Đề kiểm tra 1 tiết chương 7: Tam giác đồng dạng - Đề số 1
Đề bài
Hãy chỉ ra cặp tam giác đồng dạng với nhau từ các tam giác sau đây:
-
A.
Hình 1 và hình 2
-
B.
Hình 2 và hình 3
-
C.
Hình 1 và hình 3
-
D.
Tất cả đều đúng.
Cho \(\Delta ABC\), lấy 2 điểm $D$ và $E$ lần lượt nằm bên cạnh $AB$ và $AC$ sao cho \(\dfrac{{AD}}{{AB}} = \dfrac{{AE}}{{AC}}\). Kết luận nào sai?
-
A.
\(\Delta \;ADE\backsim\Delta \;ABC\)
-
B.
\(DE{\rm{//}}BC\)
-
C.
\(\dfrac{{AE}}{{AB}} = \dfrac{{AD}}{{AC}}\)
-
D.
\(\widehat {ADE} = \widehat {ABC}\)
Cho hình vẽ dưới đây với \(\widehat {BAH} = \widehat {ACH}\) .
Khi đó các mệnh đề
(I) \(\Delta AHB\backsim\Delta CHA\;(g - g)\)
(II) \(\Delta AHC\backsim\Delta BAC\;(g - g)\)
-
A.
(I) đúng.
-
B.
(II) đúng.
-
C.
Cả (I) và (II) đều sai.
-
D.
Cả (I) và (II) đều đúng.
Hãy chọn câu đúng. Tỉ số \(\dfrac{x}{y}\) của các đoạn thẳng trong hình vẽ, biết rằng các số trên hình cùng đơn vị đo là $cm$ .
-
A.
\(\dfrac{7}{{15}}\)
-
B.
\(\dfrac{1}{7}\)
-
C.
\(\dfrac{{15}}{7}\)
-
D.
\(\dfrac{1}{{15}}\)
Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$, đường cao $CE$. Tính $AB$, biết $BC = 24$cm và $BE = 9$cm.
-
A.
\(16\,cm\)
-
B.
\(32\,cm\)
-
C.
\(24\,cm\)
-
D.
\(18\,cm\)
Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$ . Cho biết $AB = 3cm$ ; $AC = 4cm$ . Tính độ dài các đoạn thẳng $HA, HB.$
-
A.
\(HA = 2,4\,cm;\,HB = 1,2\,cm\)
-
B.
\(HA = 2\,cm;\,HB = 1,8\,cm\)
-
C.
\(HA = 2\,cm;\,HB = 1,2\,cm\)
-
D.
\(HA = 2,4\,cm;\,HB = 1,8\,cm\)
Cho hình bên biết $AB = 6\,cm,AC = 9\,cm$ , \(\widehat {ABD} = \widehat {BCA}\).
Độ dài đoạn $AD$ là:
-
A.
2 cm
-
B.
3 cm
-
C.
4 cm
-
D.
5 cm
Hãy chọn câu sai. Cho hình vẽ với $AB<AC$:
-
A.
\(\dfrac{{AD}}{{AB}} = \dfrac{{AE}}{{AC}} \Rightarrow DE//BC\).
-
B.
\(\dfrac{{AD}}{{DB}} = \dfrac{{AE}}{{EC}} \Rightarrow DE//BC\).
-
C.
\(\dfrac{{AB}}{{DB}} = \dfrac{{AC}}{{EC}} \Rightarrow DE//BC\).
-
D.
\(\dfrac{{AD}}{{DE}} = \dfrac{{AE}}{{ED}} \Rightarrow DE//BC\).
Tính giá trị của $x$ trong hình dưới đây:
-
A.
$x = 3\,$
-
B.
$x = \dfrac{{27}}{7}$
-
C.
$x = 4\,$
-
D.
$x = \dfrac{{27}}{5}$
Cho tứ giác \(ABCD\), lấy bất kỳ \(E \in BD\) . Qua \(E\) vẽ \(EF\) song song với \(AD\)( \(F\) thuộc \(AB\)), vẽ \(EG\) song song với \(DC\)(\(G\) thuộc\(BC\)). Chọn khẳng định sai.
-
A.
\(\dfrac{{BE}}{{ED}} = \dfrac{{BG}}{{GC}}\)
-
B.
\(\dfrac{{BF}}{{FA}} = \dfrac{{BG}}{{GC}}\)
-
C.
\(FG{\rm{//}}AC\)
-
D.
\(FG{\rm{//}}AD\)\(\)
Cho tam giác $ABC$ có $AB = 9\,cm$, điểm $D$ thuộc cạnh $AB$ sao cho $AD = 6\,cm$. Kẻ $DE$ song song với $BC$ $\left( {E \in AC} \right)$, kẻ $EF$ song song với $CD$ $\left( {F \in AB} \right)$. Tính độ dài $AF$ .
-
A.
