Đề kiểm tra 45 phút chương 4: Bất phương trình bậc nhất một ẩn - Đề số 1
Đề bài
So sánh $m$ và $n$ biết $m-\dfrac{1}{2} = n$
-
A.
\(m < n\)
-
B.
\(m = n\)
-
C.
\(m \le n\)
-
D.
\(m > n\)
Cho \(a > b\) khi đó
-
A.
\(a - b > 0\)
-
B.
\(a - b < 0\)
-
C.
\(a - b = 0\)
-
D.
\(a - b \le 0\)
Hãy chọn câu đúng. Tập nghiệm của bất phương trình \(1 - 3x \ge 2 - x\) là:
-
A.
\(S = \left\{ x \in R|{x \ge \dfrac{1}{2}} \right\}\)
-
B.
\(S = \left\{ x \in R|{x \ge - \dfrac{1}{2}} \right\}\)
-
C.
\(S = \left\{ x \in R|{x \le - \dfrac{1}{2}} \right\}\)
-
D.
\(S = \left\{ x \in R|{x \le \dfrac{1}{2}} \right\}\)
Cho \(a + 1 \le b + 2\). So sánh $2$ số \(2a + 2\) và \(2b + 4\) nào dưới đây là đúng?
-
A.
\(2a + 2 > 2b + 4\)
-
B.
\(2a + 2 < 2b + 4\)
-
C.
\(2a + 2 \ge 2b + 4\)
-
D.
\(2a + 2 \le 2b + 4\)
Cho các khẳng định sau:
(1) \(\left| {x - 3} \right| = 1\) chỉ có một nghiệm là x = 2
(2) $x = 4$ là nghiệm của phương trình \(\left| {x - 3} \right| = 1\)
(3) \(\left| {x - 3} \right| = 1\) có hai nghiệm là $x = 2$ và $x = 4$
Các khẳng định đúng là:
-
A.
(1);(3)
-
B.
(2);(3)
-
C.
Chỉ (3)
-
D.
Chỉ (2)
Bất phương trình \(x - 2 > 4,\) phép biến đổi nào sau đây là đúng?
-
A.
\(x > 4 - 2\)
-
B.
\(x > - 4 + 2\)
-
C.
\(x > - 4 - 2\)
-
D.
\(x > 4 + 2\)
Cho \(x - 3 \le y - 3,\) so sánh $x$ và $y$. Chọn đáp án đúng nhất.
-
A.
\(x < y\)
-
B.
\(x = y\)
-
C.
\(x > y\)
-
D.
\(x \le y\)
Hình vẽ dưới đây biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình nào?
-
A.
\(2\left( {x - 1} \right) < x\).
-
B.
\(2\left( {x - 1} \right) \le x - 4\).
-
C.
\(2x < x - 4\).
-
D.
\(2\left( {x - 1} \right) < x - 4\).
Cho \(a > b > 0.\) So sánh \({a^2}\) và \(ab\); \({a^3}\) và \({b^3}\) .
-
A.
\({a^2} < ab\) và \({a^3} > {b^3}.\)
-
B.
\({a^2} > ab\) và \({a^3} > {b^3}.\)
-
C.
\({a^2} < ab\) và \({a^3} < {b^3}.\)
-
D.
\({a^2} > ab\) và \({a^3} < {b^3}.\)
Cho \(m\) bất kỳ, chọn câu đúng.
-
A.
\(m - 3 > m - 4\)
-
B.
\(m - 3 < m - 4\)
-
C.
\(m - 3 = m - 4\)
-
D.
Cả A, B, C đều sai
Phương trình \(2.\left| {3 - 4x} \right| + 6 = 10\) có nghiệm là
-
A.
\(x = \dfrac{3}{4};\,x = \dfrac{5}{4}\)
-
B.
\(x = \dfrac{1}{4};\,x = \dfrac{5}{4}\)
-
C.
\(x = - \dfrac{1}{4};\,x = \dfrac{5}{4}\)
-
D.
\(x = \dfrac{1}{4};\,x = - \dfrac{5}{4}\)
Tập nghiệm của phương trình \(\left| {5x - 3} \right| = x + 7\) là
-
A.
\(\left\{ {\dfrac{5}{2}} \right\}\)
-
B.
\(\left\{ {\dfrac{5}{2};\dfrac{2}{3}} \right\}\)
-
C.
\(\left\{ {\dfrac{5}{2}; - \dfrac{3}{2}} \right\}\)
-
D.
\(\left\{ {\dfrac{5}{2}; - \dfrac{2}{3}} \right\}\)
Với \(x,y\) bất kỳ. Chọn khẳng định đúng?
-
A.
\({\left( {x + y} \right)^2} \le 4xy\)
-
B.
\({\left( {x + y} \right)^2} > 4xy\)
-
C.
