020\) .
-
A
\(2018\).
-
B
\(2022\).
-
C
\(2016\).
-
D
\(2024\).
Cho \(Q = \left[ {\dfrac{{{{(x - 1)}^2}}}{{3x + {{(x - 1)}^2}}} - \dfrac{{1 - 2{x^2} + 4x}}{{{x^3} - 1}} + \dfrac{1}{{x - 1}}} \right]:\dfrac{{3x}}{{{x^3} + x}}\).
Rút gọn \(Q\) ta được:
-
A
\(Q = \dfrac{{x + 1}}{3}\)
-
B
\(Q = \dfrac{{{x^2} + 1}}{{ - 3}}\)
-
C
\(Q = \dfrac{{{x^2} - 1}}{3}\)
-
D
\(Q = \dfrac{{{x^2} + 1}}{3}\)
Giá trị nhỏ nhất của \(Q\) với \(x \ge 2\) là:
-
A
\(\dfrac{4}{3}\)
-
B
\(\dfrac{1}{2}\)
-
C
\(\dfrac{5}{3}\)
-
D
\(1\)
Với điều kiện nào của \(x\) thì hai phân thức \(\dfrac{{2 - 2x}}{{{x^3} - 1}}\) và \(\dfrac{{2x + 2}}{{{x^2} + x + 1}}\) bằng nhau.
-
A.
\(x = 2\)
-
B.
\(x \ne 1\)
-
C.
\(x = - 2\)
-
D.
\(x = - 1\)
Biểu thức \(M = \dfrac{{{x^2} + 5x + 5}}{{{x^2} + 4{\rm{x}} + 4}}\) đạt giá trị lớn nhất là:
-
A.
\(\dfrac{5}{4}\)
-
B.
\(1\)
-
C.
\(\dfrac{4}{5}\)
-
D.
\(2\)
Cho các phân thức \(\dfrac{{11x}}{{3x - 3}};\,\dfrac{5}{{4 - 4x}};\dfrac{{2x}}{{{x^2} - 1}}\) .
Bạn Nam nói rằng mẫu thức chung của các phân thức trên là \(6\left( {x - 1} \right){\left( {x + 1} \right)^2}\) .
Bạn Minh nói rằng mẫu thức chung của các phân thức trên là \(4\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\)
Chọn câu đúng.
-
A.
Bạn Nam đúng, bạn Minh sai.
-
B.
Bạn Nam sai, bạn Minh đúng.
-
C.
Hai bạn đều sai.
-
D.
Hai bạn đều đúng.
Thực hiện phép tính \(\dfrac{a}{{a + 1}} - \dfrac{a}{{a - 1}} - \dfrac{{2{a^2}}}{{1 - {a^2}}}\) ta được kết quả gọn nhất là
-
A.
\(\dfrac{{2a}}{{a - 1}}\) .
-
B.
\(\dfrac{{2{a^2} + 2a}}{{\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right)}}\).
-
C.
\(\dfrac{{2a}}{{a + 1}}\).
-
D.
\( - \dfrac{{2{a^2}}}{{\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right)}}\).
Kết quả của bài toán \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{x(x + 1)}} + ... + \dfrac{1}{{(x + 9)(x + 10)}}\) là:
-
A.
\(\dfrac{{x + 20}}{{x(x + 10)}}\)
-
B.
\(\dfrac{{x + 9}}{{x + 10}}\)
-
C.
\(\dfrac{1}{{x + 10}}\)
-
D.
\(\dfrac{1}{{x(x + 1)...(x + 10)}}\)
Biểu thức \(P = \dfrac{{x - 1}}{{2 - x}}\,\,:\,\,\dfrac{{x - 1}}{{x + 2}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{x - 2}}{{4 - {x^2}}}\) có kết quả rút gọn là:
-
A.
\(\dfrac{1}{{2 - x}}\)
-
B.
\(\dfrac{{x + 2}}{{x - 2}}\)
-
C.
\(\dfrac{{x + 2}}{{2 - x}}\)
-
D.
\(\dfrac{1}{{x - 2}}\)
Biết \(\dfrac{{{x^4} + 4{x^2} + 5}}{{5{x^3} + 5}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{2x}}{{{x^2} + 4}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{3{x^3} + 3}}{{{x^4} + 4{x^2} + 5}} = \dfrac{{...}}{{...}}\). Đa thức thích hợp điền vào chỗ trống ở tử và mẫu lần lượt là:;
-
A.
\(6x;{x^2} + 4\)
-
B.
\(x;5\left( {{x^2} + 4} \right)\)
-
C.
\(6x;5\left( {{x^2} + 4} \right)\)
-
D.
\(3x;{x^2} + 4\)
Cho \(x;y;z\) khác \( \pm 1\) và \(xy + yz + xz = 1.\) Chọn câu đúng.
-
A.
\(\dfrac{x}{{1 - {x^2}}} + \dfrac{y}{{1 - {y^2}}} + \dfrac{z}{{1 - {z^2}}} = \dfrac{{xyz}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}\)
-
B.
\(\dfrac{x}{{1 - {x^2}}} + \dfrac{y}{{1 - {y^2}}} + \dfrac{z}{{1 - {z^2}}} = \dfrac{{3xyz}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}\)
-
C.
\(\dfrac{x}{{1 - {x^2}}} + \dfrac{y}{{1 - {y^2}}} + \dfrac{z}{{1 - {z^2}}} = \dfrac{{4xyz}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}\)
-
D.
\(\dfrac{x}{{1 - {x^2}}} + \dfrac{y}{{1 - {y^2}}} + \dfrac{z}{{1 - {z^2}}} = \dfrac{{xyz\left( {x + y + z} \right)}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}\)
Cho \(abc \ne 0;\,a + b = c.\) Tính giá trị của biểu thức \(B = \dfrac{{\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)\left( {{c^2} + {a^2} - {b^2}} \right)}}{{8{a^2}{b^2}{c^2}}}\).
