Bài 5. Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180 độ -..

Giải bài 3.5 trang 33 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Chứng minh rằng:

Tổng hợp đề thi giữa kì 1 lớp 10 tất cả các môn - Kết nối tri thức

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh - Sử - Địa...

Đề bài

Chứng minh rằng:

a) \({\sin ^4}\alpha + {\cos ^4}\alpha = 1 - 2{\sin ^2}\alpha .{\cos ^2}\alpha .\)

b) \({\sin ^6}\alpha + {\cos ^6}\alpha = 1 - 3{\sin ^2}\alpha .{\cos ^2}\alpha .\)

c) \(\sqrt {{{\sin }^4}\alpha + 6{{\cos }^2}\alpha + 3} + \sqrt {{{\cos }^4}\alpha + 4{{\sin }^2}\alpha } = 4.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Câu a sử dụng hằng đẳng thức \({a^2} + {b^2} = {\left( {a + b} \right)^2} - 2ab\) và các hệ thức lượng giác cơ bản.

- Câu b sử dụng hằng đẳng thức \({a^3} + {b^3} = {\left( {a + b} \right)^3} - 3ab\left( {a + b} \right)\) và các hệ thức lượng giác cơ bản.

- Câu c sử dụng công thức \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\).

Lời giải chi tiết

a) \({\sin ^4}\alpha + {\cos ^4}\alpha = 1 - 2{\sin ^2}\alpha .{\cos ^2}\alpha .\)

\(\begin{array}{l}VT = {\left( {{{\sin }^2}\alpha } \right)^2} + {\left( {{{\cos }^2}\alpha } \right)^2}\\ = \left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right) - 2{\sin ^2}\alpha .{\cos ^2}\alpha = 1 - 2{\sin ^2}\alpha .{\cos ^2}\alpha = VP\end{array}\)

b) \({\sin ^6}\alpha + {\cos ^6}\alpha = 1 - 3{\sin ^2}\alpha .{\cos ^2}\alpha .\)

\(\begin{array}{l}VT = {\left( {{{\sin }^2}\alpha } \right)^3} + {\left( {{{\cos }^2}\alpha } \right)^3}\\ = {\left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right)^3} - 3\sin \alpha .\cos \alpha \left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)\\ = 1 - 3{\sin ^2}\alpha .{\cos ^2}\alpha \left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right)\\ = 1 - 3{\sin ^2}\alpha .{\cos ^2}\alpha = VP\end{array}\)

c) \(\sqrt {{{\sin }^4}\alpha + 6{{\cos }^2}\alpha + 3} + \sqrt {{{\cos }^4}\alpha + 4{{\sin }^2}\alpha } = 4.\)

\(\begin{array}{l}VT = \sqrt {{{\left( {{{\sin }^2}\alpha } \right)}^2} + 6{{\cos }^2}\alpha + 3} + \sqrt {{{\left( {{{\cos }^2}\alpha } \right)}^2} + 4{{\sin }^2}\alpha } \\ = \sqrt {{{\left( {1 - {{\cos }^2}} \right)}^2} + 6{{\cos }^2}\alpha + 3} + \sqrt {{{\left( {1 - {{\sin }^2}\alpha } \right)}^2} + 4{{\sin }^2}\alpha } \\ = \sqrt {{{\cos }^4}\alpha + 4{{\cos }^2}\alpha + 4} + \sqrt {{{\sin }^4}\alpha + 2{{\sin }^2}\alpha + 1} \\ = \sqrt {{{\left( {{{\cos }^2}\alpha + 2} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {{{\sin }^2}\alpha + 1} \right)}^2}} \\ = {\cos ^2}\alpha + 2 + {\sin ^2}\alpha + 1 = 4 = VP\end{array}\)