Bài 79 trang 155 SGK Đại số 10 nâng cao

Tìm các giá trị của tham số m sao cho hệ bất phương trình sau có nghiệm.

Đề bài

Tìm các giá trị của tham số m sao cho hệ bất phương trình sau có nghiệm.

\(\left\{ \matrix{
{7 \over 6}x - {1 \over 2} \ge {{3x} \over 2} - {{13} \over 3} \hfill \cr
{m^2}x + 1 \ge {m^4} - x \hfill \cr} \right.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Giải từng bpt có trong hệ và tìm điều kiện để hệ có nghiệm (hai tập nghiệm giao nhau khác rỗng)

Lời giải chi tiết

Ta có:

\({7 \over 6}x - {1 \over 2} > {{3x} \over 2} - {{13} \over 3}\) \( \Leftrightarrow 7x - 3 > 9x - 26 \) \( \Leftrightarrow 7x - 9x > - 26 + 3\) \( \Leftrightarrow - 2x > - 23\) \(\Leftrightarrow x < {{23} \over 2}\)

Tập nghiệm của bpt đầu là \(S _1= \left( { - \infty ;\frac{{23}}{2}} \right)\)

\(\begin{array}{l}
{m^2}x + 1 \ge {m^4} - x\\
\Leftrightarrow {m^2}x + x \ge {m^4} - 1\\
\Leftrightarrow \left( {{m^2} + 1} \right)x \ge {m^4} - 1\\
\Leftrightarrow x \ge \frac{{{m^4} - 1}}{{{m^2} + 1}} = \frac{{\left( {{m^2} + 1} \right)\left( {{m^2} - 1} \right)}}{{{m^2} + 1}}= {m^2} - 1\\
\left( {\text{Vì } \,{m^2} + 1 > 0,\forall m} \right)
\end{array}\)

Tập nghiệm của bpt sau là \({S_2} = \left[ {{m^2} - 1; + \infty } \right)\)

Hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi \({S_1} \cap {S_2} \ne \emptyset \)

\( \Leftrightarrow {m^2} - 1 < {{23} \over 2} \Leftrightarrow {m^2} < {{25} \over 2}\) \( \Leftrightarrow \,|m| < {{5\sqrt 2 } \over 2} \)

\(\Leftrightarrow - {{5\sqrt 2 } \over 2} < m < {{5\sqrt 2 } \over 2}\)

Loigiaihay.com