Giải mục 1 trang 51, 52 SGK Toán 10 tập 1 - Kết nối tri thức

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 51 SGK Toán 10 Kết nối tri thức

Với hai vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) cho trước, lấy một điểm A vẽ các vectơ \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow a ,\;\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow b \). Lấy điểm A’ khác A và cũng vẽ các vectơ \(\overrightarrow {A'B'}  = \overrightarrow a ,\;\overrightarrow {B'C'}  = \overrightarrow b \). Hỏi hai vectơ \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {A'C'} \) có mối quan hệ gì?

Phương pháp giải:

Hai vectơ bằng nhau nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.

Xét độ dài và hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {A'C'} \) để suy ra mối quan hệ của chúng.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow a\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} \) cùng hướng với \(\overrightarrow a\) và độ dài \(\overrightarrow {AB} \) bằng độ dài \(\overrightarrow a\).

Ta lại có: \(\overrightarrow {A'B'}  = \overrightarrow a\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {A'B'} \) cùng hướng với \(\overrightarrow a\) và độ dài \(\overrightarrow {A'B'} \) bằng độ dài \(\overrightarrow a\).

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} \) cùng hướng với \(\overrightarrow {A'B'} \) và độ dài \(\overrightarrow {AB} \) bằng độ dài \(\overrightarrow {A'B'} \).

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {A'B'}  \Leftrightarrow {\rm{ABB'A'}}\) là hình bình hành \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {BB'} \) (1)

Ta có: \(\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow b\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {BC} \) cùng hướng với \(\overrightarrow b\) và độ dài \(\overrightarrow {BC} \) bằng độ dài \(\overrightarrow b\).

Ta lại có: \(\overrightarrow {B'C'}  = \overrightarrow b\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {B'C'} \) cùng hướng với \(\overrightarrow b\) và độ dài \( \Rightarrow \overrightarrow {B'C'} \) bằng độ dài \(\overrightarrow b\).

\( \Rightarrow \overrightarrow {BC} \) cùng hướng với \(\overrightarrow {B'C'} \) và độ dài \(\overrightarrow {BC} \) bằng độ dài \(\overrightarrow {B'C'} \).

\( \Rightarrow \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {B'C'}  \Leftrightarrow {\rm{BB'C'C}}\) là hình bình hành \( \Leftrightarrow \overrightarrow {CC'}  = \overrightarrow {BB'} \) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {CC'}  \Leftrightarrow {\rm{AA'C'C}}\) là hình bình hành.

\( \Rightarrow \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {A'C'} \).

Vậy \(\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {A'C'} \).

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 51 SGK Toán 10 Kết nối tri thức

Cho hình bình hành ABCD. Tìm mối quan hệ giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {AC} \).

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định vectơ \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} \) bằng cách thay vectơ \(\overrightarrow {AD} \) bởi vectơ bằng nó mà có điểm đầu là B.

Bước 2: So sánh với vectơ \(\overrightarrow {AC} \).

Lời giải chi tiết:

Vì ABCD là hình bình hành nên \(\left\{ \begin{array}{l}AD//\;BC\\AD = BC\end{array} \right.\), hay \(\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BC} \).

Do đó \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC} \).

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 52 SGK Toán 10 Kết nối tri thức

a) Trong Hình 4.14a, hãy chỉ ra vectơ \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b \)và vectơ \(\overrightarrow b  + \overrightarrow a \).

b) Trong Hình 4.14b, hãy chỉ ra vectơ \(\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right) + \overrightarrow c \)và vectơ \(\overrightarrow a  + \left( {\overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right)\).

Phương pháp giải:

Nếu \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow a ,\;\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow b \) thì \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC} \).

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow a ,\;\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow b \) nên \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC} \).

Mặt khác: \(\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow b ,\;\overrightarrow {DC}  = \overrightarrow a \) nên \(\overrightarrow b  + \overrightarrow a  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DC}  = \overrightarrow {AC} \).

Do đó \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \overrightarrow b  + \overrightarrow a \).

b) Theo câu a) ta có \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow c \) nên \(\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right) + \overrightarrow c  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AD} \).

Mặt khác: \(\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow b ,\;\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow c \) nên \(\overrightarrow b  + \overrightarrow c  = \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {BD} \).

Và \(\overrightarrow a  = \overrightarrow {AB} \) nên \(\overrightarrow a  + \left( {\overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right) = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AD} \).

Vậy \(\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right) + \overrightarrow c  = \overrightarrow a  + \left( {\overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right)\).

LT1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 52 SGK Toán 10 Kết nối tri thức

Cho hình thoi ABCD cới cạnh có độ dài bằng 1 và \(\widehat {BAD} = {120^o}\). Tính độ dài của các vectơ \(\overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {CD} ,\;\overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {BA} \).

Lời giải chi tiết:

\(\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {BA} \) do hai vectơ \(\overrightarrow {CD} ,\;\overrightarrow {BA} \) cùng hướng và \(CD = BA\).

\( \Rightarrow \overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {BA}  = \overrightarrow {CA} \)

\(\Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {CD} } \right| = \left| {\overrightarrow {CA} } \right| = CA\).

Xét tam giác ABC, ta có:

\(BA = BC\) và \(\widehat {BAC} = \frac{1}{2}.\widehat {BAD} = {60^o}\)

\( \Rightarrow \Delta ABC\) đều, hay \(CA = BC = 1\)

Vậy \(\left| {\overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {CD} } \right| = 1\).

Dựa vào tính chất kết hợp, ta có:

\(\overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {BA}  = \left( {\overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {CD} } \right) + \overrightarrow {BA} \)

\(= \left( {\overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DB} } \right) + \overrightarrow {BA}  = \overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {BA}  = \overrightarrow {CA} \).

\(\Rightarrow \left| {\overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {BA} } \right| = \left| {\overrightarrow {CA} } \right| = CA = 1\).