Giải bài 3 trang 25 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

Tính: a) (intlimits_1^2 {frac{{{x^4} + {x^3} + {x^2} + x + 1}}{{{x^2}}}dx} ); b) (intlimits_1^2 {frac{{x{e^x} + 1}}{x}dx} ); c) (intlimits_0^1 {frac{{{8^x} + 1}}{{{2^x} + 1}}dx} ); d) (intlimits_{frac{pi }{4}}^{frac{pi }{2}} {frac{{1 + {{sin }^2}x}}{{1 - {{cos }^2}x}}dx} ).

Đề bài

Tính:

a) $\int\limits_1^2 {\frac{{{x^4} + {x^3} + {x^2} + x + 1}}{{{x^2}}}dx}$ ;

b) $\int\limits_1^2 {\frac{{x{e^x} + 1}}{x}dx}$ ;

c) $\int\limits_0^1 {\frac{{{8^x} + 1}}{{{2^x} + 1}}dx}$ ;

d) $\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{1 + {{\sin }^2}x}}{{1 - {{\cos }^2}x}}dx}$ .

Phương pháp giải - Xem chi tiết

‒ Sử dụng các công thức:

• $\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C$ .

• $\int {\frac{1}{x}dx} = \ln \left| x \right| + C$ .

• $\int {{a^x}dx} = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C$ .

• $\int {\cos xdx} = \sin x + C$ .

Lời giải chi tiết

a) $\int\limits_1^2 {\frac{{{x^4} + {x^3} + {x^2} + x + 1}}{{{x^2}}}dx} = \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} + x + 1 + \frac{1}{x} + {x^{ - 2}}} \right)dx} = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2} + x + \ln \left| x \right| - \frac{1}{x}} \right)} \right|_1^2 = \ln 2 + \frac{{16}}{3}$ .

b) $\int\limits_1^2 {\frac{{x{e^x} + 1}}{x}dx} = \int\limits_1^2 {\left( {{e^x} + \frac{1}{x}} \right)dx} = \left. {\left( {{e^x} + \ln \left| x \right|} \right)} \right|_1^2 = {e^2} - e + \ln 2$ .

$\begin{array}{l}\int\limits_0^1 {\frac{{{8^x} + 1}}{{{2^x} + 1}}dx} = \int\limits_0^1 {\frac{{{2^{3x}} + 1}}{{{2^x} + 1}}dx} = \int\limits_0^1 {\frac{{\left( {{2^x} + 1} \right)\left( {{2^{2x}} - {2^x} + 1} \right)}}{{{2^x} + 1}}dx} = \int\limits_0^1 {\left( {{4^x} - {2^x} + 1} \right)dx} \\ = \left. {\left( {\frac{{{4^x}}}{{\ln 4}} - \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + x} \right)} \right|_0^1 = 1 + \frac{1}{{2\ln 2}}\end{array}$

d) $\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{1 + {{\sin }^2}x}}{{1 - {{\cos }^2}x}}dx} = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{1 + {{\sin }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}}dx} = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} + 1} \right)dx} = \left. {\left( { - \cot x + x} \right)} \right|_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} = 1 + \frac{\pi }{4}$ .