-
A.
\( - 1\)
-
B.
\(1\)
-
C.
\(2\)
-
D.
\( - 2\)
Cho \(x + y + z \ne 0\) và \(x = y + z.\) Chọn đáp án đúng.
-
A.
\(\dfrac{{{{\left( {xy + yz + zx} \right)}^2} - \left( {{x^2}{y^2} + {y^2}{z^2} + {z^2}{x^2}} \right)}}{{{x^2} + {y^2} + {x^2}}}:\dfrac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}} = xy\)
-
B.
\(\dfrac{{{{\left( {xy + yz + zx} \right)}^2} - \left( {{x^2}{y^2} + {y^2}{z^2} + {z^2}{x^2}} \right)}}{{{x^2} + {y^2} + {x^2}}}:\dfrac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}} = yz\)
-
C.
\(\dfrac{{{{\left( {xy + yz + zx} \right)}^2} - \left( {{x^2}{y^2} + {y^2}{z^2} + {z^2}{x^2}} \right)}}{{{x^2} + {y^2} + {x^2}}}:\dfrac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}} = xyz\)
-
D.
\(\dfrac{{{{\left( {xy + yz + zx} \right)}^2} - \left( {{x^2}{y^2} + {y^2}{z^2} + {z^2}{x^2}} \right)}}{{{x^2} + {y^2} + {x^2}}}:\dfrac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}} = 1\)
Lời giải và đáp án
Thực hiện phép tính \(\dfrac{{3x + 12}}{{4x - 16}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{8 - 2x}}{{x + 4}}\) ta được:
-
A.
\(\dfrac{3}{2}\)
-
B.
\(\dfrac{3}{{2(x - 4)}}\)
-
C.
\(\dfrac{{ - 3}}{2}\)
-
D.
\(\dfrac{{ - 3}}{{2(x - 4)}}\)
Đáp án : C
Bước 1: Thực hiện phép nhân phân thức: Muốn nhân hai phân thức, ta nhân tử thức với nhau, mẫu thức với nhau.
Bước 2: Rút gọn phân thức thu được.
Ta có: \(\dfrac{{3x + 12}}{{4x - 16}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{8 - 2x}}{{x + 4}} = \dfrac{{3(x + 4)}}{{4(x - 4)}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{2(4 - x)}}{{x + 4}} = \dfrac{{3(x + 4)}}{{4(x - 4)}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{ - 2(x - 4)}}{{x + 4}} = \dfrac{{ - 3}}{2}.\).
Mẫu thức chung của các phân thức \(\dfrac{1}{{6{x^2}y}},\dfrac{1}{{{x^2}{y^3}}},\dfrac{1}{{12x{y^4}}}\) là:
-
A.
\(12{x^2}{y^3}\)
-
B.
\(12{x^2}{y^4}\)
-
C.
\(6{x^3}{y^2}\)
-
D.
\(12{x^4}y\)
Đáp án : B
Tìm mẫu chung:
+ Phân tích phần hệ số thành thừa số nguyên tố và phần biến thành nhân tử.
+ Mẫu chung bao gồm: phần hệ số là BCNN của các hệ số của mẫu và phần biến là tích giữa các nhân tử chung và riêng mỗi nhân tử lấy số mũ lớn nhất.
Các mẫu thức lần lượt là: \(6x^2y;x^2y^3;12xy^4\)
Ta có phần hệ số của mẫu thức chung là \(BCNN(6;12)=12\)
Phần biến số là: \(x^2y^4\)
Suy ra mẫu chung của các phân thức \(\dfrac{1}{{6{x^2}y}},\dfrac{1}{{{x^2}{y^3}}},\dfrac{1}{{12x{y^4}}}\) là \(12{x^2}{y^4}\).
Cho \(A = \dfrac{{2{x^2} - 4x + 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\) . Khi đó
-
A.
$A = 2$
-
B.
$A = 3$
-
C.
$A > 4$
-
D.
$A = 1$
Đáp án : A
- Phân tích tử số thành nhân tử.
- Xác định nhân tử chung.
- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.
Ta có \(A = \dfrac{{2{x^2} - 4x + 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{2\left( {{x^2} - 2x + 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{2{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 2\).
Phép tính \(3{x^3}{y^5}.\left( { - \dfrac{{7z}}{{9x{y^6}}}} \right)\) có kết quả là:
-
A.
\(\dfrac{{ - 7{x^2}z}}{{3y}}\)
-
B.
\(\dfrac{{7{x^2}z}}{3}\)
-
C.
\(\dfrac{{ - 7xz}}{{3y}}\)
-
D.
\(\dfrac{{ - 7{x^2}}}{{3y}}\)
Đáp án : A
Bước 1: Thực hiện phép nhân phân thức: Muốn nhân hai phân thức, ta nhân tử thức với nhau, mẫu thức với nhau.
Bước 2: Rút gọn phân thức thu được.
Ta có: \(3{x^3}{y^5}.\left( { - \dfrac{{7z}}{{9x{y^6}}}} \right)\)\( = \dfrac{{3{x^3}{y^5}.\left( { - 7z} \right)}}{{9x{y^6}}} = \dfrac{{ - 7{x^2}z}}{{3y}}\).
Cho ba phân thức $\dfrac{1}{{xy}},\dfrac{1}{{yz}},\dfrac{3}{{xz}}$.Chọn khẳng định đúng.
-
A.
$\dfrac{1}{{xy}} = \dfrac{z}{{xyz}},\dfrac{1}{{yz}} = \dfrac{x}{{xyz}},\dfrac{3}{{xz}} = \dfrac{3}{{xyz}}$.