\(6\,cm\)
-
B.
\(5\,cm\)
-
C.
\(4\,cm\)
-
D.
\(7\,cm\)\(\)
Cho tam giác $ABC,AB = AC = 10cm,$$BC = 12cm.$ Gọi $I$ là giao điểm của các đường phân giác của tam giác $ABC.$ Tính $BI$ ?
-
A.
$9\,cm$
-
B.
$6\,cm$
-
C.
$45\,cm$
-
D.
$3\sqrt 5 \,cm$
Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ , đường phân giác trong của góc $B$ cắt $AC$ tại $D$ và cho biết $AB = 15$ $cm$ , $BC = 10cm$ . Khi đó $AD = $ ?
-
A.
3 cm
-
B.
6cm
-
C.
9 cm
-
D.
12 cm
Cho tam giác $ABC$ . Các điểm $D,E,F$ theo thứ tự là trung điểm của $BC,CA,AB$ . Các điểm $A',B',C'$ theo thứ tự là trung điểm của $EF,DF,DE$ . Chọn câu đúng?
-
A.
\(\Delta A'B'C'\)\(\backsim\)\(\Delta ABC\) theo tỉ số \(k = \dfrac{1}{2}\)
-
B.
\(\Delta EDF\)\(\backsim\)\(\Delta ABC\) theo tỉ số \(k = \dfrac{1}{2}\)
-
C.
\(\Delta A'B'C'\)\(\backsim\)\(\Delta ABC\) theo tỉ số \(k = \dfrac{1}{4}\)
-
D.
\(\Delta A'B'C'\)\(\backsim\)\(\Delta EDF\) theo tỉ số \(k = \dfrac{1}{2}\)
Tứ giác $ABCD$ có $AB = 8\,cm,BC = 15\,cm,CD = 18\,cm,AD = 10\,cm,BD = 12\,cm.$
Chọn câu đúng nhất:
-
A.
\(\Delta ABD\)\(\backsim\) \(\Delta BDC\).
-
B.
$ABCD$ là hình thang.
-
C.
$ABCD$ là hình thang vuông.
-
D.
Cả A, B đều đúng.
Cho tam giác $ABC$ có $AB = 9\,cm,AC = 16\,cm,BC = 20\,cm$ . Khi đó
-
A.
\(\widehat B = \widehat {\dfrac{A}{3}}\)
-
B.
\(\widehat B = \dfrac{2}{3}\widehat A\)
-
C.
\(\widehat B = \widehat {\dfrac{A}{2}}\)
-
D.
\(\widehat B = \widehat C\)
Cho tam giác nhọn ABC có \(\widehat C = {40^0}\). Vẽ hình bình hành $ABCD$ . Gọi $AH,AK$ theo thứ tự là các đường cao của các tam giác $ABC,ACD$ . Tính số đo $\widehat {AKH}$ .
-
A.
\(30^\circ \)
-
B.
\(40^\circ \)
-
C.
\(45^\circ \)
-
D.
\(50^\circ \)
Tam giác ABC có $\widehat A = 2\widehat B$, $AB = 11\,{\rm{cm}}$, $AC = 25\,{\rm{cm}}$. Tính độ dài cạnh $BC$ .
-
A.
\(30\,cm\)
-
B.
\(20\,cm\)
-
C.
\(25\,cm\)
-
D.
\(15\,cm\)
Cho tam giác $ABC$, phân giác $AD$ . Gọi $E,F$ lần lượt là hình chiếu của $B$ và $C$ lên $AD$ .
Chọn khẳng định đúng.
-
A.
\(AE.DF = A{D^2}\)
-
B.
\(AE.DF = E{D^2}\)
-
C.
\(AE.DF = AF.DE\)
-
D.
\(AE.DF = B{D^2}\)
Với giả thiết được cho trong hình, kết quả nào sau đây là đúng ?
-
A.
\(y = 10\)
-
B.
\(x = 4,8\)
-
C.
\(x = 5\)
-
D.
\(y = 8,25\)
Lời giải và đáp án
Hãy chỉ ra cặp tam giác đồng dạng với nhau từ các tam giác sau đây:
-
A.
Hình 1 và hình 2
-
B.
Hình 2 và hình 3
-
C.
Hình 1 và hình 3
-
D.
Tất cả đều đúng.
Đáp án : A
Bước 1: Xét tỉ số độ dài của các cặp cạnh từng tam giác.
Bước 2: Thấy cặp tam giác nào có tỉ số cặp cạnh của từng tam giác bằng nhau và góc xen giữa cặp cạnh đó bằng nhau thì cặp cạnh đang xét đồng dạng với nhau theo trường hợp cạnh – góc – cạnh.
