Đề thi toán 8, đề kiểm tra toán 8 có đáp án và lời giải chi tiết

Đề kiểm tra 45 phút chương 2: Phân thức đại số - Đề số 2

Làm đề thi

Đề bài

Câu 1 :

Đa thức thích hợp để điền vào chỗ trống trong đẳng thức $\dfrac{{{x^3} - 8}}{{......}} = \dfrac{{{x^2} + 2x + 4}}{{3x}}$ là:

A.

$3x(x - 2)$
B.

$x - 2$
C.

$3{x^2}(x - 2)$
D.

$3x{(x - 2)^2}$

Câu 2 :

Phân thức $\dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}$ là kết quả của phép tính nào dưới đây?

A.

$\dfrac{x}{{x + 1}} - \dfrac{2}{{x + 1}}$.
B.

$\dfrac{{2x}}{{x + 1}} - \dfrac{2}{{x + 1}}$.
C.

$\dfrac{x}{{x - 1}} + \dfrac{1}{{x - 1}}$.
D.

$\dfrac{x}{{x + 1}} + \dfrac{1}{{ - x - 1}}$.

Câu 3 :

Các phân thức $\dfrac{1}{{4x - 12}};\dfrac{1}{{4x + 12}};\dfrac{4}{{9 - {x^2}}}$ có mẫu chung là:

A.

$4{\left( {x + 3} \right)^2}$
B.

$4\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)$
C.

$\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)$
D.

$4{\left( {x - 3} \right)^2}$

Câu 4 :

Kết quả gọn nhất của tích $\dfrac{{10{x^3}}}{{11{y^2}}}.\dfrac{{121{y^5}}}{{25x}}$ là

A.

$\dfrac{{11{x^2}{y^3}}}{5}$.
B.

$\dfrac{{22{x^2}{y^3}}}{5}$.
C.

$\dfrac{{22{x^2}{y^3}}}{{25}}$.
D.

$\dfrac{{22{x^3}{y^3}}}{5}$.

Câu 5 :

Điền vào chỗ trống: $\dfrac{{2x - 6}}{{x + 3}} - .... = \dfrac{{x + 1}}{2}$.

A.

$\dfrac{{ - {x^2} + 15}}{{2(x + 3)}}$
B.

$\dfrac{{{x^2} - 15}}{{2(x + 3)}}$
C.

$\dfrac{{ - {x^2} - 15}}{{2(x + 3)}}$
D.

Cả A, B, C đều sai

Câu 6 :

Phép tính $\dfrac{2}{{x + 3}} - \dfrac{3}{{{x^2} - 9}}$ có kết quả là

A.

$\dfrac{{2x - 9}}{{{x^2} - 9}}$
B.

$\dfrac{{2x - 3}}{{{x^2} - 9}}$
C.

$\dfrac{{2x - 9}}{{x - 3}}$
D.

$\dfrac{{x - 6}}{{{x^2} - 9}}$

Câu 7 :

Đa thức nào sau đây là mẫu thức chung của các phân thức $\dfrac{{5x}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^3}}},\dfrac{7}{{3\left( {x + 3} \right)}}$.

A.

${\left( {x + 3} \right)^3}$
B.

$3{\left( {x + 3} \right)^2}$
C.

$3{\left( {x + 3} \right)^3}$
D.

${\left( {x + 3} \right)^4}$

Câu 8 :

Thực hiện phép tính sau: $\dfrac{{{x^3}}}{{{x^2} + 1}} + \dfrac{x}{{{x^2} + 1}}$

A.

$ - x$
B.

$2x$
C.

$\dfrac{x}{2}$
D.

$x$

Câu 9 :

Kết quả rút gọn của phân thức $\dfrac{{6{x^2}{y^3}\left( {x + 3y} \right)}}{{18{x^2}y{{\left( {x + 3y} \right)}^2}}}$ là

A.

$\dfrac{{{y^2}}}{{3\left( {x + 3y} \right)}}$.
B.

$\dfrac{{3{y^2}}}{{x + 3y}}$.
C.

$\dfrac{{{y^2}}}{{2\left( {x + 3y} \right)}}$.
D.

$\dfrac{{xy}}{{x + 3y}}$.

Câu 10 :

Rút gọn biểu thức $\dfrac{1}{{x + 2}} + \dfrac{1}{{(x + 1)(x + 2)}} + \dfrac{1}{{(x + 1)(2x + 1)}}$ ta được

A.

$\dfrac{{x + 2}}{{x + 1}}$
B.

$\dfrac{2}{{x + 1}}$
C.

$\dfrac{2}{{2x + 1}}$
D.

$\dfrac{1}{{2x + 1}}$

Câu 11 :

Chọn câu sai.

A.

$\dfrac{{2xy - {x^2}}}{{2{y^2} - xy}} = \dfrac{x}{y}$.
B.

$\dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 4} \right)}}{{{x^2} + 7x + 12}} = \dfrac{{x - 2}}{{x + 3}}$.
C.

$\dfrac{{\left( {2x - 4} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {{x^3} - 27} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \dfrac{2}{{{x^2} - 3x + 9}}$.
D.

$\dfrac{{25x{y^2}}}{{40{x^3}{y^2}}} = \dfrac{5}{{8{x^2}}}$.

Câu 12 :

Cho $C = \left( {\dfrac{{21}}{{{x^2} - 9}} - \dfrac{{x - 4}}{{3 - x}} - \dfrac{{x - 1}}{{3 + x}}} \right):\left( {1 - \dfrac{1}{{x + 3}}} \right)$ .

Câu 12.1

Rút gọn $C$ ta được

A

$C = \dfrac{3}{{x - 3}}$.
B

$C = \dfrac{{ - 3}}{{x - 3}}$.
C

$C = \dfrac{3}{{x + 3}}$.
D

$C = - \dfrac{3}{{x + 3}}$.

Câu 12.2

Tính giá trị biểu thức $C$ tại $x$ thỏa mãn $\left| {2x + 1} \right| = 5$ .

A

$C = - \dfrac{1}{2}$.
B

$C = 3$.
C

$C = - 3$.
D

$C = 0$.