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 4 trang 25 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Cho hàm số (fleft( x right)) liên tục trên đoạn (left[ {0;5} right]). Tính (intlimits_0^5 {fleft( x right)dx} ), biết rằng (intlimits_0^3 {fleft( x right)dx} = 4;intlimits_1^5 {fleft( x right)dx} = 6;intlimits_1^3 {fleft( x right)dx} = 3).
Giải bài 5 trang 25 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Cho hàm số (y = fleft( x right)) có đồ thị như hình bên. Biết rằng đạo hàm (f'left( x right)) liên tục trên (mathbb{R}). Tính (intlimits_{ - 1}^1 {f'left( x right)dx} ).
Giải bài 6 trang 25 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Cho hàm số (fleft( x right)) liên tục trên (mathbb{R}), có đạo hàm (f'left( x right) = left{ begin{array}{l}4 - 3{{rm{x}}^2},x < 1\1 & ,x ge 1end{array} right.). Tính (fleft( 2 right) - fleft( 0 right)).
Giải bài 7 trang 26 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Cho hàm số (fleft( x right)) liên tục trên đoạn (left[ {0;frac{pi }{2}} right]) và thoả mãn (intlimits_0^{frac{pi }{2}} {left[ {3cos x + 2f'left( x right)} right]dx} = - 5;fleft( 0 right) = 1). Tính giá trị (fleft( {frac{pi }{2}} right)).
Giải bài 8 trang 26 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Cho (D) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số (y = sqrt x ), trục hoành và đường thẳng (x = 4). Đường thẳng (x = aleft( {0 < a < 4} right)) chia (D) thành hai phần có diện tích bằng nhau (Hình 3). Tính giá trị của (a).
Giải bài 9 trang 26 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số (y = 1 + {x^2}), trục hoành và hai đường thẳng (x = - 1,x = 1) quanh trục (Ox).
Giải bài 10 trang 26 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Một cột bê tông hình trụ có chiều cao 9 m. Nếu cắt cột bê tông bằng mặt phẳng nằm ngang cách chân cột $x\left( m \right)$ thì mặt cắt là hình tròn có bán kính $1 - \frac{{\sqrt x }}{4}\left( m \right)$ với $0 \le x \le 9$ . Tính thể tích của cột bê tông (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm của mét khối).
Giải bài 11 trang 26 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Một chiếc xe đang chuyển động với tốc độ ({v_0} = 5m/s) thì tăng tốc với gia tốc không đổi (a = 3m/{s^2}). a) Sau 5 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc, tốc độ của xe là bao nhiêu? b) Tính quãng đường xe đi được trong 5 giây đầu kể từ khi tăng tốc.
Giải bài 12 trang 26 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Giả sử tốc độ tăng trưởng của một quần thể muỗi thoả mãn công thức (N'left( t right) = 0,2Nleft( t right),0 le t le 5), trong đó (t) là thời gian tính theo ngày, (Nleft( t right)) là số cá thể muỗi tại thời điểm. Biết rằng ban đầu quần thể muỗi có 2000 cá thể. a) Đặt (yleft( t right) = ln Nleft( t right),0 le t le 5). Chứng tỏ rằng (y'left( t right) = 0,2). Từ đó, tìm (Nleft( t right)) với (0 le t le 5). b) Tìm số lượng cá thể của quần thể muỗi sau 3 ngà
Giải bài 2 trang 25 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Tìm: a) (int {{{left( {3{rm{x}} - frac{1}{{{x^2}}}} right)}^2}dx} ); b) (int {left( {7{rm{x}}sqrt[3]{x} - frac{1}{{sqrt {{x^3}} }}} right)dx} left( {x > 0} right)); c) (int {{{left( {{3^{2{rm{x}}}} - 1} right)}^2}dx} ); d) (int {left( {2 - 3{{cos }^2}frac{x}{2}} right)dx} ).
Giải bài 1 trang 25 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Tiếp tuyến của đồ thị hàm số (y = fleft( x right)) tại điểm (left( {x;fleft( x right)} right)) có hệ số góc là (3{x^2} - 6x + 2). Tìm hàm số (y = fleft( x right)), biết đồ thị của nó đi qua điểm (left( { - 1;1} right)).