\({\left( {x + y} \right)^2} < 4xy\)
-
D.
\({\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy\)
Cho biết \(a - 1 = b + 2 = c - 3\) . Hãy sắp xếp các số \(a,b,c\) theo thứ tự tăng dần.
-
A.
\(b < \,c < \,a\)
-
B.
\(a < b < c\)
-
C.
\(b < a < c\)
-
D.
\(a < c < b\)
Với mọi \(a,b,c\) . Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
A.
\({a^2} + {b^2} + {c^2} < ab + bc + ca\)
-
B.
\({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca\)
-
C.
\({a^2} + {b^2} + {c^2} \le ab + bc + ca\)
-
D.
Cả A, B, C đều sai
Cho \(x + y > 1.\) Chọn khẳng định đúng
-
A.
\({x^2} + {y^2} > \dfrac{1}{2}\)
-
B.
\({x^2} + {y^2} < \dfrac{1}{2}\)
-
C.
\({x^2} + {y^2} = \dfrac{1}{2}\)
-
D.
\({x^2} + {y^2} \le \dfrac{1}{2}\)
Bất đẳng thức nào sau đây đúng với mọi \(a > 0,b > 0:\)
-
A.
\({a^3} + {b^3} - a{b^2} - {a^2}b < 0\)
-
B.
\({a^3} + {b^3} - a{b^2} - {a^2}b \ge 0\)
-
C.
\({a^3} + {b^3} - a{b^2} - {a^2}b \le 0\)
-
D.
\({a^3} + {b^3} - a{b^2} - {a^2}b > 0\)
Kết luận nào sau đây là đúng khi nói về nghiệm của bất phương trình $\;(x + 3)(x + 4) > (x - 2)(x + 9) + 25$.
-
A.
Bất phương trình vô nghiệm
-
B.
Bất phương trình vô số nghiệm \(x \in \mathbb{R}\)
-
C.
Bất phương trình có nghiệm là \(x > 0\)
-
D.
Bất phương trình có nghiệm là \(x < 0\)
Tìm $x$ để phân thức \(\dfrac{4}{{9 - 3x}}\) không âm.
-
A.
$x > 3$
-
B.
$x < 3$
-
C.
$x \le 3$
-
D.
$x > 4$
Số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình $\dfrac{{x + 4}}{5} - x + 5 < \dfrac{{x + 3}}{3} - \dfrac{{x - 2}}{2}$ là
-
A.
$7$
-
B.
$6$
-
C.
$8$
-
D.
$5$
Bất phương trình $2{(x + 2)^2} < 2x(x + 2) + 4$ có nghiệm là
-
A.
$x > - 1$
-
B.
$x > 1$
-
C.
$x \ge - 1$
-
D.
$x < - 1$
Cho hai phương trình \(4\left| {2x - 1} \right| + 3 = 15\,\,\,\left( 1 \right)\) và \(\left| {7x + 1} \right| - \left| {5x + 6} \right| = 0\,\left( 2 \right)\). Kết luận nào sau đây là đúng.
-
A.
Phương trình \(\left( 1 \right)\) có nhiều nghiệm hơn phương trình \(\left( 2 \right)\)
-
B.
Phương trình \(\left( 1 \right)\) có ít nghiệm hơn phương trình \(\left( 2 \right)\)
-
C.
Cả hai phương trình đều có hai nghiệm phân biệt
-
D.
Cả hai phương trình đều vô số nghiệm
Nghiệm lớn nhất của phương trình \(\left| {2x} \right| = 3 - 3x\) là
-
A.
\(3\)
-
B.
\(\dfrac{9}{5}\)
-
C.
\(\dfrac{3}{5}\)
-
D.
\(\dfrac{5}{3}\)
Số nghiệm của phương trình \(\left| {1 - x} \right| - \left| {2x - 1} \right| = x - 2\) là
-
A.
\(1\)
-
B.
\(2\)
-
C.
\(3\)
-
D.
\(4\)
Giải bất phương trình \(\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {x - 3} \right) \ge 0\) ta được:
-
A.
\( - 2 \le x \le 2\)hoặc \(x \ge 3\).
-
B.
\(x \le 2\)hoặc \(x \ge 3\).
-
C.
$x \ge 3$
-
D.
$x \le - 2$
Lời giải và đáp án
So sánh $m$ và $n$ biết $m-\dfrac{1}{2} = n$
-
A.
\(m < n\)
-
B.
\(m = n\)
-
C.
\(m \le n\)
-
D.
\(m > n\)
Đáp án : D
+ Chuyển vế đổi dấu
+ So sánh với $0$
+ So sánh $m$ và $n$
Ta có: \(m - \dfrac{1}{2} = n \)
\(m - n = \dfrac{1}{2} \)
\(m - n > 0 \)
\(m > n\) .
