Giải bài 4.24 trang 70 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng A (-4; 1), B (2;4), C (2; -2) a) Giải tam giác b) Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng A (-4; 1), B (2;4), C (2; -2)

a) Giải tam giác

b) Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Độ dài vectơ \(\overrightarrow {AB} (x;y)\) là \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \)

b) Chỉ ra \(\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow 0 \) và \(\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {CA} = \overrightarrow 0 \) từ đó tìm tọa độ của H.

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = (2 - ( - 4);4 - 1) = (6;3)\\\overrightarrow {BC} = (2 - 2; - 2 - 4) = (0; - 6)\\\overrightarrow {AC} = (2 - ( - 4); - 2 - 1) = (6; - 3)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{6^2} + {3^2}} = 3\sqrt 5 \\BC = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{0^2} + {{( - 6)}^2}} = 6\\AC = \left| {\overrightarrow {CA} } \right| = \sqrt {{6^2} + {{( - 3)}^2}} = 3\sqrt 5 .\end{array} \right.\)

Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC, ta có:

\(\cos \widehat A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = \frac{{{{\left( {3\sqrt 5 } \right)}^2} + {{\left( {3\sqrt 5 } \right)}^2} - {{\left( 6 \right)}^2}}}{{2.3\sqrt 5 .3\sqrt 5 }} = \frac{3}{5}\)\( \Rightarrow \widehat A \approx 53,{13^o}\)

\(\cos \widehat B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}} = \frac{{{{\left( 6 \right)}^2} + {{\left( {3\sqrt 5 } \right)}^2} - {{\left( {3\sqrt 5 } \right)}^2}}}{{2.6.3\sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\)\( \Rightarrow \widehat B \approx 63,{435^o}\)

\( \Rightarrow \widehat C \approx 63,{435^o}\)

Vậy tam giác ABC có: \(a = 6;b = 3\sqrt 5 ;c = 3\sqrt 5 \); \(\widehat A \approx 53,{13^o};\widehat B = \widehat C \approx 63,{435^o}.\)

Gọi H có tọa độ (x; y)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AH} = (x - ( - 4);y - 1) = (x + 4;y - 1)\\\overrightarrow {BH} = (x - 2;y - 4)\end{array} \right.\)

Lại có: H là trực tâm tam giác ABC

\( \Rightarrow AH \bot BC\) và \(BH \bot AC\)

\( \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AH} ,\overrightarrow {BC} } \right) = {90^o} \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow {AH} ,\overrightarrow {BC} } \right) = 0\) và \(\left( {\overrightarrow {BH} ,\overrightarrow {AC} } \right) = {90^o} \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow {BH} ,\overrightarrow {AC} } \right) = 0\)

Do đó \(\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow 0 \) và \(\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = \overrightarrow 0 \).

Mà: \(\overrightarrow {BC} = (0; - 6)\)

\( \Rightarrow (x + 4).0 + (y - 1).( - 6) = 0 \Leftrightarrow - 6.(y - 1) = 0 \Leftrightarrow y = 1.\)

Và \(\overrightarrow {AC} = (6; - 3)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow (x - 2).6 + (y - 4).( - 3) = 0\\ \Leftrightarrow 6x - 12 + ( - 3).( - 3) = 0\\ \Leftrightarrow 6x - 3 = 0\\ \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}.\end{array}\)

Vậy H có tọa độ \(\left( {\frac{1}{2}}; 1 \right)\)

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.5 trên 18 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 4.25 trang 70 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức
Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC, ta có
Giải bài 4.26 trang 70 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức
Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có
Giải bài 4.23 trang 70 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A (1; 2), B(-4; 3). Gọi M (t; 0) là một điểm thuộc trục hoành. a) Tính AM.BM theo t. b) Tính t để góc AMB = 90^o
Giải bài 4.22 trang 70 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức
Tìm điều kiện của u.v để: a) u.v = |u|.|v| b) u.v = -|u|.|v|
Giải bài 4.21 trang 70 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tính góc giữa hai vectơ a và b trong mỗi trường hợp sau: a) a = ( - 3;1), b = (2;6) b) a = (3;1), b = (2;4)
Giải mục 3 trang 68, 69, 70 SGK Toán 10 tập 1 - Kết nối tri thức
Cho hai vectơ cùng phương u=(x;y) và v=(kx;ky) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ không cùng phương u=(x;y) và v=(x';y'). Tích vô hướng và góc giữa hai vectơ u=(0; - 5), v= Cho ba vectơ u = (x1;y1), v=(x2;y2), w=x3;y3 Cho tam giác ABC với A(-1; 2), B(8; -1), C(8; 8). Gọi H là trực tâm của tam giác. Một lực F không đổi tác động vào một vật và điểm đặt của lực chuyển động thẳng từ A đến B.
Giải mục 2 trang 67, 68, 69, 70 SGK Toán 10 tập 1 - Kết nối tri thức
Khi nào thì tích vô hướng của hai vectơ uv là một số dương? Là một số âm? Khi nào thì (u.v)^2 = u^2. v^2? Cho tam giác AB C có BC = a, CA = b, AB = c. Hãy tính (overrightarrow {AB} .overrightarrow {AC} ) theo a,b,c.
Giải mục 1 trang 66 SGK Toán 10 tập 1 - Kết nối tri thức
Trong hình 4.39, số đo góc BAC cũng được gọi là số đo góc giữa hai vectơ AB và AC. Khi nào thì góc giữa hai vectơ bằng 0, bằng 180? Cho tam giác đều ABC. Tính (AB,BC).
Lý thuyết Tích vô hướng của hai vecto - SGK Toán 10 Kết nối tri thức
1. GÓC GIỮA HAI VECTO 2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTO 3. BIỂU THỨC TỌA ĐỘ VÀ TÍNH CHẤT CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG