Đề kiểm tra 45 phút chương 1: Phép nhân và phép chia các đa thức - Đề số 1
Đề bài
Kết quả của phép chia \(\left( {6x{y^2} + 4{x^2}y - 2{x^3}} \right):2x\) là
-
A.
\(3{y^2} + 2xy - {x^2}\)
-
B.
\(3{y^2} + 2xy + {x^2}\)
-
C.
\(3{y^2} - 2xy - {x^2}\)
-
D.
\(3{y^2} + 2xy\)
Phân tích đa thức \({x^8} + 4\) thành hiệu hai bình phương, ta được
-
A.
\({\left( {{x^4} - 2} \right)^2} - {\left( {2{x^2}} \right)^2}\).
-
B.
\({\left( {{x^4} + 4} \right)^2} - {\left( {4{x^2}} \right)^2}\).
-
C.
\({\left( {{x^4} + 2} \right)^2} - {\left( {4{x^2}} \right)^2}\).
-
D.
\({\left( {{x^4} + 2} \right)^2} - {\left( {2{x^2}} \right)^2}\).
Chọn câu đúng.
-
A.
\({\left( {3x - 2y} \right)^2} - {\left( {2x - 3y} \right)^2} = 5\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)\).
-
B.
\({\left( {3x - 2y} \right)^2} - {\left( {2x - 3y} \right)^2} = \left( {5x - y} \right)\left( {x - 5y} \right)\).
-
C.
\({\left( {3x - 2y} \right)^2} - {\left( {2x - 3y} \right)^2} = \left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)\).
-
D.
\({\left( {3x - 2y} \right)^2} - {\left( {2x - 3y} \right)^2} = 5\left( {x - y} \right)\left( {x - 5y} \right)\).
Thương và phần dư của phép chia đa thức \(2{x^3} - 3{x^2} - 3x - 2\) cho đa thức \({x^2} + 1\) lần lượt là
-
A.
\(2x - 3;5x - 5\).
-
B.
\(2x - 3; - 5x + 1\).
-
C.
\( - 5x + 1;2x - 3\).
-
D.
\(2x - 3; - 5x - 5\).
Cho \(2x\left( {3x - 1} \right) - 3x\left( {2x - 3} \right) = 11\) .Kết quả \(x\) bằng:
-
A.
\( - \dfrac{{11}}{7}\)
-
B.
\(\dfrac{7}{{11}}\)
-
C.
\(1\)
-
D.
\(\dfrac{{11}}{7}\)
Thương của phép chia đa thức \(\left( {3{x^4} - 2{x^3} + 4x - 2{x^2} - 8} \right)\) cho đa thức \(\left( {{x^2} - 2} \right)\) có hệ số tự do là
-
A.
\(2\).
-
B.
\(3\).
-
C.
\(1\).
-
D.
\(4\).
Viết biểu thức \(\left( {{x^2} + 3} \right)\left( {{x^4} - 3{x^2} + 9} \right)\) dưới dạng tổng hai lập phương.
-
A.
\({\left( {{x^2}} \right)^3} + {3^3}\).
-
B.
\({\left( {{x^2}} \right)^3} - {3^3}\).
-
C.
\({\left( {{x^2}} \right)^3} + {9^3}\).
-
D.
\({\left( {{x^2}} \right)^3} - {9^3}\).
Chọn câu sai.
-
A.
\({A^3} + {B^3} \)\( = \left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right)\)
-
B.
\({A^3} - {B^3} \)\( = \left( {A - B} \right)\left( {{A^2} + AB + {B^2}} \right)\)
-
C.
${\left( {A + B} \right)^3} $$= {\left( {B + A} \right)^3}$
-
D.
${\left( {A - B} \right)^3} = {\left( {B - A} \right)^3}$
Cho $B = {\left( {{x^2} + 3} \right)^2} - {x^2}\left( {{x^2} + 3} \right) - 3\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)$. Chọn câu đúng.
-
A.
$B < 12$
-
B.
$B > 13$
-
C.
$12 < B < 14$
-
D.
$11 < B < 13$
Đa thức \({x^2} + x - 2ax - 2a\) được phân tích thành
-
A.
\(\left( {x + 2a} \right)\left( {x - 1} \right)\).
-
B.
\(\left( {x - 2a} \right)\left( {x + 1} \right)\).
-
C.
\(\left( {x + 2a} \right)\left( {x + 1} \right)\).
-
D.
\(\left( {x - 2a} \right)\left( {x - 1} \right)\).
Chọn câu sai.
-
A.
\(ax - bx + ab - {x^2} = \left( {x + b} \right)\left( {a - x} \right)\).
-
B.
\({x^2} - {y^2} + 4x + 4 = \left( {x + y} \right)\left( {x - y + 4} \right)\).
-
C.