-
B.
$\dfrac{1}{{xy}} = \dfrac{z}{{xyz}},\dfrac{1}{{yz}} = \dfrac{x}{{xyz}},\dfrac{3}{{xz}} = \dfrac{{3y}}{{xyz}}$.
-
C.
$\dfrac{1}{{xy}} = \dfrac{z}{{xyz}},\dfrac{1}{{yz}} = \dfrac{1}{{xyz}},\dfrac{3}{{xz}} = \dfrac{{3y}}{{xyz}}$.
-
D.
$\dfrac{1}{{xy}} = \dfrac{1}{{xyz}},\dfrac{1}{{yz}} = \dfrac{x}{{xyz}},\dfrac{3}{{xz}} = \dfrac{{3y}}{{xyz}}$.
Đáp án : B
* Tìm mẫu chung
+ Phân tích phần hệ số thành thừa số nguyên tố và phần biến thành nhân tử
+ Mẫu chung bao gồm: phần hệ số là BCNN của các hệ số của mẫu và phần biến là tích giữa các nhân tử chung và riêng mỗi nhân tử lấy số mũ lớn nhất.
* Tìm nhân tử phụ mỗi phân thức: Lấy mẫu chung chia cho từng mẫu (đã phân tích thành nhân tử).
* Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.
Mẫu chung các phân thức $\dfrac{1}{{xy}},\dfrac{1}{{yz}},\dfrac{3}{{xz}}$ là \(xyz\) .
Nên ta có $\dfrac{1}{{xy}} = \dfrac{z}{{xyz}},\dfrac{1}{{yz}} = \dfrac{x}{{xyz}},\dfrac{3}{{xz}} = \dfrac{{3y}}{{xyz}}$
Với \(B \ne 0,\,D \ne 0\) , hai phân thức \(\dfrac{A}{B}\) và \(\dfrac{C}{D}\) bằng nhau khi
-
A.
\(A.B = C.D\)
-
B.
\(A.C = B.D\)
-
C.
\(A.D = B.C\)
-
D.
\(AC < B.D\)
Đáp án : C
Với hai phân thức \(\dfrac{A}{B}\) và \(\dfrac{C}{D}\), ta nói \(\dfrac{A}{B} = \dfrac{C}{D}\) nếu $A.D = B.C$ .
Chọn câu sai.
-
A.
Mẫu thức chung của các phân thức \(\dfrac{{2 - a}}{{3a}};\dfrac{1}{4}\) là \(12a\).
-
B.
Mẫu thức chung của các phân thức \(\dfrac{1}{{6a}};\dfrac{{4a + 1}}{{18ab}};\dfrac{{10a}}{{9b}}\) là \(18ab\).
-
C.
Mẫu thức chung của các phân thức \(\dfrac{1}{{{x^2} + 2x + 1}};\dfrac{1}{{{x^2} - 1}}\) là \(\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {x - 1} \right)\).
-
D.
Mẫu thức chung của các phân thức \(\dfrac{1}{{{{\left( {x - 2y} \right)}^2}}};\dfrac{{5x}}{{{{\left( {x - 2y} \right)}^4}}};\dfrac{1}{{3x}}\) là \(3x{\left( {x - 2y} \right)^4}\).
Đáp án : C
Tìm mẫu chung:
+ Phân tích phần hệ số thành thừa số nguyên tố và phần biến thành nhân tử.
+ Mẫu chung bao gồm: phần hệ số là BCNN của các hệ số của mẫu và phần biến là tích giữa các nhân tử chung và riêng mỗi nhân tử lấy số mũ lớn nhất.
+ Hai phân thức \(\dfrac{{2 - a}}{{3a}};\dfrac{1}{4}\) có mẫu là \(3a;4\) nên mẫu thức chung là \(12a\), do đó A đúng.
+ Các phân thức \(\dfrac{1}{{6a}};\dfrac{{4a + 1}}{{18ab}};\dfrac{{10a}}{{9b}}\) có mẫu là \(6a;18ab;9b\) nên mẫu thức chung là \(18ab\), do đó B đúng.
+ Các phân thức \(\dfrac{1}{{{x^2} + 2x + 1}};\dfrac{1}{{{x^2} - 1}}\) có mẫu là \({x^2} + 2x + 1 = {\left( {x + 1} \right)^2};{x^2} - 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right).\) Nên mẫu thức chung là \(\left( {x - 1} \right){\left( {x + 1} \right)^2} = \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\), do đó C sai.
+ Các phân thức \(\dfrac{1}{{{{\left( {x - 2y} \right)}^2}}};\dfrac{{5x}}{{{{\left( {x - 2y} \right)}^4}}};\dfrac{1}{{3x}}\) có mẫu là \({\left( {x - 2y} \right)^2};{\left( {x - 2y} \right)^4};3x\) nên mẫu thức chung là \(3x{\left( {x - 2y} \right)^4}\), do đó D đúng.
Chọn câu đúng.
-
A.
\(\dfrac{{{x^2} - 3xy}}{{21{y^2} - 7xy}} = \dfrac{x}{{7y}}\)
-
B.
\(\dfrac{{2x + 4}}{{{x^2} - x - 6}} = \dfrac{4}{{x - 3}}\)
-
C.
\(\dfrac{{2x - 6y}}{{{x^2} - 9{y^2}}} = \dfrac{2}{{x + 9y}}\)
-
D.
\(\dfrac{{{x^2} - 2x}}{{{x^3} - 4x}} = \dfrac{1}{{x + 2}}\)
Đáp án : D
- Phân tích tử số và mẫu số thành nhân tử.
- Xác định nhân tử chung.
- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.
