Đề kiểm tra 15 phút chương 4: Bất phương trình bậc nhất một ẩn - Đề số 1
Đề bài
Hãy chọn câu sai:
-
A.
Nếu \(a > b\) và $c < 0$ thì \(ac > bc\).
-
B.
Nếu \(a < b\) và $c < 0$ thì \(ac > bc\).
-
C.
Nếu \(a \ge b\) và $c < 0$ thì \(ac \le bc\).
-
D.
Nếu \(a \ge b\) và $c > 0$ thì \(ac \ge bc\).
Cho \(x - 3 \le y - 3,\) so sánh $x$ và $y$. Chọn đáp án đúng nhất.
-
A.
\(x < y\)
-
B.
\(x = y\)
-
C.
\(x > y\)
-
D.
\(x \le y\)
Cho \(a > b\) khi đó
-
A.
\(a - b > 0\)
-
B.
\(a - b < 0\)
-
C.
\(a - b = 0\)
-
D.
\(a - b \le 0\)
Cho biết \(a < b\). Trong các khẳng định sau, số khẳng định sai là:
(I) \(a - 1 < b - 1\)
(II) \(a - 1 < b\)
(III) \(a + 2 < b + 1\)
-
A.
\(1\)
-
B.
\(2\)
-
C.
\(3\)
-
D.
\(0\)
Cho \(a + 1 \le b + 2\). So sánh $2$ số \(2a + 2\) và \(2b + 4\) nào dưới đây là đúng?
-
A.
\(2a + 2 > 2b + 4\)
-
B.
\(2a + 2 < 2b + 4\)
-
C.
\(2a + 2 \ge 2b + 4\)
-
D.
\(2a + 2 \le 2b + 4\)
Cho $a,b$ bất kì. Chọn câu đúng.
-
A.
\(\dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} < ab\)
-
B.
\(\dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} \le ab\)
-
C.
\(\dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} \ge ab\)
-
D.
\(\dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} > ab\)
Với \(x,y\) bất kỳ. Chọn khẳng định đúng?
-
A.
\({\left( {x + y} \right)^2} \le 4xy\)
-
B.
\({\left( {x + y} \right)^2} > 4xy\)
-
C.
\({\left( {x + y} \right)^2} < 4xy\)
-
D.
\({\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy\)
Với \(a,b\) bất kỳ. Chọn khẳng định sai.
-
A.
\({a^2} + 5 > 4a\)
-
B.
\({a^2} + 10 < 6a - 1\)
-
C.
\({a^2} + 1 > a\)
-
D.
\(ab - {b^2} \le {a^2}\)
Với mọi \(a,b,c\) . Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
A.
\({a^2} + {b^2} + {c^2} < ab + bc + ca\)
-
B.
\({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca\)
-
C.
\({a^2} + {b^2} + {c^2} \le ab + bc + ca\)
-
D.
Cả A, B, C đều sai
Bất đẳng thức nào sau đây đúng với mọi \(a > 0,b > 0:\)
-
A.
\({a^3} + {b^3} - a{b^2} - {a^2}b < 0\)
-
B.
\({a^3} + {b^3} - a{b^2} - {a^2}b \ge 0\)
-
C.
\({a^3} + {b^3} - a{b^2} - {a^2}b \le 0\)
-
D.
\({a^3} + {b^3} - a{b^2} - {a^2}b > 0\)
Lời giải và đáp án
Hãy chọn câu sai:
-
A.
Nếu \(a > b\) và $c < 0$ thì \(ac > bc\).
-
B.
Nếu \(a < b\) và $c < 0$ thì \(ac > bc\).
-
C.
Nếu \(a \ge b\) và $c < 0$ thì \(ac \le bc\).
-
D.
Nếu \(a \ge b\) và $c > 0$ thì \(ac \ge bc\).
Đáp án : A
Sử dụng tính chất cơ bản của bất đẳng thức.
+ Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương, ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.
+ Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm, ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.
Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm, ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.
Từ đó với \(a > b\) và $c < 0$ thì \(ac < bc\) nên A sai.
Cho \(x - 3 \le y - 3,\) so sánh $x$ và $y$. Chọn đáp án đúng nhất.
-
A.
\(x < y\)
-
B.