Cho \(a > b\) khi đó
-
A.
\(a - b > 0\)
-
B.
\(a - b < 0\)
-
C.
\(a - b = 0\)
-
D.
\(a - b \le 0\)
Đáp án : A
Sử dụng: Nếu cộng cả hai vế với cùng một số thì bất đẳng thức không đổi chiều.
Từ \(a > b\), cộng \( - b\) vào hai vế ta được \(a - b > b - b,\) tức là \(a - b > 0\).
Hãy chọn câu đúng. Tập nghiệm của bất phương trình \(1 - 3x \ge 2 - x\) là:
-
A.
\(S = \left\{ x \in R|{x \ge \dfrac{1}{2}} \right\}\)
-
B.
\(S = \left\{ x \in R|{x \ge - \dfrac{1}{2}} \right\}\)
-
C.
\(S = \left\{ x \in R|{x \le - \dfrac{1}{2}} \right\}\)
-
D.
\(S = \left\{ x \in R|{x \le \dfrac{1}{2}} \right\}\)
Đáp án : C
\(1 - 3x \ge 2 - x\)
\(\Leftrightarrow 1 - 3x + x - 2 \ge 0 \)\(\Leftrightarrow - 2x - 1 \ge 0\\ \Leftrightarrow - 2x \ge 1 \)\(\Leftrightarrow x \le - \dfrac{1}{2}\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình \(S = \left\{ x \in R|{x \le - \dfrac{1}{2}} \right\}\) .
Cho \(a + 1 \le b + 2\). So sánh $2$ số \(2a + 2\) và \(2b + 4\) nào dưới đây là đúng?
-
A.
\(2a + 2 > 2b + 4\)
-
B.
\(2a + 2 < 2b + 4\)
-
C.
\(2a + 2 \ge 2b + 4\)
-
D.
\(2a + 2 \le 2b + 4\)
Đáp án : D
Nhân cả hai vế của bất đẳng thức \(a + 1 \le b + 2\) với \(2 > 0\) ta được
\(2\left( {a + 1} \right) \le 2\left( {b + 2} \right)\)
\( 2a + 2 \le 2b + 4\) .
Cho các khẳng định sau:
(1) \(\left| {x - 3} \right| = 1\) chỉ có một nghiệm là x = 2
(2) $x = 4$ là nghiệm của phương trình \(\left| {x - 3} \right| = 1\)
(3) \(\left| {x - 3} \right| = 1\) có hai nghiệm là $x = 2$ và $x = 4$
Các khẳng định đúng là:
-
A.
(1);(3)
-
B.
(2);(3)
-
C.
Chỉ (3)
-
D.
Chỉ (2)
Đáp án : B
+ Phá dấu giá trị tuyệt đối theo định nghĩa \(\left| a \right| = \left\{ \begin{array}{l}a\;\;khi\;\;a \ge 0\\ - a\;\;khi\;\;a < 0\end{array} \right..\)
+ Giải các phương trình bậc nhất một ẩn
+ So sánh với điều kiện và kết luận.
Xét phương trình \(\left| {x - 3} \right| = 1\)
TH1: \(\left| {x - 3} \right| = x - 3\) khi \(x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 3\)
Phương trình đã cho trở thành \(x - 3 = 1 \Leftrightarrow x = 4\left( {TM} \right)\)
TH2: \(\left| {x - 3} \right| = 3 - x\) khi \(x - 3 < 0 \Leftrightarrow x < 3\)
Phương trình đã cho trở thành \(3 - x = 1 \Leftrightarrow x = 2\left( {TM} \right)\)
Vậy phương trình \(\left| {x - 3} \right| = 1\) có hai nghiệm \(x = 2;x = 4\).
Nên \(x = 4\) là nghiệm của phương trình \(\left| {x - 3} \right| = 1\).
Khẳng định đúng là (2) và (3).
Bất phương trình \(x - 2 > 4,\) phép biến đổi nào sau đây là đúng?
-
A.
\(x > 4 - 2\)
-
B.
\(x > - 4 + 2\)
-
C.
\(x > - 4 - 2\)
-
D.
\(x > 4 + 2\)
Đáp án : D
Sử dụng quy tắc chuyển vế để biến đổi.
Ta có \(x - 2 > 4\), chuyển \( - 2\) từ vế trái sang vế phải ta được \(x > 4 + 2\).
Cho \(x - 3 \le y - 3,\) so sánh $x$ và $y$. Chọn đáp án đúng nhất.
-
A.
\(x < y\)
-
B.
\(x = y\)
-
C.
\(x > y\)
-
D.
\(x \le y\)
Đáp án : D
Sử dụng tính chất: Nếu cộng cả hai vế với cùng một số thì bất đẳng thức không đổi chiều.
