Đề kiểm tra giữa học kì 1 Toán 8 - Đề số 3
Đề bài
Chia đơn thức \({\left( { - 3x} \right)^5}\) cho đơn thức \({\left( { - 3x} \right)^2}\) ta được kết quả là
-
A.
\( - 9{x^3}\).
-
B.
\(9{x^3}\).
-
C.
\(27{x^3}\).
-
D.
\( - 27{x^3}\).
Phân tích đa thức \(mx + my + m\) thành nhân tử ta được
-
A.
\(m\left( {x + y + 1} \right)\).
-
B.
\(m\left( {x + y + m} \right)\).
-
C.
\(m\left( {x + y} \right)\).
-
D.
\(m\left( {x + y - 1} \right)\)
Hãy chọn câu sai:
-
A.
Điểm đối xứng với điểm \(M\) qua \(M\) cũng chính là điểm \(M\).
-
B.
Hai điểm \(A\) và \(B\) gọi là đối xứng với nhau qua điểm \(O\) khi \(O\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\).
-
C.
Hình bình hành có một tâm đối xứng.
-
D.
Đoạn thẳng có hai tâm đối xứng.
Chọn câu sai.
-
A.
\({\left( {x - 2} \right)^2} - {\left( {2 - x} \right)^3} = {\left( {x - 2} \right)^2}\left( {x - 1} \right)\).
-
B.
\({\left( {x - 2} \right)^2} - \left( {2 - x} \right) = \left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)\).
-
C.
\({\left( {x - 2} \right)^3} - {\left( {2 - x} \right)^2} = {\left( {x - 2} \right)^2}\left( {3 - x} \right)\).
-
D.
\({\left( {x - 2} \right)^2} + x - 2 = \left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)\).
Chọn câu sai.
-
A.
\({A^3} + {B^3} \)\( = \left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right)\)
-
B.
\({A^3} - {B^3} \)\( = \left( {A - B} \right)\left( {{A^2} + AB + {B^2}} \right)\)
-
C.
${\left( {A + B} \right)^3} $$= {\left( {B + A} \right)^3}$
-
D.
${\left( {A - B} \right)^3} = {\left( {B - A} \right)^3}$
Viết biểu thức \({x^3} + 12{x^2} + 48x + 64\) dưới dạng lập phương của một tổng
-
A.
\({\left( {x + 4} \right)^3}\).
-
B.
\({\left( {x - 4} \right)^3}\).
-
C.
\({\left( {x - 8} \right)^3}\).
-
D.
\({\left( {x + 8} \right)^3}\).
Khai triển \({\left( {3x - 4y} \right)^2}\) ta được
-
A.
$9{x^2} - 24xy + 16{y^2}$
-
B.
$9{x^2} - 12xy + 16{y^2}$
-
C.
$9{x^2} - 24xy + 4{y^2}$
-
D.
$9{x^2} - 6xy + 16{y^2}$
Phân tích đa thức \(8{x^3} + 12{x^2}y + 6x{y^2} + {y^3}\) thành nhân tử ta được
-
A.
\({\left( {x + 2y} \right)^3}\).
-
B.
\({\left( {2x + y} \right)^3}\).
-
C.
\({\left( {2x - y} \right)^3}\).
-
D.
\({\left( {8x + y} \right)^3}\).
Chọn câu sai.
-
A.
Giá trị của biểu thức $ax\left( {ax + y} \right)$ tại \(x = 1,y = 0\) là \({a^2}\).
-
B.
Giá trị của biểu thức \(a{y^2}(ax + y)\) tại \(x = 0,y = 1\) là \({(1 + a)^2}\).
-
C.
Giá trị của biểu thức \( - xy(x - y)\) tại \(x = - 5,y = - 5\) bằng \(0\).
-
D.
Giá trị của biểu thức \(xy( - x - y)\) tại \(x = 5,y = - 5\) bằng \(0\).
Cho \(2x\left( {3x - 1} \right) - 3x\left( {2x - 3} \right) = 11\) .Kết quả \(x\) bằng:
-
A.
\( - \dfrac{{11}}{7}\)
-
B.
\(\dfrac{7}{{11}}\)
-
C.
\(1\)
-
D.
\(\dfrac{{11}}{7}\)
Tỉ số độ dài hai cạnh của hình bình hành là \(3:5\). Còn chu vi của nó bằng \(48cm\). Độ dài hai cạnh kề của hình bình hành là:
-
A.
\(12cm\) và \(20cm\)
-
B.
\(6cm\) và \(10cm\)
-
C.
\(3cm\) và \(5cm\)
-
D.
\(9cm\) và \(15cm\)
Tam giác \(ABC\) đối xứng với tam giác \(A'B'C'\) qua \(O\). Biết chu vi của tam giác \(A'B'C'\)là \(32\,cm\). Chu vi của tam giác \(ABC\) là :
-
A.
\(32\,dm\).
-
B.
\(64\,cm\).
-
C.
\(16\,cm\).
-
D.
\(32\,cm\).
Đẳng thức nào sau đây là đúng.
-
A.
${y^5} - {y^4} = {y^4}\left( {y - 1} \right)$.
-
B.
${y^5} - {y^4} = {y^3}\left( {{y^2} - 1} \right)$.
-
C.
${y^5} - {y^4} = {y^5}\left( {1 - y} \right)$.
-
D.
${y^5} - {y^4} = {y^4}\left( {y + 1} \right)$.
Rút gọn biểu thức $B = \left( {2a - 3} \right)\left( {a + 1} \right) - {\left( {a - 4} \right)^2} - a\left( {a + 7} \right)$ ta được
-
A.
$0$
-
B.
$1$
-
C.
$19$
-
D.
$ - 19$
Chọn câu đúng.
-
A.
${(5{\rm{x}} - 4)^2} - 49{{\rm{x}}^2} = - 8\left( {3x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)$.
-
B.
\({(5{\rm{x}} - 4)^2} - 49{{\rm{x}}^2} = \left( {3x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)\).
-
C.
\({(5{\rm{x}} - 4)^2} - 49{{\rm{x}}^2} = - 8\left( {3x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\).
-
D.
\({(5{\rm{x}} - 4)^2} - 49{{\rm{x}}^2} = - 8\left( {3x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)\).
Cho hình vẽ sau. Chọn câu sai.
-
A.
Hai cạnh kề nhau: $AB,BC$.
-
B.
Hai cạnh đối nhau: $BC,AD$.
-
C.
Hai góc đối nhau: $\widehat A$ và \(\widehat B\)
-
D.
Các điểm nằm ngoài: $H,E$.
Hãy chọn câu đúng?
Cho tam giác \(ABC\) có chu vi là \(80\). Gọi \(E,F,P\) là trung điểm của các cạnh \(AB,BC,CA\). Chu vi của tam giác \(EFP\) là:
-
A.
\(40\,cm\)
-
B.
\(20\,cm\)
-
C.
\(45\,cm\)
-
D.
\(50\,cm\)
Cho \(A = {\left( {3{a^2}b} \right)^3}{\left( {a{b^3}} \right)^2}\) ; \(B = {\left( {{a^2}b} \right)^4}\) . Khi đó \(A:B\) bằng
-
A.
\(27a{b^5}\).
-
B.
\( - 27{b^5}\).
-
C.
\(27{b^5}\).
-
D.
\(9{b^5}\).
Cho hình vẽ, với \(AD = AE,AG\) là trung trực của \(DE\). Có bao nhiêu cặp đoạn thẳng đối xứng nhau qua trục \(AG\) (các đoạn thẳng thuộc đường thẳng $AD, AE$)? Chọn câu đúng.
-
A.
\(1\)
-
B.
\(2\)
-
C.
\(3\)
-
D.
\(4\)
Điền vào chỗ trống: \(\left( {{x^3} + {x^2} - 12} \right):\left( {x - 2} \right) = .....\)
-
A.
\(x + 3\)
-
B.
\(x - 3\)
-
C.
\({x^2} + 3x + 6\)
-
D.
\({x^2} - 3x + 6\)
Chọn câu đúng.