Câu 13 :

Rút gọn phân thức $A = \dfrac{{3\left| {x - 2} \right| - 5\left| {x - 6} \right|}}{{4{x^2} - 36{\rm{x}} + 81}}$ với 2 < x < 6 ta được:

A.

$A = \dfrac{4}{{x - 9}}$
B.

$A = \dfrac{4}{{9 - 2x}}$
C.

$A = \dfrac{4}{{2x - 9}}$
D.

$A = \dfrac{8}{{2x - 9}}$

Câu 14 :

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $Q = \dfrac{{18}}{{4x - 4{{\rm{x}}^2} +7}}$.

A.

$\dfrac{{18}}{7}$
B.

$\dfrac{4}{9}$
C.

$\dfrac{9}{4}$
D.

$18$

Câu 15 :

Cho $\dfrac{2}{{x + 2}} = \dfrac{{...}}{{2{x^2} + 4x}};\dfrac{1}{{2x}} = \dfrac{{...}}{{2{x^2} + 4x}}$. Điền vào chỗ trống để được các phân thức có cùng mẫu. Hãy chọn câu đúng.

A.

$4x;x + 2$
B.

$2x;x + 2$
C.

$4x;x + 1$
D.

$4{x^2};x + 2$

Câu 16 :

Chọn câu đúng.

A.

$\dfrac{{3x - 4}}{{4{x^2}{y^5}}} + \dfrac{{9x + 4}}{{4{x^2}{y^5}}} = \dfrac{3}{{x{y^4}}}$.
B.

$\dfrac{{2x + 5}}{3} + \dfrac{{x - 2}}{3} = \dfrac{{x + 1}}{3}$.
C.

$\dfrac{{x + 8}}{{x - 1}} - \dfrac{{2x - 1}}{{x - 1}} - \dfrac{{6x + 2}}{{x - 1}} = 7$.
D.

$\dfrac{x}{{x - y}} + \dfrac{y}{{x + y}} + \dfrac{{2{y^2}}}{{{x^2} - {y^2}}} = \dfrac{{x + y}}{{x - y}}$.

Câu 17 :

Tính giá trị biểu thức $C = \dfrac{{2{x^3}{y^2}}}{{{x^2}{y^5}{z^2}}}:\dfrac{{5{x^2}y}}{{4{x^2}{y^5}}}:\dfrac{{ - 8{x^3}{y^2}{z^3}}}{{15{x^5}{y^2}}}$ khi $x = 4;y = 1;z = - 2$ .

A.

$C = 6$
B.

$C = - 6$.
C.

$C = - 3$.
D.

$C = 3$.

Câu 18 :

Biết $\dfrac{{{x^4} + 4{x^2} + 5}}{{5{x^3} + 5}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{2x}}{{{x^2} + 4}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{3{x^3} + 3}}{{{x^4} + 4{x^2} + 5}} = \dfrac{{...}}{{...}}$. Đa thức thích hợp điền vào chỗ trống ở tử và mẫu lần lượt là:;

A.

$6x;{x^2} + 4$
B.

$x;5\left( {{x^2} + 4} \right)$
C.

$6x;5\left( {{x^2} + 4} \right)$
D.

$3x;{x^2} + 4$

Câu 19 :

Biết $A = \left( {\dfrac{1}{{{x^2} + x}} - \dfrac{{2 - x}}{{x + 1}}} \right):\left( {\dfrac{1}{x} + x - 2} \right) = \dfrac{{...}}{{x + 1}}$ . Điền biểu thức thích hợp vào chỗ trống

A.

$\dfrac{1}{{x + 1}}$.
B.

$x + 1$.
C.

$x$.
D.

$1$.

Câu 20 :

Thực hiện phép tính sau $\left( {\dfrac{{2x}}{{3x + 1}} - 1} \right):\left( {1 - \dfrac{{8{x^2}}}{{9{x^2} - 1}}} \right)$, ta được kết quả là:

A.

$\dfrac{{1 - 3x}}{{x - 1}}$
B.

$\dfrac{{3x - 1}}{{x - 1}}$
C.

$\dfrac{{ - (3x + 1)}}{{x - 1}}$
D.

$\dfrac{{1 - 3x}}{{ - x - 1}}$

Câu 21 :

Thực hiện phép tính $\dfrac{{x - 6}}{{{x^2} + 1}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{3{x^2} - 3x + 3}}{{{x^2} - 36}} + \dfrac{{x - 6}}{{{x^2} + 1}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{3x}}{{{x^2} - 36}}$ ta được kết quả là

A.

$\dfrac{3}{{x - 6}}$
B.

$x + 6$
C.

$\dfrac{{x + 6}}{3}$
D.

$\dfrac{3}{{x + 6}}$

Câu 22 :

Tìm biểu thức Q, biết: $\dfrac{{5x}}{{{x^2} + 2x + 1}}\,\, \cdot \,\,Q = \dfrac{x}{{{x^2} - 1}}$

A.

$\dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}$
B.

$\dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}$
C.

$\dfrac{{x - 1}}{{5(x + 1)}}$
D.

$\dfrac{{x + 1}}{{5(x - 1)}}$

Câu 23 :

Cho $x;y;z \ne 0$ thỏa mãn $x + y + z = 0$. Chọn câu đúng về biểu thức $A = \dfrac{{xy}}{{{x^2} + {y^2} - {z^2}}} + \dfrac{{yz}}{{{y^2} + {z^2} - {x^2}}} + \dfrac{{zx}}{{{z^2} + {x^2} - {y^2}}}$.

A.

$A < - 2$
B.

$0 < A < 1$
C.

$A > 0$
D.

$A < - 1$

Câu 24 :

Cho $a,b,c$ thỏa mãn $abc = 2017$. Tính giá trị biểu thức sau

$Q = \dfrac{{2017a}}{{ab + 2017a + 2017}} + \dfrac{b}{{bc + b + 2017}} + \dfrac{c}{{ac + 1 + c}}.$

A.

$Q = - 1$
B.

$Q = 0$
C.

$Q = 2$
D.