Cộng cả hai vế của bất đẳng thức \(x - 3 \le y - 3\) với \(3\) ta được:
\(x - 3 \le y - 3 \)
\(x - 3 + 3 \le y - 3 + 3\)
\(x \le y.\)
Hình vẽ dưới đây biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình nào?
-
A.
\(2\left( {x - 1} \right) < x\).
-
B.
\(2\left( {x - 1} \right) \le x - 4\).
-
C.
\(2x < x - 4\).
-
D.
\(2\left( {x - 1} \right) < x - 4\).
Đáp án : D
+ Áp dụng quy tắc phá ngoặc, quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân với một số để giải bất phương trình.
+ Dựa vào tập nghiệm được biểu diễn trên trục số để kết luận.
* Giải từng bất phương trình ta được
+) \(2\left( {x - 1} \right) < x\)\( \Leftrightarrow 2x - 2 < x \)\(\Leftrightarrow 2x - x < 2 \)\(\Leftrightarrow x < 2\)
+) \(2\left( {x - 1} \right) \le x - 4 \)\(\Leftrightarrow 2x - 2 \le x - 4 \)\(\Leftrightarrow 2x - x \le - 4 + 2 \)\(\Leftrightarrow x \le - 2\)
+) \(2x < x - 4 \)\(\Leftrightarrow 2x - x < - 4 \)\(\Leftrightarrow x < - 4\)
+) \(2\left( {x - 1} \right) < x - 4 \)\(\Leftrightarrow 2x - 2 < x - 4 \)\(\Leftrightarrow 2x - x < - 4 + 2 \)\(\Leftrightarrow x < - 2\)
* Hình vẽ biểu diễn tập nghiệm \(S = \left\{ {x < - 2} \right\}\) .
Nên bất phương trình \(2\left( {x - 1} \right) < x - 4\) thỏa mãn.
Cho \(a > b > 0.\) So sánh \({a^2}\) và \(ab\); \({a^3}\) và \({b^3}\) .
-
A.
\({a^2} < ab\) và \({a^3} > {b^3}.\)
-
B.
\({a^2} > ab\) và \({a^3} > {b^3}.\)
-
C.
\({a^2} < ab\) và \({a^3} < {b^3}.\)
-
D.
\({a^2} > ab\) và \({a^3} < {b^3}.\)
Đáp án : B
+) Nhân với cùng một số dương thì bất đẳng thức không đổi chiều.
+) Cộng cả 2 vế với cùng một số thì bất đẳng thức không đổi chiều.
+) Áp dụng tính chất bắc cầu để so sánh.
* Với \(a > b > 0\) ta có:
+) \(a.a > a.b\) hay \({a^2} > ab\;\;\)
+) Ta có: \({a^2} > ab \) suy ra \( {a^2}.a > a.ab \) hay \( {a^3} > {a^2}b\)
Mà \(a > b > 0 \) suy ra \( ab > b.b \) hay \( ab > {b^2}\)
Suy ra \(ab.a > {b^2}.b\) nên \( {a^2}b > {b^3}.\)
Suy ra \({a^2}b > {b^3} \)
Do đó \({a^3} > {a^2}b > {b^3}\) hay \( {a^3} > {b^3}\)
Vậy \({a^2} > ab\) và \({a^3} > {b^3}.\)
Cho \(m\) bất kỳ, chọn câu đúng.
-
A.
\(m - 3 > m - 4\)
-
B.
\(m - 3 < m - 4\)
-
C.
\(m - 3 = m - 4\)
-
D.
Cả A, B, C đều sai
Đáp án : A
Sử dụng tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép cộng:
Nếu cộng cả hai vế với cùng một số thì bất đẳng thức không đổi chiều.
Vì \( - 3 > - 4\) “ cộng vào hai vế của bất đẳng thức với cùng một số $m$ bất kỳ ” ta được \(m - 3 > m - 4\).
Phương trình \(2.\left| {3 - 4x} \right| + 6 = 10\) có nghiệm là
-
A.
\(x = \dfrac{3}{4};\,x = \dfrac{5}{4}\)
-
B.
\(x = \dfrac{1}{4};\,x = \dfrac{5}{4}\)
-
C.
\(x = - \dfrac{1}{4};\,x = \dfrac{5}{4}\)
-
D.
\(x = \dfrac{1}{4};\,x = - \dfrac{5}{4}\)
Đáp án : B
+ Bỏ dấu giá trị tuyệt đối bằng công thức: \(\left| a \right| = \left\{ \begin{array}{l}a\;\;khi\;\;a \ge 0\\ - a\;\;khi\;\;a < 0\end{array} \right..\)
+ Sau đó giải phương trình thu được.