Có: \(\dfrac{{BA}}{{BC}} = \dfrac{5}{{10}} = \dfrac{1}{2},\;\dfrac{{DE}}{{DF}} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2},\;\dfrac{{PQ}}{{PR}} = \dfrac{4}{4} = 1 \Rightarrow \dfrac{{BA}}{{BC}} = \dfrac{{DE}}{{DF}} = \dfrac{1}{2}.\)
Xét \(\Delta ABC\) và $\Delta EDF$ ta có:
$\dfrac{{BA}}{{BC}} = \dfrac{{DE}}{{DF}}\,\,\left( {cmt} \right) $$\Leftrightarrow \dfrac{{DE}}{{BA}} = \dfrac{{DF}}{{BC}}$
$\widehat B = \widehat D = {60^0}\;(gt)$
$\Rightarrow \Delta ABC\backsim \Delta EDF\,\,\,\left( {c - g - c} \right).$
Cho \(\Delta ABC\), lấy 2 điểm $D$ và $E$ lần lượt nằm bên cạnh $AB$ và $AC$ sao cho \(\dfrac{{AD}}{{AB}} = \dfrac{{AE}}{{AC}}\). Kết luận nào sai?
-
A.
\(\Delta \;ADE\backsim\Delta \;ABC\)
-
B.
\(DE{\rm{//}}BC\)
-
C.
\(\dfrac{{AE}}{{AB}} = \dfrac{{AD}}{{AC}}\)
-
D.
\(\widehat {ADE} = \widehat {ABC}\)
Đáp án : C
Bước 1: Chứng minh cặp tam giác đồng dạng theo trường hợp cạnh – góc – cạnh.
Bước 2: Áp dụng định lý Talet đảo để tìm ra nhận định sai.
Xét $\Delta ADE$ và $\Delta ABC$ ta có:
\(\dfrac{{AD}}{{AB}} = \dfrac{{AE}}{{AC}}\) (theo gt)
$\widehat A$ chung.
$ \Rightarrow \Delta ADE\backsim\Delta ABC$ (c – g – c)
$ \Rightarrow \widehat {ADE} = \widehat {ABC}$ (cặp góc tương ứng)
$ \Rightarrow \dfrac{{AD}}{{AB}} = \dfrac{{AE}}{{AC}} = \dfrac{{DE}}{{BC}} \Rightarrow DE{\rm{//}}BC$ (định lý Talet đảo)
Cho hình vẽ dưới đây với \(\widehat {BAH} = \widehat {ACH}\) .
Khi đó các mệnh đề
(I) \(\Delta AHB\backsim\Delta CHA\;(g - g)\)
(II) \(\Delta AHC\backsim\Delta BAC\;(g - g)\)
-
A.
(I) đúng.
-
B.
(II) đúng.
-
C.
Cả (I) và (II) đều sai.
-
D.
Cả (I) và (II) đều đúng.
Đáp án : D
- Áp dụng lý thuyết về các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông để chứng minh các cặp tam giác vuông đồng dạng với nhau, từ đó chọn đáp án đúng.
Xét $2$ tam giác vuông $AHB$ và $CHA$ có: \(\widehat {BAH} = \widehat {ACH}\) (gt)
\( \Rightarrow \Delta AHB\backsim\Delta CHA\;(g - g)\)
\( \Rightarrow \) (I) đúng.
Xét $2$ tam giác vuông $AHC$ và $BAC$ có:
\(\widehat C\) chung
\( \Rightarrow \Delta AHC\backsim\Delta BAC\;(g - g)\)
\( \Rightarrow \) (II) đúng.
Vậy cả (I) và (II) đều đúng.
Hãy chọn câu đúng. Tỉ số \(\dfrac{x}{y}\) của các đoạn thẳng trong hình vẽ, biết rằng các số trên hình cùng đơn vị đo là $cm$ .
-
A.
\(\dfrac{7}{{15}}\)
-
B.
\(\dfrac{1}{7}\)
-
C.
\(\dfrac{{15}}{7}\)
-
D.
\(\dfrac{1}{{15}}\)
Đáp án : A
Xét tam giác \(ABC\), vì \(AD\) là phân giác góc \(\widehat {BAC}\) nên ta có \(\dfrac{{BD}}{{DC}} = \dfrac{{AB}}{{AC}} \Leftrightarrow \dfrac{x}{y} = \dfrac{{3,5}}{{7,5}} = \dfrac{7}{{15}}\)
Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$, đường cao $CE$. Tính $AB$, biết $BC = 24$cm và $BE = 9$cm.
-
A.
\(16\,cm\)
-
B.
\(32\,cm\)
-
C.
\(24\,cm\)
-
D.
\(18\,cm\)
Đáp án : B
- Kẻ đường cao \(AD\) sau đó chứng minh hai tam giác đồng dạng để suy ra tỉ lệ cạnh thích hợp, từ đó tính \(AB\) .