\(ax + ay - 3x - 3y = \left( {a - 3} \right)\left( {x + y} \right)\).
-
D.
\(xy + 1 - x - y = \left( {x - 1} \right)\left( {y - 1} \right)\)
Cho \(\left( {27{x^3} + 27{x^2} + 9x + 1} \right):{\left( {3x + 1} \right)^2} = \left( {...} \right)\) Điền vào chỗ trống đa thức thích hợp
-
A.
\({\left( {3x + 1} \right)^5}\).
-
B.
\(3x + 1\).
-
C.
\(3x - 1\).
-
D.
\({\left( {3x + 1} \right)^3}\)
Gọi \(x\) là giá trị thỏa mãn \(\left( {3x - 4} \right)\left( {x - 2} \right) = 3x\left( {x - 9} \right) - 3\). Khi đó
-
A.
\(x < 0\)
-
B.
\(x < - 1\)
-
C.
\(x > 2\)
-
D.
\(x > 0\)
Biểu thức \({\left( {a - b - c} \right)^2}\) bằng
-
A.
\({a^2} + {b^2} + {c^2} - 2\left( {bc + ac + ab} \right)\)
-
B.
\({a^2} + {b^2} + {c^2} + bc - ac - 2ab\)
-
C.
\({a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {bc + ac - ab} \right)\)
-
D.
\({a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {bc - ac - ab} \right)\)
Biểu thức \(K = {x^2} - 6x + {y^2} - 4y + 6\) có giá trị nhỏ nhất là
-
A.
$6$
-
B.
$1$
-
C.
$ - 7$
-
D.
$7$
Cho \(P = {\left( {4x + 1} \right)^3} - \left( {4x + 3} \right)\left( {16{x^2} + 3} \right)\) và \(Q = {\left( {x - 2} \right)^3} - x\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) + 6x\left( {x - 3} \right) + 5x\)
Chọn câu đúng.
-
A.
\(P = Q\)
-
B.
\(P < Q\)
-
C.
$P > Q$
-
D.
$P = 2Q$
Rút gọn biểu thức \(M = \left( {2x + 3} \right)\left( {4{x^2} - 6x + 9} \right) - 4\left( {2{x^3} - 3} \right)\) ta được giá trị của \(M\) là
-
A.
Một số lẻ
-
B.
Một số chẵn
-
C.
Một số chính phương
-
D.
Một số chia hết cho \(5\)
Có bao nhiêu giá trị của \(x\) thỏa mãn \({\left( {x - 3} \right)^2} - 9{\left( {x + 1} \right)^2} = 0\) ?
-
A.
\(2\).
-
B.
\(1\).
-
C.
\(0\).
-
D.
\(4\).
Giá trị của biểu thức $D = {x^3}-{x^2}y-x{y^2} + {y^3}$ khi \(x = y\) là
-
A.
\(3\).
-
B.
\(2\).
-
C.
\(1\).
-
D.
\(0\).
Gọi \({x_1};{x_2}\,\left( {{x_1} > {x_2}} \right)\) là hai giá trị thỏa mãn \({x^2} + 3x - 18 = 0\). Khi đó \(\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}}\) bằng
-
A.
\( - 2\).
-
B.
\(2\).
-
C.
\(\dfrac{1}{2}\).
-
D.
\( - \dfrac{1}{2}\).
Giá trị số tự nhiên \(n\) để phép chia \({x^{2n}}:{x^4}\) thực hiện được là:
-
A.
\(n \in \mathbb{N},n > 2\)
-
B.
\(n \in \mathbb{N},n \ge 4\)
-
C.
\(n \in \mathbb{N},n \ge 2\)
-
D.
\(n \in \mathbb{N},n \le 2\)
Tìm \(a\) và \(b\) để đa thức \(f\left( x \right) = {x^4} - 9{x^3} + 21{x^2} + ax + b\) chia hết cho đa thức \(g\left( x \right) = {x^2} - x - 2\)
-
A.
\(a = - 1;\,b = 30\).
-
B.
\(a = 1;\,b = 30\).
-
C.
\(a = - 1;\,b = - 30\).
-
D.
\(a = 1;\,b = - 30\).
Để đa thức \({x^3} + a{x^2} - 4\) chia hết cho \({x^2} + 4x + 4\) thì giá trị của \(a\) là
-
A.
\(a = - 6\).
-
B.
\(a = 6\).
-
C.
\(a = - 3\).
-
D.
\(a = 3\).
Cho biết \({x^3} = 2p + 1\) trong đó \(x\) là số tự nhiên, \(p\) là số nguyên tố. Tìm \(x.\)
-
A.
\(x = 9\)
-
B.
\(x = 7\)
-
C.
\(x = 5\)
-
D.
\(x = 3\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = {x^2} + 2{y^2} - 2xy + 2x - 10y\)
-
A.
