Lý thuyết Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

1. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

+) Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Ví dụ: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y > 10\\x - y \le 7\end{array} \right.\), \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3y \le 5\\x - 2y > 7\\2x > 3\end{array} \right.\).

+) Cặp số \(({x_0};{y_0})\) là nghiệm của một hệ BPT bậc nhất hai ẩn khi \(({x_0};{y_0})\) đồng thời là nghiệm của tất cả các BPT trong hệ đó.

Ví dụ: Cặp số \((7;0)\) là một nghiệm của hệ BPT \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y > 10\\x - y \le 7\end{array} \right.\).

2. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ

+) Miền nghiệm là tập hợp các điểm có tọa độ (x;y) là nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn đó.

+) Miền nghiệm của hệ là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.

+) Cách xác định miền nghiệm của một hệ BPT bậc nhất hai ẩn:

Bước 1: Trên cùng một mặt phẳng tọa độ, xác định miền nghiệm của mỗi BPT trong hệ và gạch bỏ miền còn lại.

Bước 2: Miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ BPT đã cho.

Ví dụ: Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y > 2\\3x + y \le 6\end{array} \right.\)

Giải:

- Xác định miền nghiệm của BPT \(2x - y > 2\):

Vẽ đường thẳng \(\Delta :2x - y = 2\) (nét đứt) đi qua (1;0) và (0; -2).

Lấy điểm \(O(0;0)\) không thuộc \(\Delta \). Ta có \(2.0 - 0 = 0\) và \(c = 2\).

Vì \(2.0 - 0 = 0 < 2\) nên điểm \(O(0;0)\) không thuộc miền nghiệm.

Vậy miền nghiệm của BPT \(2x - y > 2\) là nửa mặt phẳng (không kể bờ \(\Delta \)) không chứa điểm \(O(0;0)\) (miền không gạch chéo).

- Xác định miền nghiệm của BPT \(3x + y \le 6\):

Vẽ đường thẳng \(d:3x + y = 6\) (nét liền) đi qua (2;0) và (0;6).

Lấy điểm \(O(0;0)\) không thuộc \(d\). Ta có \(3.0 + 0 = 0\) và \(c = 6\).

Vì  \(3.0 + 0 = 0 \le 6\) nên điểm \(O(0;0)\) thuộc miền nghiệm.

Vậy miền nghiệm của BPT \(3x + y \le 6\) là nửa mặt phẳng (kể cả bờ \(d\)) chứa điểm \(O(0;0)\) (miền không gạch chéo).

Miền không bị gạch (kể cả d, không kể \(\Delta \)) là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

3. Ứng dụng của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Cho hệ BPT bậc nhất hai ẩn x, y có miền nghiệm là miền đa giác \({A_1}{A_2}...{A_n}\).

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức \(F(x;y) = mx + ny\).

Bước 1: Tính giá trị của F tương ứng với (x; y) là tọa độ các đỉnh \({A_1},{A_2},...,{A_n}\).

Bước 2: Kết luận.

Giá trị lớn nhất của F là số lớn nhất trong các giá trị thu được.

Giá trị nhỏ nhất của F là số bé nhất trong các giá trị thu được.

Ví dụ:

1) Một trang trại cân thuê xe vận chuyển 450 con lợn và 35 tấn cám. Nơi cho thuê xe chỉ có 12 xe lớn và 10 xe nhỏ. Một chiếc xe lớn có thể chở 50 con lợn và 5 tấn cám. Một chiếc xe nhỏ có thể chở 30 con lợn và 1 tấn cám. Tiền thuê một xe lớn là 4 triệu đồng, một xe nhỏ là 2 triệu đồng. Hỏi phải thuê bao nhiêu xe mỗi loại để chi phí thuê xe là thấp nhất?

Giải:

Gọi số xe loại lớn, nhỏ cần thuê lần lượt là x, y (xe; \(x,y \in \mathbb{N}\)).

Nơi cho thuê xe chỉ có 12 xe lớn và 10 xe nhỏ nên \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 12\\0 \le y \le 10\end{array} \right.\).

Số lợn x xe lớn chở được là 50x (con), y xe nhỏ chở được 30y là (con).

Vì cần chở 450 con lợn nên các xe phải chở được ít nhất 450 con, suy ra \(50x + 30y \ge 450\).

Số cám x xe lớn chở được là 5x (tấn), y xe nhỏ chở được là y (tấn).

Vì cần chở 35 tấn cám nên các xe phải chở được ít nhất 35 tấn, suy ra \(5x + y \ge 35\).

Ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 12\\0 \le y \le 10\\50x + 30y \ge 450\\5x + y \ge 35\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 12\\0 \le y \le 10\\5x + 3y \ge 45\\5x + y \ge 35\end{array} \right.\)

Hệ phương trình trên có miền nghiệm là ngũ giác ABCDE (bao gồm các đoạn thẳng) với:

A(5; 10), B(6; 5), C(9; 0), D(12; 0), E(12; 10).