\(x = y\)
-
C.
\(x > y\)
-
D.
\(x \le y\)
Đáp án : D
Sử dụng tính chất: Nếu cộng cả hai vế với cùng một số thì bất đẳng thức không đổi chiều.
Cộng cả hai vế của bất đẳng thức \(x - 3 \le y - 3\) với \(3\) ta được:
\(x - 3 \le y - 3 \)
\(x - 3 + 3 \le y - 3 + 3\)
\(x \le y.\)
Cho \(a > b\) khi đó
-
A.
\(a - b > 0\)
-
B.
\(a - b < 0\)
-
C.
\(a - b = 0\)
-
D.
\(a - b \le 0\)
Đáp án : A
Sử dụng: Nếu cộng cả hai vế với cùng một số thì bất đẳng thức không đổi chiều.
Từ \(a > b\), cộng \( - b\) vào hai vế ta được \(a - b > b - b,\) tức là \(a - b > 0\).
Cho biết \(a < b\). Trong các khẳng định sau, số khẳng định sai là:
(I) \(a - 1 < b - 1\)
(II) \(a - 1 < b\)
(III) \(a + 2 < b + 1\)
-
A.
\(1\)
-
B.
\(2\)
-
C.
\(3\)
-
D.
\(0\)
Đáp án : A
Sử dụng tính chất liên hệ giữa thứ tự và phép cộng:
Nếu cộng cả hai vế với cùng một số thì bất đẳng thức không đổi chiều.
+ Vì \(a < b\), cộng hai vế của bất đẳng thức với \( - 1\) ta được \(a - 1 < b - 1 \Rightarrow \) (I) đúng.
+ Vì \(a - 1 < b - 1\,\left( {cmt} \right)\) mà \(b - 1 < b\) nên \(a - 1 < b\)\( \Rightarrow \) (II) đúng
+ Vì \(a < b\), cộng hai vế của bất đẳng thức với \(1\) ta được \(a + 1 < b + 1\) mà \(a + 1 < a + 2\) nên ta chưa đủ dữ kiện để nói rằng \(a + 2 < b + 1 \Rightarrow \) (III) sai.
Vậy có $1$ khẳng định sai.
Cho \(a + 1 \le b + 2\). So sánh $2$ số \(2a + 2\) và \(2b + 4\) nào dưới đây là đúng?
-
A.
\(2a + 2 > 2b + 4\)
-
B.
\(2a + 2 < 2b + 4\)
-
C.
\(2a + 2 \ge 2b + 4\)
-
D.
\(2a + 2 \le 2b + 4\)
Đáp án : D
Nhân cả hai vế của bất đẳng thức \(a + 1 \le b + 2\) với \(2 > 0\) ta được
\(2\left( {a + 1} \right) \le 2\left( {b + 2} \right)\)
\( 2a + 2 \le 2b + 4\) .
Cho $a,b$ bất kì. Chọn câu đúng.
-
A.
\(\dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} < ab\)
-
B.
\(\dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} \le ab\)
-
C.
\(\dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} \ge ab\)
-
D.
\(\dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} > ab\)
Đáp án : C
+) Xét hiệu \(P = \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} - ab\)
+) Đưa về hằng đẳng thức và đánh giá.
Xét hiệu \(P = \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} - ab\) \( = \dfrac{{{a^2} + {b^2} - 2ab}}{2}\) \( = \dfrac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{2} \ge 0\) (luôn đúng với mọi \(a,\,b\) )
Nên \(\dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} \ge ab\)
Với \(x,y\) bất kỳ. Chọn khẳng định đúng?
-
A.
\({\left( {x + y} \right)^2} \le 4xy\)
-
B.
\({\left( {x + y} \right)^2} > 4xy\)
-
C.
\({\left( {x + y} \right)^2} < 4xy\)
-
D.
\({\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy\)
Đáp án : D
Phương pháp xét hiệu.
Xét hiệu
\(\begin{array}{l}P = {\left( {x + y} \right)^2} - 4xy = {x^2} + 2xy + {y^2} - 4xy\\ = {x^2} - 2xy + {y^2} = {\left( {x - y} \right)^2}\end{array}\)
Mà \({\left( {x - y} \right)^2} \ge 0 ;\,\forall x,y\) nên \(P \ge 0;\,\forall x;y\). Suy ra \({\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy\).