\(17\).
-
B.
\(0\)
-
C.
\( - 17\).
-
D.
\( - 10\).
Lời giải và đáp án
Kết quả của phép chia \(\left( {6x{y^2} + 4{x^2}y - 2{x^3}} \right):2x\) là
-
A.
\(3{y^2} + 2xy - {x^2}\)
-
B.
\(3{y^2} + 2xy + {x^2}\)
-
C.
\(3{y^2} - 2xy - {x^2}\)
-
D.
\(3{y^2} + 2xy\)
Đáp án : A
Sử dụng quy tắc chia đa thức cho đơn thức.
Muốn chia đa thức \(A\) cho đơn thức \(B\) ( trường hợp các hạng tử của đa thức \(A\) đều chia hết cho đơn thức \(B\)), ta chia mỗi hạng tử của \(A\) cho \(B\) rồi cộng kết quả với nhau.
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\left( {6x{y^2} + 4{x^2}y - 2{x^3}} \right):2x\\ = 6x{y^2}:2x + 4{x^2}y:2x - 2{x^3}:2x\\ = 3{y^2} + 2x - {x^2}.\end{array}\)
Phân tích đa thức \({x^8} + 4\) thành hiệu hai bình phương, ta được
-
A.
\({\left( {{x^4} - 2} \right)^2} - {\left( {2{x^2}} \right)^2}\).
-
B.
\({\left( {{x^4} + 4} \right)^2} - {\left( {4{x^2}} \right)^2}\).
-
C.
\({\left( {{x^4} + 2} \right)^2} - {\left( {4{x^2}} \right)^2}\).
-
D.
\({\left( {{x^4} + 2} \right)^2} - {\left( {2{x^2}} \right)^2}\).
Đáp án : D
Thêm bớt hạng tử để xuất hiện hiệu hai bình phương.
Ta có \({x^8} + 4 = {\left( {{x^4}} \right)^2} + 4{x^4} + 4 - 4{x^4}\)\( = {\left( {{x^4} + 2} \right)^2} - {\left( {2{x^2}} \right)^2}\)
Chọn câu đúng.
-
A.
\({\left( {3x - 2y} \right)^2} - {\left( {2x - 3y} \right)^2} = 5\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)\).
-
B.
\({\left( {3x - 2y} \right)^2} - {\left( {2x - 3y} \right)^2} = \left( {5x - y} \right)\left( {x - 5y} \right)\).
-
C.
\({\left( {3x - 2y} \right)^2} - {\left( {2x - 3y} \right)^2} = \left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)\).
-
D.
\({\left( {3x - 2y} \right)^2} - {\left( {2x - 3y} \right)^2} = 5\left( {x - y} \right)\left( {x - 5y} \right)\).
Đáp án : A
Sử dụng hằng đẳng thức \({A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)\) để phân tích đa thức thành nhân tử.
Ta có \({\left( {3x - 2y} \right)^2} - {\left( {2x - 3y} \right)^2} = \left( {3x - 2y + 2x - 3y} \right)\left( {3x - 2y - \left( {2x - 3y} \right)} \right)\)\( = \left( {5x - 5y} \right)\left( {3x - 2y - 2x + 3y} \right) = 5\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)\)
Thương và phần dư của phép chia đa thức \(2{x^3} - 3{x^2} - 3x - 2\) cho đa thức \({x^2} + 1\) lần lượt là
-
A.
\(2x - 3;5x - 5\).
-
B.
\(2x - 3; - 5x + 1\).
-
C.
\( - 5x + 1;2x - 3\).
-
D.
\(2x - 3; - 5x - 5\).
Đáp án : B
- Đặt phép chia.
- Chia hạng tử bậc cao nhất của đa thức bị chia cho hạng tử bậc cao nhất của đa thức chia.
- Nhân kết quả tìm được với đa thức chia, rồi lấy đa thức bị chia trừ đi tích nhận được, hiệu tìm được gọi là dư thứ nhất.
- Chia hạng tử bậc cao nhất của dư thứ nhất cho hạng tử bậc cao nhất của đa thức chia, được kết quả lại thực hiện tương tự như trên, cho đến khi dư cuối cùng không thể chia được nữa.
Thương của phép chia là \(2x - 3\) và dư là \( - 5x + 1\)
Cho \(2x\left( {3x - 1} \right) - 3x\left( {2x - 3} \right) = 11\) .Kết quả \(x\) bằng:
-
A.
\( - \dfrac{{11}}{7}\)
-
B.
\(\dfrac{7}{{11}}\)
-
C.
\(1\)
-
D.