Kẻ đường cao $AD$ . Xét \(\Delta CBE\) và \(\Delta ABD\) có \(\widehat {BEC} = \widehat {ADB} = 90^\circ \) và \(\widehat B\) chung nên
$\Delta CBE\backsim\Delta ABD$ (g.g) $ \Rightarrow \dfrac{{BC}}{{AB}} = \dfrac{{BE}}{{BD}}$ hay $\dfrac{{24}}{{AB}} = \dfrac{9}{{12}}$
$ \Rightarrow AB = 32{\rm{cm}}$.
Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có đường cao $AH$ . Cho biết $AB = 3cm$ ; $AC = 4cm$ . Tính độ dài các đoạn thẳng $HA, HB.$
-
A.
\(HA = 2,4\,cm;\,HB = 1,2\,cm\)
-
B.
\(HA = 2\,cm;\,HB = 1,8\,cm\)
-
C.
\(HA = 2\,cm;\,HB = 1,2\,cm\)
-
D.
\(HA = 2,4\,cm;\,HB = 1,8\,cm\)
Đáp án : D
- Chứng minh các cặp tam giác đồng dạng phù hợp để tìm ra tỉ lệ thức thích hợp.
- Tính độ dài các cạnh cần tìm dựa vào định lý Pitago và dữ kiện đã có.
Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông $ABC$ ta có:
\(\begin{array}{l}A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\\ \Leftrightarrow {3^2} + {4^2} = B{C^2}\\ \Leftrightarrow B{C^2} = 25\\ \Rightarrow BC = 5\;cm\end{array}\)
Xét 2 tam giác vuông $ABC$ và $HBA$ có: \(\widehat B\) chung
\( \Rightarrow \Delta ABC\backsim\Delta HBA\;(g - g)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{HB}} = \dfrac{{BC}}{{BA}} \Rightarrow HB = \dfrac{{A{B^2}}}{{BC}} = \dfrac{{{3^2}}}{5} = 1,8\;cm\)
Mặt khác:
\(\dfrac{{AB}}{{HB}} = \dfrac{{AC}}{{HA}} \Rightarrow HA = \dfrac{{AC.HB}}{{AB}} = \dfrac{{4.1,8}}{3} = 2,4\;cm\)
Nên \(HA = 2,4\,cm;\,HB = 1,8\,cm\) .
Cho hình bên biết $AB = 6\,cm,AC = 9\,cm$ , \(\widehat {ABD} = \widehat {BCA}\).
Độ dài đoạn $AD$ là:
-
A.
2 cm
-
B.
3 cm
-
C.
4 cm
-
D.
5 cm
Đáp án : C
Bước 1: Từ dữ kiện đã có chứng minh được 2 tam giác đồng dạng theo trường hợp góc – góc.
Bước 2: Từ đó ta rút ra được tỉ lệ thức phù hợp, tính ra giá trị của x.
Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta ACB\) có:
\(\widehat A\;chung\)
\(\widehat {ABD} = \widehat {BCA}\;(gt)\)
\( \Rightarrow \Delta ABD\backsim\Delta ACB\;(g - g)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{AD}}{{AB}} \Leftrightarrow \dfrac{6}{9} = \dfrac{x}{6} \Leftrightarrow x = \dfrac{{6.6}}{9} = 4\;cm\)
Hãy chọn câu sai. Cho hình vẽ với $AB<AC$:
-
A.
\(\dfrac{{AD}}{{AB}} = \dfrac{{AE}}{{AC}} \Rightarrow DE//BC\).
-
B.
\(\dfrac{{AD}}{{DB}} = \dfrac{{AE}}{{EC}} \Rightarrow DE//BC\).
-
C.
\(\dfrac{{AB}}{{DB}} = \dfrac{{AC}}{{EC}} \Rightarrow DE//BC\).
-
D.
\(\dfrac{{AD}}{{DE}} = \dfrac{{AE}}{{ED}} \Rightarrow DE//BC\).
Đáp án : D
Theo định lý đảo của định lý Ta-lét: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.
Nên D sai.
Tính giá trị của $x$ trong hình dưới đây:
-
A.
$x = 3\,$
-
B.
$x = \dfrac{{27}}{7}$
-
C.
$x = 4\,$
-
D.
$x = \dfrac{{27}}{5}$
Đáp án : B
Bước 1: Chứng minh 2 tam giác đồng dạng theo trường hợp góc – góc.
Bước 2: Từ đó ta rút ra được tỉ lệ thức phù hợp, tính ra giá trị $x$ .
Xét \(\Delta IPA\) và \(\Delta ITL\) ta có:
\(+) \widehat {IPA} = \widehat {ITL} = {90^0}\\ +) \widehat {TIL}\,\,\,chung\\ \Rightarrow \Delta IPA\backsim\Delta ITL\;(g - g)\\ \Rightarrow \dfrac{{PA}}{{TL}} = \dfrac{{IA}}{{IL}} \Leftrightarrow \dfrac{{PA}}{{TL}} = \dfrac{{IA}}{{IA + AL}} \Leftrightarrow \dfrac{7}{{10}} = \dfrac{9}{{9 + x}}\)\( \Leftrightarrow x = \dfrac{{27}}{7}\)
Cho tứ giác \(ABCD\), lấy bất kỳ \(E \in BD\) . Qua \(E\) vẽ \(EF\) song song với \(AD\)( \(F\) thuộc \(AB\)), vẽ \(EG\) song song với \(DC\)(\(G\) thuộc\(BC\)). Chọn khẳng định sai.
