Bài 2. Định lí cosin và định lí sin Toán 10 Chân trời s..

Giải mục 2 trang 67, 68, 69 SGK Toán 10 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Trong một khu bảo tồn, người ta xây dựng một tháp canh và hai bồn chứa nước A, B để phòng hỏa hoạn. Từ tháp canh, người ta phát hiện đám cháy và số liệu đưa về như Hình 9. Nên dẫn nước từ bồn chứa A hay B để dập tắt đám cháy nhanh hơn?

Tổng hợp đề thi học kì 1 lớp 10 tất cả các môn - Chân trời sáng tạo

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh - Sử - Địa...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

HĐ Khám phá 2

a) Cho tam giác ABC không phải là tam giác vuông có \(BC = a,AC = b,AB = c\) và R là bán kính của đường trong ngoại tiếp tam giác đó. Vẽ đường kính BD.

i) Tính \(\sin \widehat {BDC}\) theo a và R.

ii) Tìm mối liên hệ giữa hai góc \(\widehat {BAC}\) và \(\widehat {BDC}\). Từ đó chứng minh rằng \(2R = \frac{a}{{\sin A}}.\)

b) Cho tam giác ABC với góc A vuông. Tính sinA và so sánh a với 2R để chứng tỏ ta vẫn có công thức \(2R = \frac{a}{{\sin A}}.\)

Lời giải chi tiết:

a) Tam giác BDC vuông tại C nên \(\sin \widehat {BDC} = \frac{{BC}}{{BD}} = \frac{a}{{2R}}.\)

TH1: Tam giác ABC có góc A nhọn

\(\widehat {BAC} = \widehat {BDC}\) do cùng chắn cung nhỏ BC.

\( \Rightarrow \sin \widehat {BAC} = \sin \widehat {BDC} = \frac{a}{{2R}}.\)

TH2: Tam giác ABC có góc A tù

\(\widehat {BAC} + \widehat {BDC} = {180^o}\) do ABDC là tứ giác nội tiếp (O).

\( \Rightarrow \sin \widehat {BAC} = \sin ({180^o} - \widehat {BAC}) = \sin \widehat {BDC} = \frac{a}{{2R}}.\)

Vậy với góc A nhọn hay tù ta đều có \(2R = \frac{a}{{\sin A}}.\)

b) Nếu tam giác ABC vuông tại A thì BC là đường kính của (O).

Khi đó ta có: \(\sin A = \sin {90^o} = 1\) và \(a = BC = 2R\)

Do đó ta vẫn có công thức: \(2R = \frac{a}{{\sin A}}.\)

Thực hành 2

Tính các cạnh và các góc chưa biết của tam giác MNP trong Hình 8.

Phương pháp giải:

Áp dụng định lí sin cho tam giác MNP:

\(\frac{{MN}}{{\sin P}} = \frac{{MP}}{{\sin N}} = \frac{{NP}}{{\sin M}}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(NP = 22,\;\widehat P = {180^o} - ({112^o} + {34^o}) = {34^o}\)

Áp dụng định lí sin, ta có:

\(\frac{{MN}}{{\sin P}} = \frac{{MP}}{{\sin N}} = \frac{{NP}}{{\sin M}}\)

Suy ra:

\(MP = \frac{{NP.\sin N}}{{\sin M}} = \frac{{22.\sin {{112}^o}}}{{\sin {{34}^o}}} \approx 36,48\)

\(MN = \frac{{NP.\sin P}}{{\sin M}} = \frac{{22.\sin {{34}^o}}}{{\sin {{34}^o}}} = 22.\)

Vận dụng 2

Trong một khu bảo tồn, người ta xây dựng một tháp canh và hai bồn chứa nước A, B để phòng hỏa hoạn. Từ tháp canh, người ta phát hiện đám cháy và số liệu đưa về như Hình 9. Nên dẫn nước từ bồn chứa A hay B để dập tắt đám cháy nhanh hơn?

Phương pháp giải:

Áp dụng định lí sin, tính khoảng cách từ bồn chứa nước A đến đám cháy.

Áp dụng định lí cosin, tính khoảng cách từ bồn chứa nước B đến đám cháy.

Lời giải chi tiết:

Đặt các điểm A, B, C, D lần lượt là vị trí bồn chứa nước A, bồn chứa nước B, tháp canh và đám cháy.