\(\dfrac{{11}}{7}\)
Đáp án : D
Thực hiện các phép tính: phá ngoặc, chuyển vế .. để biến đổi về dạng tìm \(x\) thường gặp
Ta có \(2x\left( {3x - 1} \right) - 3x\left( {2x - 3} \right) = 11\)\( \Leftrightarrow 2x.3x - 2x.1 - 3x.2x - 3x.\left( { - 3} \right) = 11\)
\( \Leftrightarrow 6{x^2} - 2x - 6{x^2} + 9x = 11\) \( \Leftrightarrow 7x = 11 \Leftrightarrow x = \dfrac{{11}}{7}\)
Vậy \(x = \dfrac{{11}}{7}\) .
Thương của phép chia đa thức \(\left( {3{x^4} - 2{x^3} + 4x - 2{x^2} - 8} \right)\) cho đa thức \(\left( {{x^2} - 2} \right)\) có hệ số tự do là
-
A.
\(2\).
-
B.
\(3\).
-
C.
\(1\).
-
D.
\(4\).
Đáp án : D
- Đặt phép chia.
- Chia hạng tử bậc cao nhất của đa thức bị chia cho hạng tử bậc cao nhất của đa thức chia.
- Nhân kết quả tìm được với đa thức chia, rồi lấy đa thức bị chia trừ đi tích nhận được, hiệu tìm được gọi là dư thứ nhất.
- Chia hạng tử bậc cao nhất của dư thứ nhất cho hạng tử bậc cao nhất của đa thức chia, được kết quả lại thực hiện tương tự như trên, cho đến khi dư cuối cùng không thể chia được nữa.
Ta có: \(\left( {3{x^4} - 2{x^3} + 4x - 2{x^2} - 8} \right):\left( {{x^2} - 2} \right) \)\(= \left( {3{x^4} - 2{x^3} - 2{x^2} + 4x - 8} \right):\left( {{x^2} - 2} \right)\)
\(\left( {3{x^4} - 2{x^3} + 4x - 2{x^2} - 8} \right):\left( {{x^2} - 2} \right) = 3{x^2} - 2x + 4\)
Hệ số tự do của thương là \(4.\)
Viết biểu thức \(\left( {{x^2} + 3} \right)\left( {{x^4} - 3{x^2} + 9} \right)\) dưới dạng tổng hai lập phương.
-
A.
\({\left( {{x^2}} \right)^3} + {3^3}\).
-
B.
\({\left( {{x^2}} \right)^3} - {3^3}\).
-
C.
\({\left( {{x^2}} \right)^3} + {9^3}\).
-
D.
\({\left( {{x^2}} \right)^3} - {9^3}\).
Đáp án : A
Sử dụng công thức hiệu hai lập phương \(\left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right) = {A^3} + {B^3}\)
Ta có \(\left( {{x^2} + 3} \right)\left( {{x^4} - 3{x^2} + 9} \right)\)\( = \left( {{x^2} + 3} \right)\left( {{{\left( {{x^2}} \right)}^2} - 3.{x^2} + {3^2}} \right) = {\left( {{x^2}} \right)^3} + {3^3}\)
Chọn câu sai.
-
A.
\({A^3} + {B^3} \)\( = \left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right)\)
-
B.
\({A^3} - {B^3} \)\( = \left( {A - B} \right)\left( {{A^2} + AB + {B^2}} \right)\)
-
C.
${\left( {A + B} \right)^3} $$= {\left( {B + A} \right)^3}$
-
D.
${\left( {A - B} \right)^3} = {\left( {B - A} \right)^3}$
Đáp án : D
Sử dụng công thức tổng hai lập phương và hiệu hai lập phương
\({A^3} + {B^3} \)\( = \left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right)\)
\({A^3} - {B^3}\)\( = \left( {A - B} \right)\left( {{A^2} + AB + {B^2}} \right)\)
Ta có \({A^3} + {B^3} \)\( = \left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right)\) và \({A^3} - {B^3}\)\( = \left( {A - B} \right)\left( {{A^2} + AB + {B^2}} \right)\) nên A, B đúng.
Vì \(A + B = B + A \)
\( \Rightarrow {\left( {A + B} \right)^3} \)\( = {\left( {B + A} \right)^3}\) nên C đúng.
Vì \(A - B = - \left( {B - A} \right)\)
\( \Rightarrow {\left( {A - B} \right)^3} \)\( = - {\left( {B - A} \right)^3}\) nên D sai.
Cho $B = {\left( {{x^2} + 3} \right)^2} - {x^2}\left( {{x^2} + 3} \right) - 3\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)$. Chọn câu đúng.
-
A.
$B < 12$
-
B.
$B > 13$
-
C.
$12 < B < 14$
-
D.
$11 < B < 13$
Đáp án : D
Sử dụng công thức \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\) , \(\left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right) = {A^2} - {B^2}\) và phép nhân đa thức để khai triển và rút gọn.