+ \(\dfrac{{{x^2} - 3xy}}{{21{y^2} - 7xy}} = \dfrac{{x(x - 3y)}}{{7y(3y - x)}} = \dfrac{{x(x - 3y)}}{{ - 7y(x - 3y)}} = \dfrac{{ - x}}{{7y}}\) nên A sai
+ \(\dfrac{{2x + 4}}{{{x^2} - x - 6}} = \dfrac{{2\left( {x + 2} \right)}}{{{x^2} - 3x + 2x - 6}} = \dfrac{{2\left( {x + 2} \right)}}{{x\left( {x - 3} \right) + 2\left( {x - 3} \right)}}\) \( = \dfrac{{2\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \dfrac{2}{{x - 3}}\) nên B sai.
+ \(\dfrac{{2x - 6y}}{{{x^2} - 9{y^2}}} = \dfrac{{2\left( {x - 3y} \right)}}{{\left( {x - 3y} \right)\left( {x + 3y} \right)}} = \dfrac{2}{{x + 3y}}\) nên C sai.
+ \(\dfrac{{{x^2} - 2x}}{{{x^3} - 4x}} = \dfrac{{x\left( {x - 2} \right)}}{{x\left( {{x^2} - 4} \right)}} = \dfrac{{x\left( {x - 2} \right)}}{{x\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \dfrac{1}{{x + 2}}\) nên D đúng.
Với \(B \ne 0\), kết quả của phép cộng \(\dfrac{A}{B} + \dfrac{C}{B}\) là
-
A.
\(\dfrac{{A.C}}{B}\)
-
B.
\(\dfrac{{A + C}}{B}\)
-
C.
\(\dfrac{{A + C}}{{{B^2}}}\)
-
D.
\(\dfrac{{A + C}}{{2B}}\)
Đáp án : B
Sử dụng quy tắc cộng hai phân thức cùng mẫu.
Quy tắc: Muốn cộng hai phân thức cùng mẫu thức ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức.
\(\dfrac{A}{B} + \dfrac{C}{B} = \dfrac{{A + C}}{B}\,\,\left( {B \ne 0} \right)\)
Thực hiện phép tính sau: \(\dfrac{{{x^3}}}{{{x^2} + 1}} + \dfrac{x}{{{x^2} + 1}}\)
-
A.
\( - x\)
-
B.
\(2x\)
-
C.
\(\dfrac{x}{2}\)
-
D.
\(x\)
Đáp án : D
Sử dụng quy tắc cộng các phân thức cùng mẫu thức: \(\dfrac{A}{B} + \dfrac{C}{B} = \dfrac{{A + C}}{B}\,\,\left( {B \ne 0} \right)\)
Ta có \(\dfrac{{{x^3}}}{{{x^2} + 1}} + \dfrac{x}{{{x^2} + 1}} = \dfrac{{{x^3} + x}}{{{x^2} + 1}} = \dfrac{{x({x^2} + 1)}}{{{x^2} + 1}} = x.\)
Chọn câu sai.
-
A.
\(\dfrac{A}{B}.\dfrac{B}{A} = 1\).
-
B.
\(\dfrac{A}{B}.\dfrac{C}{D} = \dfrac{C}{D}.\dfrac{A}{B}\).
-
C.
\(\dfrac{A}{B}.\left( {\dfrac{C}{D}.\dfrac{E}{F}} \right) = \dfrac{E}{F}.\left( {\dfrac{C}{D}.\dfrac{A}{B}} \right)\).
-
D.
\(\dfrac{A}{B}\left( {\dfrac{C}{D} + \dfrac{E}{F}} \right) = \dfrac{A}{B}.\dfrac{C}{D} + \dfrac{E}{F}\).
Đáp án : D
Hai phân thức gọi là nghịch đảo của nhau nếu tích của nó bằng \(1\) .
Nên \(\dfrac{A}{B}.\dfrac{B}{A} = 1\), do đó A đúng.
Tính chất phép nhân phân thức
+ Giao hoán: \(\dfrac{A}{B}.\dfrac{C}{D} = \dfrac{C}{D}.\dfrac{A}{B}\) nên B đúng.
+ Kết hợp: \(\left( {\dfrac{A}{B}.\dfrac{C}{D}} \right).\dfrac{E}{F} = \dfrac{A}{B}.\left( {\dfrac{C}{D}.\dfrac{E}{F}} \right)\) nên C đúng
+ Phân phối đối với phép cộng: \(\dfrac{A}{B}.\left( {\dfrac{C}{D} + \dfrac{E}{F}} \right) = \dfrac{A}{B}.\dfrac{C}{D} + \dfrac{A}{B}.\dfrac{E}{F}\) nên D sai.
Cho phân thức \(\dfrac{{{x^2} - 4x + 4}}{{x - 2}}\)
Tìm điều kiện của \(x\) để phân thức xác định.
-
A
\(x = 2\).
-
B
\(x \ne 2\).
-
C
\(x > 2\).
-
D
\(x < 2\).
Đáp án: B
Phân thức \(\dfrac{A}{B}\) xác định khi \(B \ne 0\) .
Phân thức \(\dfrac{{{x^2} - 4x + 4}}{{x - 2}}\) xác định khi \(x - 2 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 2\) .
Tính giá trị biểu thức khi \(x = 2020\) .
-
A
\(2018\).
-
B
\(2022\).
-
C
\(2016\).
-
D
\(2024\).
Đáp án: A
Bước 1: Rút gọn biểu thức
Bước 2: Thay \(x = 2020\) vào biểu thức rồi tính.
Ta có \(\dfrac{{{x^2} - 4x + 4}}{{x - 2}}\)\( = \dfrac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{x - 2}} = x - 2\)
Thay \(x = 2020\) (thỏa mãn điều kiện \(x \ne 2\) ) vào biểu thức \(x - 2\) ta được \(2020 - 2 = 2018\) .
