SBT Toán 12 - giải SBT Toán 12 - Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương 1 - SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo

Giải bài 6 trang 36 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo


Nam dùng một tấm bìa có kích thước 50 cm × 20 cm để làm một chiếc lon hình trụ (không có nắp). Hỏi cần chọn bán kính đáy hình trụ là bao nhiêu xăngtimét thì lon hình trụ đạt thể tích lớn nhất? Lưu ý: Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm của xăngtimét, bỏ qua phần hao hụt khi cắt và tạo hình, đáy và mặt bên phải là các bìa nguyên vẹn (không ghép nối).

Đề bài

Nam dùng một tấm bìa có kích thước 50 cm × 20 cm để làm một chiếc lon hình trụ (không có nắp).

Hỏi cần chọn bán kính đáy hình trụ là bao nhiêu xăngtimét thì lon hình trụ đạt thể tích lớn nhất?

Lưu ý: Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm của xăngtimét, bỏ qua phần hao hụt khi cắt và tạo hình, đáy và mặt bên phải là các bìa nguyên vẹn (không ghép nối).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng công thức tính thể tích hình trụ để tính thể tích \(V\left( x \right)\), sau đó tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(V\left( x \right)\).

Lời giải chi tiết

Gọi \(x\) (dm) là bán kính đáy hình trụ \(\left( {x > 0} \right)\).

• Phương án 1:

Khi đó chiều cao của hình trụ là: \(2 - 2{\rm{x}}\left( {dm} \right)\).

Chu vi đáy của hình trụ là: \(2\pi {\rm{x}}\left( {dm} \right)\).

Vì chu vi đáy của hình trụ không được vượt quá 5 dm nên ta có: \(2\pi x \le 5 \Leftrightarrow x \le \frac{5}{{2\pi }}\).

Thể tích của hình trụ là: \(V\left( x \right) = \pi {x^2}\left( {2 - 2{\rm{x}}} \right) =  - 2\pi {{\rm{x}}^3} + 2\pi {{\rm{x}}^2}\left( {d{m^3}} \right)\).

Xét hàm số \(V\left( x \right) =  - 2\pi {{\rm{x}}^3} + 2\pi {{\rm{x}}^2}\) trên nửa khoảng \(\left( {0;\frac{5}{{2\pi }}} \right]\).

Ta có: \(V'\left( x \right) =  - 6\pi {{\rm{x}}^2} + 4\pi {\rm{x}}\)

\(V'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = \frac{2}{3}\).

Bảng biến thiên:

Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left( {0;\frac{5}{{2\pi }}} \right]} V\left( x \right) = V\left( {\frac{2}{3}} \right) = \frac{{8\pi }}{{27}} \approx 0,93\).

Vậy với \(x = \frac{2}{3}\left( {dm} \right)\) thì thể tích của hình trụ là lớn nhất bằng \(0,93\left( {d{m^3}} \right)\).

• Phương án 2:

Khi đó chiều cao của hình trụ là: \(2\left( {dm} \right)\).

Chu vi đáy của hình trụ là: \(2\pi {\rm{x}}\left( {dm} \right)\).

Vì tổng đường kính và chu vi đáy của hình trụ không được vượt quá 5 dm nên ta có:

\(2\pi x + 2{\rm{x}} \le 5 \Leftrightarrow 2{\rm{x}}\left( {\pi  + 1} \right) \le 5 \Leftrightarrow x \le \frac{5}{{2\left( {\pi  + 1} \right)}}\).

Thể tích của hình trụ là: \(V\left( x \right) = \pi {x^2}2 = 2\pi {{\rm{x}}^2}\left( {d{m^3}} \right)\).

Xét hàm số \(V\left( x \right) = 2\pi {{\rm{x}}^2}\) trên nửa khoảng \(\left( {0;\frac{5}{{2\left( {\pi  + 1} \right)}}} \right]\).

Ta có: \(V'\left( x \right) = 4\pi {\rm{x}}\)

\(V'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0\).

Bảng biến thiên:

Vậy \(\mathop {\max }\limits_{\left( {0;\frac{5}{{2\pi }}} \right]} V\left( x \right) = V\left( {\frac{5}{{2\left( {\pi  + 1} \right)}}} \right) = \frac{{25\pi }}{{2{{\left( {\pi  + 1} \right)}^2}}} \approx 2,29\).

Vậy với \(x = \frac{5}{{2\left( {\pi  + 1} \right)}}\left( {dm} \right)\) thì thể tích của hình trụ là lớn nhất bằng \(2,29\left( {d{m^3}} \right)\).

Vậy thể tích lon hình trụ lớn nhất khi thiết kế theo phương án 2 và bán kính đáy khoảng \(\frac{5}{{2\left( {\pi  + 1} \right)}} \approx 0,60\left( {dm} \right)\).


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo
  • Giải bài 7 trang 37 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

    Một chủ nhà hàng kinh doanh phần ăn đồng giá có chiến lược kinh doanh nhur sau: • Phí cố định được ước tính trong một năm là 50000 nghìn đồng. • Chi phí một phần ăn ước tính khoảng 22 nghìn đồng. • Giá niêm yết trên thực đơn là 30 nghìn đồng. Trong bài này, giả định rằng tất cả các phần ăn chế biến sẵn đều được bán hết và kí hiệu (x) là số phần ăn phục vụ trong một năm, giả sử (x) thuộc khoảng (left[ {5000;25000} right]). a) Gọi (Cleft( x right)) là tổng chi phí hằng năm ch

  • Giải bài 8 trang 37 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

    Người ta muốn chế tạo một chiếc hộp hình hộp chữ nhật có thể tích 800 cm với yêu cầu dùng ít vật liệu nhất. Chiều cao hộp là 8 cm, các kích thước khác là (x) (cm), (y) (cm) với (x > 0) và (y > 0). a) Chứng tỏ rằng (y = frac{{100}}{x}). b) Tìm diện tích toàn phần (Sleft( x right)) của chiếc hộp theo (x). c) Khảo sát hàm số (Sleft( x right)) trên khoảng (left( {0; + infty } right)). d) Tìm kích thước của hộp để tiết kiệm vật liệu nhất. (Làm tròn kết quả đến hàng

  • Giải bài 5 trang 36 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

    Cho hàm số (y = fleft( x right) = frac{{{x^2} + 2{rm{x}} - m}}{{{rm{x}} - 1}}) ((m) là tham số). Tìm (m) để đồ thị hàm số đã cho có hai cực trị.

  • Giải bài 4 trang 36 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

    Tìm toạ độ tâm đối xứng (I) của đồ thị hàm số sau theo tham số (m): (y = fleft( x right) = left( {2 - m} right){x^3} - 3{x^2} + 2). Chứng tỏ khi (m) thay đổi, (I) luôn thuộc một parabol xác định.

  • Giải bài 3 trang 36 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

    Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{m + 2}}{3}{x^3} + 2{x^2} + \left( {m + 2} \right)x + 1\) (\(m\) là tham số). Tìm \(m\) để đồ thị hàm số không có cực trị.

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Chân trời sáng tạo - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store