TH1: \(\left| {3 - 4x} \right| = 3 - 4x\) khi \(3 - 4x \ge 0 \Leftrightarrow 4x \le 3 \Leftrightarrow x \le \dfrac{3}{4}\)
Phương trình đã cho trở thành \(2\left( {3 - 4x} \right) + 6 = 10 \)\(\Leftrightarrow 2\left( {3 - 4x} \right) = 4 \)\(\Leftrightarrow 3 - 4x = 2 \)\(\Leftrightarrow x = \dfrac{1}{4}\,\left( {TM} \right)\)
TH2: \(\left| {3 - 4x} \right| = - \left( {3 - 4x} \right)\) khi \(3 - 4x < 0 \)\(\Leftrightarrow 4x > 3\)\( \Leftrightarrow x > \dfrac{3}{4}\)
Phương trình đã cho trở thành \(2\left( {4x - 3} \right) + 6 = 10 \)\(\Leftrightarrow 2\left( {4x - 3} \right) = 4 \)\(\Leftrightarrow 4x - 3 = 2 \)\(\Leftrightarrow x = \dfrac{5}{4}\,\left( {TM} \right)\)
Phương trình có nghiệm \(x = \dfrac{1}{4};\,x = \dfrac{5}{4}\) .
Tập nghiệm của phương trình \(\left| {5x - 3} \right| = x + 7\) là
-
A.
\(\left\{ {\dfrac{5}{2}} \right\}\)
-
B.
\(\left\{ {\dfrac{5}{2};\dfrac{2}{3}} \right\}\)
-
C.
\(\left\{ {\dfrac{5}{2}; - \dfrac{3}{2}} \right\}\)
-
D.
\(\left\{ {\dfrac{5}{2}; - \dfrac{2}{3}} \right\}\)
Đáp án : D
+ Phá dấu giá trị tuyệt đối theo định nghĩa \(\left| a \right| = \left\{ \begin{array}{l}a\;\;khi\;\;a \ge 0\\ - a\;\;khi\;\;a < 0\end{array} \right..\)
+ Giải các phương trình bậc nhất một ẩn
+ So sánh với điều kiện và kết luận.
TH1: \(\left| {5x - 3} \right| = 5x - 3\) nếu \(5x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow 5x \ge 3 \Leftrightarrow x \ge \dfrac{3}{5}\)
Phương trình đã cho trở thành \(5x - 3 = x + 7 \)\(\Leftrightarrow 4x = 10 \)\(\Leftrightarrow x = \dfrac{5}{2}\,\left( {TM} \right)\) .
TH2: \(\left| {5x - 3} \right| = - \left( {5x - 3} \right)\) nếu \(5x - 3 < 0 \)\(\Leftrightarrow 5x < 3 \)\(\Leftrightarrow x < \dfrac{3}{5}\)
Phương trình đã cho trở thành \( - \left( {5x - 3} \right) = x + 7 \)\(\Leftrightarrow - 6x = 4 \)\(\Leftrightarrow x = - \dfrac{2}{3}\,\left( {TM} \right).\)
Vậy tập nghiệm của phương trình \(S = \left\{ {\dfrac{5}{2}; - \dfrac{2}{3}} \right\}\) .
Với \(x,y\) bất kỳ. Chọn khẳng định đúng?
-
A.
\({\left( {x + y} \right)^2} \le 4xy\)
-
B.
\({\left( {x + y} \right)^2} > 4xy\)
-
C.
\({\left( {x + y} \right)^2} < 4xy\)
-
D.
\({\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy\)
Đáp án : D
Phương pháp xét hiệu.
Xét hiệu
\(\begin{array}{l}P = {\left( {x + y} \right)^2} - 4xy = {x^2} + 2xy + {y^2} - 4xy\\ = {x^2} - 2xy + {y^2} = {\left( {x - y} \right)^2}\end{array}\)
Mà \({\left( {x - y} \right)^2} \ge 0 ;\,\forall x,y\) nên \(P \ge 0;\,\forall x;y\). Suy ra \({\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy\).
Cho biết \(a - 1 = b + 2 = c - 3\) . Hãy sắp xếp các số \(a,b,c\) theo thứ tự tăng dần.
-
A.
\(b < \,c < \,a\)
-
B.
\(a < b < c\)
-
C.
\(b < a < c\)
-
D.
\(a < c < b\)
Đáp án : C
Sử dụng mối liên hệ giữa thứ tự và phép cộng để so sánh sắp xếp
Cộng cả hai vế với cùng một số bất đẳng thức không đổi chiều
Từ $a-1 = b + 2$ suy ra $a = b + 2 + 1 = b + 3$ .
Từ $b + 2 = c-3$ suy ra $c = b + 2 + 3 = b + 5$ .
Mà $b < b + 3 < b + 5$ nên $b < a < c$ .
Với mọi \(a,b,c\) . Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
A.
\({a^2} + {b^2} + {c^2} < ab + bc + ca\)
-
B.