Ta có $B = {\left( {{x^2} + 3} \right)^2} - {x^2}\left( {{x^2} + 3} \right) - 3\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)$\( = {\left( {{x^2}} \right)^2} + 2.{x^2}.3 + {3^2} - \left( {{x^2}.{x^2} + {x^2}.3} \right) - 3\left( {{x^2} - 1} \right)\)
\( = {x^4} + 6{x^2} + 9 - {x^4} - 3{x^2} - 3{x^2} + 3\) \( = 12\) .
Đa thức \({x^2} + x - 2ax - 2a\) được phân tích thành
-
A.
\(\left( {x + 2a} \right)\left( {x - 1} \right)\).
-
B.
\(\left( {x - 2a} \right)\left( {x + 1} \right)\).
-
C.
\(\left( {x + 2a} \right)\left( {x + 1} \right)\).
-
D.
\(\left( {x - 2a} \right)\left( {x - 1} \right)\).
Đáp án : B
Ta có \({x^2} + x - 2ax - 2a\)\( = \left( {{x^2} + x} \right) - \left( {2ax + 2a} \right) = x\left( {x + 1} \right) - 2a\left( {x + 1} \right) = \left( {x - 2a} \right)\left( {x + 1} \right)\)
Chọn câu sai.
-
A.
\(ax - bx + ab - {x^2} = \left( {x + b} \right)\left( {a - x} \right)\).
-
B.
\({x^2} - {y^2} + 4x + 4 = \left( {x + y} \right)\left( {x - y + 4} \right)\).
-
C.
\(ax + ay - 3x - 3y = \left( {a - 3} \right)\left( {x + y} \right)\).
-
D.
\(xy + 1 - x - y = \left( {x - 1} \right)\left( {y - 1} \right)\)
Đáp án : B
Sử dụng phương pháp nhóm hạng tử thích hợp để phân tích đa thức thành nhân tử.
Chú ý đến tính chất \(A = - \left( { - A} \right)\) để làm xuất hiện nhân tử chung.
Ta có \(ax - bx + ab - {x^2} = \left( {ax - {x^2}} \right) + \left( {ab - bx} \right)\)\( = x\left( {a - x} \right) + b\left( {a - x} \right) = \left( {x + b} \right)\left( {a - x} \right)\) nên A đúng.
*\({x^2} - {y^2} + 4x + 4 = \left( {{x^2} + 4x + 4} \right) - {y^2} = {\left( {x + 2} \right)^2} - {y^2} = \left( {x + 2 + y} \right)\left( {x + 2 - y} \right)\) nên B sai.
* \(ax + ay - 3x - 3y = a\left( {x + y} \right) - 3\left( {x + y} \right) = \left( {a - 3} \right)\left( {x + y} \right)\) nên C đúng.
* \(xy + 1 - x - y = \left( {xy - x} \right) + \left( {1 - y} \right) = x\left( {y - 1} \right) - \left( {y - 1} \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {y - 1} \right)\) nên D đúng.
Cho \(\left( {27{x^3} + 27{x^2} + 9x + 1} \right):{\left( {3x + 1} \right)^2} = \left( {...} \right)\) Điền vào chỗ trống đa thức thích hợp
-
A.
\({\left( {3x + 1} \right)^5}\).
-
B.
\(3x + 1\).
-
C.
\(3x - 1\).
-
D.
\({\left( {3x + 1} \right)^3}\)
Đáp án : B
+ Đưa số bị chia thành hằng đẳng thức \({a^3} + 3{a^2}b + 3a{b^2} + {b^3} = {\left( {a + b} \right)^3}\)
+ Sử dụng quy tắc ${x^m}:{x^n} = {x^{m - n}}$ với \(x \ne 0;\,m,n \in \mathbb{N};\,m \ge n\).
Ta có \(\left( {27{x^3} + 27{x^2} + 9x + 1} \right):{\left( {3x + 1} \right)^2} = {\left( {3x + 1} \right)^3}:{\left( {3x + 1} \right)^2} = 3x + 1\)
Gọi \(x\) là giá trị thỏa mãn \(\left( {3x - 4} \right)\left( {x - 2} \right) = 3x\left( {x - 9} \right) - 3\). Khi đó
-
A.
\(x < 0\)
-
B.
\(x < - 1\)
-
C.
\(x > 2\)
-
D.
\(x > 0\)
Đáp án : A
Thực hiện các biến đổi phá ngoặc, chuyển vế… rồi rút gọn hai vế đưa về dạng tìm \(x\) thường gặp
Ta có \(\left( {3x - 4} \right)\left( {x - 2} \right) = 3x\left( {x - 9} \right) - 3\) \( \Leftrightarrow 3x.x + 3x.\left( { - 2} \right) - 4.x - 4.\left( { - 2} \right) = 3x.x + 3x.\left( { - 9} \right) - 3\)
\( \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x - 4x + 8 = 3{x^2} - 27x - 3\) \( \Leftrightarrow 17x = - 11 \Leftrightarrow x = - \dfrac{{11}}{{17}}\)
Vậy \(x = - \dfrac{{11}}{{17}}\) .