Vậy với \(x = 2020\) thì giá trị biểu thức là \(2018\) .
Cho \(Q = \left[ {\dfrac{{{{(x - 1)}^2}}}{{3x + {{(x - 1)}^2}}} - \dfrac{{1 - 2{x^2} + 4x}}{{{x^3} - 1}} + \dfrac{1}{{x - 1}}} \right]:\dfrac{{3x}}{{{x^3} + x}}\).
Rút gọn \(Q\) ta được:
-
A
\(Q = \dfrac{{x + 1}}{3}\)
-
B
\(Q = \dfrac{{{x^2} + 1}}{{ - 3}}\)
-
C
\(Q = \dfrac{{{x^2} - 1}}{3}\)
-
D
\(Q = \dfrac{{{x^2} + 1}}{3}\)
Đáp án: D
+) Tìm ĐKXĐ của biểu thức.
+) Sử dụng các bước biến đổi phân thức đã được học để rút gọn biểu thức.
ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}3x + {\left( {x - 1} \right)^2} \ne 0\\{x^3} - 1 \ne 0\\{x^3} + x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \pm 1\\x \ne 0\end{array} \right..\)
\(Q = \left[ {\dfrac{{{{(x - 1)}^2}}}{{3x + {{(x - 1)}^2}}} - \dfrac{{1 - 2{x^2} + 4x}}{{{x^3} - 1}} + \dfrac{1}{{x - 1}}} \right]:\dfrac{{3x}}{{{x^3} + x}}\)
\(= \left[ {\dfrac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{3x + {x^2} - 2x + 1}} - \dfrac{{1 - 2{x^2} + 4x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} + \dfrac{1}{{x - 1}}} \right]:\dfrac{{3x}}{{x\left( {{x^2} + 1} \right)}}\)
\( = \left[ {\dfrac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{{x^2} + x + 1}} + \dfrac{{2{x^2} - 4x - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} + \dfrac{1}{{x - 1}}} \right].\dfrac{{x({x^2} + 1)}}{{3x}}\)
\( = \dfrac{{{{(x - 1)}^3} + 2{x^2} - 4x - 1 + {x^2} + x + 1}}{{{x^3} - 1}}.\dfrac{{{x^2} + 1}}{3}\)\( = \dfrac{{{x^3} - 3x{}^2 + 3x - 1 + 2{x^2} - 4x - 1 + {x^2} + x + 1}}{{{x^3} - 1}}.\dfrac{{{x^2} + 1}}{3}\)\( = \dfrac{{{x^3} - 1}}{{{x^3} - 1}}.\dfrac{{{x^2} + 1}}{3} = \dfrac{{{x^2} + 1}}{3}\)
Vậy \(Q = \dfrac{{{x^2} + 1}}{3}\) với \(x \ne \pm 1;x \ne 0\).
Giá trị nhỏ nhất của \(Q\) với \(x \ge 2\) là:
-
A
\(\dfrac{4}{3}\)
-
B
\(\dfrac{1}{2}\)
-
C
\(\dfrac{5}{3}\)
-
D
\(1\)
Đáp án: C
Sử dụng kết quả câu trước.
Đánh giá \({A^2} + m \ge m,\,\forall A\) , dấu “=” xảy ra khi \(A = 0.\)
Ta có: Q = \(\dfrac{{{x^2} + 1}}{3}\) với \(x \ne 0;x \ne \pm 1\).
Ta có: \({x^2} \ge 4\,\,\forall x \ge 2 \Rightarrow {x^2} + 1 \ge 5\,\,\forall x \ge 2\)\( \Rightarrow \dfrac{{{x^2} + 1}}{3} \ge \dfrac{5}{3} \,\,\forall x \ge 2\).
Dấu “=” xảy ra khi \(x = 2\left( {tm} \right)\).
Vậy \(Min\,\,Q = \dfrac{5}{3} \Leftrightarrow x = 2\).
Với điều kiện nào của \(x\) thì hai phân thức \(\dfrac{{2 - 2x}}{{{x^3} - 1}}\) và \(\dfrac{{2x + 2}}{{{x^2} + x + 1}}\) bằng nhau.
-
A.
\(x = 2\)
-
B.
\(x \ne 1\)
-
C.
\(x = - 2\)
-
D.
\(x = - 1\)
Đáp án : C
Bước 1: Tìm điều kiện để phân thức xác định: \(B \ne 0\)
Bước 2: \(\dfrac{A}{B} = \dfrac{C}{D}\) nếu \(A.D = B.C\). Từ đó tìm được \(x\).
Bước 3: So sánh với điều kiện ở bước 1 để kết luận.
Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + x + 1 \ne 0\\{x^3} - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4} \ne 0\left( {ld} \right)\\x \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne 1\) .
Ta có: \(\dfrac{{2 - 2x}}{{{x^3} - 1}} = \dfrac{{2x + 2}}{{{x^2} + x + 1}} \Leftrightarrow \dfrac{{ - 2\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \dfrac{{2x + 2}}{{{x^2} + x + 1}}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{{ - 2\left( {x - 1} \right):\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right):\left( {x - 1} \right)}} = \dfrac{{2x + 2}}{{{x^2} + x + 1}}\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{ - 2}}{{\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \dfrac{{2x + 2}}{{{x^2} + x + 1}} \Leftrightarrow - 2 = 2x + 2 \Leftrightarrow 2x = - 4 \Leftrightarrow x = - 2\left( {tm} \right)\)
Nên hai phân thức trên bằng nhau khi \(x = - 2\).
Biểu thức \(M = \dfrac{{{x^2} + 5x + 5}}{{{x^2} + 4{\rm{x}} + 4}}\) đạt giá trị lớn nhất là:
-
A.
