Giải mục 2 trang 8, 9 SGK Toán 10 tập 2 - Chân trời sáng tạo

HĐ Khám phá 2

Quan sát đồ thị của các hàm số bậc hai trong các hình thức dưới đây. Trong mỗi trường hợp, hãy cho biết:

+) Các nghiệm (nếu có) và dấu của biệt thức \(\Delta \)

+) Các khoảng giá trị của \(x\)mà trên đó \(f\left( x \right)\) cùng dấu với hệ số của \({x^2}\)

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định nghiệm của hàm số là giao của đồ thị và trục hoành

Bước 2: Xác định biệt thức \(\Delta  = {b^2} - 4ac\) và xác định dấu của nó

Bước 3: Dựa vào đồ thị xác định dấu của \(f\left( x \right)\)

          +) Phần đồ thị nằm trên trục hoành là \(f\left( x \right) > 0\)

          +) Phần đồ thị nằm dưới trục hoành là \(f\left( x \right) < 0\)

Lời giải chi tiết:

a) Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đã cho vô nghiệm

          Biệt thức \(\Delta  = {2^2} - 4.\left( { - 1} \right).\left( { - 2} \right) =  - 4 < 0\)

          Ta thấy hệ số của \({x^2}\) là \( - 1 < 0\)

          Đồ thị nằm dưới trục hoành với mọi x

Nên \(f\left( x \right)\) cùng dấu với hệ số của \({x^2}\) với \(\forall x \in \mathbb{R}\)

b) Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đã cho có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = 1\)

Biệt thức \(\Delta  = {2^2} - 4.\left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right) = 0\)

          Ta thấy hệ số của \({x^2}\) là \( - 1 < 0\)

          Đồ thị nằm dưới trục hoành với mọi x

Nên \(f\left( x \right)\) cùng dấu với hệ số của \({x^2}\) với \(\forall x \in \mathbb{R}\)

c) Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đã cho có hai nghiệm phân biệt  \({x_1} =  - 1;{x_2} = 3\)

Biệt thức \(\Delta  = {2^2} - 4.\left( { - 1} \right).3 = 16 > 0\)

          Ta thấy hệ số của \({x^2}\) là \( - 1 < 0\)

Đồ thị nằm dưới trục hoành khi  \(x \in \left( { - \infty , - 1} \right) \cup \left( {3, + \infty } \right)\)

Đồ thị nằm trên trục hoành với mọi \(x \in \left( { - 1,3} \right)\)

Nên \(f\left( x \right)\) cùng dấu với hệ số của \({x^2}\) khi \(x \in \left( { - \infty , - 1} \right) \cup \left( {3, + \infty } \right)\)

d) Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số bậc hai đã cho vô nghiệm

Biệt thức \(\Delta  = {6^2} - 4.1.10 =  - 4 < 0\)

          Ta thấy hệ số của \({x^2}\) là \(1 > 0\)

Đồ thị nằm trên trục hoành với mọi \(x\)

Nên \(f\left( x \right)\) cùng dấu với hệ số của \({x^2}\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

e) Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đã cho có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} =  - 3\)

Biệt thức \(\Delta  = {6^2} - 4.1.9 = 0\)

          Ta thấy hệ số của \({x^2}\) là \(1 > 0\)

          Đồ thị nằm trên trục hoành với mọi x

Nên \(f\left( x \right)\) cùng dấu với hệ số của \({x^2}\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

g) ) Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đã cho có hai nghiệm phân biệt  \({x_1} =  - 4;{x_2} =  - 2\)

Biệt thức \(\Delta  = {6^2} - 4.1.8 = 4 > 0\)

          Ta thấy hệ số của \({x^2}\) là \(1 > 0\)

Đồ thị nằm trên trục hoành khi  \(x \in \left( { - \infty , - 4} \right) \cup \left( { - 2, + \infty } \right)\)

Đồ thị nằm dưới trục hoành với mọi \(x \in \left( { - 4, - 2} \right)\)

Nên \(f\left( x \right)\) cùng dấu với hệ số của \({x^2}\) khi \(x \in \left( { - \infty , - 4} \right) \cup \left( { - 2, + \infty } \right)\)

Thực hành 3

Xét dấu của các tam thức bậc hai sau:

a) \(f\left( x \right) = 2{x^2} - 3x - 2\)         

b) \(g\left( x \right) =  - {x^2} + 2x - 3\)

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính và xác định dấu của biệt thức \(\Delta  = {b^2} - 4ac\)

Bước 2: Xác định nghiệm của \(f\left( x \right)\) (nếu có) \(x = \frac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}\)

Bước 3: Xác định dấu của hệ số \(a\)

Bước 4: Xác định dấu của \(f\left( x \right)\)

Lời giải chi tiết:

a) \(f\left( x \right) = 2{x^2} - 3x - 2\) có \(\Delta  = 25 > 0\), hai nghiệm phân biệt là \({x_1} =  - \frac{1}{2};{x_2} = 2\)

và \(a = 2 > 0\)

Ta có bảng xét dấu như sau:

Vậy \(f\left( x \right)\) âm trong khoảng \(\left( { - \frac{1}{2},2} \right)\) và dương trong hai khoảng

 \(\left( { - \infty , - \frac{1}{2}} \right)\) và \(\left( {2, + \infty } \right)\)

b) \(g\left( x \right) =  - {x^2} + 2x - 3\) có \(\Delta  = {2^2} - 4.\left( { - 1} \right).\left( { - 3} \right) =  - 8 < 0\) và \(a =  - 1 < 0\)

Vậy \(g\left( x \right)\)âm với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Vận dụng

Xét dấu tam thức bậc hai \(h\left( x \right) =  - 0,006{x^2} + 1,2x - 30\) trong bài toán khởi động và cho biết ở khoảng cách nào tính từ đầu cầu O thì vòm cầu: cao hơn mặt cầu, thấp hơn mặt cầu

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính và xác định dấu của biệt thức \(\Delta  = {b^2} - 4ac\)

Bước 2: Xác định nghiệm của \(h\left( x \right)\) (nếu có) \(x = \frac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}\)

Bước 3: Xác định dấu của hệ số \(a\)

Bước 4: Xác định dấu của \(h\left( x \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(h\left( x \right) =  - 0,006{x^2} + 1,2x - 30\) có \(\Delta  = 1,{2^2} - 4.\left( { - 0,006} \right).\left( { - 30} \right) = \frac{{18}}{{25}} > 0\), hai nghiệm phân biệt là \({x_1} = 100 - 50\sqrt 2 ;{x_2} = 100 + 50\sqrt 2 \) và \(a =  - 0,006 < 0\)

Ta có bảng xét dấu \(h\left( x \right)\) như sau:

Vậy vòm cầu cao hơn mặt cầu là khoảng cách từ \(100 - 50\sqrt 2 \)(m) đến \(100 + 50\sqrt 2 \) (m) (cách từ O), vòm vòm cầu thấp hơn mặt cầu là khoảng cách từ O đến\(100 - 50\sqrt 2 \)(m) và từ \(100 + 50\sqrt 2 \) (m) đến 200 (m) (cách từ O)