-
A.
\(\dfrac{{BE}}{{ED}} = \dfrac{{BG}}{{GC}}\)
-
B.
\(\dfrac{{BF}}{{FA}} = \dfrac{{BG}}{{GC}}\)
-
C.
\(FG{\rm{//}}AC\)
-
D.
\(FG{\rm{//}}AD\)\(\)
Đáp án : D
Sử dụng định lý Ta-lét và định lý Ta-lét đảo để suy ra các hệ thức đúng.
Áp dụng định lí Ta-lét trong \(\Delta ABD\) với \(EF{\rm{//}}AD\), ta có \(\dfrac{{BE}}{{ED}} = \dfrac{{BF}}{{FA}}\). (1)
Áp dụng định lí Ta-lét trong\(\Delta BDC\) với \(EG{\rm{//}}DC\), ta có \(\dfrac{{BE}}{{ED}} = \dfrac{{BG}}{{GC}}\). (2)
Từ (1) và (2) suy ra\(\dfrac{{BF}}{{FA}} = \dfrac{{BG}}{{GC}}\), do đó \(FG{\rm{//}}AC\)(định lí Ta-lét đảo).
Vậy A, B, C đúng, D sai.
Cho tam giác $ABC$ có $AB = 9\,cm$, điểm $D$ thuộc cạnh $AB$ sao cho $AD = 6\,cm$. Kẻ $DE$ song song với $BC$ $\left( {E \in AC} \right)$, kẻ $EF$ song song với $CD$ $\left( {F \in AB} \right)$. Tính độ dài $AF$ .
-
A.
\(6\,cm\)
-
B.
\(5\,cm\)
-
C.
\(4\,cm\)
-
D.
\(7\,cm\)\(\)
Đáp án : C
Áp dụng định lí Ta-lét :
Với ${\rm{EF//}}CD$ ta có $\dfrac{{AF}}{{AD}} = \dfrac{{AE}}{{AC}}$.
Với $DE{\rm{//}}BC$ ta có $\dfrac{{AE}}{{AC}} = \dfrac{{AD}}{{AB}}$.
Suy ra $\dfrac{{AF}}{{AD}} = \dfrac{{AD}}{{AB}}$, tức là $\dfrac{{AF}}{6} = \dfrac{6}{9}$.
Vậy ${\rm{AF = }}\dfrac{{6.6}}{9} = 4$(cm).
Cho tam giác $ABC,AB = AC = 10cm,$$BC = 12cm.$ Gọi $I$ là giao điểm của các đường phân giác của tam giác $ABC.$ Tính $BI$ ?
-
A.
$9\,cm$
-
B.
$6\,cm$
-
C.
$45\,cm$
-
D.
$3\sqrt 5 \,cm$
Đáp án : D
- Áp dụng các tính chất, định lý đã học để tìm ra các dữ kiện cần thiết.
- Áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác để tìm ra tỉ lệ thức phù hợp.
- Sử dụng dữ kiện và tỉ lệ thức vừa tìm được để tính $BI$ .
- Ta có $AB = AC = 10 cm$
Suy ra \(\Delta ABC\) cân tại A.
- Có I là giao các đường phân giác của \(\Delta ABC\).
Suy ra $AI, BI$ là đường phân giác của \(\Delta ABC\).
- Gọi $H$ là giao của $AI$ và $BC.$
- Khi đó ta có $AH$ vừa là đường phân giác, vừa là đường cao,
vừa là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy của tam giác cân $ABC$ (tính chất tam giác cân).
\( \Rightarrow \) $H$ là trung điểm của cạnh $BC$ \( \Rightarrow BH = HC = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{{12}}{2} = 6\;cm\).
Áp dụng định lý Pitago trong tam giác ABH vuông tại H, ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,A{H^2} + B{H^2} = A{B^2}\\ \Leftrightarrow A{H^2} + {6^2} = {10^2}\\ \Leftrightarrow A{H^2} = 100 - 36 = 64\\ \Rightarrow AH = 8\end{array}\)
Vì $BI$ là phân giác của tam giác $ABH$ nên:
\(\begin{array}{l}\dfrac{{AB}}{{BH}} = \dfrac{{AI}}{{IH}} = \dfrac{{AH - IH}}{{IH}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{10}}{6} = \dfrac{{8 - IH}}{{IH}}\\ \Leftrightarrow 10IH = 48 - 6IH\\ \Leftrightarrow IH = 3\end{array}\)
Áp dụng định lý Pitago trong tam giác $BHI$ vuông tại $H,$ ta có:
$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,B{I^2} = I{H^2} + B{H^2}\\ \Leftrightarrow B{I^2} = {3^2} + {6^2}\\ \Leftrightarrow B{I^2} = 45\\ \Rightarrow BI = 3\sqrt 5 \end{array}$
Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ , đường phân giác trong của góc $B$ cắt $AC$ tại $D$ và cho biết $AB = 15$ $cm$ , $BC = 10cm$ . Khi đó $AD = $ ?