Biểu thức \({\left( {a - b - c} \right)^2}\) bằng
-
A.
\({a^2} + {b^2} + {c^2} - 2\left( {bc + ac + ab} \right)\)
-
B.
\({a^2} + {b^2} + {c^2} + bc - ac - 2ab\)
-
C.
\({a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {bc + ac - ab} \right)\)
-
D.
\({a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {bc - ac - ab} \right)\)
Đáp án : D
Sử dụng hẳng đẳng thức \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\)
Ta có \({\left( {a - b - c} \right)^2}\)\( = {\left[ {\left( {a - b} \right) - c} \right]^2} = {\left( {a - b} \right)^2} - 2\left( {a - b} \right).c + {c^2}\)
\( = {a^2} - 2ab + {b^2} - 2ac + 2bc + {c^2}\) \( = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {bc - ac - ab} \right)\) .
Biểu thức \(K = {x^2} - 6x + {y^2} - 4y + 6\) có giá trị nhỏ nhất là
-
A.
$6$
-
B.
$1$
-
C.
$ - 7$
-
D.
$7$
Đáp án : C
Biến đổi \(K\) về dạng \({\left( {A - B} \right)^2} + {\left( {C - D} \right)^2} + m\) rồi đánh giá \({\left( {A - B} \right)^2} + {\left( {C - D} \right)^2} + m \ge m.\)
Dấu “=” xảy ra khi \(A = B\) và \(C = D.\)
Giá trị nhỏ nhất của \(K\) là \(m\) khi \(A = B\) và \(C = D.\)
Ta có \(K = {x^2} - 6x + {y^2} - 4y + 6\)\( = {x^2} - 2.x.3 + 9 + {y^2} - 2.y.2 + 4 - 7\)\( = {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} - 7\)
Vì \({\left( {x - 3} \right)^2} \ge 0;\,{\left( {y - 2} \right)^2} \ge 0;\,\forall x;\,y\) nên \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} - 7 \ge - 7\)
Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}x - 3 = 0\\y - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 2\end{array} \right.\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(E\) là \( - 7\) khi \(x = 3;y = 2\) .
Cho \(P = {\left( {4x + 1} \right)^3} - \left( {4x + 3} \right)\left( {16{x^2} + 3} \right)\) và \(Q = {\left( {x - 2} \right)^3} - x\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) + 6x\left( {x - 3} \right) + 5x\)
Chọn câu đúng.
-
A.
\(P = Q\)
-
B.
\(P < Q\)
-
C.
$P > Q$
-
D.
$P = 2Q$
Đáp án : A
Dùng hằng đẳng thức và phép nhân đa thức để khai triển và rút gọn \(P\) và \(Q\) .
Sau đó tìm mối quan hệ giữa \(P\) và \(Q\).
Ta có \(P = {\left( {4x + 1} \right)^3} - \left( {4x + 3} \right)\left( {16{x^2} + 3} \right)\)\( = {\left( {4x} \right)^3} + 3.{\left( {4x} \right)^2}.1 + 3.4x{.1^2} + {1^3} - \left( {64{x^3} + 12x + 48{x^2} + 9} \right)\)
\( = 64{x^3} + 48{x^2} + 12x + 1 - 64{x^3} - 12x - 48{x^2} - 9= - 8\) nên \(P = - 8\)
+ \(Q = {\left( {x - 2} \right)^3} - x\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) + 6x\left( {x - 3} \right) + 5x\)\( = {x^3} - 3.{x^2}.2 + 3x{.2^2} - {2^3} - x\left( {{x^2} - 1} \right) + 6{x^2} - 18x + 5x\)
\( = {x^3} - 6{x^2} + 12x - 8 - {x^3} + x + 6{x^2} - 18x + 5x = - 8\)\( \Rightarrow Q = - 8\)
Vậy \(P = Q\) .
Rút gọn biểu thức \(M = \left( {2x + 3} \right)\left( {4{x^2} - 6x + 9} \right) - 4\left( {2{x^3} - 3} \right)\) ta được giá trị của \(M\) là
-
A.
Một số lẻ
-
B.
Một số chẵn
-
C.
Một số chính phương
-
D.
Một số chia hết cho \(5\)
Đáp án : A
Sử dụng hằng đẳng thức \(\left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right) = {A^3} + {B^3}\) để phân tích và rút gọn \(M\)
Ta có \(M = \left( {2x + 3} \right)\left( {4{x^2} - 6x + 9} \right) - 4\left( {2{x^3} - 3} \right)\)\( = \left( {2x + 3} \right)\left[ {{{\left( {2x} \right)}^2} - 2x.3 + {3^2}} \right] - 8{x^3} + 12\)
\( = {\left( {2x} \right)^3} + {3^3} - 8{x^3} + 12 = 8{x^3} + 27 - 8{x^3} + 12 = 39\).
