Giải bài 106 trang 44 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
Tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang và tiệm cận xiên (nếu có) của đồ thị mỗi hàm số sau: a) (y = frac{{ - 3{rm{x}} + 2}}{{{x^3} + 1}}); b) (y = frac{{{x^2} - 1}}{{2{rm{x}} + 1}}); c) (y = frac{x}{{sqrt {{x^2} + 1} }}).
Đề bài
Tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang và tiệm cận xiên (nếu có) của đồ thị mỗi hàm số sau:
a) \(y = \frac{{ - 3{\rm{x}} + 2}}{{{x^3} + 1}}\);
b) \(y = \frac{{{x^2} - 1}}{{2{\rm{x}} + 1}}\);
c) \(y = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
‒ Tìm tiệm cận đứng: Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right)\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right)\), nếu một trong các giới hạn sau thoả mãn:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } f\left( x \right) = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } f\left( x \right) = - \infty \)
thì đường thẳng \(x = {x_0}\) là đường tiệm cận đứng.
‒ Tìm tiệm cận ngang: Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = {y_0}\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = {y_0}\) thì đường thẳng \(y = {y_0}\) là đường tiệm cận ngang.
‒ Tìm tiệm cận xiên \(y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)\):
\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x}\) và \(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - ax} \right]\) hoặc
\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x}\) và \(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f\left( x \right) - ax} \right]\)
Lời giải chi tiết
a) Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).
Ta có:
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} \frac{{ - 3{\rm{x}} + 2}}{{{x^3} + 1}} = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \frac{{ - 3{\rm{x}} + 2}}{{{x^3} + 1}} = + \infty \)
Vậy \(x = - 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 3{\rm{x}} + 2}}{{{x^3} + 1}} = 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - 3{\rm{x}} + 2}}{{{x^3} + 1}} = 0\)
Vậy \(y = 0\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.
b) Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).
Ta có:
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {{\frac{1}{2}}^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {{\frac{1}{2}}^ - }} \frac{{{x^2} - 1}}{{2{\rm{x}} + 1}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - {{\frac{1}{2}}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {{\frac{1}{2}}^ + }} \frac{{{x^2} - 1}}{{2{\rm{x}} + 1}} = - \infty \)
Vậy \({\rm{x}} = - \frac{1}{2}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.
• \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} - 1}}{{2{\rm{x}} + 1}} = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^2} - 1}}{{2{\rm{x}} + 1}} = - \infty \)
Vậy hàm số không có tiệm cận ngang.
• \(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{f\left( x \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} - 1}}{{x\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}} = \frac{1}{2}\) và
\(b = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - \frac{1}{2}x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\frac{{{x^2} - 1}}{{2{\rm{x}} + 1}} - \frac{1}{2}x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - x - 2}}{{2\left( {2{\rm{x}} + 1} \right)}} = - \frac{1}{4}\)
Vậy đường thẳng \(y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.
c) Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\).
Do đó đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.
Ta có:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = - 1\)
Vậy \(y = 1\) và \(y = - 1\) là các tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.
Bình luận
Chia sẻ
- Giải bài 107 trang 44 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
- Giải bài 108 trang 44 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
- Giải bài 109 trang 44 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
- Giải bài 110 trang 44 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
- Giải bài 111 trang 45 sách bài tập toán 12 - Cánh diều
>> Xem thêm
Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Cánh diều - Xem ngay
Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
Các bài khác cùng chuyên mục
