Giải bài 3 trang 101 sách bài tập toán 10 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính $AB = 2R$. Gọi M và N là hai điểm thuộc nửa đường tròn sao cho AM  và BN cắt nhau tại I như hình 5.

a) Chứng minh:     $\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN}  = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BA}$

b) Tính $\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN}$ theo R

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

$\begin{array}{l}\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM}  = \left| {\overrightarrow {AI} } \right|.\left| {\overrightarrow {AM} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AI} ,\overrightarrow {AM} } \right)\\ = AI.AM.\cos 0^\circ  = AI.AM\end{array}$ (*)

Mặt khác $AM = AB.\cos \widehat {MAB}$, thay vào (*) ta có:

$\begin{array}{l}\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM}  = AI.AM = AI.AB.\cos \widehat {MAB}\\ = \left| {\overrightarrow {AI} } \right|.\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {AI} ,\overrightarrow {AB} } \right) = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB} \end{array}$ (đpcm)

$\begin{array}{l}\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN}  = \left| {\overrightarrow {BI} } \right|.\left| {\overrightarrow {BN} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {BI} ,\overrightarrow {BN} } \right)\\ = BI.BN.\cos 0^\circ  = BI.BN\end{array}$    (**)

Mặt khác $BN = BA.\cos \widehat {NBA}$, thay vào (**) ta có:

$\begin{array}{l}\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN}  = BI.BN = BI.BA.\cos \widehat {NBA}\\ = \left| {\overrightarrow {BI} } \right|.\left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow {BI} ,\overrightarrow {BA} } \right) = \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BA} \end{array}$ (đpcm)

b) Từ kết quả của câu a) ta có:

$\begin{array}{l}\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN}  = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BA}  = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BI} .\left( { - \overrightarrow {AB} } \right)\\ = \overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BI}  = \overrightarrow {AB} \left( {\overrightarrow {AI}  - \overrightarrow {BI} } \right) = \overrightarrow {AB} \left( {\overrightarrow {AI}  + \overrightarrow {IB} } \right) = {\overrightarrow {AB} ^2}\\ = A{B^2} = {\left( {2R} \right)^2} = 4{R^2}\end{array}$

Vậy $\overrightarrow {AI} .\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {BI} .\overrightarrow {BN}  = 4{R^2}$