Giải mục 1 trang 46, 47, 48, 49, 50, 51 SGK Toán 10 tập 2 - Chân trời sáng tạo

HĐ Khởi động

Lời giải chi tiết:

+) Hình 1: \(y = 2x + 3 \Rightarrow 2x - y + 3 = 0\)

Vậy \(a =  2,b = -1,c =  3\)

+) Hình 2: \(y =  - x + 1 \Rightarrow x + y  - 1 = 0\)

Vậy \(a = 1,b = 1,c =  - 1\)

+) Hình 3: \(y = 3 \Rightarrow y - 3 = 0\)

Vậy \(a = 0,b = 1,c =  - 3\)

+ Hình 4: \(x =  - 2 \Rightarrow x + 2 = 0\)

Vậy \(a = 1,b = 0,c = 2\)

HĐ Khám phá 1

Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và vectơ \(\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)\) và \(\overrightarrow u  = \left( {b; - a} \right)\) khác vectơ 0. Cho biết \(\overrightarrow u \) có giá song song hoặc trùng với \(\Delta \).

a) Tính tích vô hướng \(\overrightarrow n \overrightarrow {.u} \) và nêu nhận xét về phương của hai vectơ \(\overrightarrow n ,\overrightarrow u \)

b) Gọi \(M\left( {x;y} \right)\) là điểm di động trên \(\Delta \). Chứng tỏ rằng vectơ \(\overrightarrow {{M_0}M} \) luôn cùng phương với vectơ \(\overrightarrow u \) và luôn vuông góc với vectơ \(\overrightarrow n \)

Phương pháp giải:

a)       +) Áp dụng ứng dụng biểu thức tọa độ của vectơ tính tích vô hướng

          +) Dựa vào kết quả tích vô hướng các định phương (bằng 0 thì vuông góc)

b)       +) Xác định tỉ lệ giũa các tọa độ của hai vectơ để so sánh về phương

          +) Tính tích vô hướng để chứng minh vuông góc

Lời giải chi tiết:

a) Ta có \(\overrightarrow n .\overrightarrow u  = a.b + b.( - a) = 0\)

Tích vô hướng bằng 0 nên hai vectơ \(\overrightarrow n ,\overrightarrow u \)có phương vuông góc với nhau

b) Vectơ \(\overrightarrow {{M_0}M} \) có giá là đường thẳng \(\Delta\)

=> luôn cùng phương với vectơ \(\overrightarrow u \)

=> vectơ \(\overrightarrow {{M_0}M} \) có phương vuông góc với vectơ \(\overrightarrow n \)

HĐ Khám phá 2

Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và nhận \(\overrightarrow u  = \left( {{u_1};{u_2}} \right)\) là vectơ chỉ phương. Với mỗi điểm \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc \(\Delta \), tìm tọa độ của điểm M theo tọa độ của \({M_0}\) và \(\overrightarrow u \)

Phương pháp giải:

M và \({M_0}\) thuộc \(\Delta \) nên \({\overrightarrow {MM} _0}\) làm vectơ chỉ phương

Lời giải chi tiết:

\({\overrightarrow {MM} _0} = \left( {{x_0} - x;{y_0} - y} \right)\) mà \(\Delta \) nhận \({\overrightarrow {MM} _0}\)làm vectơ chỉ phương nên ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_0} - x = {u_1}\\{y_0} - y = {u_2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} - {u_1}\\y = {y_0} - {u_2}\end{array} \right.\)

Vậy \(M\left( {{x_0} - {u_1};{y_0} - {u_2}} \right)\)

Thực hành 1

a) Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm \(B( - 9;5)\) và nhận \(\overrightarrow v  = (8; - 4)\) là vectơ chỉ phương

b) Tìm tọa độ điểm P trên \(\Delta \),biết P có tung độ bằng 1.