Với \(a,b\) bất kỳ. Chọn khẳng định sai.
-
A.
\({a^2} + 5 > 4a\)
-
B.
\({a^2} + 10 < 6a - 1\)
-
C.
\({a^2} + 1 > a\)
-
D.
\(ab - {b^2} \le {a^2}\)
Đáp án : B
Phương pháp xét hiệu.
* ${a^2} + 5 - 4a = {a^2} - 4a + 4 + 1 = {(a - 2)^2} + 1 > 0$ (luôn đúng) nên \({a^2} + 5 > 4a\)
* ${a^2} + 1 - a = {a^2} - 2a.\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} = {\left( {a - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4} > 0$ (luôn đúng) nên \({a^2} + 1 > a\)
\(\begin{array}{l}{a^2} + 10 - \left( {6a + 1} \right)\\ = {a^2} - 6a + 10 - 1\\ = {a^2} - 6a + 9\\ = {\left( {a - 3} \right)^2} \ge 0\end{array}\)
Vì \({(a - 3)^2} \ge 0\) (luôn đúng) nên \({a^2} + 10 > 6a + 1\) . Do đó B sai.
* Ta có:
\(\begin{array}{l}{a^2} \ge ab - {b^2} \\ {a^2} - ab + {b^2} \ge 0\\ {a^2} - 2a.\dfrac{b}{2} + \dfrac{{{b^2}}}{4} + \dfrac{{3{b^2}}}{4} \ge 0 \\ {\left( {a - \dfrac{b}{2}} \right)^2} + \dfrac{{3{b^2}}}{4} \ge 0\end{array}\)
Vì \({\left( {a - \dfrac{b}{2}} \right)^2} + \dfrac{{3{b^2}}}{4} \ge 0\) (luôn đúng) nên \({a^2} \ge ab - {b^2}\).
Với mọi \(a,b,c\) . Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
A.
\({a^2} + {b^2} + {c^2} < ab + bc + ca\)
-
B.
\({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca\)
-
C.
\({a^2} + {b^2} + {c^2} \le ab + bc + ca\)
-
D.
Cả A, B, C đều sai
Đáp án : B
+) Phương pháp xét hiệu \(\;P = {a^2} + {b^2} + {c^2} - \left( {ab + bc + ca} \right)\)
+) Sử dụng quy tắc chuyển vế đổi dấu và sử dụng các hằng đẳng thức để đánh giá hiệu \(P\) với \(0\).
\(\;P = {a^2} + {b^2} + {c^2} - \left( {ab + bc + ca} \right)\)\( = \dfrac{1}{2}\left( {2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2ac - 2bc} \right)\)
\( = \dfrac{1}{2}\left[ {\left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) + \left( {{a^2} - 2ac + {c^2}} \right) + \left( {{b^2} - 2bc + {c^2}} \right)} \right]\)
\( = \dfrac{1}{2}\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {a - c} \right)}^2} + {{\left( {b - c} \right)}^2}} \right] \ge 0\) với mọi \(a,b,c\) (vì \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0;\,{\left( {a - c} \right)^2} \ge 0;\)\({\left( {b - c} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(a,b,c\) )
Nên \(P \ge 0\) khi và chỉ khi \( {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ac\) .
Bất đẳng thức nào sau đây đúng với mọi \(a > 0,b > 0:\)
-
A.
\({a^3} + {b^3} - a{b^2} - {a^2}b < 0\)
-
B.
\({a^3} + {b^3} - a{b^2} - {a^2}b \ge 0\)
-
C.
\({a^3} + {b^3} - a{b^2} - {a^2}b \le 0\)
-
D.
\({a^3} + {b^3} - a{b^2} - {a^2}b > 0\)
Đáp án : B
+ Phân tích vế trái thành nhân tử và đánh giá theo điều kiện của \(a,\,b\).
Ta có ${a^3} + {b^3} - a{b^2} - {a^2}b = {a^2}(a - b) - {b^2}(a - b)$
$ = {(a - b)^2}(a + b) \ge 0$ ( vì \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\,\) với mọi \(a,b\) và \(a + b > 0\) với \(a > 0,b > 0\)).