Số tiền thuê xe là T = 4x + 2y (triệu đồng).

Ta có \({T_A} = 4.5 + 2.10 = 40\);

\({T_B} = 4.6 + 2.5 = 34\);

\({T_C} = 4.9 + 2.0 = 36\);

\({T_D} = 4.12 + 2.0 = 48\);

\({T_E} = 4.12 + 2.10 = 68\).

Suy ra giá trị T nhỏ nhất là T = 34 khi x = 6 và y = 5.

Vậy trang trại phải thuê 6 xe lớn, 5 xe nhỏ để chi phí thuê xe là thấp nhất.

2) Để gây quỹ từ thiện, câu lạc bộ thiện nguyện của một trường THPT tổ chức hoạt động bán hàng với hai mặt hàng là nước chanh và khoai chiên. Câu lạc bộ thiết kế hai thực đơn. Thực đơn 1 có giá 25 nghìn đồng, bao gồm hai cốc nước chanh và một túi khoai chiên. Thực đơn 2 có giá 40 nghìn đồng, bao gồm ba cốc nước chanh và hai túi khoai chiên. Biết rằng câu lạc bộ chỉ làm được không quá 165 cốc nước chanh và 100 túi khoai chiên. Số tiền lớn nhất mà câu lạc bộ có thể nhận được sau khi bán hết hàng bằng bao nhiêu nghìn đồng?

Giải:

Gọi số thực đơn 1 là $x$, số thực đơn 2 là $y$, ta có $x \geq 0$; $y \geq 0$.

Số cốc nước chanh là $2x + 3y \leq 165$.

Số túi khoai tây chiên là $x + 2y \leq 100$.

Số tiền thu về là $T = 25x + 40y$.

Xét hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn:

$\left\{ \begin{array}{l} {x \geq 0} \\ {y \geq 0} \\ {2x + 3y \leq 165} \\ {x + 2y \leq 100} \end{array} \right.$

Miền nghiệm là tứ giác OABC với O(0; 0), A(0; 50), B(30; 35), C(82,5; 0).

Ta có: $T_{O} = 25.0 + 40.0 = 0$;

$T_{A} = 25.0 + 40.50 = 200$;

$T_{B} = 25.30 + 40.35 = 2150$;

$T_{C} = 25.82,5 + 40.0 = 2062,5$.

Vậy số tiền lớn nhất câu lạc bộ nhận được khi bán hết hàng bằng 2150 nghìn đồng.

3) Một công ty điện tử sản xuất hai kiểu radio trên hai dây chuyền độc lập. Radio kiểu một sản xuất trên dây chuyền một với công suất 45 radio/ngày radio kiểu hai sản xuất trên dây chuyền 2 với công suất 80 radio/ngày. Để sản xuất một chiếc radio kiểu một cần 12 linh kiện, để sản xuất một chiếc radio kiểu 2 cần 9 linh kiện tiền lãi khi bán một chiếc radio kiểu một là 250 000 đồng tiền lãi thu được khi bán một chiếc Rario kiểu 2 là 180 000 đồng. Hỏi cần sản xuất như thế nào để tiền lãi thu được là nhiều nhất biết rằng số linh kiện có thể sử dụng tối đa trong một ngày là 900.

Giải:

Gọi số radio kiểu một và kiểu hai mà công ty này sản xuất trong một ngày lần lượt là x, y (đơn vị: chiếc; \(x,y \in {\mathbb{N}^*}\)).

Số tiền lãi công ty thu được trong 1 ngày: f(x; y) = 250x + 180y (nghìn đồng).

Công suất của dây chuyền 1 là 45 radio/ngày và dây chuyền 2 là 80 radio/ngày nên:

\( \left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 45\\0 \le y \le 80\end{array} \right.\)

Để sản xuất 1 chiếc radio kiểu một cần 12 linh kiện điện tử A và một chiếc radio kiểu hai cần 9 linh kiện này. Số linh kiện này được cung cấp mỗi ngày không quá 900 nên \(12x + 9y \le 900\).

Ta có hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 45\\0 \le y \le 80\\12x + 9y \le 900\end{array} \right.\)

Miền của hệ BPT là tứ giác OABCD với O(0; 0), A(45; 0), B(45; 40), C(15; 80), D(0; 80), kể cả biên:

Khi đó f(x; y) đạt GTLN khi (x; y) là một trong số các điểm A(45; 0), B(45; 40), C(15; 80), D(0; 80).

Thay lần lượt toạ độ các điểm trên vào hàm f(x; y) ta có f(x; y) đạt GTLN bằng 18 450 000 đồng khi (x; y) = (45; 40).