-
A.
\({x^3} - 4{x^2} - 9x + 36 = \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right).\)
-
B.
\({x^3} - 4{x^2} - 9x + 36 = \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x - 4} \right).\)
-
C.
\({x^3} - 4{x^2} - 9x + 36 = \left( {x - 9} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right).\)
-
D.
\({x^3} - 4{x^2} - 9x + 36 = \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)\).
Biết phần dư của phép chia đa thức \(\left( {{x^5} + {x^3} + {x^2} + 2} \right)\) cho đa thức \(\left( {{x^3} + 1} \right)\) là số tự nhiên \(a\) . Chọn câu đúng.
-
A.
\(a < 2\).
-
B.
\(a > 1\).
-
C.
\(a < 0\).
-
D.
\(a \vdots 2\).
Cho tam giác $ABC$ cân tại $B$ , các đường trung tuyến $AA',BB',CC'$ . Trục đối xứng của tam giác $ABC$ là:
-
A.
$AA'$
-
B.
$BB'$
-
C.
$AA'$ và $CC'$
-
D.
$CC'$
Rút gọn đa thức \(16{x^2} - 4x + \dfrac{1}{4}\) ta được kết quả nào sau đây?
-
A.
\({\left( {4x - \dfrac{1}{2}} \right)^2}\)
-
B.
\({\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2}\)
-
C.
\({\left( {4x + \dfrac{1}{2}} \right)^2}\)
-
D.
\({\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2}\)
Hãy chọn câu sai
-
A.
Độ dài đường trung bình của hình thang bằng nửa tổng hai đáy.
-
B.
Độ dài đường trung bình của hình thang bằng nửa hiệu hai đáy.
-
C.
Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy.
-
D.
Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
Rút gọn biểu thức \(N = 2{x^n}\left( {3{x^{n + 2}} - 1} \right) - 3{x^{n + 2}}\left( {2{x^n} - 1} \right)\) ta được
-
A.
\(N = 2{x^n} + 3{x^{n + 2}}\)
-
B.
\(N = - 2{x^n} - 3{x^{n + 2}}\)
-
C.
\(N = - 2{x^n} + 3{x^{n + 2}}\)
-
D.
\(N = - 2{x^n} + {x^{n + 2}}\)
Cho hình thang có đáy lớn gấp đôi đáy nhỏ, đáy nhỏ lớn hơn chiều cao \(2\) đơn vị. Biểu thức tính diện tích hình thang là:
-
A.
\(S = {3x^2} -6x\)
-
B.
\(S = \dfrac{{{3x^2} -6x}}{2}\)
-
C.
\(S = \dfrac{{{x^2} + 2x + 4}}{2}\)
-
D.
\(S = \dfrac{{{x^2} - 2x - 4}}{2}\)
Rút gọn biểu thức \(H = \left( {x + 5} \right)\left( {{x^2} - 5x + 25} \right) - {\left( {2x + 1} \right)^3} + 7{\left( {x - 1} \right)^3} - 3x\left( { - 11x + 5} \right)\) ta được giá trị của \(H\) là
-
A.
Một số lẻ
-
B.
Một số chẵn
-
C.
Một số chính phương
-
D.
Một số chia hết cho \(12\)
Cho \(x\) thỏa mãn \(\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right) - x\left( {{x^2} - 2} \right) = 14.\) Chọn câu đúng.
-
A.
\(x = - 3\).
-
B.
\(x = 11\).
-
C.
\(x = 3\).
-
D.
\(x = 4\).
Tìm một số khác 0 biết rằng bình phương của nó bằng năm lần lập phương của số ấy.
-
A.
\(5\)
-
B.
\(\dfrac{1}{5}\)
-
C.
\(\dfrac{1}{{25}}\)
-
D.
\( - \dfrac{1}{5}\)
Tìm \(a\) và \(b\) để đa thức \(f\left( x \right) = {x^4} - 9{x^3} + 21{x^2} + ax + b\) chia hết cho đa thức \(g\left( x \right) = {x^2} - x - 2\)
-
A.
\(a = - 1;\,b = 30\).
-
B.
\(a = 1;\,b = 30\).
-
C.
\(a = - 1;\,b = - 30\).
-
D.
\(a = 1;\,b = - 30\).
Cho hình thang cân $ABCD$ đáy nhỏ $AB = 4cm$ , đáy lớn $CD = 10cm$ , cạnh bên $BC = 5cm$ thì đường cao $AH$ bằng:
-
A.
$4,5cm\;$
-
B.
$4cm$
-
C.
$3,5cm$
-
D.
$3cm$
Cho tam giác \(ABC\), đường trung tuyến \(AM\). Gọi \(D\) là trung điểm của \(AM,E\) là giao điểm của \(BD\) và \(AC,F\) là trung điểm của \(EC\). Tính \(AE\) biết \(AC = 9cm\).
-
A.
\(AE = 4,5\,cm\)
-
B.
\(AE = 3\,cm\)
-
C.
\(AE = 2\,cm\)
-
D.
\(AE = 6\,cm\)
Cho tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\), \(AC = 8\,cm\), điểm \(M\) thuộc cạnh \(BC\). Gọi \(D,E\) theo thứ tự là các chân đường vuông góc kẻ từ \(M\) đến \(AB,AC\). Chu vi của tứ giác \(ADME\) bằng:
-
A.
\(16\,cm\)
-
B.
\(38\,cm\)
-
C.
\(18\,cm\)
-
D.
\(12\,cm\)
\(P = \dfrac{{2{n^3} - 3{n^2} + 3n - 1}}{{n - 1}}\). Tìm \(n \in Z\) để \(P \in Z\).
-
A.
\(n \in \left\{ {0,2} \right\}\)
-
B.
\(n \in \left\{ { - 1,1} \right\}\)
-
C.
\(n \in \left\{ { - 1;2} \right\}\)
-
D.
\(n \in \left\{ { - 2,0} \right\}\)
Cho biết \({x^3} = 2p + 1\) trong đó \(x\) là số tự nhiên, \(p\) là số nguyên tố. Tìm \(x.\)
-
A.
\(x = 9\)
-
B.
\(x = 7\)
-
C.
\(x = 5\)
-
D.
\(x = 3\)
Cho \({\left( {a + b + c} \right)^2} + 12 = 4\left( {a + b + c} \right) + 2\left( {ab + bc + ca} \right)\). Khi đó
-
A.
\(a = b = 2c\)
-
B.
\(a = b = c\)
-
C.
\(a = 2b = c\)
-
D.
\(a = b = c = 2\)
Xác định hệ số \(a,b,c\) biết rằng với mọi giá trị của \(x\) thì \(\left( {ax + 4} \right)\left( {{x^2} + bx - 1} \right) = 9{x^3} + 58{x^2} + 15x + c\)
-
A.
\(a = 9,b = - 4,c = 6.\)
-
B.
\(a = 9,b = 6,c = - 4.\)
-
C.
\(a = 9,b = 6,c = 4.\)
-
D.
\(a = - 9,b = - 6,c = - 4.\)
Cho tam giác \(ABC\) có \(BC = 6cm.\) Trên cạnh \(AB\) lấy các điểm \(D\) và \(E\) sao cho \(AD = BE.\) Qua \(D,E\) lần lượt vẽ các đường thẳng song song với \(BC,\) cắt \(AC\) theo thứ tự ở \(G\) và \(H\). Tính tổng \(DG + EH.\)
-
A.
\(10\,cm\)
-
B.
\(4\,cm\)
-
C.
\(6\,cm\)
-
D.
\(8\,cm\)
Cho \(M = \left( {{x^4}{y^{n + 1}} - \dfrac{1}{2}{x^3}{y^{n + 2}}} \right):\left( {\dfrac{1}{2}{x^3}{y^n}} \right) - 20{x^4}y:5{x^2}y\,\,\,\left( {n \in \mathbb{N};x;y \ne 0} \right)\) . Chọn câu đúng.
-
A.
Giá trị của \(M\) luôn là số âm
-
B.
Giá trị của \(M\) luôn là số dương
-
C.
