Bài 21 trang 60 SGK Hình học 12 Nâng cao

Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = c, AB = b. Tính thể tích của khối tròn xoay sinh bởi tam giác đó (kể cả các điểm trong) khi quay quanh đường thẳng BC.

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A, AB = c, AB = b\). Tính thể tích của khối tròn xoay sinh bởi tam giác đó (kể cả các điểm trong) khi quay quanh đường thẳng \(BC\).

Lời giải chi tiết

Gọi \(AH\) là đường cao của tam giác \(ABC\).

Ta có: \({1 \over {A{H^2}}} = {1 \over {A{B^2}}} + {1 \over {A{C^2}}} = {1 \over {{b^2}}} + {1 \over {{c^2}}} \) \(\Rightarrow A{H^2} = {{{b^2}{c^2}} \over {{b^2} + {c^2}}}\)

Hai tam giác \(ABH\) và \(ACH\) khi quay quanh \(BC\) lần lượt tạo thành hai khối nón \({H_1},{H_2}\) có thể tích lần lượt là

\({V_1} = {1 \over 3}\pi A{H^2}BH\,\,,\,\,{V_2} = {1 \over 3}\pi A{H^2}CH\)

Thể tích của khối tròn xoay sinh bởi tam giác \(ABC\) khi quay quanh \(BC\) là:

\(\eqalign{
& V = {V_1} + {V_2} \cr&= {1 \over 3}\pi A{H^2}BH + {1 \over 3}\pi A{H^2}CH \cr&= {1 \over 3}\pi A{H^2}BC \cr
& = {1 \over 3}\pi {{{b^2}{c^2}} \over {{b^2} + {c^2}}}\sqrt {{b^2} + {c^2}} \cr&= {{\pi {b^2}{c^2}} \over {3\sqrt {{b^2} + {c^2}} }} \cr} \)

Loigiaihay.com

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

3.3 trên 3 phiếu

Bài tiếp theo

Bài 20 trang 60 SGK Hình học 12 Nâng cao
Một mặt cầu gọi là nội tiếp hình nón nếu nó tiếp xúc với mặt đáy của hình nón và tiếp xúc với mọi đường sinh của hình nón. Khi đó hình nón được gọi là ngoại tiếp mặt cầu. a) Chứng minh rằng mọi hình nón đều có một mặt cầu nội tiếp duy nhất. b) Một hình nón có chiều cao h và bán kính đáy bằng r. Hãy tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình nón đó.
Bài 19 trang 60 SGK Hình học 12 Nâng cao
Một mặt cầu gọi là ngoại tiếp một hình nón nếu mặt cầu đó đi qua đỉnh của hình nón và đi qua đường tròn đáy của hình nón. Hình nón như vậy gọi là nội tiếp mặt cầu đó.
Bài 18 trang 59 SGK Hình học 12 Nâng cao
Cho điểm A nằm trong mặt cầu S. Chứng minh rằng các đường thẳng đi qua A tiếp xúc với mặt cầu S luôn nằm trên một mặt nón xác định.
Bài 17 trang 59 SGK Hình học 12 Nâng cao
Trong mỗi trường hợp sau, hãy gọi tên hình tròn xoay: a) Sinh bởi ba cạnh của một tam giác cân khi quay quanh trục đối xứng của tam giác đó. b) Sinh bởi một tam giác vuông (kể cả điểm trong) khi quay quanh đường thẳng chứa một cạnh góc vuông.