Toán 10, giải toán lớp 10 kết nối tri thức với cuộc sống
Bài tập cuối chương IV Toán 10 Kết nối tri thức
Giải bài 4.37 trang 72 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức
Cho vectơ a khác 0. Chứng minh rằng 1/|a|. a (hay còn được viết là a/|a| là một vectơ đơn vị, cùng hướng với vectơ a.
Đề bài
Cho vectơ \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \). Chứng minh rằng \(\frac{1}{{|\overrightarrow a |}}\;\overrightarrow a \) (hay còn được viết là \(\frac{{\overrightarrow a }}{{|\overrightarrow a |}}\)) là một vectơ đơn vị, cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow a \).
Lời giải chi tiết
Cách 1:
Gọi tọa độ của vectơ \(\overrightarrow a \) là (x; y).
Ta có: \(|\overrightarrow a | = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \).
Đặt \(\overrightarrow i = \frac{1}{{|\overrightarrow a |}}.\overrightarrow a \)
\( \Rightarrow \overrightarrow i = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}.(x;y) = \left( {\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }};\frac{y}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}} \right)\)
\( \Rightarrow |\overrightarrow i | = \sqrt {{{\left( {\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{y}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}} \right)}^2}} \)
\(= \sqrt {\frac{{{x^2}}}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{x^2} + {y^2}}}} = 1\).
Mặt khác:
\(\overrightarrow i = \frac{1}{{|\overrightarrow a |}}.\overrightarrow a = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}.\overrightarrow a \) và \(\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }} > 0\) với mọi \(x,y \ne 0\).
Do đó vectơ \(\overrightarrow i \) và \(\overrightarrow a \) cùng hướng.
Vậy \(\frac{1}{{|\overrightarrow a |}}\overrightarrow a \) (hay \(\frac{{\overrightarrow a }}{{|\overrightarrow a |}}\)) là một vectơ đơn vị, cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow a \).
Cách 2:
Với mọi vectơ \(\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \), ta có:
\(|\overrightarrow a | > 0 \Rightarrow k = \frac{1}{{|\overrightarrow a |}} > 0\).
Đặt \(\overrightarrow i = \frac{1}{{|\overrightarrow a |}}.\overrightarrow a = k.\overrightarrow a \)
\(\Rightarrow |\overrightarrow i | = |k.\overrightarrow a | = |k|.|\overrightarrow a |\)
\(\Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {i} } \right| = k.|\overrightarrow a | = \frac{1}{{|\overrightarrow a |}}.|\overrightarrow a | = 1\).
Mặt khác: \(\overrightarrow i = \frac{1}{{|\overrightarrow a |}}.\overrightarrow a = k.\overrightarrow a \) và \(k > 0\).
Do đó vectơ \(\overrightarrow i \) và \(\overrightarrow a \) cùng hướng.
Vậy \(\frac{1}{{|\overrightarrow a |}}\overrightarrow a \) (hay \(\frac{{\overrightarrow a }}{{|\overrightarrow a |}}\)) là một vectơ đơn vị, cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow a \).
Bình luận
Chia sẻ
- Giải bài 4.38 trang 72 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức
- Giải bài 4.39 trang 72 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức
- Giải bài 4.36 trang 72 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức
- Giải bài 4.35 trang 72 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức
- Giải bài 4.34 trang 72 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức
>> Xem thêm
Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Kết nối tri thức - Xem ngay
PH/HS 2K10 Tham Gia Nhóm Zalo Để Trao Đổi Tài Liệu, Học Tập Miễn Phí!
Các bài khác cùng chuyên mục
- Lý thuyết Thực hành tính xác suất theo định nghĩa cổ điển - SGK Toán 10 Kết nối tri thức
- Lý thuyết Biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất - SGK Toán 10 Kết nối tri thức
- Lý thuyết Nhị thức Newton - SGK Toán 10 Kết nối tri thức
- Lý thuyết Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp - SGK Toán 10 Kết nối tri thức
- Lý thuyết Quy tắc đếm - SGK Toán 10 Kết nối tri thức
Danh sách bình luận