-
A.
3 cm
-
B.
6cm
-
C.
9 cm
-
D.
12 cm
Đáp án : C
Kết hợp tính chất định lý, đã học và tính chất đường phân giác của tam giác để tìm ra tỉ lệ thức phù hợp, từ đó tìm ra độ dài $AD$ .
Vì $BD$ là đường phân giác của \(\widehat {ABC}\) nên:
\(\dfrac{{AD}}{{DC}} = \dfrac{{AB}}{{BC}}\)
Suy ra: \(\dfrac{{AD}}{{DC + AD}} = \dfrac{{AB}}{{BC + AB}}\)
(theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau)
\( \Rightarrow \dfrac{{AD}}{{AC}} = \dfrac{{AB}}{{BC + AB}}\)
Mà tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên $AC = AB = 15cm.$\( \Rightarrow \dfrac{{AD}}{{15}} = \dfrac{{15}}{{15 + 10}} \)\(\Rightarrow AD = \dfrac{{15.15}}{{25}} = 9\;cm\)
Cho tam giác $ABC$ . Các điểm $D,E,F$ theo thứ tự là trung điểm của $BC,CA,AB$ . Các điểm $A',B',C'$ theo thứ tự là trung điểm của $EF,DF,DE$ . Chọn câu đúng?
-
A.
\(\Delta A'B'C'\)\(\backsim\)\(\Delta ABC\) theo tỉ số \(k = \dfrac{1}{2}\)
-
B.
\(\Delta EDF\)\(\backsim\)\(\Delta ABC\) theo tỉ số \(k = \dfrac{1}{2}\)
-
C.
\(\Delta A'B'C'\)\(\backsim\)\(\Delta ABC\) theo tỉ số \(k = \dfrac{1}{4}\)
-
D.
\(\Delta A'B'C'\)\(\backsim\)\(\Delta EDF\) theo tỉ số \(k = \dfrac{1}{2}\)
Đáp án : C
Sử dụng tính chất đường trung bình của tam giác để suy ra tỉ số các cạnh từ đó có các tam giác đồng dạng.
Vì $D,E,F$ theo thứ tự là trung điểm của $BC,CA,AB$ nên \(EF;\,ED;\,FD\) là các đường trung bình của tam giác \(ABC\) nên \(\dfrac{{EF}}{{BC}} = \dfrac{{FD}}{{AC}} = \dfrac{{ED}}{{AB}} = \dfrac{1}{2}\) suy ra \(\Delta ABC\backsim\Delta DEF\,\left( {c - c - c} \right)\) theo tỉ số đồng dạng \(k =2\) .
Tương tự ta có \(A'B';\,B'C';\,C'A'\) là các đường trung bình của tam giác \(DEF\) nên \(\Delta A'B'C'\)\(\backsim\)\(\Delta DEF\) theo tỉ số \(k = \dfrac{1}{2}\)
Theo tính chất đường trung bình $\dfrac{{B'C'}}{{EF}} = \dfrac{1}{2}$ mà $\dfrac{{EF}}{{BC}} = \dfrac{1}{2}$ (cmt) suy ra \(\dfrac{{B'C'}}{{BC}} = \dfrac{1}{4}.\)
Tương tự \(\dfrac{{A'B'}}{{AB}} = \dfrac{{A'C'}}{{AC}} = \dfrac{1}{4}.\)
Do đó \(\Delta A'B'C'\)\(\backsim\)\(\Delta ABC\,\left( {c - c - c} \right)\) theo tỉ số \(k = \dfrac{1}{4}\).
Tứ giác $ABCD$ có $AB = 8\,cm,BC = 15\,cm,CD = 18\,cm,AD = 10\,cm,BD = 12\,cm.$
Chọn câu đúng nhất:
-
A.
\(\Delta ABD\)\(\backsim\) \(\Delta BDC\).
-
B.
$ABCD$ là hình thang.
-
C.
$ABCD$ là hình thang vuông.
-
D.
Cả A, B đều đúng.
Đáp án : D
+ Sử dụng cách chứng minh hai tam giác đồng dạng theo trường hợp cạnh-cạnh-cạnh.
+ Từ đó suy ra cặp góc tương ứng bằng nhau để chứng minh hai đường thẳng song song
+ Suy ra \(ABCD\) là hình thang.