Giá trị của \(M\) luôn bằng \(0\)
-
D.
Giá trị của \(M\) luôn bằng \(1\)
Lời giải và đáp án
Chia đơn thức \({\left( { - 3x} \right)^5}\) cho đơn thức \({\left( { - 3x} \right)^2}\) ta được kết quả là
-
A.
\( - 9{x^3}\).
-
B.
\(9{x^3}\).
-
C.
\(27{x^3}\).
-
D.
\( - 27{x^3}\).
Đáp án : D
* Sử dụng quy tắc chia đơn thức cho đơn thức.
Muốn chia đơn thức \(A\) cho đơn thức \(B\) (trong trường hợp \(A\) chia hết cho \(B\) ) ta làm như sau:
+ Chia hệ số của đơn thức \(A\) cho hệ số của đơn thức \(B\)
+ Chia lũy thừa của từng biến trong \(A\) cho lũy thừa của cùng biến đó trong \(B\) .
+ Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau.
* Sử dụng công thức chia hai lũy thừa cùng cơ số
Ta có \({\left( { - 3x} \right)^5}:{\left( { - 3x} \right)^2} \)\(= {\left( { - 3x} \right)^3} \)\(= {\left( { - 3} \right)^3}.{x^3} = - 27{x^3}\).
Phân tích đa thức \(mx + my + m\) thành nhân tử ta được
-
A.
\(m\left( {x + y + 1} \right)\).
-
B.
\(m\left( {x + y + m} \right)\).
-
C.
\(m\left( {x + y} \right)\).
-
D.
\(m\left( {x + y - 1} \right)\)
Đáp án : A
Ta có \(mx + my + m\)\( = m\left( {x + y + 1} \right)\)
Hãy chọn câu sai:
-
A.
Điểm đối xứng với điểm \(M\) qua \(M\) cũng chính là điểm \(M\).
-
B.
Hai điểm \(A\) và \(B\) gọi là đối xứng với nhau qua điểm \(O\) khi \(O\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\).
-
C.
Hình bình hành có một tâm đối xứng.
-
D.
Đoạn thẳng có hai tâm đối xứng.
Đáp án : D
+ Theo định nghĩa hai điểm đối xứng qua một điểm: Hai điểm $A$ , $B$ gọi là đối xứng với nhau qua điểm $O$ nếu $O$ là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó nên B đúng.
+ Trung điểm của đoạn thẳng là tâm đối xứng duy nhất của đoạn thẳng đó nên D sai.
+ Hình bình hành có một tâm đối xứng là giao hai đường chéo, nên C đúng.
+ Điểm đối xứng của một điểm $M$ qua $M$ chính là $M$ nên A đúng.
Chọn câu sai.
-
A.
\({\left( {x - 2} \right)^2} - {\left( {2 - x} \right)^3} = {\left( {x - 2} \right)^2}\left( {x - 1} \right)\).
-
B.
\({\left( {x - 2} \right)^2} - \left( {2 - x} \right) = \left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)\).
-
C.
\({\left( {x - 2} \right)^3} - {\left( {2 - x} \right)^2} = {\left( {x - 2} \right)^2}\left( {3 - x} \right)\).
-
D.
\({\left( {x - 2} \right)^2} + x - 2 = \left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)\).
Đáp án : C
+) Đáp án A: \({\left( {x - 2} \right)^2} - {\left( {2 - x} \right)^3} = {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {x - 2} \right)^3} = {\left( {x - 2} \right)^2}.\left( {1 + x - 2} \right)\)\( = {\left( {x - 2} \right)^2}\left( {x - 1} \right)\) nên A đúng.
+) Đáp án B: \({\left( {x - 2} \right)^2} - \left( {2 - x} \right) = {\left( {x - 2} \right)^2} + \left( {x - 2} \right) = \left( {x - 2} \right)\left( {x - 2 + 1} \right) = \left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)\) nên B đúng.
+) Đáp án C: \({\left( {x - 2} \right)^3} - {\left( {2 - x} \right)^2} = {\left( {x - 2} \right)^3} - {\left( {x - 2} \right)^2}\)\( = {\left( {x - 2} \right)^2}\left( {x - 2 - 1} \right) = {\left( {x - 2} \right)^2}\left( {x - 3} \right)\) nên C sai.
+) Đáp án D: \({\left( {x - 2} \right)^2} + x - 2 = \left( {x - 2} \right)\left( {x - 2} \right) + \left( {x - 2} \right) = \left( {x - 2} \right)\left( {x - 2 + 1} \right) = \left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)\) nên D đúng.
Chọn câu sai.
-
A.
\({A^3} + {B^3} \)\( = \left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right)\)
-
B.
\({A^3} - {B^3} \)\( = \left( {A - B} \right)\left( {{A^2} + AB + {B^2}} \right)\)
-
C.
${\left( {A + B} \right)^3} $$= {\left( {B + A} \right)^3}$
-
D.
${\left( {A - B} \right)^3} = {\left( {B - A} \right)^3}$
Đáp án : D
Sử dụng công thức tổng hai lập phương và hiệu hai lập phương
\({A^3} + {B^3} \)\( = \left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right)\)
\({A^3} - {B^3}\)\( = \left( {A - B} \right)\left( {{A^2} + AB + {B^2}} \right)\)
Ta có \({A^3} + {B^3} \)\( = \left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right)\) và \({A^3} - {B^3}\)\( = \left( {A - B} \right)\left( {{A^2} + AB + {B^2}} \right)\) nên A, B đúng.
Vì \(A + B = B + A \)
\( \Rightarrow {\left( {A + B} \right)^3} \)\( = {\left( {B + A} \right)^3}\) nên C đúng.
Vì \(A - B = - \left( {B - A} \right)\)
\( \Rightarrow {\left( {A - B} \right)^3} \)\( = - {\left( {B - A} \right)^3}\) nên D sai.
Viết biểu thức \({x^3} + 12{x^2} + 48x + 64\) dưới dạng lập phương của một tổng
-
A.
\({\left( {x + 4} \right)^3}\).
-
B.
\({\left( {x - 4} \right)^3}\).
-
C.
\({\left( {x - 8} \right)^3}\).
-
D.
\({\left( {x + 8} \right)^3}\).
Đáp án : A
Sử dụng công thức lập phương của một tổng \({A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3} = {\left( {A + B} \right)^3}\)
Ta có \({x^3} + 12{x^2} + 48x + 64 \)\(= {x^3} + 3{x^2}.4 + 3.x{.4^2} + {4^3} \)\(= {\left( {x + 4} \right)^3}\)
Khai triển \({\left( {3x - 4y} \right)^2}\) ta được
-
A.
$9{x^2} - 24xy + 16{y^2}$
-
B.
$9{x^2} - 12xy + 16{y^2}$
-
C.
$9{x^2} - 24xy + 4{y^2}$
-
D.
$9{x^2} - 6xy + 16{y^2}$
Đáp án : A
Sử dụng công thức bình phương của một hiệu \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\)
Ta có \({\left( {3x - 4y} \right)^2} \)\(= {\left( {3x} \right)^2} - 2.3x.4y + {\left( {4y} \right)^2} \)\(= 9{x^2} - 24xy + 16{y^2}\)
Phân tích đa thức \(8{x^3} + 12{x^2}y + 6x{y^2} + {y^3}\) thành nhân tử ta được
-
A.
\({\left( {x + 2y} \right)^3}\).
-
B.
\({\left( {2x + y} \right)^3}\).
-
C.
\({\left( {2x - y} \right)^3}\).
-
D.
\({\left( {8x + y} \right)^3}\).
Đáp án : B
Sử dụng hằng đẳng thức \({\left( {A + B} \right)^3} = {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3}\) để phân tích đa thức thành nhân tử.
Ta có \(8{x^3} + 12{x^2}y + 6x{y^2} + {y^3}\)\( = {\left( {2x} \right)^3} + 3.{\left( {2x} \right)^2}y + 3.2x.{y^2} + {y^3} = {\left( {2x + y} \right)^3}\)
Chọn câu sai.
-
A.