\({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca\)
-
C.
\({a^2} + {b^2} + {c^2} \le ab + bc + ca\)
-
D.
Cả A, B, C đều sai
Đáp án : B
+) Phương pháp xét hiệu \(\;P = {a^2} + {b^2} + {c^2} - \left( {ab + bc + ca} \right)\)
+) Sử dụng quy tắc chuyển vế đổi dấu và sử dụng các hằng đẳng thức để đánh giá hiệu \(P\) với \(0\).
\(\;P = {a^2} + {b^2} + {c^2} - \left( {ab + bc + ca} \right)\)\( = \dfrac{1}{2}\left( {2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2ac - 2bc} \right)\)
\( = \dfrac{1}{2}\left[ {\left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) + \left( {{a^2} - 2ac + {c^2}} \right) + \left( {{b^2} - 2bc + {c^2}} \right)} \right]\)
\( = \dfrac{1}{2}\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {a - c} \right)}^2} + {{\left( {b - c} \right)}^2}} \right] \ge 0\) với mọi \(a,b,c\) (vì \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0;\,{\left( {a - c} \right)^2} \ge 0;\)\({\left( {b - c} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(a,b,c\) )
Nên \(P \ge 0\) khi và chỉ khi \( {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ac\) .
Cho \(x + y > 1.\) Chọn khẳng định đúng
-
A.
\({x^2} + {y^2} > \dfrac{1}{2}\)
-
B.
\({x^2} + {y^2} < \dfrac{1}{2}\)
-
C.
\({x^2} + {y^2} = \dfrac{1}{2}\)
-
D.
\({x^2} + {y^2} \le \dfrac{1}{2}\)
Đáp án : A
+ Sử dụng các hằng đẳng thức cơ bản
+ Áp dụng tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép cộng.
+ Áp dụng tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép nhân.
Từ $x + y > 1$ , bình phương hai vế (hai vế đều dương) được ${x^2} + 2xy + {y^2} > 1$ (1)
Từ ${(x - y)^2} \ge 0$ suy ra ${x^2} - 2xy + {y^2} \ge 0.$(2)
Cộng từng vế (1) với (2) được $2{x^2} + 2{y^2} > 1.$
Chia hai vế cho $2$ được ${x^2} + {y^2} > \dfrac{1}{2}.$
Bất đẳng thức nào sau đây đúng với mọi \(a > 0,b > 0:\)
-
A.
\({a^3} + {b^3} - a{b^2} - {a^2}b < 0\)
-
B.
\({a^3} + {b^3} - a{b^2} - {a^2}b \ge 0\)
-
C.
\({a^3} + {b^3} - a{b^2} - {a^2}b \le 0\)
-
D.
\({a^3} + {b^3} - a{b^2} - {a^2}b > 0\)
Đáp án : B
+ Phân tích vế trái thành nhân tử và đánh giá theo điều kiện của \(a,\,b\).
Ta có ${a^3} + {b^3} - a{b^2} - {a^2}b = {a^2}(a - b) - {b^2}(a - b)$
$ = {(a - b)^2}(a + b) \ge 0$ ( vì \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\,\) với mọi \(a,b\) và \(a + b > 0\) với \(a > 0,b > 0\)).
Kết luận nào sau đây là đúng khi nói về nghiệm của bất phương trình $\;(x + 3)(x + 4) > (x - 2)(x + 9) + 25$.
-
A.
Bất phương trình vô nghiệm
-
B.
Bất phương trình vô số nghiệm \(x \in \mathbb{R}\)
-
C.
Bất phương trình có nghiệm là \(x > 0\)
-
D.
Bất phương trình có nghiệm là \(x < 0\)
Đáp án : B
- Nhân đa thức với đa thức
- Áp dụng quy tắc chuyển vế để rút gọn và quy tắc nhân với một số để giải bất phương trình.
Ta có $\;(x + 3)(x + 4) > (x - 2)(x + 9) + 25$
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} + 7x + 12 > {x^2} + 7x - 18 + 25\\ \Leftrightarrow {x^2} + 7x + 12 - {x^2} - 7x + 18 - 25 > 0\\ \Leftrightarrow 5 > 0\end{array}\)
Vì \(5 > 0\) (luôn đúng) nên bất phương trình vô số nghiệm \(x \in \mathbb{R}\) .
Tìm $x$ để phân thức \(\dfrac{4}{{9 - 3x}}\) không âm.
-
A.
$x > 3$
-
B.
$x < 3$
-
C.
$x \le 3$
-
D.
$x > 4$
Đáp án : B
Phân thức \(\dfrac{4}{{9 - 3x}}\) không âm có nghĩa là \( \dfrac{4}{{9 - 3x}} \ge 0\), giải bất phương trình tìm $x$ .