$Q = 1$

Lời giải và đáp án

Câu 1 :

Đa thức thích hợp để điền vào chỗ trống trong đẳng thức $\dfrac{{{x^3} - 8}}{{......}} = \dfrac{{{x^2} + 2x + 4}}{{3x}}$ là:

A.

$3x(x - 2)$
B.

$x - 2$
C.

$3{x^2}(x - 2)$
D.

$3x{(x - 2)^2}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Biến đổi phân thức $\dfrac{{{x^2} + 2x + 4}}{{3x}}$ sao cho có tử thức là ${x^3} - 8.$

Từ đó suy ra đa thức cần điền vào chỗ trống

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}\dfrac{{{x^2} + 2x + 4}}{{3x}} = \dfrac{{(x - 2)({x^2} + 2x + 4)}}{{3x(x - 2)}} = \dfrac{{{x^3} - 8}}{{3x(x - 2)}}\\ \Rightarrow \dfrac{{{x^3} - 8}}{{3x(x - 2)}} = \dfrac{{{x^3} - 8}}{{......}}\end{array}$

Vậy đa thức cần tìm là $3x(x - 2)$

Câu 2 :

Phân thức $\dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}$ là kết quả của phép tính nào dưới đây?

A.

$\dfrac{x}{{x + 1}} - \dfrac{2}{{x + 1}}$.
B.

$\dfrac{{2x}}{{x + 1}} - \dfrac{2}{{x + 1}}$.
C.

$\dfrac{x}{{x - 1}} + \dfrac{1}{{x - 1}}$.
D.

$\dfrac{x}{{x + 1}} + \dfrac{1}{{ - x - 1}}$.

Đáp án : D

Lời giải chi tiết :

Ta có $\dfrac{x}{{x + 1}} - \dfrac{2}{{x + 1}} = \dfrac{{x - 2}}{{x + 1}}$ nên A sai.

*) $\dfrac{{2x}}{{x + 1}} - \dfrac{2}{{x + 1}} = \dfrac{{2x - 2}}{{x + 1}} = \dfrac{{2\left( {x - 1} \right)}}{{x + 1}}$ nên B sai.

*) $\dfrac{x}{{x - 1}} + \dfrac{1}{{x - 1}} = \dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}$ nên C sai.

*) $\dfrac{x}{{x + 1}} + \dfrac{1}{{ - x - 1}} = \dfrac{x}{{x + 1}} + \dfrac{1}{{ - \left( {x + 1} \right)}} = \dfrac{x}{{x + 1}} - \dfrac{1}{{x + 1}} = \dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}$ nên D đúng.

Câu 3 :

Các phân thức $\dfrac{1}{{4x - 12}};\dfrac{1}{{4x + 12}};\dfrac{4}{{9 - {x^2}}}$ có mẫu chung là:

A.

$4{\left( {x + 3} \right)^2}$
B.

$4\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)$
C.

$\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)$
D.

$4{\left( {x - 3} \right)^2}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Tìm mẫu chung:

+ Phân tích phần hệ số thành thừa số nguyên tố và phần biến thành nhân tử.

+ Mẫu chung bao gồm: phần hệ số là BCNN của các hệ số của mẫu và phần biến là tích giữa các nhân tử chung và riêng mỗi nhân tử lấy số mũ lớn nhất.

Lời giải chi tiết :

Ta có các phân thức: $\dfrac{1}{{4x - 12}};\dfrac{1}{{4x + 12}};\dfrac{4}{{9 - {x^2}}}$ có mẫu lần lượt là:

$4x - 12 = 4\left( {x - 3} \right);4x + 12 = 4\left( {x + 3} \right);$$9 - {x^2} = - \left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)$

Nên mẫu thức chung có phần hệ số là $4$ và phần biến số là $\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)$.

Hay mẫu thức chung là $4\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)$.

Câu 4 :

Kết quả gọn nhất của tích $\dfrac{{10{x^3}}}{{11{y^2}}}.\dfrac{{121{y^5}}}{{25x}}$ là

A.

$\dfrac{{11{x^2}{y^3}}}{5}$.
B.

$\dfrac{{22{x^2}{y^3}}}{5}$.
C.

$\dfrac{{22{x^2}{y^3}}}{{25}}$.
D.

$\dfrac{{22{x^3}{y^3}}}{5}$.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Bước 1: Thực hiện phép nhân phân thức: Muốn nhân hai phân thức , ta nhân tử thức với nhau, mẫu thức với nhau.

Bước 2: Rút gọn phân thức thu được.

Lời giải chi tiết :

Ta có $\dfrac{{10{x^3}}}{{11{y^2}}}.\dfrac{{121{y^5}}}{{25x}}$$ = \dfrac{{10{x^3}.121.{y^5}}}{{11{y^2}.25x}} = \dfrac{{{{2.5.11}^2}{x^3}{y^5}}}{{{{11.5}^2}x{y^2}}} = \dfrac{{22{x^2}{y^3}}}{5}$ .

Câu 5 :

Điền vào chỗ trống: $\dfrac{{2x - 6}}{{x + 3}} - .... = \dfrac{{x + 1}}{2}$.

A.

$\dfrac{{ - {x^2} + 15}}{{2(x + 3)}}$
B.

$\dfrac{{{x^2} - 15}}{{2(x + 3)}}$
C.

$\dfrac{{ - {x^2} - 15}}{{2(x + 3)}}$
D.

Cả A, B, C đều sai

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Gọi phân thức cần điền là $P$.

Ta sử dụng $A-P=B$ suy ra $P=A-B$.

Từ đó thực hiện phép qui đồng và cộng, trừ các phân thức để tìm $P.$

Lời giải chi tiết :

Gọi phân thức cần điền là $P,$ khi đó

$P=\dfrac{{2x - 6}}{{x + 3}} - \dfrac{{x + 1}}{2}$$ = \dfrac{{2(2x - 6) - (x + 3)(x + 1)}}{{2(x + 3)}} $$= \dfrac{{4x - 12 - {x^2} - x - 3x - 3}}{{2(x + 3)}} $$= \dfrac{{ - {x^2} - 15}}{{2(x + 3)}}.$

Câu 6 :

Phép tính $\dfrac{2}{{x + 3}} - \dfrac{3}{{{x^2} - 9}}$ có kết quả là

A.