Giá trị của biểu thức $ax\left( {ax + y} \right)$ tại \(x = 1,y = 0\) là \({a^2}\).
-
B.
Giá trị của biểu thức \(a{y^2}(ax + y)\) tại \(x = 0,y = 1\) là \({(1 + a)^2}\).
-
C.
Giá trị của biểu thức \( - xy(x - y)\) tại \(x = - 5,y = - 5\) bằng \(0\).
-
D.
Giá trị của biểu thức \(xy( - x - y)\) tại \(x = 5,y = - 5\) bằng \(0\).
Đáp án : B
Thay \({x_0};{y_0}\) biểu thức đã cho rồi thực hiện phép tính.
+) Thay \(x = 1;\,y = 0\) vào biểu thức \(ax\left( {ax + y} \right)\) ta được \(a.1\left( {a.1 + 0} \right) = a.a = {a^2}\) nên phương án A đúng
+) Thay \(x = 0,y = 1\) vào biểu thức \(a{y^2}(ax + y)\) ta được \(a{.1^2}\left( {a.0 + 1} \right) = a.1 = a\) nên phương án B sai.
+) Thay \(x = - 5,y = - 5\) vào biểu thức \( - xy(x - y)\) ta được \( - \left( { - 5} \right)\left( { - 5} \right)\left[ { - 5 - \left( { - 5} \right)} \right] \)\(= - 25.0 = 0\) nên phương án C đúng
+) Thay \(x = 5,y = - 5\) vào biểu thức \(xy( - x - y)\) ta được \(5.\left( { - 5} \right)\left[ { - 5 - \left( { - 5} \right)} \right] = - 25.0 = 0\) nên phương án D đúng.
Cho \(2x\left( {3x - 1} \right) - 3x\left( {2x - 3} \right) = 11\) .Kết quả \(x\) bằng:
-
A.
\( - \dfrac{{11}}{7}\)
-
B.
\(\dfrac{7}{{11}}\)
-
C.
\(1\)
-
D.
\(\dfrac{{11}}{7}\)
Đáp án : D
Thực hiện các phép tính: phá ngoặc, chuyển vế .. để biến đổi về dạng tìm \(x\) thường gặp
Ta có \(2x\left( {3x - 1} \right) - 3x\left( {2x - 3} \right) = 11\)\( \Leftrightarrow 2x.3x - 2x.1 - 3x.2x - 3x.\left( { - 3} \right) = 11\)
\( \Leftrightarrow 6{x^2} - 2x - 6{x^2} + 9x = 11\) \( \Leftrightarrow 7x = 11 \Leftrightarrow x = \dfrac{{11}}{7}\)
Vậy \(x = \dfrac{{11}}{7}\) .
Tỉ số độ dài hai cạnh của hình bình hành là \(3:5\). Còn chu vi của nó bằng \(48cm\). Độ dài hai cạnh kề của hình bình hành là:
-
A.
\(12cm\) và \(20cm\)
-
B.
\(6cm\) và \(10cm\)
-
C.
\(3cm\) và \(5cm\)
-
D.
\(9cm\) và \(15cm\)
Đáp án : D
Gọi độ dài hai cạnh của hình bình hành là \(a\) và \(b\) rồi áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để tìm \(a,b\).
Lưu ý: Tổng của \(a,b\) là nửa chu vi hình bình hành.
Gọi độ dài hai cạnh của hình bình hành là \(a\) và \(b\) với \(a,b > 0.\)
Theo bài ra ta có: \(\dfrac{a}{3} = \dfrac{b}{5}\).
Nửa chu vi của hình bình hành là: \(48:2 = 24cm\).
Suy ra: \(a+b=24cm.\) Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\begin{array}{l}\dfrac{a}{3} = \dfrac{b}{5} = \dfrac{{a + b}}{{3 + 5}} = \dfrac{{24}}{8} = 3\\ \Rightarrow a = 3. 3 = 9\\b = 3. 5 = 15\end{array}\).
Vậy hai cạnh của hình bình hành là \(9cm\) và \(15cm\).
Tam giác \(ABC\) đối xứng với tam giác \(A'B'C'\) qua \(O\). Biết chu vi của tam giác \(A'B'C'\)là \(32\,cm\). Chu vi của tam giác \(ABC\) là :
-
A.
\(32\,dm\).
-
B.
\(64\,cm\).
-
C.
\(16\,cm\).
-
D.
\(32\,cm\).
Đáp án : D
Sử dụng chú ý về hai hình đối xứng với nhau qua một điểm.
“Nếu hai đoạn thẳng (góc, tam giác) đối xứng với nhau qua một điểm thì chúng bằng nhau.”
Vì tam giác \(ABC\) đối xứng với tam giác \(A'B'C'\) qua \(O\) nên \(\Delta ABC = \Delta A'B'C'\) \( \Rightarrow AB = A'B';\,AC = A'C';\,BC = B'C'\)
Nên \(AB + AC + BC = A'B' + A'C' + B'C'\) \( \Rightarrow {P_{ABC}} = {P_{A'B'C'}}\)
Do đó chu vi tam giác \(ABC\) là \({P_{ABC}} = 32\,cm\) .
Đẳng thức nào sau đây là đúng.
-
A.
${y^5} - {y^4} = {y^4}\left( {y - 1} \right)$.
-
B.
${y^5} - {y^4} = {y^3}\left( {{y^2} - 1} \right)$.
-
C.
${y^5} - {y^4} = {y^5}\left( {1 - y} \right)$.
-
D.
${y^5} - {y^4} = {y^4}\left( {y + 1} \right)$.
Đáp án : A
Ta có ${y^5} - {y^4} = {y^4}.y - {y^4}.1 = {y^4}\left( {y - 1} \right)$
Rút gọn biểu thức $B = \left( {2a - 3} \right)\left( {a + 1} \right) - {\left( {a - 4} \right)^2} - a\left( {a + 7} \right)$ ta được
-
A.
$0$
-
B.
$1$
-
C.
$19$
-
D.
$ - 19$
Đáp án : D
Sử dụng công thức bình phương của một hiệu \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\) và phép nhân đa thức để khai triển và rút gọn.
Ta có $B = \left( {2a - 3} \right)\left( {a + 1} \right) - {\left( {a - 4} \right)^2} - a\left( {a + 7} \right)$\( = 2{a^2} + 2a - 3a - 3 - \left( {{a^2} - 8a + 16} \right) - \left( {{a^2} + 7a} \right)\)
\( = 2{a^2} + 2a - 3a - 3 - {a^2} + 8a - 16 - {a^2} - 7a\) \( = - 19\)
Chọn câu đúng.
-
A.
${(5{\rm{x}} - 4)^2} - 49{{\rm{x}}^2} = - 8\left( {3x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)$.
-
B.
\({(5{\rm{x}} - 4)^2} - 49{{\rm{x}}^2} = \left( {3x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)\).
-
C.
\({(5{\rm{x}} - 4)^2} - 49{{\rm{x}}^2} = - 8\left( {3x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\).
-
D.
\({(5{\rm{x}} - 4)^2} - 49{{\rm{x}}^2} = - 8\left( {3x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)\).
Đáp án : D
Sử dụng hằng đẳng thức \({A^2} - {B^2} = \left( {A - B} \right)\left( {A + B} \right)\) để phân tích đa thức thành nhân tử.
Ta có \({(5x - 4)^2} - 49{x^2} \)\(= {\left( {5x - 4} \right)^2} - {\left( {7x} \right)^2} \)\(= \left( {5x - 4 + 7x} \right)\left( {5x - 4 - 7x} \right)\)\( = \left( {12x - 4} \right)\left( { - 2x - 4} \right) \)\(= 4.\left( {3x - 1} \right).\left( { - 2} \right)\left( {x + 2} \right) \)\(= - 8\left( {3x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)\)
Cho hình vẽ sau. Chọn câu sai.
-
A.
Hai cạnh kề nhau: $AB,BC$.
-
B.
Hai cạnh đối nhau: $BC,AD$.
-
C.
Hai góc đối nhau: $\widehat A$ và \(\widehat B\)
-
D.