Ta có: \(CB = 900,\;\widehat {CDB} = {180^o} - ({125^o} + {35^o}) = {20^o}\)

Áp dụng định lí sin trong tam giác CBD, ta có:

\(\frac{{CB}}{{\sin D}} = \frac{{BD}}{{\sin C}} = \frac{{CD}}{{\sin B}}\)

Suy ra:

\(BD = \frac{{CB.\sin C}}{{\sin D}} = \frac{{900.\sin {{35}^o}}}{{\sin {{20}^o}}} \approx 1509,3\)

\(CD = \frac{{CB.\sin B}}{{\sin D}} = \frac{{900.\sin {{125}^o}}}{{\sin {{20}^o}}} = 2155,5\)

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ACD ta có:

\(\begin{array}{l}A{D^2} = A{C^2} + C{D^2} - 2.AC.CD.\cos \widehat {ACD}\\ \Leftrightarrow A{D^2} = {1800^2} + 2155,{5^2} - 2.1800.2155,5.\cos {34^o} \approx 1453014,5\\ \Leftrightarrow AD \approx 1205,4\end{array}\)

Vì \(AD < BD\) nên khoảng cách từ bồn chứa nước A đến đám cháy là ngắn hơn.

Vậy nên dẫn nước từ bồn chứa nước A để dập tắt đám cháy nhanh hơn.

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải mục 3 trang 70, 71, 72 SGK Toán 10 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Tính diện tích một cánh buồm hình tam giác. Biết cách buồm đó có chiều dài một cạnh là 3,2 m và hai góc kề cách đó có số đo là 48 và 105) (Hình 12).
Giải bài 1 trang 72 SGK Toán 10 tập 1 – Chân trời sáng tạo
Tính độ dài cạnh x trong các tam giác sau:
Giải bài 2 trang 72 SGK Toán 10 tập 1 – Chân trời sáng tạo
Tính độ dài cạnh c trong tam giác ABC ở Hình 14.
Giải bài 3 trang 72 SGK Toán 10 tập 1 – Chân trời sáng tạo
Cho tam giác ABC, biết cạnh. Tính các góc, các cạnh còn lại và bán kính đường tròn ngoại tiếp của tam giác đó.
Giải bài 4 trang 73 SGK Toán 10 tập 1 – Chân trời sáng tạo
Một công viên có dạng hình tam giác với các kích thước như Hình 15. Tính số đo các góc của tam giác đó.
Giải bài 5 trang 73 SGK Toán 10 tập 1 – Chân trời sáng tạo
Tính diện tích một lá cờ hình tam giác cân có độ dài cạnh bên là 90 cm và góc ở đỉnh là 35
Giải bài 6 trang 73 SGK Toán 10 tập 1 – Chân trời sáng tạo
Cho tam giác ABC có AB = 6,AC = 8 và A =60 a) Tính diện tích tam giác ABC. b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính diện tích tam giác IBC.
Giải bài 7 trang 73 SGK Toán 10 tập 1 – Chân trời sáng tạo
Cho tam giác ABC có trọng tâm G và độ dài ba cạnh AB, BC, CA lần lượt là 15, 18, 27. a) Tính diện tích và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. b) Tính diện tích tam giác GBC.
Giải bài 8 trang 73 SGK Toán 10 tập 1 – Chân trời sáng tạo
Cho ha là đường cao vẽ từ đỉnh A, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh hệ thức: ha= 2Rsin Bsin C.
Giải bài 9 trang 73 SGK Toán 10 tập 1 – Chân trời sáng tạo
Cho tam giác ABC có góc B nhọn, AD và CE là hai đường cao.
Giải bài 10 trang 73 SGK Toán 10 tập 1 – Chân trời sáng tạo
Cho tứ giác lồi ABCD có các đường chéo AC = x,BD = y và góc giữa AC và BD bằng alpha Gọi S là diện tích của tứ giác ABCD.
Giải mục 1 trang 65, 66, 67 SGK Toán 10 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Tính khoảng cách giữa hai điểm ở hai đầu của một hồ nước. Biết từ một điểm cách hai đầu hồ lần lượt là 880 m và 900 m người quan sát nhìn hai điểm này dưới một góc 70 (Hình 5).
Lý thuyết Định lí cosin và định lí sin
1. Định lí cosin 2. Định lí sin