\(\dfrac{5}{4}\)
-
B.
\(1\)
-
C.
\(\dfrac{4}{5}\)
-
D.
\(2\)
Đáp án : A
+ Tìm điều kiện xác định.
+ Biến đổi \(M\) để sử dụng kiến thức \(m - {\left( {A - B} \right)^2} \le m\,\,\) với mọi \(A,B\). Dấu “=” xảy ra khi \(A = B\).
Với \({x^2} + 4x + 4 \ne 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} \ne 0 \Leftrightarrow x \ne - 2\). Ta có:
\(M = \dfrac{{{x^2} + 5x + 5}}{{{x^2} + 4{\rm{x}} + 4}}\)\( = \dfrac{{{x^2} + 4x + 4 + x + 1}}{{{x^2} + 4x + 4}} = \dfrac{{{x^2} + 4x + 4}}{{{x^2} + 4x + 4}} + \dfrac{{x + 1}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\) \( = 1 + \dfrac{{x + 2}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} - \dfrac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)
\( = 1 + \dfrac{1}{{x + 2}} - \dfrac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = - \left[ {\dfrac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} - \dfrac{1}{{x + 2}} + \dfrac{1}{4}} \right] + \dfrac{5}{4}\) \( = \dfrac{5}{4} - {\left( {\dfrac{1}{{x + 2}} - \dfrac{1}{2}} \right)^2}\)
Ta có: \({\left( {\dfrac{1}{{x + 2}} - \dfrac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x \ne - 2\). Suy ra \(\dfrac{5}{4} - {\left( {\dfrac{1}{{x + 2}} - \dfrac{1}{2}} \right)^2} \le \dfrac{5}{4}\)
Dấu “=” xảy ra khi \(\dfrac{1}{{x + 2}} - \dfrac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow \dfrac{1}{{x + 2}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow x + 2 = 2 \Leftrightarrow x = 0\,\,\left( {TM} \right)\).
Nên GTLN của \(Q\) là \(\dfrac{5}{4} \Leftrightarrow x = 0\).
Cho các phân thức \(\dfrac{{11x}}{{3x - 3}};\,\dfrac{5}{{4 - 4x}};\dfrac{{2x}}{{{x^2} - 1}}\) .
Bạn Nam nói rằng mẫu thức chung của các phân thức trên là \(6\left( {x - 1} \right){\left( {x + 1} \right)^2}\) .
Bạn Minh nói rằng mẫu thức chung của các phân thức trên là \(4\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\)
Chọn câu đúng.
-
A.
Bạn Nam đúng, bạn Minh sai.
-
B.
Bạn Nam sai, bạn Minh đúng.
-
C.
Hai bạn đều sai.
-
D.
Hai bạn đều đúng.
Đáp án : C
* Tìm mẫu chung
+ Phân tích phần hệ số thành thừa số nguyên tố và phần biến thành nhân tử
+ Mẫu chung bao gồm: phần hệ số là BCNN của các hệ số của mẫu và phần biến là tích giữa các nhân tử chung và riêng mỗi nhân tử lấy số mũ lớn nhất.
Ta có \(\dfrac{{11x}}{{3x - 3}} = \dfrac{{11x}}{{3\left( {x - 1} \right)}};\,\dfrac{5}{{4 - 4x}} = \dfrac{{ - 5}}{{4\left( {x - 1} \right)}};\dfrac{{2x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}\)
Ta có BCNN\(\left( {3;4} \right) = 12\) nên mẫu chung của các phân thức trên là \(12\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 12\left( {{x^2} - 1} \right)\) .
Do đó cả hai bạn đều sai.
Thực hiện phép tính \(\dfrac{a}{{a + 1}} - \dfrac{a}{{a - 1}} - \dfrac{{2{a^2}}}{{1 - {a^2}}}\) ta được kết quả gọn nhất là
-
A.
\(\dfrac{{2a}}{{a - 1}}\) .
-
B.
\(\dfrac{{2{a^2} + 2a}}{{\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right)}}\).
-
C.
\(\dfrac{{2a}}{{a + 1}}\).
-
D.
\( - \dfrac{{2{a^2}}}{{\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right)}}\).
Đáp án : C
Bước 1: Quy đồng mẫu thức. ( dùng hằng đẳng thức ${a^2} - {b^2} = \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)$ )
Bước 2: Thực hiện phép cộng (trừ) các phân thức cùng mẫu: Cộng hoặc trừ tử với tử, mẫu chung giữ nguyên.
Bước 3: Phân tích tử số thành nhân tử để rút gọn phân thức ( nếu có thể).
Ta có \(\dfrac{a}{{a + 1}} - \dfrac{a}{{a - 1}} - \dfrac{{2{a^2}}}{{1 - {a^2}}}\)\( = \dfrac{a}{{a + 1}} - \dfrac{a}{{a - 1}} + \dfrac{{2{a^2}}}{{{a^2} - 1}} = \dfrac{a}{{a + 1}} - \dfrac{a}{{a - 1}} + \dfrac{{2{a^2}}}{{\left( {a - 1} \right)\left( {a + 1} \right)}}\)
$ = \dfrac{{a\left( {a - 1} \right)}}{{\left( {a + 1} \right)\left( {a - 1} \right)}} - \dfrac{{a\left( {a + 1} \right)}}{{\left( {a + 1} \right)\left( {a - 1} \right)}} + \dfrac{{2{a^2}}}{{\left( {a + 1} \right)\left( {a - 1} \right)}}$ \( = \dfrac{{{a^2} - a - {a^2} - a + 2{a^2}}}{{\left( {a + 1} \right)\left( {a - 1} \right)}} = \dfrac{{2{a^2} - 2a}}{{\left( {a + 1} \right)\left( {a - 1} \right)}}\)
\( = \dfrac{{2a\left( {a - 1} \right)}}{{\left( {a + 1} \right)\left( {a - 1} \right)}} = \dfrac{{2a}}{{a + 1}}\) .