Các điểm nằm ngoài: $H,E$.
Đáp án : C
Ta sử dụng kiến thức về các yếu tố góc, đỉnh, cạnh của tứ giác \(ABCD\).
Tứ giác \(ABCD\) có các cặp góc đối nhau là \(\widehat A;\,\widehat C\) và \(\widehat B;\,\widehat D\) còn \(\widehat A;\,\widehat B\) là hai góc kề nhau nên C sai.
Hãy chọn câu đúng?
Cho tam giác \(ABC\) có chu vi là \(80\). Gọi \(E,F,P\) là trung điểm của các cạnh \(AB,BC,CA\). Chu vi của tam giác \(EFP\) là:
-
A.
\(40\,cm\)
-
B.
\(20\,cm\)
-
C.
\(45\,cm\)
-
D.
\(50\,cm\)
Đáp án : A
Ta sử dụng định lý đường trung bình của tam giác để tìm mối liên hệ giữa chu vi tam giác \(ABC\) và chu vi tam giác \(EFP\).
Vì \(E,F,P\) là trung điểm của các cạnh \(AB,BC,CA\) nên \(EF;EP;FP\) là các đường trung bình của tam giác \(ABC\).
Suy ra \(EF = \dfrac{1}{2}AC;\,FP = \dfrac{1}{2}AB;\,EP = \dfrac{1}{2}BC\) \( \Rightarrow EF + FP + EP = \dfrac{1}{2}AC + \dfrac{1}{2}AB + \dfrac{1}{2}BC\)
\( \Leftrightarrow EF + FP + EP = \dfrac{1}{2}\left( {AB + AC + BC} \right)\) hay chu vi tam giác \(EFP = \dfrac{1}{2}\) chu vi tam giác \(ABC\).
Do đó chu vi tam giác \(EFP\) là \(80:2 = 40\).
Cho \(A = {\left( {3{a^2}b} \right)^3}{\left( {a{b^3}} \right)^2}\) ; \(B = {\left( {{a^2}b} \right)^4}\) . Khi đó \(A:B\) bằng
-
A.
\(27a{b^5}\).
-
B.
\( - 27{b^5}\).
-
C.
\(27{b^5}\).
-
D.
\(9{b^5}\).
Đáp án : C
+ Rút gọn \(A\) . Chú ý công thức \({\left( {{x^m}} \right)^n} = {x^{m.n}}\) .
+ Sử dụng quy tắc chia đơn thức cho đơn thức
Ta có \(A = {\left( {3{a^2}b} \right)^3}{\left( {a{b^3}} \right)^2} \)\(= {3^3}.{\left( {{a^2}} \right)^3}.{b^3}.{a^2}.{\left( {{b^3}} \right)^2} \)\(= 27{a^6}.{b^3}.{a^2}.{b^6} \)\(= 27{a^8}{b^9};\) \(B = {\left( {{a^2}b} \right)^4} \)\(= {\left( {{a^2}} \right)^4}.{b^4} \)\(= {a^8}{b^4}\)
Khi đó \(A:B = 27{a^8}{b^9}:{a^8}{b^4} \)\(= 27{b^5}\)
Cho hình vẽ, với \(AD = AE,AG\) là trung trực của \(DE\). Có bao nhiêu cặp đoạn thẳng đối xứng nhau qua trục \(AG\) (các đoạn thẳng thuộc đường thẳng $AD, AE$)? Chọn câu đúng.
-
A.
\(1\)
-
B.
\(2\)
-
C.
\(3\)
-
D.
\(4\)
Đáp án : C
Bước 1: Ta sử dụng định nghĩa: “Hai điểm \(A,B\) gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng \(d\) nếu \(d\) là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó” để tìm các cặp điểm đối xứng nhau qua đường thẳng \(m\).
Bước 2: Từ đó suy ra các đoạn thẳng đối xứng nhau qua đường thẳng \(m\).
Từ giả thiết ta thấy \(\Delta ADE\) cân tại \(A\) có \(AG\) là đường cao nên \(AG\) cũng là đường trung trực của \(DE.\)
Nên điểm \(D\) và \(E\) đối xứng với nhau qua \(AG\).
Lại có \(BC//DE\) (cùng vuông với \(AG\)) nên suy ra \(\dfrac{{AB}}{{AD}} = \dfrac{{AC}}{{AE}}\) (định lý Ta-lét)
Mà \(AD = AE\left( {gt} \right) \Rightarrow AB = AC\). Do đó \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) có \(AF\) là đường cao nên \(AF\) cũng là đường trung trực của \(BC\).
Từ đó điểm \(B,C\) đối xứng nhau qua \(AG\).
Như vậy:
+ Hai đoạn thẳng \(BD,CE\) đối xứng nhau qua \(AG\)
+ Hai đoạn thẳng \(AB,AC\) đối xứng nhau qua \(AG\)
+ Hai đoạn thẳng \(AD,AE\) đối xứng nhau qua \(AG\)
Điền vào chỗ trống: \(\left( {{x^3} + {x^2} - 12} \right):\left( {x - 2} \right) = .....\)
-
A.
\(x + 3\)
-
B.
\(x - 3\)
-
C.
\({x^2} + 3x + 6\)
-
D.
\({x^2} - 3x + 6\)
Đáp án : C
- Đặt phép chia.
- Chia hạng tử bậc cao nhất của đa thức bị chia cho hạng tử bậc cao nhất của đa thức chia.
- Nhân kết quả tìm được với đa thức chia, rồi lấy đa thức bị chia trừ đi tích nhận được, hiệu tìm được gọi là dư thứ nhất.
- Chia hạng tử bậc cao nhất của dư thứ nhất cho hạng tử bậc cao nhất của đa thức chia, được kết quả lại thực hiện tương tự như trên, cho đến khi dư cuối cùng không thể chia được nữa.
- Ta thu được thương cần tìm trong ô trống.
Vậy đa thức cần điền vào chỗ trống là \({x^2} + 3x + 6\).
Chọn câu đúng.
-
A.
\({x^3} - 4{x^2} - 9x + 36 = \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right).\)
-
B.
\({x^3} - 4{x^2} - 9x + 36 = \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x - 4} \right).\)
-
C.
\({x^3} - 4{x^2} - 9x + 36 = \left( {x - 9} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right).\)
-
D.
\({x^3} - 4{x^2} - 9x + 36 = \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right)\).
Đáp án : B
Ta có \({x^3} - 4{x^2} - 9x + 36\)\( = \left( {{x^3} - 4{x^2}} \right) - \left( {9x - 36} \right) \)\( = {x^2}\left( {x - 4} \right) - 9\left( {x - 4} \right) \)\( = \left( {{x^2} - 9} \right)\left( {x - 4} \right)\)\( = \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x - 4} \right)\)
Biết phần dư của phép chia đa thức \(\left( {{x^5} + {x^3} + {x^2} + 2} \right)\) cho đa thức \(\left( {{x^3} + 1} \right)\) là số tự nhiên \(a\) . Chọn câu đúng.
-
A.
\(a < 2\).
-
B.
\(a > 1\).
-
C.
\(a < 0\).
-
D.
\(a \vdots 2\).
Đáp án : A
Phần dư của phép chia là \(a = 1 < 2\)
Cho tam giác $ABC$ cân tại $B$ , các đường trung tuyến $AA',BB',CC'$ . Trục đối xứng của tam giác $ABC$ là:
-
A.
$AA'$
-
B.
$BB'$
-
C.
$AA'$ và $CC'$
-
D.
$CC'$
Đáp án : B
Áp dụng định nghĩa hai điểm đối xứng nhau qua trục: hai điểm $A,A'$ được gọi là đối xứng nhau qua $d$ nếu $d$ là đường trung trực của $AA'$ .
Do tam giác $ABC$ cân tại $B$ , nên đường trung tuyến $BB'$ đồng thời là đường trung trực.
Do đó $BB'$ là trục đối xứng của tam giác $ABC$.
Rút gọn đa thức \(16{x^2} - 4x + \dfrac{1}{4}\) ta được kết quả nào sau đây?