Ta có \(\dfrac{{AB}}{{BD}} = \dfrac{{AD}}{{BC}} = \dfrac{{BD}}{{DC}}\) (vì \(\dfrac{8}{{12}} = \dfrac{{10}}{{15}} = \dfrac{{12}}{{18}}\,\left( { = \dfrac{2}{3}} \right)\) )
nên \(\Delta ABD\)\(\backsim\) \(\Delta BDC\,\left( {c - c - c} \right)\)
\(\Delta ABD\)\(\backsim\)\(\Delta BDC\)nên \(\widehat {ABD} = \widehat {BDC}.\) Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên $AB$ //$CD$ . Vậy $ABCD$ là hình thang.
Lại có \(B{D^2} = 144 < 164 = A{D^2} + A{B^2}\) nên \(\Delta ABD\) không vuông. Do đó \(ABCD\) không là hình thang vuông.
Vậy A, B đều đúng, C sai.
Cho tam giác $ABC$ có $AB = 9\,cm,AC = 16\,cm,BC = 20\,cm$ . Khi đó
-
A.
\(\widehat B = \widehat {\dfrac{A}{3}}\)
-
B.
\(\widehat B = \dfrac{2}{3}\widehat A\)
-
C.
\(\widehat B = \widehat {\dfrac{A}{2}}\)
-
D.
\(\widehat B = \widehat C\)
Đáp án : C
+ Kẻ đường phân giác $AE$ của \(\widehat {BAC}\) sau đó sử dụng tính chất đường phân giác của tam giác để tính \(EC\) .
+ Chứng minh \(\Delta ACB \backsim \Delta ECA\) (c-g-c) suy ra mối quan hệ giữa các góc.
Kẻ đường phân giác $AE$ của \(\widehat {BAC}\) . Theo tính chất đường phân giác, ta có:
$\dfrac{{BE}}{{EC}} = \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{9}{{16}}$ nên
$\dfrac{{BE + EC}}{{EC}} = \dfrac{{9 + 16}}{{16}}$ hay $\dfrac{{20}}{{EC}} = \dfrac{{25}}{{16}}.$
Suy ra $EC = 12,8\,cm$ .
Xét \(\Delta ACB\) và \(\Delta ECA\) có
\(\widehat C\) là góc chung;
$\dfrac{{AC}}{{CB}} = \dfrac{{EC}}{{CA}}$ (vì $\dfrac{{16}}{{20}} = \dfrac{{12,8}}{{16}}$).
Do đó \(\Delta ACB \backsim \Delta ECA\) (c.g.c) suy ra \(\widehat B = {\widehat A_2}\), tức là \(\widehat B = \widehat {\dfrac{A}{2}}\).
Cho tam giác nhọn ABC có \(\widehat C = {40^0}\). Vẽ hình bình hành $ABCD$ . Gọi $AH,AK$ theo thứ tự là các đường cao của các tam giác $ABC,ACD$ . Tính số đo $\widehat {AKH}$ .
-
A.
\(30^\circ \)
-
B.
\(40^\circ \)
-
C.
\(45^\circ \)
-
D.
\(50^\circ \)
Đáp án : B
Bước 1: Sử dụng công thức diện tích hình bình hành để suy ra hệ thức về cạnh. Sử dụng quan hệ từ vuông góc đến song song và mối quan hệ giữa các góc để suy ra hai góc bằng nhau.
Bước 2: Từ đó suy ra \(\Delta AKH\backsim\Delta ACB\) và tính được \(\widehat {AKH}\) .
Vì $AD.AH = AB.AK$ \(( = {S_{ABCD}})\) nên \(\dfrac{{AH}}{{AK}} = \dfrac{{AB}}{{AD}} = \dfrac{{AB}}{{BC}}.\)
Ta lại có \(AB{\rm{//}}CD\,\)( vì $ABCD$ là hình bình hành) mà \(AK \bot DC \Rightarrow AK \bot AB \)\(\Rightarrow \widehat {BAK} = 90^\circ. \)
Từ đó \(\widehat {HAK} = \widehat {ABC}\) (cùng phụ với \(\widehat {BAH}\) )
Nên \(\Delta AKH\backsim\Delta BCA\)(c.g.c) \( \Rightarrow \widehat {AKH} = \widehat {ACB} = 40^\circ \) .
Tam giác ABC có $\widehat A = 2\widehat B$, $AB = 11\,{\rm{cm}}$, $AC = 25\,{\rm{cm}}$. Tính độ dài cạnh $BC$ .
-
A.
\(30\,cm\)
-
B.
\(20\,cm\)
-
C.
\(25\,cm\)
-
D.
\(15\,cm\)
Đáp án : A
Bước 1: Trên tia đối của tia $AC$ lấy điểm $D$ sao cho $AD = AB$
Bước 2: Tìm dữ kiện cần để chứng minh cặp tam giác đồng dạng theo trường hợp góc – góc.