Lời giải chi tiết:

a) Phương trình tham số của đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 9 + 8t\\y = 5 - 4t\end{array} \right.\)

b) Thay \(y = 1\) vào phương trình \(y = 5 - 4t\) ta được \(1 = 5 - 4t \Rightarrow t = 1\)

Thay \(t = 1\) vào phương trình \(x =  - 9 + 8t\), ta được \(x =  - 1\)

Vậy \(P( - 1;1)\)

Vận dụng 1

Một trò chơi đua xe ô tô vượt da mặt trên máy tính là xác định trước một hệ trục tọa độ Oxy. Cho biết một ô tô chuyển động thẳng đều từ điểm \(M(1;1)\) với Vectơ vận tốc\(\overrightarrow v  = (40;30)\)

a) Viết phương trình tham số của đường thẳng d biểu diễn đường đi của ô tô

b) Tìm tọa độ của xe tương ứng với t = 2; t = 4

Lời giải chi tiết:

a) Phương trình tham số của đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 40t\\y = 1 + 30t\end{array} \right.\)

b) Thay \(t = 2\) vào phương trình\(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 40t\\y = 1 + 30t\end{array} \right.\)  ta được \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 40.2 = 81\\y = 1 + 30.2 = 61\end{array} \right.\)

Vậy khi \(t = 2\) thì tọa độ của ô tô là \(\left( {81;61} \right)\)

Thay \(t = 4\) vào phương trình\(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 40t\\y = 1 + 30t\end{array} \right.\)  ta được \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 40.4 = 161\\y = 1 + 30.4 = 121\end{array} \right.\)

Vậy khi \(t = 4\) thì tọa độ của ô tô là \(\left( {161;121} \right)\)

HĐ Khám phá 3

Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)\) làm vectơ pháp tuyến. Với mỗi điểm \(M\left( {x;y} \right)\) thuộc \(\Delta \), chứng tỏ rằng điểm \(M\left( {x;y} \right)\) có tọa độ thỏa mãn phương trình:

\(ax + by + c = 0\) (với \(c =  - a{x_0} - b{y_0}\))

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm tọa độ điểm M qua \({M_0}\) và a,b

Bước 2: Thay vào phương trình

Lời giải chi tiết:

\(\Delta \) nhận vectơ \(\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)\) làm vectơ pháp tuyến, suy ra vectơ chỉ phương của \(\Delta \) là \(\overrightarrow u  = (b; - a)\)

M và \({M_0}\) thuộc đường thẳng \(\Delta \) nên \(\Delta \) nhận \({\overrightarrow {MM} _0}\)làm vectơ chỉ phương

\({\overrightarrow {MM} _0} = \left( {{x_0} - x;{y_0} - y} \right)\), suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{x_0} - x = b\\{y_0} - y =  - a\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} - b\\y = {y_0} + a\end{array} \right.\)

Suy ra \(M\left( {{x_0} - {u_1};{y_0} - {u_2}} \right)\)

Thay tọa độ điểm M vào phương trình \(ax + by + c = 0\) ta có:

\(a\left( {{x_0} - b} \right) + b\left( {{y_0} + a} \right) + c = \left( { - ab + ba} \right) + \left( {a{x_0} + b{y_0} + c} \right) = 0\)      (đúng vì \( - a{x_0} - b{y_0} = c\))

Vậy \(M(x;y)\) thỏa mãn phương trình đã cho

Thực hành 2

Viết phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta \) trong các trường hợp sau:

a) Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A(1;1)\)và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {3;5} \right)\)

b) Đường thẳng \(\Delta \) đi qua gốc tọa độ \(O(0;0)\)và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 7} \right)\)

c) Đường thẳng \(\Delta \) đi qua hai điểm \(M(4;0),N(0;3)\)

Lời giải chi tiết:

a) Đường thẳng \(\Delta \) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {3;5} \right)\) nên có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {5; - 3} \right)\), nên ta có phương trình tham số của \(\Delta \) là :

 \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 5t\\y = 1 - 3t\end{array} \right.\)

Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(A(1;1)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {3;5} \right)\)

Phương trình tổng quát của đường thẳng d là:

\(3(x - 1) + 5(y - 1) = 0 \Leftrightarrow 3x + 5y - 8 = 0\)

b) Đường thẳng \(\Delta \) đi qua gốc tọa độ \(O(0;0)\)và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 7} \right)\), nên có phương trình tham số là:

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y =  - 7t\end{array} \right.\)

Đường thẳng \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 7} \right)\),nên có vectơ pháp tuyền là \(\overrightarrow n  = \left( {7;2} \right)\) và đi qua \(O(0;0)\)