-
A.
\({\left( {4x - \dfrac{1}{2}} \right)^2}\)
-
B.
\({\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2}\)
-
C.
\({\left( {4x + \dfrac{1}{2}} \right)^2}\)
-
D.
\({\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2}\)
Đáp án : A
Sử dụng hằng đẳng thức \({\left( {A - B} \right)^2} = {A^2} - 2AB + {B^2}\)
\(16{x^2} - 4x + \dfrac{1}{4} = {\left( {4x} \right)^2} - 2.4x.\dfrac{1}{2} + {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} = {\left( {4x - \dfrac{1}{2}} \right)^2}\)
Hãy chọn câu sai
-
A.
Độ dài đường trung bình của hình thang bằng nửa tổng hai đáy.
-
B.
Độ dài đường trung bình của hình thang bằng nửa hiệu hai đáy.
-
C.
Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy.
-
D.
Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.
Đáp án : B
Ta sử dụng định lý đường trung bình và hình thang
+ Độ dài đường trung bình hình thang bằng nửa tổng hai đáy nên đáp án B sai.
Rút gọn biểu thức \(N = 2{x^n}\left( {3{x^{n + 2}} - 1} \right) - 3{x^{n + 2}}\left( {2{x^n} - 1} \right)\) ta được
-
A.
\(N = 2{x^n} + 3{x^{n + 2}}\)
-
B.
\(N = - 2{x^n} - 3{x^{n + 2}}\)
-
C.
\(N = - 2{x^n} + 3{x^{n + 2}}\)
-
D.
\(N = - 2{x^n} + {x^{n + 2}}\)
Đáp án : C
Sử dụng các quy tắc nhân đơn thức với đa thức và sử dụng công thức \({x^m}.{x^n} = {x^{m + n}}\) rồi rút gọn \(A\)
Ta có \(N = 2{x^n}\left( {3{x^{n + 2}} - 1} \right) - 3{x^{n + 2}}\left( {2{x^n} - 1} \right)\)
\(\begin{array}{l}N = 2{x^n}\left( {3{x^{n + 2}} - 1} \right) - 3{x^{n + 2}}\left( {2{x^n} - 1} \right)\\ = 2{x^n}.3{x^{n + 2}} - 2{x^n}.1 - 3{x^{n + 2}}.2{x^n} - 3{x^{n + 2}}.\left( { - 1} \right)\\ = 6{x^{n + n + 2}} - 2{x^n} - 6.{x^{n + 2 + n}} + 3{x^{n + 2}}\\ = 6{x^{2n + 2}} - 6{x^{2n + 2}} - 2{x^n} + 3{x^{n + 2}}\\ = - 2{x^n} + 3.{x^{n + 2}}\end{array}\)
Vậy \(N = - 2{x^n} + 3{x^{n + 2}}\)
Cho hình thang có đáy lớn gấp đôi đáy nhỏ, đáy nhỏ lớn hơn chiều cao \(2\) đơn vị. Biểu thức tính diện tích hình thang là:
-
A.
\(S = {3x^2} -6x\)
-
B.
\(S = \dfrac{{{3x^2} -6x}}{2}\)
-
C.
\(S = \dfrac{{{x^2} + 2x + 4}}{2}\)
-
D.
\(S = \dfrac{{{x^2} - 2x - 4}}{2}\)
Đáp án : B
- Gọi \(x\,\left( {x > 2} \right)\) là độ dài đáy nhỏ của hình thang
- Biểu diễn chiều cao và đáy lớn hình thang theo \(x\)
- Sử dụng công thức tính diện tích hình thang: \(S = \dfrac{{\left( {a + b} \right).h}}{2}\)
Gọi \(x\,\left( {x > 2} \right)\) là độ dài đáy nhỏ của hình thang .
Theo giả thiết ta có độ dài đáy lớn là \(2x\) , chiều cao của hình thang là \(x - 2\)
Diện tích hình thang là $S = \dfrac{{\left( {x + 2x} \right)\left( {x - 2} \right)}}{2} = \dfrac{3x(x-2)}{2} = \dfrac{{{3x^2} -6x }}{2}$ (đvdt)
Rút gọn biểu thức \(H = \left( {x + 5} \right)\left( {{x^2} - 5x + 25} \right) - {\left( {2x + 1} \right)^3} + 7{\left( {x - 1} \right)^3} - 3x\left( { - 11x + 5} \right)\) ta được giá trị của \(H\) là
-
A.
Một số lẻ
-
B.
Một số chẵn
-
C.
Một số chính phương
-
D.
Một số chia hết cho \(12\)
Đáp án : A
Sử dụng hằng đẳng thức \(\left( {A + B} \right)\left( {{A^2} - AB + {B^2}} \right) = {A^3} + {B^3}\) , \({\left( {A + B} \right)^3} = {A^3} + 3{A^2}B + 3A{B^2} + {B^3},\)\({\left( {A - B} \right)^3} = {A^3} - 3{A^2}B + 3A{B^2} - {B^3}\) để phân tích và rút gọn \(H\)
Ta có \(H = \left( {x + 5} \right)\left( {{x^2} - 5x + 25} \right) - {\left( {2x + 1} \right)^3} + 7{\left( {x - 1} \right)^3} - 3x\left( { - 11x + 5} \right)\)
\( = {x^3} + {5^3} - \left( {8{x^3} + 3.{{\left( {2x} \right)}^2}.1 + 3.2x{{.1}^2} + 1} \right) + 7\left( {{x^3} - 3{x^2} + 3x - 1} \right) + 33{x^2} - 15x\)
\( = {x^3} +125 - 8{x^3} - 12{x^2} - 6x - 1 + 7{x^3} - 21{x^2} + 21x - 7 + 33{x^2} - 15x\)
\( = \left( {{x^3} - 8{x^3} + 7{x^3}} \right) + \left( { - 12{x^2} - 21{x^2} + 33{x^2}} \right) + \left( { - 6x + 21x - 15x} \right) +125- 1 - 7\)
\( = 117\)
Vậy giá trị của \(M\) là một số lẻ.
Cho \(x\) thỏa mãn \(\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right) - x\left( {{x^2} - 2} \right) = 14.\) Chọn câu đúng.
-
A.
\(x = - 3\).
-
B.
\(x = 11\).
-
C.
\(x = 3\).
-
D.
\(x = 4\).
Đáp án : C
Sử dụng hằng đẳng thức tổng hai lập phương và phép nhân đa thức để biến đổi về dạng tìm \(x\) thường gặp.
Ta có \(\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right) - x\left( {{x^2} - 2} \right) = 15\)$ \Leftrightarrow {x^3} + {2^3} - \left( {{x^3} - 2x} \right) = 14 $$\Leftrightarrow {x^3} + 8 - {x^3} + 2x = 14$
$ \Leftrightarrow 2x = 6 \Leftrightarrow x = 3$.
Vậy \(x = 3\) .
Tìm một số khác 0 biết rằng bình phương của nó bằng năm lần lập phương của số ấy.
-
A.
\(5\)
-
B.
\(\dfrac{1}{5}\)
-
C.
\(\dfrac{1}{{25}}\)
-
D.
\( - \dfrac{1}{5}\)
Đáp án : B
+ Sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung để phân tích đa thức thành nhân tử.
+ Đưa về dạng \(A.B = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.\)
Gọi số cần tìm là \(x\left( {x \ne 0} \right)\). Theo đề bài ta có \({x^2} = 5{x^3} \Leftrightarrow 5{x^3} - {x^2} = 0\)\( \Leftrightarrow {x^2}.5x - {x^2} = 0 \Leftrightarrow {x^2}\left( {5x - 1} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 0\\5x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\left( {loại} \right)\\5x = 1\end{array} \right. \Rightarrow x = \dfrac{1}{5}\left( {tm} \right)\)
Vậy số cần tìm là \(\dfrac{1}{5}.\)
Tìm \(a\) và \(b\) để đa thức \(f\left( x \right) = {x^4} - 9{x^3} + 21{x^2} + ax + b\) chia hết cho đa thức \(g\left( x \right) = {x^2} - x - 2\)
-
A.