Phân thức \(\dfrac{4}{{9 - 3x}}\) không âm có nghĩa là \( \dfrac{4}{{9 - 3x}} \ge 0\)
Vì $4>0$ nên \( \dfrac{4}{{9 - 3x}} \ge 0 \)
hay \(9 - 3x > 0 \)
\( 3x < 9\)
\(x < 3\)
Vậy để phân thức \(\dfrac{4}{{9 - 3x}}\) không âm thì \(x < 3.\)
Số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình $\dfrac{{x + 4}}{5} - x + 5 < \dfrac{{x + 3}}{3} - \dfrac{{x - 2}}{2}$ là
-
A.
$7$
-
B.
$6$
-
C.
$8$
-
D.
$5$
Đáp án : A
+ Áp dụng quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân với một số để giải bất phương trình.
+ Quy đồng mẫu số, bỏ mẫu.
+ Tìm khoảng của $x$
+ Suy ra $x$ nguyên nhỏ nhất cần tìm
$\begin{array}{l}\dfrac{{x + 4}}{5} - x + 5 < \dfrac{{x + 3}}{3} - \dfrac{{x - 2}}{2}\\ 6(x + 4) - 30x + 150 < 10(x + 3) - 15(x - 2)\\ 6x + 24 - 30x + 150 < 10x + 30 - 15x + 30\\ 6x - 30x - 10x + 15x < 30 + 30 - 24 - 150\\ - 19x < - 114\\ x > 6\end{array}$
Vậy \(S = \left\{ {x > 6} \right\}\)
Nghiệm nguyên nhỏ nhất là \(x = 7\).
Bất phương trình $2{(x + 2)^2} < 2x(x + 2) + 4$ có nghiệm là
-
A.
$x > - 1$
-
B.
$x > 1$
-
C.
$x \ge - 1$
-
D.
$x < - 1$
Đáp án : D
- Khai triển các hằng đẳng thức
- Bỏ dấu ngoặc
- Áp dụng quy tắc chuyển vế và quy tắc nhân với một số để giải bất phương trình.
$\begin{array}{l}\;2{(x + 2)^2} < 2x(x + 2) + 4\\ 2{x^2} + 8x + 8 < 2{x^2} + 4x + 4\\ 4x < - 4\\ x < - 1\end{array}$
Vậy \(x < - 1\) .
Cho hai phương trình \(4\left| {2x - 1} \right| + 3 = 15\,\,\,\left( 1 \right)\) và \(\left| {7x + 1} \right| - \left| {5x + 6} \right| = 0\,\left( 2 \right)\). Kết luận nào sau đây là đúng.
-
A.
Phương trình \(\left( 1 \right)\) có nhiều nghiệm hơn phương trình \(\left( 2 \right)\)
-
B.
Phương trình \(\left( 1 \right)\) có ít nghiệm hơn phương trình \(\left( 2 \right)\)
-
C.
Cả hai phương trình đều có hai nghiệm phân biệt
-
D.
Cả hai phương trình đều vô số nghiệm
Đáp án : C
Để giải phương trình \(\left( 1 \right)\) ta thực hiện các bước sau:
+ Phá dấu giá trị tuyệt đối theo định nghĩa \(\left| a \right| = \left\{ \begin{array}{l}a\;\;khi\;\;a \ge 0\\ - a\;\;khi\;\;a < 0\end{array} \right..\)
+ Giải các phương trình bậc nhất một ẩn
+ So sánh với điều kiện và kết luận.
Để giải phương trình \(\left( 2 \right)\), ta chuyển vế biến đổi phương trình về dạng \(\left| {A\left( x \right)} \right| = \left| {B\left( x \right)} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A\left( x \right) = B\left( x \right)\\A\left( x \right) = - B\left( x \right)\end{array} \right.\)
* Xét phương trình \(4\left| {2x - 1} \right| + 3 = 15\,\,\,\left( 1 \right)\)
TH1: \(\left| {2x - 1} \right| = 2x - 1\) khi \(x \ge \dfrac{1}{2}\)
Phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành \(4\left( {2x - 1} \right) + 3 = 15 \)\(\Leftrightarrow 4\left( {2x - 1} \right) = 12 \)\(\Leftrightarrow 2x - 1 = 3 \)\(\Leftrightarrow x = 2\,\left( {TM} \right)\)
TH2: \(\left| {2x - 1} \right| = 1 - 2x\) khi \(x < \dfrac{1}{2}\)
Phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành \(4\left( {1 - 2x} \right) + 3 = 15 \)\(\Leftrightarrow 4\left( {1 - 2x} \right) = 12 \)\(\Leftrightarrow 1 - 2x = 3 \)\( \Leftrightarrow x = - 1\left( {TM} \right)\)
Vậy phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm \(x = - 1;\,x = 2\).