Vậy giá trị của \(M\) là một số lẻ.
Có bao nhiêu giá trị của \(x\) thỏa mãn \({\left( {x - 3} \right)^2} - 9{\left( {x + 1} \right)^2} = 0\) ?
-
A.
\(2\).
-
B.
\(1\).
-
C.
\(0\).
-
D.
\(4\).
Đáp án : A
+ Sử dụng hằng đẳng thức \({A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)\) để phân tích đa thức thành nhân tử.
+ Từ đó đưa về dạng \(A.B = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.\)
Ta có \({\left( {x - 3} \right)^2} - 9{\left( {x + 1} \right)^2} = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} - {\left[ {3\left( {x + 1} \right)} \right]^2} = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} - {\left( {3x + 3} \right)^2} = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {x - 3 + 3x + 3} \right)\left( {x - 3 - 3x - 3} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 4x\left( { - 2x - 6} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x = 0\\ - 2x - 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\ - 2x = 6\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 3\end{array} \right.\)
Vậy có hai giá trị của \(x\) thỏa mãn là \(x = 0;x = - 3\) .
Giá trị của biểu thức $D = {x^3}-{x^2}y-x{y^2} + {y^3}$ khi \(x = y\) là
-
A.
\(3\).
-
B.
\(2\).
-
C.
\(1\).
-
D.
\(0\).
Đáp án : D
- Phân tích \(D\) thành nhân tử bằng cách dùng hằng đẳng thức và nhóm hạng tử thích hợp.
- Sử dụng giả thiết \(x = y\) để tính giá trị của $D$ .
$D = \left( {{x^3} + {y^3}} \right)-xy\left( {x + y} \right) $$= \left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right) - xy\left( {x + y} \right) $$= \left( {x + y} \right)\left( {{x^2}-xy + {y^2}-xy} \right)$$ = \left( {x + y} \right)[\left( {x\left( {x-y} \right)-y\left( {x-y} \right)} \right] $$= \left( {x + y} \right){\left( {x-y} \right)^2}$
Vì \(x = y\)\( \Leftrightarrow x - y = 0\) nên \(D = \left( {x + y} \right){\left( {x - y} \right)^2} = 0\) .
Gọi \({x_1};{x_2}\,\left( {{x_1} > {x_2}} \right)\) là hai giá trị thỏa mãn \({x^2} + 3x - 18 = 0\). Khi đó \(\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}}\) bằng
-
A.
\( - 2\).
-
B.
\(2\).
-
C.
\(\dfrac{1}{2}\).
-
D.
\( - \dfrac{1}{2}\).
Đáp án : D
Sử dụng phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử để phân tích đa thức thành nhân tử.
Từ đó đưa về dạng tìm \(x\) đã biết \(A.B = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.\)
Ta có
\(\begin{array}{l}\;{x^2} + 3x - 18 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 6x - 3x - 18 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 3x} \right) + \left( {6x - 18} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 3} \right) + 6\left( {x - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 6} \right)\left( {x - 3} \right) = 0\end{array}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 6 = 0\\x - 3 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 6\\x = 3\end{array} \right.\)
Suy ra \({x_1} = 3;{x_2} = - 6\,\left( {do\,\,{x_1} > {x_2}} \right)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}} = \dfrac{3}{{ - 6}} = - \dfrac{1}{2}\) .
Giá trị số tự nhiên \(n\) để phép chia \({x^{2n}}:{x^4}\) thực hiện được là:
-
A.
\(n \in \mathbb{N},n > 2\)
-
B.
\(n \in \mathbb{N},n \ge 4\)
-
C.
\(n \in \mathbb{N},n \ge 2\)
-
D.
\(n \in \mathbb{N},n \le 2\)
Đáp án : C
Sử dụng quy tắc \({x^m}:{x^n} = {x^{m - n}}\) với \(x \ne 0;\,m,n \in \mathbb{N};\,m \ge n\).
Để phép chia \({x^{2n}}:{x^4} = {x^{2n - 4}}\) thực hiện được thì \(n \in \mathbb{N};\,2n - 4 \ge 0 \Leftrightarrow \,n \ge 2;\,n \in \mathbb{N}\) .
Tìm \(a\) và \(b\) để đa thức \(f\left( x \right) = {x^4} - 9{x^3} + 21{x^2} + ax + b\) chia hết cho đa thức \(g\left( x \right) = {x^2} - x - 2\)
-
A.
\(a = - 1;\,b = 30\).
-
B.
\(a = 1;\,b = 30\).
-
C.