Bước 3: Từ tam giác đồng dạng suy ra tỉ lệ cạnh thích hợp để tính \(BC\) .
Trên tia đối của tia $AC$ lấy điểm $D$ sao cho $AD = AB$ .
Tam giác $ABD$ cân tại $A$ nên \(\widehat {BAC} = \widehat {{B_1}} + \widehat D = 2\widehat D\) .
Ta lại có $\widehat {BAC} = 2\widehat {{B_2}}$ nên \(\widehat D = \widehat {{B_2}}\) .
Xét \(\Delta CBA\) và \(\Delta CDB\) có \(\widehat C\) chung và \(\widehat D = \widehat {{B_2}}\)
Nên \(\Delta CBA\backsim\Delta CDB\,\left( {g - g} \right)\) nên \(\dfrac{{CB}}{{CD}} = \dfrac{{AC}}{{BC}}\) ,
tức là \(\dfrac{{CB}}{{36}} = \dfrac{{25}}{{BC}}\). Từ đó \(B{C^2} = 25.36\)
suy ra \(BC = 5.6 = 30(cm)\).
Cho tam giác $ABC$, phân giác $AD$ . Gọi $E,F$ lần lượt là hình chiếu của $B$ và $C$ lên $AD$ .
Chọn khẳng định đúng.
-
A.
\(AE.DF = A{D^2}\)
-
B.
\(AE.DF = E{D^2}\)
-
C.
\(AE.DF = AF.DE\)
-
D.
\(AE.DF = B{D^2}\)
Đáp án : C
- Chứng minh các cặp tam giác đồng dạng phù hợp để tìm ra tỉ lệ thức thích hợp.
- Từ đó rút ra điều cần chứng minh.
Xét 2 tam giác vuông ABE và ACF ta có:
\(\widehat {BAE} = \widehat {CAF}\) (vì AD là tia phân giác của góc A)
\( \Rightarrow \Delta ABE\backsim\Delta ACF\;(g - g)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{AE}}{{AF}} = \dfrac{{BE}}{{CF}}\;(1)\)
Xét 2 tam giác vuông BDE và CDF ta có:
\(\widehat {EDB} = \widehat {FDC}\) (2 góc đối đỉnh)
\( \Rightarrow \Delta BDE\backsim\Delta CDF\)(g – g)
\( \Rightarrow \dfrac{{BE}}{{CF}} = \dfrac{{DE}}{{DF}}\;(2)\)
Từ (1) và (2) ta có:
\(\dfrac{{AE}}{{AF}} = \dfrac{{DE}}{{DF}} \Leftrightarrow AE.DF = AF.DE\) (đpcm)
Với giả thiết được cho trong hình, kết quả nào sau đây là đúng ?
-
A.
\(y = 10\)
-
B.
\(x = 4,8\)
-
C.
\(x = 5\)
-
D.
\(y = 8,25\)
Đáp án : B
- Chứng minh các cặp tam giác đồng dạng phù hợp để tìm ra tỉ lệ thức thích hợp.
- Tính độ dài $x,y$ dựa vào dữ kiện tìm được và dữ kiện đề bài đã cho (áp dụng định lý Pytago).
Xét 2 tam giác vuông \(\Delta ADO\)\((\widehat {DAO} = {90^0})\) và \(\Delta ECO\)\((\widehat {CEO} = {90^0})\) ta có:
\(\widehat {AOD} = \widehat {EOC}\) (2 góc đối đỉnh)
\( \Rightarrow \Delta ADO\backsim\Delta ECO\;(g - g)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{AD}}{{EC}} = \dfrac{{DO}}{{CO}} \Leftrightarrow \dfrac{4}{x} = \dfrac{5}{6} \Leftrightarrow x = \dfrac{{4.6}}{5} = 4,8\)
Vì \(\Delta ADO\) vuông tại A nên áp dụng định lý Pitago ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,A{D^2} + A{O^2} = O{D^2}\\ \Leftrightarrow {4^2} + A{O^2} = {5^2}\\ \Leftrightarrow A{O^2} = {5^2} - {4^2} = 9\\ \Rightarrow AO = 3\end{array}\)
Xét 2 tam giác vuông \(\Delta CEO\;(\widehat {CEO} = {90^0})\) và \(\Delta CAB\;(\widehat {CAB} = {90^0})\) có:\(\widehat C\) chung
\( \Rightarrow \dfrac{{CO}}{{CB}} = \dfrac{{CE}}{{CA}} \Leftrightarrow \dfrac{{CO}}{{CE + EB}} = \dfrac{{CE}}{{CO + OA}} \Leftrightarrow \dfrac{6}{{4,8 + y}} = \dfrac{{4,8}}{{6 + 3}} \Leftrightarrow y = 6,45\)
Vậy \(x = 4,8;\;y = 6,45\).