$\dfrac{{2x - 9}}{{{x^2} - 9}}$
B.

$\dfrac{{2x - 3}}{{{x^2} - 9}}$
C.

$\dfrac{{2x - 9}}{{x - 3}}$
D.

$\dfrac{{x - 6}}{{{x^2} - 9}}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Bước 1: Quy đồng mẫu thức. ( dùng hằng đẳng thức ${a^2} - {b^2} = \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)$ )

Bước 2: Thực hiện phép cộng (trừ) các phân thức cùng mẫu: Cộng hoặc trừ tử với tử, mẫu chung giữ nguyên.

Bước 3: Phân tích tử số thành nhân tử để rút gọn phân thức ( nếu có thể).

Lời giải chi tiết :

Ta có $\dfrac{2}{{x + 3}} - \dfrac{3}{{{x^2} - 9}}$$ = \dfrac{2}{{x + 3}} - \dfrac{3}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \dfrac{{2\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} - \dfrac{{ 3}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}}$ $ = \dfrac{{2x - 6 - 3}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \dfrac{{2x - 9}}{{{x^2} - 9}}$

Câu 7 :

Đa thức nào sau đây là mẫu thức chung của các phân thức $\dfrac{{5x}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^3}}},\dfrac{7}{{3\left( {x + 3} \right)}}$.

A.

${\left( {x + 3} \right)^3}$
B.

$3{\left( {x + 3} \right)^2}$
C.

$3{\left( {x + 3} \right)^3}$
D.

${\left( {x + 3} \right)^4}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Tìm mẫu chung

+ Phân tích phần hệ số thành thừa số nguyên tố và phần biến thành nhân tử.

+ Mẫu chung bao gồm: phần hệ số là BCNN của các hệ số của mẫu và phần biến là tích giữa các nhân tử chung và riêng mỗi nhân tử lấy số mũ lớn nhất.

Lời giải chi tiết :

Mẫu thức của hai phân thức $\dfrac{{5x}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^3}}},\dfrac{7}{{3\left( {x + 3} \right)}}$ là ${\left( {x + 3} \right)^3}$ và $3\left( {x + 3} \right)$.

Nên mẫu thức chung có phần hệ số là $3$, phần biến số là ${\left( {x + 3} \right)^3}$ $ \Rightarrow $ Mẫu thức chung $3{\left( {x + 3} \right)^3}$.

Câu 8 :

Thực hiện phép tính sau: $\dfrac{{{x^3}}}{{{x^2} + 1}} + \dfrac{x}{{{x^2} + 1}}$

A.

$ - x$
B.

$2x$
C.

$\dfrac{x}{2}$
D.

$x$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức cộng 2 phân thức cùng mẫu, phân tích đa thức thành nhân tử và rút gọn.

Lời giải chi tiết :

Ta có $\dfrac{{{x^3}}}{{{x^2} + 1}} + \dfrac{x}{{{x^2} + 1}} = \dfrac{{{x^3} + x}}{{{x^2} + 1}} = \dfrac{{x({x^2} + 1)}}{{{x^2} + 1}} = x.$

Câu 9 :

Kết quả rút gọn của phân thức $\dfrac{{6{x^2}{y^3}\left( {x + 3y} \right)}}{{18{x^2}y{{\left( {x + 3y} \right)}^2}}}$ là

A.

$\dfrac{{{y^2}}}{{3\left( {x + 3y} \right)}}$.
B.

$\dfrac{{3{y^2}}}{{x + 3y}}$.
C.

$\dfrac{{{y^2}}}{{2\left( {x + 3y} \right)}}$.
D.

$\dfrac{{xy}}{{x + 3y}}$.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

- Xác định nhân tử chung.

- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.

Lời giải chi tiết :

Ta có $\dfrac{{6{x^2}{y^3}\left( {x + 3y} \right)}}{{18{x^2}y{{\left( {x + 3y} \right)}^2}}} = \dfrac{{6{x^2}y.\left( {x + 3y} \right).{y^2}}}{{6{x^2}y\left( {x + 3y} \right).3\left( {x + 3y} \right)}} = \dfrac{{{y^2}}}{{3\left( {x + 3y} \right)}}$.

Câu 10 :

Rút gọn biểu thức $\dfrac{1}{{x + 2}} + \dfrac{1}{{(x + 1)(x + 2)}} + \dfrac{1}{{(x + 1)(2x + 1)}}$ ta được

A.

$\dfrac{{x + 2}}{{x + 1}}$
B.

$\dfrac{2}{{x + 1}}$
C.

$\dfrac{2}{{2x + 1}}$
D.

$\dfrac{1}{{2x + 1}}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức quy đồng mẫu nhiều phân thức; cộng các phân thức cùng mẫu, phân tích đa thức thành nhân tử và rút gọn.

Lời giải chi tiết :

Điều kiện: $x \ne - 1;x \ne - 2;x \ne \dfrac{{ - 1}}{2}.$

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\dfrac{1}{{x + 2}} + \dfrac{1}{{(x + 1)(x + 2)}} + \dfrac{1}{{(x + 1)(2x + 1)}}\\ = \dfrac{{(2x + 1)(x + 1) + 2x + 1 + x + 2}}{{(x + 1)(x + 2)(2x + 1)}}\\ = \dfrac{{2{x^2} + x + 2x + 1 + 2x + 1 + x + 2}}{{(x + 1)(x + 2)(2x + 1)}}\\ = \dfrac{{2{x^2} + 6x + 4}}{{(x + 1)(x + 2)(2x + 1)}}\\ = \dfrac{{2({x^2} + 3x + 2)}}{{(x + 1)(x + 2)(2x + 1)}}\\ = \dfrac{{2\left( {{x^2} + x + 2x + 2} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {2x + 1} \right)}}\\ = \dfrac{{2\left[ {x\left( {x + 1} \right) + 2\left( {x + 1} \right)} \right]}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {2x + 1} \right)}}\\= \dfrac{{2(x + 1)(x + 2)}}{{(x + 1)(x + 2)(2x + 1)}} = \dfrac{2}{{2x + 1}}.\end{array}$

Câu 11 :

Chọn câu sai.

