Câu 5 trang 34 SGK Hình học 11 Nâng cao

Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O)

Đề bài

Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) và một điểm M thay đổi trên (O). Gọi M₁là điểm đối xứng với M qua A, M₂ là điểm đối xứng với M₁ qua B, M₃ là điểm đối xứng với M₂ qua C

a. Chứng tỏ rằng phép biến hình F biến điểm M thành M₃ là một phép đối xứng tâm

b. Tìm quỹ tích điểm M₃

Quảng cáo

Lời giải chi tiết

a. Gọi I là trung điểm của MM₃, ta chứng minh I là điểm cố định

Thật vậy, ta có:

\(\eqalign{
& \overrightarrow {CI} = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {CM} + \overrightarrow {C{M_3}} } \right) \cr
& \,\,\,\,\,\,\, = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {CM} + \overrightarrow {{M_2}C} } \right) \cr
& \,\,\,\,\,\,\, = {1 \over 2}\overrightarrow {{M_2}M} = \overrightarrow {BA} \cr} \)

Như vậy điểm I cố định, do đó phép biến hình F biến M thành M₃ là phép đối xứng qua điểm I

b. Quỹ tích điểm M₃ là đường tròn (O’), ảnh của đường tròn (O) qua phép đối xứng tâm với tâm I

Loigiaihay.com