\(a = - 1;\,b = 30\).
-
B.
\(a = 1;\,b = 30\).
-
C.
\(a = - 1;\,b = - 30\).
-
D.
\(a = 1;\,b = - 30\).
Đáp án : D
+ Sử dụng cách chia đa thức một biến đã sắp xếp.
+ Sử dụng nhận xét: Nếu phép chia có phần dư \(R = 0\) thì phép chia đó là phép chia hết.
Chú ý: \(Ax + B = 0\) với \(\forall x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.\) .
Ta có
Phần dư của phép chia \(f\left( x \right)\) cho \(g\left( x \right)\) là \(R = \left( {a - 1} \right)x + b + 30\)
Để phép chia trên là phép chia hết thì \(R = 0\) với \(\forall x\) \( \Leftrightarrow \left( {a - 1} \right)x + b + 30 = 0\) với \(\forall x\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 1 = 0\\b + 30 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 30\end{array} \right.\) . Vậy \(a = 1;\,b = - 30\).
Cho hình thang cân $ABCD$ đáy nhỏ $AB = 4cm$ , đáy lớn $CD = 10cm$ , cạnh bên $BC = 5cm$ thì đường cao $AH$ bằng:
-
A.
$4,5cm\;$
-
B.
$4cm$
-
C.
$3,5cm$
-
D.
$3cm$
Đáp án : B
Ta sử dụng tính chất hình thang cân và định lý Pytago.
Kẻ $ BK \bot DC$ tại $K.$
Vì $ABCD$ là hình thang cân nên ta có \(\widehat D = \widehat C;AD = BC \Rightarrow \Delta AHD = \Delta BKC\left( {ch - gn} \right) \Rightarrow DH = CK\)
Suy ra \(DH = \dfrac{1}{2}\left( {CD - AB} \right)\)
Suy ra \(DH = \dfrac{1}{2}\left( {CD - AB} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {10 - 4} \right) = 3\,\,cm\)
Do $ABCD$ là hình thang cân nên $AD = BC = 5cm$
Áp dụng định lý Py– ta – go vào tam giác $ADH$ vuông tại $H$ ta có $A{D^2} = A{H^2} + D{H^2}$
$ \Rightarrow A{H^2} = A{D^2} - D{H^2} = {5^2} - {3^2} \Rightarrow AH = 4$
Vậy $AH = 4cm$ .
Cho tam giác \(ABC\), đường trung tuyến \(AM\). Gọi \(D\) là trung điểm của \(AM,E\) là giao điểm của \(BD\) và \(AC,F\) là trung điểm của \(EC\). Tính \(AE\) biết \(AC = 9cm\).
-
A.
\(AE = 4,5\,cm\)
-
B.
\(AE = 3\,cm\)
-
C.
\(AE = 2\,cm\)
-
D.
\(AE = 6\,cm\)
Đáp án : B
Bước 1: Sử dụng các dấu hiệu nhận biết đường trung bình để chứng minh các đoạn thẳng là đường trung bình của tam giác.
Bước 2: Từ đó rút ra các mối liện hệ giữa các đoạn thẳng.
Xét tam giác \(BEM\) có \(BM = MC,EF = FC\) nên \(MF\) là đường trung bình của tam giác \(BEC\). Do đó \(MF{\rm{//}}BE\).
Xét tam giác \(AMF\) có \(AD = DM,DE//MF\) nên \(DE\) là đường trung bình của tam giác \(AMF\). Do đó \(AE = EF\).
Do đó \(AE = EF = FC\) nên \(AE = \dfrac{1}{3}AC = \dfrac{1}{3}. 9 = 3cm\).
Cho tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\), \(AC = 8\,cm\), điểm \(M\) thuộc cạnh \(BC\). Gọi \(D,E\) theo thứ tự là các chân đường vuông góc kẻ từ \(M\) đến \(AB,AC\). Chu vi của tứ giác \(ADME\) bằng:
-
A.
\(16\,cm\)
-
B.
\(38\,cm\)
-
C.
\(18\,cm\)
-
D.
\(12\,cm\)
Đáp án : A
Bước 1: Trước hết ta chứng minh \(ADME\) là hình chữ nhật dựa vào dấu hiệu tứ giác có \(3\) góc vuông là hình chữ nhật.
Bước 2: Chứng minh tam giác \(BDM\) vuông cân tại \(D\) để suy ra \(BD = DM\).
Bước 3: Tính chu vi \(ADME\) thông độ dài cạnh tam giác vuông cân.
+ Xét tứ giác \(ADME\) có \(\widehat A = \widehat E = \widehat D = {90^ \circ }\) nên \(ADME\) là hình chữ nhật.
+ Xét tam giác \(DMB\) có \(\widehat B = {45^ \circ }\)(do tam giác \(ABC\) vuông cân) nên tam giác \(BDM\) vuông cân tại \(D\). Do đó \(DM = BD\).
+ Do \(ADME\) là hình chữ nhật nên chu vi \(ADME\) là:
\(\left( {AD + DM} \right). 2 = \left( {AD + BD} \right). 2 = 8. 2 = 16\left( {cm} \right)\).
Vậy chu vi \(ADME\) là \(16\,cm\).
\(P = \dfrac{{2{n^3} - 3{n^2} + 3n - 1}}{{n - 1}}\). Tìm \(n \in Z\) để \(P \in Z\).
-
A.
\(n \in \left\{ {0,2} \right\}\)
-
B.
\(n \in \left\{ { - 1,1} \right\}\)
-
C.
\(n \in \left\{ { - 1;2} \right\}\)
-
D.
\(n \in \left\{ { - 2,0} \right\}\)
Đáp án : A
- Đặt phép chia.
- Để thỏa mãn điều kiện của đề bài thì số dư cuối cùng phải chia hết cho số chia. Suy ra, số chia là ước của số dư cuối cùng.
- Lập bảng thử chọn để chọn ra giá trị của \(n\)thỏa mãn.
\(2{n^3} - 3{n^2} + 3n - 1 = \left( {2{n^2} - n + 2} \right)\left( {n - 1} \right) + 1\)
Để \(2{n^3} - 3{n^2} + 3n - 1\) chia hết cho \(n - 1\) thì \(1\) chia hết cho \(n - 1\).
\( \Rightarrow \left( {n - 1} \right) \in \left\{ {1, - 1} \right\}\)
Vậy \(n \in \left\{ {0,2} \right\}\) để \(P \in Z\).
Cho biết \({x^3} = 2p + 1\) trong đó \(x\) là số tự nhiên, \(p\) là số nguyên tố. Tìm \(x.\)
-
A.
\(x = 9\)
-
B.
\(x = 7\)
-
C.
\(x = 5\)
-
D.
\(x = 3\)
Đáp án : D
+ Chỉ ra \(x\) là số lẻ
+ Gọi \(x = 2k + 1\,\,\left( {k \in \mathbb{N}} \right)\) sau đó biển đổi để tìm \(k\). Từ đó tìm ra \(x\)
Chú ý rằng: Số nguyên tố là số chỉ có 2 ước là 1 và chính nó.
Vì \(p\) là số nguyên tố nên \(2p + 1\) là số lẻ. Mà \({x^3} = 2p + 1\) nên \({x^3}\) cũng là một số lẻ, suy ra \(x\) là số lẻ
Gọi \(x = 2k + 1\,\,\left( {k \in N} \right)\). Ta có \({x^3} = 2p + 1 \Leftrightarrow {\left( {2k + 1} \right)^3} = 2p + 1\)
\( \Leftrightarrow 8{k^3} + 12{k^2} + 6k + 1 = 2p + 1 \Leftrightarrow 2p = 8{k^3} + 12{k^2} + 6k\)
\( \Leftrightarrow p = 4{k^3} + 6{k^2} + 3k = k\left( {4{k^2} + 6k + 3} \right)\)
Mà \(p\) là số nguyên tố nên \(k = 1 \Rightarrow x = 3\)
Vậy số cần tìm là \(x = 3.\)
Cho \({\left( {a + b + c} \right)^2} + 12 = 4\left( {a + b + c} \right) + 2\left( {ab + bc + ca} \right)\). Khi đó
-
A.