A.

$\dfrac{{2xy - {x^2}}}{{2{y^2} - xy}} = \dfrac{x}{y}$.
B.

$\dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 4} \right)}}{{{x^2} + 7x + 12}} = \dfrac{{x - 2}}{{x + 3}}$.
C.

$\dfrac{{\left( {2x - 4} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {{x^3} - 27} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \dfrac{2}{{{x^2} - 3x + 9}}$.
D.

$\dfrac{{25x{y^2}}}{{40{x^3}{y^2}}} = \dfrac{5}{{8{x^2}}}$.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Phân tích tử số và mẫu số thành nhân tử.

- Xác định nhân tử chung.

- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.

Lời giải chi tiết :

Ta có $\dfrac{{2xy - {x^2}}}{{2{y^2} - xy}} = \dfrac{{x\left( {2y - x} \right)}}{{y\left( {2y - x} \right)}} = \dfrac{x}{y}$ nên A đúng.

+) $\dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 4} \right)}}{{{x^2} + 7x + 12}} = \dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 4} \right)}}{{{x^2} + 3x + 4x + 12}} = \dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 4} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 4} \right)}} = \dfrac{{x - 2}}{{x + 3}}$ nên B đúng.

+) $\dfrac{{\left( {2x - 4} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {{x^3} - 27} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \dfrac{{2\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} + 3x + 9} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \dfrac{2}{{{x^2} + 3x + 9}}$ nên C sai.

+) $\dfrac{{25x{y^2}}}{{40{x^3}{y^2}}} = \dfrac{{5x{y^2}.5}}{{5x{y^2}.8{x^2}}} = \dfrac{5}{{8{x^2}}}$ nên D đúng.

Câu 12 :

Cho $C = \left( {\dfrac{{21}}{{{x^2} - 9}} - \dfrac{{x - 4}}{{3 - x}} - \dfrac{{x - 1}}{{3 + x}}} \right):\left( {1 - \dfrac{1}{{x + 3}}} \right)$ .

Câu 12.1

Rút gọn $C$ ta được

A

$C = \dfrac{3}{{x - 3}}$.
B

$C = \dfrac{{ - 3}}{{x - 3}}$.
C

$C = \dfrac{3}{{x + 3}}$.
D

$C = - \dfrac{3}{{x + 3}}$.

Đáp án: A

Phương pháp giải :

Ta sử dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia các phân thức và các hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức.

Lời giải chi tiết :

Ta có $C = \left( {\dfrac{{21}}{{{x^2} - 9}} - \dfrac{{x - 4}}{{3 - x}} - \dfrac{{x - 1}}{{3 + x}}} \right):\left( {1 - \dfrac{1}{{x + 3}}} \right)$

$ = \left[ {\dfrac{{21}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} + \dfrac{{\left( {x - 4} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} - \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}} \right]:\left( {\dfrac{{x + 3 - 1}}{{x + 3}}} \right)$ Điều kiện: $x \ne \pm 3$

$ = \dfrac{{21 + {x^2} - x - 12 - {x^2} + 4x - 3}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}:\dfrac{{x + 2}}{{x + 3}}$

$ = \dfrac{{3x + 6}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}.\dfrac{{x + 3}}{{x + 2}} = \dfrac{{3\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}.\dfrac{{x + 3}}{{x + 2}}$

$ = \dfrac{3}{{x - 3}}$. Vậy $C = \dfrac{3}{{x - 3}}$ .

Câu 12.2

Tính giá trị biểu thức $C$ tại $x$ thỏa mãn $\left| {2x + 1} \right| = 5$ .

A

$C = - \dfrac{1}{2}$.
B

$C = 3$.
C

$C = - 3$.
D

$C = 0$.

Đáp án: C

Phương pháp giải :

Bước 1: Từ điều kiện của giả thiết ta tìm $x$ . So sánh với điều kiện để loại giá trị $x$ không thỏa mãn điều kiện.

Bước 2: Thay $x$ tìm được vào $C = \dfrac{3}{{x - 3}}$ rồi tính.

Lời giải chi tiết :

Ta có $\left| {2x + 1} \right| = 5$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + 1 = 5\\2x + 1 = - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = 4\\2x = - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\left( {TM} \right)\\x = - 3\,\left( L \right)\end{array} \right.$

Thay $x = 2$ vào $C = \dfrac{3}{{x - 3}}$ ta được $C = \dfrac{3}{{2 - 3}} = - 3$ .

Câu 13 :

Rút gọn phân thức $A = \dfrac{{3\left| {x - 2} \right| - 5\left| {x - 6} \right|}}{{4{x^2} - 36{\rm{x}} + 81}}$ với 2 < x < 6 ta được:

A.

$A = \dfrac{4}{{x - 9}}$
B.

$A = \dfrac{4}{{9 - 2x}}$
C.

$A = \dfrac{4}{{2x - 9}}$
D.

$A = \dfrac{8}{{2x - 9}}$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

+ Phá dấu giá trị tuyệt đối $\left| a \right| = \left\{ \begin{array}{l}a\,\,khi\,\,a \ge 0\\ - a\,\,khi\,\,a < 0\end{array} \right.$

+ Phân tích tử và mẫu thành nhân tử theo từng trường hợp.

+ Rút gọn phân thức.

Lời giải chi tiết :

Với $2 < x < 6 \Rightarrow x - 2 > 0$ và $x - 6 < 0.$

$ \Rightarrow |x - 2| = x - 2$ và $|x - 6| = 6 - x.$

$A = \dfrac{{3\left| {x - 2} \right| - 5\left| {x - 6} \right|}}{{4{x^2} - 36{\rm{x}} + 81}} = \dfrac{{3(x - 2) - 5(6 - x)}}{{{{(2x - 9)}^2}}} = \dfrac{{3x - 6 - 30 + 5x}}{{{{(2x - 9)}^2}}} = \dfrac{{8x - 36}}{{{{(2x - 9)}^2}}} = \dfrac{{4(2x - 9)}}{{{{(2x - 9)}^2}}} = \dfrac{4}{{2x - 9}}.$

Câu 14 :

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $Q = \dfrac{{18}}{{4x - 4{{\rm{x}}^2} +7}}$.

