Toán 11, giải toán lớp 11 kết nối tri thức với cuộc sống Bài tập cuối năm Toán 11 Kết nối tri thức

Bài 31 trang 109 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức


Cho tứ diện OABC có (OA = OB = OC = a,widehat {AOB} = widehat {AOC} = {60^0}) và (widehat {BOC} = {90^0}).

Đề bài

Cho tứ diện OABC có \(OA = OB = OC = a,\widehat {AOB} = \widehat {AOC} = {60^0}\) và \(\widehat {BOC} = {90^0}\).

a) Chứng minh rằng \((OBC) \bot (ABC)\).

b) Tính theo a khoảng cách từ \(O\) đến mặt phẳng \((ABC)\) và thể tích khối tứ diện OABC.

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc nếu trong mặt phẳng này có 1 đường vuông góc với mặt phẳng kia.

- Khoảng cách từ một điểm M đến một đường thẳng a là khoảng cách giữa M và hình chiếu H của M trên a.

- Thể tích khối tứ diện \(V = \frac{1}{3}h.S\)

Lời giải chi tiết

a) Gọi M là trung điểm của BC

Mà tam giác OCB cân tại O (do OB = OC)

Do đó \(OM \bot BC\)

Ta có tam giác OAC đều, tam giác OAB đều (do \(OA = OB = OC = a,\widehat {AOB} = \widehat {AOC} = {60^0}\))

Do đó AC = AB = a.

Xét tam giác BOC vuông tại O (\(\widehat {BOC} = {90^0}\)) có

\(\begin{array}{l}BC = \sqrt {O{B^2} + O{C^2}}  = a\sqrt 2 \\OM = \frac{1}{2}BC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\end{array}\)

Xét tam giác ABC có

\(\begin{array}{l}A{C^2} + A{B^2} = 2{a^2},B{C^2} = {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2} = 2{a^2}\\ \Rightarrow A{C^2} + A{B^2} = B{C^2}\end{array}\)

Do đó tam giác ABC vuông tại A \( \Rightarrow AM = \frac{1}{2}BC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

Xét tam giác OMA có

\(\begin{array}{l}O{M^2} + A{M^2} = 2.{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = {a^2},O{A^2} = {a^2}\\ \Rightarrow O{M^2} + A{M^2} = O{A^2}\end{array}\)

Do đó tam giác OMA vuông tại M \( \Rightarrow OM \bot AM\)

Mà \(OM \bot BC\)

\( \Rightarrow OM \bot \left( {ABC} \right);OM \subset \left( {OBC} \right) \Rightarrow \left( {OBC} \right) \bot \left( {ABC} \right)\)

b) Vì \(OM \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(d\left( {O,\left( {ABC} \right)} \right) = OM = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

\({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}a.a = \frac{{{a^2}}}{2}\)

Suy ra \({V_{O.ABC}} = \frac{1}{3}.OM.{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\frac{{{a^2}}}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\)

Vậy \(d\left( {O,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\); \({V_{O.ABC}} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\)


Bình chọn:
3.7 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Kết nối tri thức - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store