Giải bài 10 trang 24 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Chọn đúng hoặc sai cho mỗi ý a, b, c, d. Cho (y = fleft( x right)) là hàm số bậc hai có đồ thị như Hình 1. Gọi (S) là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số (y = fleft( x right)) và trục hoành. a) (fleft( x right) = 4 - 2{x^2}). b) (S = intlimits_{ - 2}^2 {left| {fleft( x right)} right|dx} ). c) (S = intlimits_{ - 2}^2 {fleft( x right)dx} ). d) (S = frac{{16}}{3}).
Giải bài 9 trang 24 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Chọn đúng hoặc sai cho mỗi ý a, b, c, d. Cho (K) là một khoảng trên (mathbb{R}); (Fleft( x right)) là một nguyên hàm của hàm số (fleft( x right)) trên (K); (Gleft( x right)) là một nguyên hàm của hàm số (gleft( x right)) trên (K). a) Nếu (Fleft( x right) = Gleft( x right)) thì (fleft( x right) = gleft( x right)). b) Nếu (fleft( x right) = gleft( x right)) thì (Fleft( x right) = Gleft( x right)). c) (int {fleft( x right)dx} = Fleft( x r
Giải bài 8 trang 24 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Chọn đáp án đúng. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y = {e^x} - 2$ , trục hoành và hai đường thẳng $x = 0,x = \ln 4$ là A. 1. B. 3. C. $2\ln 2 - 1$ . D. $3 - 4\ln 2$ .
Giải bài 7 trang 24 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Chọn đáp án đúng. Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên đoạn $\left[ {1;3} \right]$ và thoả mãn $\int\limits_1^3 {\left[ {3{x^2} - 2f'\left( x \right)} \right]dx} = 4;f\left( 1 \right) = - 2$ . Giá trị $f\left( 3 \right)$ là A. 9. B. 11. C. ‒13. D. 19.
Giải bài 6 trang 23 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Chọn đáp án đúng. Đồ thị của hàm số $y = f\left( x \right)$ đi qua điểm $\left( {1;1} \right)$ và có hệ số góc của tiếp tuyến tại các điểm $\left( {x;f\left( x \right)} \right)$ là $1 - 4x$ . Giá trị của $f\left( 3 \right)$ là A. ‒12. B. ‒13. C. ‒15. D. ‒30.
Giải bài 5 trang 23 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Chọn đáp án đúng. Cho hàm số (fleft( x right) = 3{rm{x}} - 1). Biết rằng ({rm{a}}) là số thoả mãn (intlimits_0^1 {{f^2}left( x right)dx} = a{left[ {intlimits_0^1 {fleft( x right)dx} } right]^2}). Giá trị của ({rm{a}}) là A. 2. B. (frac{1}{4}). C. 4. D. (frac{1}{2}).
Giải bài 4 trang 23 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Chọn đáp án đúng. Cho hàm số $f\left( x \right) = 4\sqrt[3]{x}$ . Giá trị của $\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_8^3 {f\left( x \right)dx}$ bằng A. 45. B. 80. C. 15. D. $18\sqrt[3]{3} - 51$ .
Giải bài 3 trang 23 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Chọn đáp án đúng. Phát biểu nào sau đây đúng? A. (int {{3^{2{rm{x}}}}dx} = {9^x}.ln 9 + C). B. (int {{3^{2{rm{x}}}}dx} = frac{{{9^x}}}{{2ln 3}} + C). C. (int {{3^{2{rm{x}}}}dx} = {left( {frac{{{3^x}}}{{ln 3}}} right)^2} + C). D. (int {{3^{2{rm{x}}}}dx} = frac{{{3^{2x}}}}{{ln 3}} + C).
Giải bài 2 trang 23 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Chọn đáp án đúng. Hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị đi qua điểm $\left( {0;2} \right)$ và $f'\left( x \right) = \cos x - \sin x$ . Giá trị của $f\left( \pi \right)$ là A. ‒1. B. 1. C. 4. D. 0.
Giải bài 1 trang 23 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo
Chọn đáp án đúng. Biết rằng $f'\left( x \right) = 8{{\rm{x}}^3} - 4x + 2$ và $f\left( 1 \right) = 4$ . Hàm số $f\left( x \right)$ là A. $2{x^4} - 2{x^2} + x + 4$ . B. $2{x^4} - 2{x^2} + 2x + 2$ . C. $8{x^4} - 4{x^2} + x$ . D. $8{x^4} - 4{x^2} + x + 4$ .

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Chân trời sáng tạo - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.