\(a = b = 2c\)
-
B.
\(a = b = c\)
-
C.
\(a = 2b = c\)
-
D.
\(a = b = c = 2\)
Đáp án : D
Biến đổi giả thiết bằng cách sử dụng hằng đẳng thức \({\left( {a + b + c} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + bc + ca} \right)\)
\({\left( {a - b} \right)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}\)
Từ đó đưa về dạng \({A^2} + {B^2} + {C^2} = 0 \Leftrightarrow A = B = C = 0\)
Ta có \({\left( {a + b + c} \right)^2} + 12 = 4\left( {a + b + c} \right) + 2\left( {ab + bc + ca} \right)\)
\( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + bc + ca} \right) + 12 = 4\left( {a + b + c} \right) + 2\left( {ab + ac + bc} \right)\)
\( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} - 4a - 4b - 4c + 12 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {{a^2} - 4a + 4} \right) + \left( {{b^2} - 4b + 4} \right) + \left( {{c^2} - 4c + 4} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} + {\left( {c - 2} \right)^2} = 0\)
Mà \({\left( {a - 2} \right)^2} \ge 0;\,{\left( {b - 2} \right)^2} \ge 0;{\left( {c - 2} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(a,b,c.\)
Nên \({\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} + {\left( {c - 2} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(a,b,c\)
Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}a - 2 = 0\\b - 2 = 0\\c - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 2\\c = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c = 2\)
Xác định hệ số \(a,b,c\) biết rằng với mọi giá trị của \(x\) thì \(\left( {ax + 4} \right)\left( {{x^2} + bx - 1} \right) = 9{x^3} + 58{x^2} + 15x + c\)
-
A.
\(a = 9,b = - 4,c = 6.\)
-
B.
\(a = 9,b = 6,c = - 4.\)
-
C.
\(a = 9,b = 6,c = 4.\)
-
D.
\(a = - 9,b = - 6,c = - 4.\)
Đáp án : B
Bước 1: Thực hiện phép nhân đa thức với đa thức
Bước 2: Cho các hệ số của các lũy thừa tương ứng ở hai vế bằng nhau ta tìm được các hệ số \(a,b,c.\)
Ta có \(VT = \left( {ax + 4} \right)\left( {{x^2} + bx - 1} \right)\)\( = ax.{x^2} + ax.bx + ax.\left( { - 1} \right) + 4.{x^2} + 4.bx + 4.\left( { - 1} \right)\)
\( = a{x^3} + ab{x^2} - ax + 4{x^2} + 4bx - 4\)
\( = a{x^3} + \left( {ab{x^2} + 4{x^2}} \right) + \left( {4bx - ax} \right) - 4\)
\( = a{x^3} + \left( {ab + 4} \right){x^2} + \left( {4b - a} \right)x - 4\)
Theo bài ra ta có \(\left( {ax + 4} \right)\left( {{x^2} + bx - 1} \right) = 9{x^3} + 58{x^2} + 15x + c\) đúng với mọi \(x\)
\( \Leftrightarrow a{x^3} + \left( {ab + 4} \right){x^2} + \left( {4b - a} \right)x - 4 = 9{x^3} + 58{x^2} + 15x + c\) đúng với mọi \(x.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 9\\ab + 4 = 58\\4b - a = 15\\ - 4 = c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 9\\9.b = 54\\4b - 9 = 15\\c = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 9\\b = 6\\c = - 4\end{array} \right.\)
Vậy \(a = 9,b = 6,c = - 4.\)
Cho tam giác \(ABC\) có \(BC = 6cm.\) Trên cạnh \(AB\) lấy các điểm \(D\) và \(E\) sao cho \(AD = BE.\) Qua \(D,E\) lần lượt vẽ các đường thẳng song song với \(BC,\) cắt \(AC\) theo thứ tự ở \(G\) và \(H\). Tính tổng \(DG + EH.\)
-
A.
\(10\,cm\)
-
B.
\(4\,cm\)
-
C.
\(6\,cm\)
-
D.
\(8\,cm\)
Đáp án : C
+ Kẻ \(HM//AB\,\,\left( {M \in BC} \right)\).
+ Chứng minh \(DG = MC\) từ hai tam giác bằng nhau từ đó tính tổng \(DG + EH\).
Kẻ \(HM//AB\,\,\left( {M \in BC} \right)\).
Xét tứ giác \(EHMB\) có \(MH//EB;EH//BM\) nên \(EHMB\) là hình bình hành.
Suy ra \(EH = BM;\,EB = HM\) (tính chất hình bình hành) mà \(AD = BE \Rightarrow AD = MH\).
Lại có: \(DG//BC \Rightarrow \widehat {ADG} = \widehat {ABC}\) (hai góc ở vị trí đồng vị) (1)
Và \(HM//AB \Rightarrow \widehat {HMC} = \widehat {ABC}\) và \(\widehat {CHM} = \widehat {CAB}\) (hai góc ở vị trí đồng vị) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat {HMC} = \widehat {ADG}\left( { = \widehat {ABC}} \right)\).
Xét \(\Delta ADG\) và \(\Delta HMC\) có: \(\left\{ \begin{array}{l}\widehat {MHC} = \widehat {DAG}\left( {cmt} \right)\\AD = HM\,\left( {cmt} \right)\\\widehat {HMC} = \widehat {ADG}\left( {cmt} \right)\end{array} \right.\) nên \(\Delta ADG = \Delta HMC\left( {g - c - g} \right) \Rightarrow DG = MC\).
Ta có: \(DG + EH = MC + BM = BC = 6cm\).
Cho \(M = \left( {{x^4}{y^{n + 1}} - \dfrac{1}{2}{x^3}{y^{n + 2}}} \right):\left( {\dfrac{1}{2}{x^3}{y^n}} \right) - 20{x^4}y:5{x^2}y\,\,\,\left( {n \in \mathbb{N};x;y \ne 0} \right)\) . Chọn câu đúng.
-
A.
Giá trị của \(M\) luôn là số âm
-
B.
Giá trị của \(M\) luôn là số dương
-
C.
Giá trị của \(M\) luôn bằng \(0\)
-
D.
Giá trị của \(M\) luôn bằng \(1\)
Đáp án : A
+ Sử dụng chia đa thức cho đơn thức \(\left( {A + B} \right):C = A:C + B + C\)
+ Sử dụng công thức \({a^m}:{a^n} = {a^{m - n}}\,\,\left( {a \ne 0;m \ge n} \right)\)
+ Sử dụng đánh giá \( - {A^2} < 0;\,\forall A \ne 0\)
Ta có \(M = \left( {{x^4}{y^{n + 1}} - \dfrac{1}{2}{x^3}{y^{n + 2}}} \right):\left( {\dfrac{1}{2}{x^3}{y^n}} \right) - 20{x^4}y:\left( {5{x^2}y} \right)\,\,\)
\( = \left( {{x^4}{y^{n + 1}}} \right):\left( {\dfrac{1}{2}{x^3}{y^n}} \right) - \left( {\dfrac{1}{2}{x^3}{y^{n + 2}}} \right):\left( {\dfrac{1}{2}{x^3}{y^n}} \right) - 4{x^2}\)
\( = 2{x^{4 - 1}}{y^{n + 1 - n}} - {x^{3 - 3}}{y^{n + 2 - n}} - 4{x^2}\)
\( = 2xy - {y^2} - 4{x^2}\)\( = - \left( {{y^2} - 2xy + {x^2} + 3{x^2}} \right) = - \left[ {{{\left( {x - y} \right)}^2} + 3{x^2}} \right]\)
Vì với \(x,y \ne 0\) thì \({\left( {x - y} \right)^2} + 3{x^2} > 0\) nên \( - \left[ {{{\left( {x - y} \right)}^2} + 3{x^2}} \right] < 0;\,\forall x;y \ne 0\)
Hay giá trị của \(M\) luôn là số âm.