Giải bài 5 trang 19 SBT toán 10 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Khoảng cách từ nhà An ở vị trí N đến cột điện C là 10 m. Từ nhà, An đi x mét theo phương tạo với NC một góc $60^\circ$ đến vị trí A sau đó đi tiếp 3 m đến vị trí B như hình 1.

a)  Biểu diễn khoảng cách AC và BC theo x 

b) Tìm x để $AC = \frac{8}{9}BC$

c) Tìm x để khoảng cách $BC = 2AN$

Lời giải chi tiết

_{a) Áp dụng đính lí côsin trong tam giác ANC ta có:}

$\begin{array}{l}AC = \sqrt {A{N^2} + N{C^2} - 2AN.NC.\cos \widehat N}  = \sqrt {{x^2} + {{10}^2} - 2x.10.\cos 60^\circ } \\ = \sqrt {{x^2} - 10x + 100} \end{array}$

_{Áp dụng đính lí côsin trong tam giác BNC ta có:}

$\begin{array}{l}BC = \sqrt {B{N^2} + N{C^2} - 2BN.NC.\cos \widehat N}  = \sqrt {{{\left( {x + 3} \right)}^2} + {{10}^2} - 2\left( {x + 3} \right).10.\cos 60^\circ } \\ = \sqrt {{x^2} - 4x + 79} \end{array}$

_{b) Ta có:} $AC = \frac{8}{9}BC$ _hay

$\begin{array}{l}\sqrt {{x^2} - 10x + 100}  = \frac{8}{9}\sqrt {{x^2} - 4x + 79} \\ \Rightarrow {x^2} - 10x + 100 = \frac{{64}}{{81}}\left( {{x^2} - 4x + 79} \right)\\ \Rightarrow \frac{{17}}{{81}}{x^2} - \frac{{554}}{{81}}x + \frac{{3044}}{{81}} = 0\end{array}$

$\Rightarrow x \simeq 7$ _hoặc $x \simeq 25,6$

_{Thay hai giá trị vừa tìm được vào phương trình ban đầu ta thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn}

_{Vậy khi} $x \simeq 7$ _hoặc $x \simeq 25,6$ _thì $AC = \frac{8}{9}BC$

_{c) Yêu cầu bài toán tương đương}

$\begin{array}{l}\sqrt {{x^2} - 4x + 79}  = 2x\\ \Rightarrow {x^2} - 4x + 79 = 4{x^2}\\ \Rightarrow 3{x^2} + 4x - 79 = 0\end{array}$

$\Rightarrow x = \frac{{ - 2 - \sqrt {241} }}{3}$ _hoặc $x = \frac{{ - 2 + \sqrt {241} }}{3}$

_{Mà vì} $x \ge 0$ _nên  $x = \frac{{ - 2 + \sqrt {241} }}{3}$

_{Vậy khi} $x = \frac{{ - 2 + \sqrt {241} }}{3}$ _thì $BC = 2AN$