A.

$\dfrac{{18}}{7}$
B.

$\dfrac{4}{9}$
C.

$\dfrac{9}{4}$
D.

$18$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

- Phân tích mẫu số để sử dụng được kiến thức $m - {\left( {A + B} \right)^2} \le m\,\,$ với mọi $A,B$. Dấu “=” xảy ra khi $A = - B$. Từ đó tìm được GTLN của mẫu số.

- Lập luận để tìm GTNN của $Q$.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $Q = \dfrac{{18}}{{4x - 4{{\rm{x}}^2} + 7}}$$ = \dfrac{{18}}{{ - \left( {4{x^2} - 4x + 1} \right) + 8}} = \dfrac{{18}}{{8 - {{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}$

Ta có: $Q$ đạt GTNN $ \Leftrightarrow 8 - {\left( {2x - 1} \right)^2}$ đạt GTLN.

Mà ${\left( {2x - 1} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow 8 - {\left( {2x - 1} \right)^2} \le 8,\,\forall x$ . Dấu “=” xảy ra khi $2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}$

nên GTLN của $8 - {\left( {2x - 1} \right)^2}$ là $8$ khi $x = \dfrac{1}{2}$.

Hay GTNN của $Q$ là $\dfrac{{18}}{8} = \dfrac{9}{4} \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}$.

Câu 15 :

A.

$4x;x + 2$
B.

$2x;x + 2$
C.

$4x;x + 1$
D.

$4{x^2};x + 2$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

* Tìm mẫu chung

+ Phân tích phần hệ số thành thừa số nguyên tố và phần biến thành nhân tử

+ Mẫu chung bao gồm: phần hệ số là BCNN của các hệ số của mẫu và phần biến là tích giữa các nhân tử chung và riêng mỗi nhân tử lấy số mũ lớn nhất.

* Tìm nhân tử phụ mỗi phân thức: Lấy mẫu chung chia cho từng mẫu (đã phân tích thành nhân tử).

* Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.

Lời giải chi tiết :

Ta có mẫu thức chung của hai phân thức là $2x\left( {x + 2} \right) = 2{x^2} + 4x$

Do đó nhân cả tử và mẫu của phân thức $\dfrac{2}{{x + 2}}$ với $2x$ ta được $\dfrac{2}{{x + 2}} = \dfrac{{2x.2}}{{2x\left( {x + 2} \right)}} = \dfrac{{4x}}{{2{x^2} + 4x}}$

Nhân cả tử và mẫu của phân thức $\dfrac{1}{{2x}}$ với $\left( {x + 2} \right)$ ta được $\dfrac{1}{{2x}} = \dfrac{{1.\left( {x + 2} \right)}}{{2x\left( {x + 2} \right)}} = \dfrac{{x + 2}}{{2{x^2} + 4x}}$ .

Vậy các đa thức cần điền lần lượt là $4x;x + 2$ .

Câu 16 :

Chọn câu đúng.

A.

$\dfrac{{3x - 4}}{{4{x^2}{y^5}}} + \dfrac{{9x + 4}}{{4{x^2}{y^5}}} = \dfrac{3}{{x{y^4}}}$.
B.

$\dfrac{{2x + 5}}{3} + \dfrac{{x - 2}}{3} = \dfrac{{x + 1}}{3}$.
C.

$\dfrac{{x + 8}}{{x - 1}} - \dfrac{{2x - 1}}{{x - 1}} - \dfrac{{6x + 2}}{{x - 1}} = 7$.
D.

$\dfrac{x}{{x - y}} + \dfrac{y}{{x + y}} + \dfrac{{2{y^2}}}{{{x^2} - {y^2}}} = \dfrac{{x + y}}{{x - y}}$.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Bước 1: Quy đồng mẫu thức.

Bước 2: Thực hiện phép cộng (trừ) các phân thức cùng mẫu: Cộng hoặc trừ tử với tử, mẫu chung giữa nguyên.

Bước 3: Phân tích tử số thành nhân tử để rút gọn phân thức ( nếu có thể).

Lời giải chi tiết :

* $\dfrac{{3x - 4}}{{4{x^2}{y^5}}} + \dfrac{{9x + 4}}{{4{x^2}{y^5}}} = \dfrac{{3x - 4 + 9x + 4}}{{4{x^2}{y^5}}} = \dfrac{{12x}}{{4{x^2}{y^5}}} = \dfrac{3}{{x{y^5}}}$ nên A sai.

* $\dfrac{{2x + 5}}{3} + \dfrac{{x - 2}}{3} = \dfrac{{2x + 5 + x - 2}}{3} = \dfrac{{3x + 3}}{3} = x + 1$ nên B sai.

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\dfrac{{x + 8}}{{x - 1}} - \dfrac{{2x - 1}}{{x - 1}} - \dfrac{{6x + 2}}{{x - 1}}\\ = \dfrac{{x + 8 - (2x - 1) - (6x + 2)}}{{x - 1}}\\ = \dfrac{{x + 8 - 2x + 1 - 6x - 2}}{{x - 1}}\\ = \dfrac{{ - 7x + 7}}{{x - 1}} = \dfrac{{ - 7(x - 1)}}{{x - 1}} = - 7.\end{array}$

nên C sai.

* $\dfrac{x}{{x - y}} + \dfrac{y}{{x + y}} + \dfrac{{2{y^2}}}{{{x^2} - {y^2}}}$$ = \dfrac{{x\left( {x + y} \right)}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} + \dfrac{{y\left( {x - y} \right)}}{{\left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right)}} + \dfrac{{2{y^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}}$

$ = \dfrac{{{x^2} + xy + xy - {y^2} + 2{y^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}}$ $ = \dfrac{{{x^2} + {y^2} + 2xy}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} = \dfrac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}} = \dfrac{{x + y}}{{x - y}}$ nên D đúng.