Kết quả của bài toán \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{x(x + 1)}} + ... + \dfrac{1}{{(x + 9)(x + 10)}}\) là:
-
A.
\(\dfrac{{x + 20}}{{x(x + 10)}}\)
-
B.
\(\dfrac{{x + 9}}{{x + 10}}\)
-
C.
\(\dfrac{1}{{x + 10}}\)
-
D.
\(\dfrac{1}{{x(x + 1)...(x + 10)}}\)
Đáp án : A
Sử dụng kiến thức \(\dfrac{1}{{x(x + 1)}} = \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{{x + 1}}\); cộng 2 phân thức khác mẫu:
Ta có : \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{x(x + 1)}} + ... + \dfrac{1}{{(x + 9)(x + 10)}}\)
\(\begin{array}{l} = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{{x + 1}} + \dfrac{1}{{x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 2}}... + \dfrac{1}{{x + 9}} - \dfrac{1}{{x + 10}}\\ = \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x} + 0 + ... + 0 - \dfrac{1}{{x + 10}}\\ = \dfrac{2}{x} - \dfrac{1}{{x + 10}}\\ = \dfrac{{2x + 20 - x}}{{x(x + 10)}} = \dfrac{{x + 20}}{{x(x + 10)}}.\end{array}\)
Biểu thức \(P = \dfrac{{x - 1}}{{2 - x}}\,\,:\,\,\dfrac{{x - 1}}{{x + 2}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{x - 2}}{{4 - {x^2}}}\) có kết quả rút gọn là:
-
A.
\(\dfrac{1}{{2 - x}}\)
-
B.
\(\dfrac{{x + 2}}{{x - 2}}\)
-
C.
\(\dfrac{{x + 2}}{{2 - x}}\)
-
D.
\(\dfrac{1}{{x - 2}}\)
Đáp án : D
Bước 1: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử.
Bước 2: Thực hiện phép nhân và chia hai phân thức và rút gọn phân thức thu được.
Ta có: \(P = \dfrac{{x - 1}}{{2 - x}}\,\,:\,\,\dfrac{{x - 1}}{{x + 2}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{x - 2}}{{4 - {x^2}}} = \dfrac{{x - 1}}{{2 - x}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{x + 2}}{{x - 1}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{ - \left( {2 - x} \right)}}{{(x + 2)(2 - x)}} = \dfrac{{ - 1}}{{2 - x}} = \dfrac{1}{{x - 2}}\).
Biết \(\dfrac{{{x^4} + 4{x^2} + 5}}{{5{x^3} + 5}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{2x}}{{{x^2} + 4}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{3{x^3} + 3}}{{{x^4} + 4{x^2} + 5}} = \dfrac{{...}}{{...}}\). Đa thức thích hợp điền vào chỗ trống ở tử và mẫu lần lượt là:;
-
A.
\(6x;{x^2} + 4\)
-
B.
\(x;5\left( {{x^2} + 4} \right)\)
-
C.
\(6x;5\left( {{x^2} + 4} \right)\)
-
D.
\(3x;{x^2} + 4\)
Đáp án : C
Bước 1: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử.
Bước 2: Thực hiện phép nhân hai phân thức và rút gọn phân thức thu được.
Ta có: \(\dfrac{{{x^4} + 4{x^2} + 5}}{{5{x^3} + 5}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{2x}}{{{x^2} + 4}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{3{x^3} + 3}}{{{x^4} + 4{x^2} + 5}}\)
\( = \dfrac{{{x^4} + 4{x^2} + 5}}{{5({x^3} + 1)}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{2x}}{{{x^2} + 4}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{3({x^3} + 1)}}{{{x^4} + 4{x^2} + 5}} = \dfrac{{6x}}{{5({x^2} + 4)}}.\)
Vậy các đa thức thích hợp điền vào chỗ trống ở tử và mẫu lần lượt là \(6x;5\left( {{x^2} + 4} \right)\).
Cho \(x;y;z\) khác \( \pm 1\) và \(xy + yz + xz = 1.\) Chọn câu đúng.
-
A.
\(\dfrac{x}{{1 - {x^2}}} + \dfrac{y}{{1 - {y^2}}} + \dfrac{z}{{1 - {z^2}}} = \dfrac{{xyz}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}\)
-
B.
\(\dfrac{x}{{1 - {x^2}}} + \dfrac{y}{{1 - {y^2}}} + \dfrac{z}{{1 - {z^2}}} = \dfrac{{3xyz}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}\)
-
C.
\(\dfrac{x}{{1 - {x^2}}} + \dfrac{y}{{1 - {y^2}}} + \dfrac{z}{{1 - {z^2}}} = \dfrac{{4xyz}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}\)
-
D.