Ta có phương trình tổng quát là

\(7(x - 0) + 2(y - 0) = 0 \Leftrightarrow 7x + 2y = 0\)

c) Đường thẳng \(\Delta \) đi qua hai điểm \(M(4;0),N(0;3)\) nên có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \overrightarrow {MN}  = ( - 4;3)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = (3;4)\)

Phương trình tham số của \(\Delta \) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 4 - 4t\\y = 3t\end{array} \right.\)

Phương trình tổng quát của \(\Delta \) là: \(3(x - 4) + 4(x - 0) = 0 \Leftrightarrow 3x + 4y - 12 = 0\)

Vận dụng 2

Một người đã lập trình một trò chơi trên máy tính. Trên màn hình máy tính đã xác định trước một hệ trục tọa độ Oxy. Người đó viết lệnh để một điểm \(M(x;y)\) từ vị trí \(A(1;2)\) chuyển động thẳng đều với Vectơ vận tốc \(\overrightarrow v  = (3; - 4)\)

a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta \) biểu diễn đường đi của điểm M

b) Tìm tọa độ của điểm M khi \(\Delta \) cắt trục hoành

Phương pháp giải:

a) Từ vectơ chỉ phương tìm vectơ pháp tuyến và viết phương trình tổng quát

VTCP (a;b) => VTPT: (-b; a) hoặc (b; -a)

b) M thuộc trục hoành thì M có tọa độ (m; 0)

Lời giải chi tiết:

a) Đường thẳng \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow v  = \left( {3; - 4} \right)\),nên có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {4;3} \right)\) và đi qua \(A(1;2)\)

Ta có phương trình tổng quát là

\(4(x - 1) + 3(y - 2) = 0 \Leftrightarrow 4x + 3y - 10 = 0\)

b) Điểm M thuộc trục hoành nên tung độ bằng 0

Thay \(y = 0\) vào phương trình \(4x + 3y - 10 = 0\) ta tìm được \(x = \frac{5}{2}\)

Vậy \(\Delta \) cắt trục hoành tại điểm \(M\left( {\frac{5}{2};0} \right)\)

Thực hành 3

Tìm các hàm số bậc nhất có đồ thị là các đường thẳng trong thực hành 2

Lời giải chi tiết:

a) Ta có \(3x + 5y - 8 = 0 \Leftrightarrow y = \frac{8}{5} - \frac{3}{5}x\)

Vậy hàm số bậc ứng với đường thẳng \(3x + 5y - 8 = 0\) là \(y = \frac{8}{5} - \frac{3}{5}x\)

b) Ta có \(7x + 2y = 0 \Leftrightarrow y =  - \frac{7}{2}x\)

Vậy hàm số bậc ứng với đường thẳng \(7x + 2y = 0\) là \(y =  - \frac{7}{2}x\)

c) Ta có \(3x + 4y - 12 = 0 \Leftrightarrow y = 3 - \frac{3}{4}x\)

Vậy hàm số bậc ứng với đường thẳng \(3x + 4y - 12 = 0\) là \(y = 3 - \frac{3}{4}x\)

Vận dụng 3

Một người bắt đầu mở một vòi nước. Nước từ vòi chảy với vận tốc là 2 \({m^3}/h\) vào một cái bể đã chứa sẵn 5 \({m^3}\) nước.

a) Viết biểu thức tính thể tích y của nước có trong bể sau x giờ

b) Gọi \(y = f(x)\)là hàm số xác định được từ câu a). Vẽ đồ thị d của hàm số này

c) Viết phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường thẳng d

Lời giải chi tiết:

a) Thể tích nước trong bể được tính bằng công thức \(y = 5 + 2x\)

b)                         

c) Ta có đồ thị hàm số bậc nhất \(y = 5 + 2x \Leftrightarrow 2x - y + 5 = 0\)

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng d là \(2x - y + 5 = 0\)

Từ phương trình tổng quát ta có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {2; - 1} \right)\), từ đó ta có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = (1;2)\)

Khi \(x = 0\) thì \(y = 5\) nên đường thẳng đó đi qua điểm \((0;5)\)

Ta có phương trình tham số của đường thẳng d là \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 5 + 2t\end{array} \right.\)