Câu 17 :

Tính giá trị biểu thức $C = \dfrac{{2{x^3}{y^2}}}{{{x^2}{y^5}{z^2}}}:\dfrac{{5{x^2}y}}{{4{x^2}{y^5}}}:\dfrac{{ - 8{x^3}{y^2}{z^3}}}{{15{x^5}{y^2}}}$ khi $x = 4;y = 1;z = - 2$ .

A.

$C = 6$
B.

$C = - 6$.
C.

$C = - 3$.
D.

$C = 3$.

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Bước 1: Sử dụng phép chia hai phân thức: $\dfrac{A}{B}:\dfrac{C}{D} = \dfrac{A}{B}.\dfrac{D}{C};\,\,\left( {\dfrac{C}{D} \ne 0} \right)$. Thực hiện phép chia từ trái qua phải.

Bước 2: Rút gọn phân thức thu được.

Bước 3: Thay các giá trị của $x,\,y,\,z$ vào biểu thức đã rút gọn rồi tính.

Lời giải chi tiết :

Ta có $C = \dfrac{{2{x^3}{y^2}}}{{{x^2}{y^5}{z^2}}}:\dfrac{{5{x^2}y}}{{4{x^2}{y^5}}}:\dfrac{{ - 8{x^3}{y^2}{z^3}}}{{15{x^5}{y^2}}}$$ = \dfrac{{2{x^3}{y^2}}}{{{x^2}{y^5}{z^2}}}.\dfrac{{4{x^2}{y^5}}}{{5{x^2}y}}:\dfrac{{ - 8{x^3}{y^2}{z^3}}}{{15{x^5}{y^2}}} = \dfrac{{8{x^5}{y^7}}}{{5{x^4}{y^6}{z^2}}}:\dfrac{{ - 8{x^3}{y^2}{z^3}}}{{15{x^5}{y^2}}}$

$ = \dfrac{{8xy}}{{5{z^2}}}:\dfrac{{ - 8{x^3}{y^2}{z^3}}}{{15{x^5}{y^2}}} $$= \dfrac{{8xy}}{{5{z^2}}}.\dfrac{{15{x^5}{y^2}}}{{ - 8{x^3}{y^2}{z^3}}} $$= \dfrac{{120{x^6}{y^3}}}{{ - 40{x^3}{y^2}{z^5}}} $$= \dfrac{{ - 3{x^3}y}}{{{z^5}}}$ . Vậy $C = \dfrac{{ - 3{x^3}y}}{{{z^5}}}.$

Thay $x = 4;y = 1;z = - 2$ vào $C = \dfrac{{ - 3{x^3}y}}{{{z^5}}}$ ta được $C = \dfrac{{ - {{3.4}^3}.1}}{{{{\left( { - 2} \right)}^5}}} = 6.$

Câu 18 :

A.

$6x;{x^2} + 4$
B.

$x;5\left( {{x^2} + 4} \right)$
C.

$6x;5\left( {{x^2} + 4} \right)$
D.

$3x;{x^2} + 4$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Bước 1: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử.

Bước 2: Thực hiện phép nhân hai phân thức và rút gọn phân thức thu được.

Lời giải chi tiết :

Ta có: $\dfrac{{{x^4} + 4{x^2} + 5}}{{5{x^3} + 5}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{2x}}{{{x^2} + 4}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{3{x^3} + 3}}{{{x^4} + 4{x^2} + 5}}$

$ = \dfrac{{{x^4} + 4{x^2} + 5}}{{5({x^3} + 1)}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{2x}}{{{x^2} + 4}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{3({x^3} + 1)}}{{{x^4} + 4{x^2} + 5}} = \dfrac{{6x}}{{5({x^2} + 4)}}.$

Vậy các đa thức thích hợp điền vào chỗ trống ở tử và mẫu lần lượt là $6x;5\left( {{x^2} + 4} \right)$.

Câu 19 :

A.

$\dfrac{1}{{x + 1}}$.
B.

$x + 1$.
C.

$x$.
D.

$1$.

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Ta sử dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia các phân thức để để rút gọn biểu thức.

Lời giải chi tiết :

Ta có $A = \left( {\dfrac{1}{{{x^2} + x}} - \dfrac{{2 - x}}{{x + 1}}} \right):\left( {\dfrac{1}{x} + x - 2} \right)$$ = \left( {\dfrac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} - \dfrac{{x\left( {2 - x} \right)}}{{x\left( {x + 1} \right)}}} \right):\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{{{x^2}}}{x} - \dfrac{{2x}}{x}} \right)$ $ = \dfrac{{1 - 2x + {x^2}}}{{x\left( {x + 1} \right)}}:\dfrac{{1 + {x^2} - 2x}}{x}$

$ = \dfrac{{{x^2} - 2x + 1}}{{x\left( {x + 1} \right)}}.\dfrac{x}{{{x^2} - 2x + 1}} = \dfrac{1}{{x + 1}}$ .

Vậy số cần điền là $1$ .

Câu 20 :

Thực hiện phép tính sau $\left( {\dfrac{{2x}}{{3x + 1}} - 1} \right):\left( {1 - \dfrac{{8{x^2}}}{{9{x^2} - 1}}} \right)$, ta được kết quả là:

A.

$\dfrac{{1 - 3x}}{{x - 1}}$
B.

$\dfrac{{3x - 1}}{{x - 1}}$
C.

$\dfrac{{ - (3x + 1)}}{{x - 1}}$
D.

$\dfrac{{1 - 3x}}{{ - x - 1}}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Ta sử dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia các phân thức để rút gọn biểu thức.

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}\left( {\dfrac{{2x}}{{3x + 1}} - 1} \right):\left( {1 - \dfrac{{8{x^2}}}{{9{x^2} - 1}}} \right) = \left( {\dfrac{{2x - 3x - 1}}{{3x + 1}}} \right):\left( {\dfrac{{9{x^2} - 1 - 8{x^2}}}{{9{x^2} - 1}}} \right)\\ = \dfrac{{ - x - 1}}{{3x + 1}}:\dfrac{{{x^2} - 1}}{{9{x^2} - 1}} = \dfrac{{ - x - 1}}{{3x + 1}}.\dfrac{{9{x^2} - 1}}{{{x^2} - 1}}\\ = \dfrac{{ - (x + 1)}}{{3x + 1}}.\dfrac{{(3x + 1)(3x - 1)}}{{(x + 1)(x - 1)}} = \dfrac{{1 - 3x}}{{x - 1}}.\end{array}$

Câu 21 :

A.