Xét phương trình
\(\;\left| {7x + 1} \right| - \left| {5x + 6} \right| = 0\\ \Leftrightarrow \left| {7x + 1} \right| = \left| {5x + 6} \right|\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}7x + 1 = 5x + 6\\7x + 1 = - (5x + 6)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = 5\\12x = - 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{5}{2}\\x = - \dfrac{7}{{12}}\end{array} \right.\)
Vậy phương trình \(\left( 2 \right)\) có hai nghiệm là \(x = \dfrac{5}{2};x = - \dfrac{7}{{12}}.\)
Nghiệm lớn nhất của phương trình \(\left| {2x} \right| = 3 - 3x\) là
-
A.
\(3\)
-
B.
\(\dfrac{9}{5}\)
-
C.
\(\dfrac{3}{5}\)
-
D.
\(\dfrac{5}{3}\)
Đáp án : C
+ Phá dấu giá trị tuyệt đối theo định nghĩa \(\left| a \right| = \left\{ \begin{array}{l}a\;\;khi\;\;a \ge 0\\ - a\;\;khi\;\;a < 0\end{array} \right..\)
+ Giải các phương trình bậc nhất một ẩn
+ So sánh với điều kiện và kết luận.
TH1: \(\left| {2x} \right| = 2x\) khi \(2x \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 0\)
Phương trình đã cho trở thành \(2x = 3 - 3x \Leftrightarrow 5x = 3 \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{5}\,\left( {TM} \right)\)
TH2: \(\left| {2x} \right| = - 2x\) khi \(2x < 0 \Leftrightarrow x < 0\)
Phương trình đã cho trở thành \( - 2x = 3 - 3x \Leftrightarrow x = 3\,\left( {KTM} \right)\)
Vậy nghiệm lớn nhất của phương trình là \(x = 3\) .
Số nghiệm của phương trình \(\left| {1 - x} \right| - \left| {2x - 1} \right| = x - 2\) là
-
A.
\(1\)
-
B.
\(2\)
-
C.
\(3\)
-
D.
\(4\)
Đáp án : A
- Lập bảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
- Căn cứ vào bảng xét từng khoảng giải bài toán (đối chiếu với điều kiện tương ứng).
Ta có \(\left| {1 - x} \right| - \left| {2x - 1} \right| = x - 2\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Xét: \(\begin{array}{l} + )\;\;1 - x = 0 \Leftrightarrow x = 1\\ + )\;\;2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}\end{array}\)
Ta có bảng xét dấu đa thức $1 - x$ và $2x - 1$ dưới đây
Từ bảng xét dấu ta có:
TH1: \(x < \dfrac{1}{2}\) khi đó \(\left| {2x - 1} \right| = 1 - 2x;\,\left| {1 - x} \right| = 1 - x\) nên phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành
\(1 - x - \left( {1 - 2x} \right) = x - 2 \Leftrightarrow 1 - x - 1 + 2x = x - 2 \Leftrightarrow x = x - 2\)
\( \Leftrightarrow 0 = - 2\) (vô lý)
TH2: \(\dfrac{1}{2} \le x \le 1\), khi đó \(\left| {2x - 1} \right| = 2x - 1;\,\left| {1 - x} \right| = 1 - x\) nên phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành
\(1 - x - \left( {2x - 1} \right) = x - 2 \Leftrightarrow - 3x + 2 = x - 2 \Leftrightarrow - 4x = - 4 \Leftrightarrow x = 1\,\left( {TM} \right)\)
TH3: \(x > 1\) , khi đó \(\left| {2x - 1} \right| = 2x - 1;\,\left| {1 - x} \right| = x - 1\) nên phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành
\(x - 1 - \left( {2x - 1} \right) = x - 2 \Leftrightarrow - x = x - 2 \Leftrightarrow 2x = 2 \Leftrightarrow x = 1\,\,\left( {L} \right)\)
Vậy phương trình có nghiệm \(x = 1\) .
Giải bất phương trình \(\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {x - 3} \right) \ge 0\) ta được:
-
A.
\( - 2 \le x \le 2\)hoặc \(x \ge 3\).
-
B.
\(x \le 2\)hoặc \(x \ge 3\).
-
C.
$x \ge 3$
-
D.
$x \le - 2$
Đáp án : A
- Khai triển hằng đẳng thức
- Lập bảng xét dấu và kết luận.
Ta có \(\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {x - 3} \right) \ge 0\)\( \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x - 3} \right) \ge 0\)
Ta có \(x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2;\,x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = 3;\,x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = - 2\)
Bảng xét dấu:
Từ bảng xét dấu ta có \(\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {x - 3} \right) \ge 0\)\( \Leftrightarrow - 2 \le x \le 2\) hoặc \(x \ge 3\).