\(\dfrac{x}{{1 - {x^2}}} + \dfrac{y}{{1 - {y^2}}} + \dfrac{z}{{1 - {z^2}}} = \dfrac{{xyz\left( {x + y + z} \right)}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}\)
Đáp án : C
+ Quy đồng mẫu thức
+ Cộng trừ các phân thức cùng mẫu
+ Nhóm các hạng tử để sử dụng được điều kiện \(xy + yz + xz = 1.\)
Ta có
\(\dfrac{x}{{1 - {x^2}}} + \dfrac{y}{{1 - {y^2}}} + \dfrac{z}{{1 - {z^2}}}\)
\( = \dfrac{{x\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right) + y\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right) + z\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}\)
\( = \dfrac{{x\left( {1 - {z^2} - {y^2} + {z^2}{y^2}} \right) + y\left( {1 - {x^2} - {z^2} + {x^2}{z^2}} \right) + z\left( {1 - {x^2} - {y^2} + {x^2}{y^2}} \right)}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}\)
\( = \dfrac{{x - x{z^2} - x{y^2} + x{y^2}{z^2} + y - y{x^2} - y{z^2} + y{z^2}{x^2} + z - z{x^2} - z{y^2} + z{x^2}{y^2}}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}\)
\( = \dfrac{{\left( {x - y{x^2} - x{z^2}} \right) + \left( {y - x{y^2} - z{y^2}} \right) + \left( {z - x{z^2} - y{z^2}} \right) + \left( {x{y^2}{z^2} + y{z^2}{x^2} + z{x^2}{y^2}} \right)}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}\)
\( = \dfrac{{x\left( {1 - xy - xz} \right) + y\left( {1 - xy - yz} \right) + z\left( {1 - xz - zy} \right) + xyz\left( {yz + xz + xy} \right)}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}\)
\( = \dfrac{{x.yz + y.xz + z.xy + xyz}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {x^2}} \right)}}\)
\( = \dfrac{{4xyz}}{{\left( {1 - {x^2}} \right)\left( {1 - {y^2}} \right)\left( {1 - {z^2}} \right)}}\)
Cho \(abc \ne 0;\,a + b = c.\) Tính giá trị của biểu thức \(B = \dfrac{{\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)\left( {{c^2} + {a^2} - {b^2}} \right)}}{{8{a^2}{b^2}{c^2}}}\).
-
A.
\( - 1\)
-
B.
\(1\)
-
C.
\(2\)
-
D.
\( - 2\)
Đáp án : A
Rút gọn \(B\) bằng cách sử dụng giả thiết để biến đổi tử thức sao cho xuất hiện nhân tử \({a^2}{b^2}{c^2}\).
Sử dụng hằng đẳng thức \({\left( {x \pm y} \right)^2} = {x^2} \pm 2xy + {y^2}\).
Ta có: \(a + b = c \Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^2} = {c^2} \Leftrightarrow {a^2} + 2ab + {b^2} = {c^2}\)\( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} - {c^2} = - 2ab\)
\(a + b = c \Leftrightarrow a - c = - b \Leftrightarrow {\left( {a - c} \right)^2} = {\left( { - b} \right)^2}\) \( \Leftrightarrow {a^2} - 2ac + {c^2} = {b^2} \Leftrightarrow {a^2} + {c^2} - {b^2} = 2ac\)
\(a + b = c \Leftrightarrow c - b = a \Leftrightarrow {\left( {c - b} \right)^2} = {a^2}\) \( \Leftrightarrow {c^2} - 2bc + {b^2} = {a^2} \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} - {a^2} = 2bc\)
Từ đó \(B = \dfrac{{\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)\left( {{b^2} + {c^2} - {a^2}} \right)\left( {{c^2} + {a^2} - {b^2}} \right)}}{{8{a^2}{b^2}{c^2}}}\)\( = \dfrac{{ - 2ab.2bc.2ac}}{{8{a^2}{b^2}{c^2}}} = \dfrac{{ - 8{a^2}{b^2}{c^2}}}{{8{a^2}{b^2}{c^2}}} = - 1\).
Cho \(x + y + z \ne 0\) và \(x = y + z.\) Chọn đáp án đúng.
-
A.
\(\dfrac{{{{\left( {xy + yz + zx} \right)}^2} - \left( {{x^2}{y^2} + {y^2}{z^2} + {z^2}{x^2}} \right)}}{{{x^2} + {y^2} + {x^2}}}:\dfrac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}} = xy\)
-
B.
\(\dfrac{{{{\left( {xy + yz + zx} \right)}^2} - \left( {{x^2}{y^2} + {y^2}{z^2} + {z^2}{x^2}} \right)}}{{{x^2} + {y^2} + {x^2}}}:\dfrac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}} = yz\)
-
C.
\(\dfrac{{{{\left( {xy + yz + zx} \right)}^2} - \left( {{x^2}{y^2} + {y^2}{z^2} + {z^2}{x^2}} \right)}}{{{x^2} + {y^2} + {x^2}}}:\dfrac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}} = xyz\)
-
D.
\(\dfrac{{{{\left( {xy + yz + zx} \right)}^2} - \left( {{x^2}{y^2} + {y^2}{z^2} + {z^2}{x^2}} \right)}}{{{x^2} + {y^2} + {x^2}}}:\dfrac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}} = 1\)
Đáp án : B
Sử dụng hằng đẳng thức \({\left( {a + b + c} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + ac + bc} \right)\).
Sử dụng phép chia hai phân thức \(\dfrac{A}{B}:\dfrac{C}{D} = \dfrac{A}{B}.\dfrac{D}{C}\,\left( {C,D \ne 0} \right)\).
Ta có:
\(\dfrac{{{{\left( {xy + yz + zx} \right)}^2} - \left( {{x^2}{y^2} + {y^2}{z^2} + {z^2}{x^2}} \right)}}{{{x^2} + {y^2} + {x^2}}}:\dfrac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}\)
\( = \dfrac{{{x^2}{y^2} + {y^2}{z^2} + {z^2}{x^2} + 2\left( {x{y^2}z + {z^2}yz + {y^2}zx} \right) - \left( {{x^2}{y^2} + {y^2}{z^2} + {z^2}{x^2}} \right)}}{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}.\dfrac{{{x^2} + {y^2} + {z^2}}}{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}\)
\( = \dfrac{{2xyz\left( {x + y + z} \right)}}{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}} = \dfrac{{2xyz}}{{\left( {x + y + z} \right)}} = \dfrac{{2xyz}}{{2x}} = yz\) (vì \(x = y + z\))