$\dfrac{3}{{x - 6}}$
B.

$x + 6$
C.

$\dfrac{{x + 6}}{3}$
D.

$\dfrac{3}{{x + 6}}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

+ Áp dụng quy tắc nhân chia hai hay nhiều phân thức, áp dụng tính chất phân phối của phép nhân và phép cộng, thứ tự thực hiện phép tính.

+ Sau đó phân tích đa thức thành nhân tử và rút gọn.

Lời giải chi tiết :

$\dfrac{{x - 6}}{{{x^2} + 1}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{3{x^2} - 3x + 3}}{{{x^2} - 36}} + \dfrac{{x - 6}}{{{x^2} + 1}}\,\, \cdot \,\,\dfrac{{3x}}{{{x^2} - 36}}$

$ = \dfrac{{x - 6}}{{{x^2} + 1}}\left( {\dfrac{{3{x^2} - 3x + 3}}{{{x^2} - 36}} + \dfrac{{3x}}{{{x^2} - 36}}} \right)$

$ = \dfrac{{x - 6}}{{{x^2} + 1}} \cdot \dfrac{{3{x^2} - 3x + 3 + 3x}}{{{x^2} - 36}}$

$ = \dfrac{{x - 6}}{{{x^2} + 1}} \cdot \dfrac{{3{x^2} + 3}}{{(x - 6)(x + 6)}}$

$ = \dfrac{{x - 6}}{{{x^2} + 1}} \cdot \dfrac{{3({x^2} + 1)}}{{(x - 6)(x + 6)}} = \dfrac{3}{{x + 6}}.$

Câu 22 :

Tìm biểu thức Q, biết: $\dfrac{{5x}}{{{x^2} + 2x + 1}}\,\, \cdot \,\,Q = \dfrac{x}{{{x^2} - 1}}$

A.

$\dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}$
B.

$\dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}$
C.

$\dfrac{{x - 1}}{{5(x + 1)}}$
D.

$\dfrac{{x + 1}}{{5(x - 1)}}$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

+ Áp dụng quy tắc tìm phân thức chưa biết khi biết tích và thừa số

+ Thực hiện phép chia hai phân thức.

+ Chú ý đến các hằng đẳng thức để phân tích mẫu thức thành nhân tử

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}\dfrac{{5x}}{{{x^2} + 2x + 1}}\,\, \cdot \,\,Q = \dfrac{x}{{{x^2} - 1}}\\ \Rightarrow Q = \dfrac{x}{{{x^2} - 1}}:\dfrac{{5x}}{{{x^2} + 2x + 1}} \\= \dfrac{x}{{{x^2} - 1}} \cdot \dfrac{{{x^2} + 2x + 1}}{{5x}} \\= \dfrac{x}{{(x - 1)(x + 1)}} \cdot \dfrac{{{{(x + 1)}^2}}}{{5x}} \\= \dfrac{{x + 1}}{{5(x - 1)}}\end{array}$

Câu 23 :

A.

$A < - 2$
B.

$0 < A < 1$
C.

$A > 0$
D.

$A < - 1$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

+ Sử dụng giả thiết để tính $x^2+y^2-z^2$ theo $xy$, $y^2+z^2-x^2$ theo $yz$ và $x^2+z^2-y^2$ theo $xz.$

+ Từ đó có biểu thức đơn giản hơn để ta rút gọn và tính toán

Lời giải chi tiết :

Từ $x + y + z = 0 \Rightarrow x + y = - z \Rightarrow {x^2} + 2xy + {y^2} = {z^2} \Rightarrow {x^2} + {y^2} - {z^2} = - 2xy$.

Tương tự ta có : $\left\{ \begin{array}{l}{y^2} + {z^2} - {x^2} = - 2yz\\{z^2} + {x^2} - {y^2} = - 2zx\end{array} \right.$

Do đó: $A = \dfrac{{xy}}{{ - 2xy}} + \dfrac{{yz}}{{ - 2yz}} + \dfrac{{zx}}{{ - 2zx}} = - \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} = - \dfrac{3}{2}$

Vậy $A = - \dfrac{3}{2}.$

Suy ra $A < - 1.$

Câu 24 :

Cho $a,b,c$ thỏa mãn $abc = 2017$. Tính giá trị biểu thức sau

$Q = \dfrac{{2017a}}{{ab + 2017a + 2017}} + \dfrac{b}{{bc + b + 2017}} + \dfrac{c}{{ac + 1 + c}}.$

A.

$Q = - 1$
B.

$Q = 0$
C.

$Q = 2$
D.

$Q = 1$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng kiến thức phân tích đa thức thành nhân tử, rút gọn, cộng các phân thức cùng mẫu và rút gọn.

Lời giải chi tiết :

Thay$2017 = abc$ vào biểu thức $Q$ ta có:

$\begin{array}{l}Q = \dfrac{{abc.a}}{{ab + abc.a + abc}} + \dfrac{b}{{bc + b + abc}} + \dfrac{c}{{ac + 1 + c}}\\ = \dfrac{{ab(ac)}}{{ab(1 + ac + c)}} + \dfrac{b}{{b(c + 1 + ac)}} + \dfrac{c}{{ac + 1 + c}}\\ = \dfrac{{ac}}{{ac + 1 + c}} + \dfrac{1}{{ac + 1 + c}} + \dfrac{c}{{ac + 1 + c}}\\ = \dfrac{{ac + 1 + c}}{{ac + 1 + c}} = 1.\end{array}$

Vậy $Q = 1.$

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3 bước: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Các bài khác cùng chuyên mục

Đề kiểm tra 45 phút chương 2: Phân thức đại số - Đề số 2

Bài giải mới nhất

Báo lỗi góp ý