\(a = - 1;\,b = - 30\).
-
D.
\(a = 1;\,b = - 30\).
Đáp án : D
+ Sử dụng cách chia đa thức một biến đã sắp xếp.
+ Sử dụng nhận xét: Nếu phép chia có phần dư \(R = 0\) thì phép chia đó là phép chia hết.
Chú ý: \(Ax + B = 0\) với \(\forall x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.\) .
Ta có
Phần dư của phép chia \(f\left( x \right)\) cho \(g\left( x \right)\) là \(R = \left( {a - 1} \right)x + b + 30\)
Để phép chia trên là phép chia hết thì \(R = 0\) với \(\forall x\) \( \Leftrightarrow \left( {a - 1} \right)x + b + 30 = 0\) với \(\forall x\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 1 = 0\\b + 30 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 30\end{array} \right.\) . Vậy \(a = 1;\,b = - 30\).
Để đa thức \({x^3} + a{x^2} - 4\) chia hết cho \({x^2} + 4x + 4\) thì giá trị của \(a\) là
-
A.
\(a = - 6\).
-
B.
\(a = 6\).
-
C.
\(a = - 3\).
-
D.
\(a = 3\).
Đáp án : D
+ Sử dụng cách chia đa thức một biến đã sắp xếp.
+ Sử dụng nhận xét: Nếu phép chia có phần dư \(R = 0\) thì phép chia đó là phép chia hết.
Chú ý: \(Ax + B = 0\) với \(\forall x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.\) .
Để \({x^3} + a{x^2}-4\) chia hết cho \({x^2} + 4x + 4\) thì \(4\left( {3-a} \right).x-4a + 12 = 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4\left( {3 - a} \right) = 0\\12 - 4a = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow a = 3\).
Vậy \(a = 3\).
Cho biết \({x^3} = 2p + 1\) trong đó \(x\) là số tự nhiên, \(p\) là số nguyên tố. Tìm \(x.\)
-
A.
\(x = 9\)
-
B.
\(x = 7\)
-
C.
\(x = 5\)
-
D.
\(x = 3\)
Đáp án : D
+ Chỉ ra \(x\) là số lẻ
+ Gọi \(x = 2k + 1\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\) sau đó biển đổi để tìm \(k\). Từ đó tìm ra \(x\)
Chú ý rằng: Số nguyên tố là số chỉ có 2 ước là 1 và chính nó.
Vì \(p\) là số nguyên tố nên \(2p + 1\) là số lẻ. Mà \({x^3} = 2p + 1\) nên \({x^3}\) cũng là một số lẻ, suy ra \(x\) là số lẻ
Gọi \(x = 2k + 1\,\,\left( {k \in N} \right)\). Ta có \({x^3} = 2p + 1 \Leftrightarrow {\left( {2k + 1} \right)^3} = 2p + 1\)
\( \Leftrightarrow 8{k^3} + 12{k^2} + 6k + 1 = 2p + 1 \Leftrightarrow 2p = 8{k^3} + 12{k^2} + 6k\)
\( \Leftrightarrow p = 4{k^3} + 6{k^2} + 3k = k\left( {4{k^2} + 6k + 3} \right)\)
Mà \(p\) là số nguyên tố nên \(k = 1 \Rightarrow x = 3\)
Vậy số cần tìm là \(x = 3.\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = {x^2} + 2{y^2} - 2xy + 2x - 10y\)
-
A.
\(17\).
-
B.
\(0\)
-
C.
\( - 17\).
-
D.
\( - 10\).
Đáp án : C
- Tách 1 hạng tử thành nhiều hạng tử hoặc thêm, bớt cùng một hạng tử một cách thích hợp để tách biểu thức đã cho thành dạng C = a2 + b2 + c.
- Khi đó, \(A \ge c\) với mọi x.
- Suy ra, giá trị nhỏ nhất của A.
\(A = {x^2} + 2{y^2} - 2xy + 2x - 10y\)
\(\Leftrightarrow A = {x^2} + {y^2} + 1 - 2xy + 2x - 2y + {y^2} - 8y + 16 - 17\)
\( \Leftrightarrow A = \left( {{x^2} + {y^2} + {1^2} - 2.x.y + 2.x.1 - 2.y.1} \right) + \left( {{y^2} - 2.4.y + {4^2}} \right) - 17\)
\( \Leftrightarrow A = {\left( {x - y + 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} - 17.\)
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - y + 1} \right)^2} \ge 0\\{\left( {y - 4} \right)^2} \ge 0\end{array} \right.\) với mọi \(x,y\) nên \(A \ge - 17\) với mọi \(x,y.\)
\( \Rightarrow A = - 17 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y + 1 = 0\\y - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = y - 1\\y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 4\end{array} \right.\)
Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là \(A = - 17\) tại \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 4\end{array} \right.\).