Câu 5 trang 78 SGK Hình học 11 Nâng cao

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và A’B’C’. Một mặt phẳng (α) cắt các cạnh AA’, BB’, CC, GG’ lần lượt tại A1, B1, C1 và G1. Chứng minh rằng:

Đề bài

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và A’B’C’. Một mặt phẳng (α) cắt các cạnh AA’, BB’, CC, GG’ lần lượt tại A₁, B₁, C₁ và G₁. Chứng minh rằng:

a. GG’ song song và bằng cạnh bên của hình lăng trụ

b. G₁ là trọng tâm của tam giác A₁B₁C₁

c. \({G_1}G' = {1 \over 3}\left( {{A_1}A' + {B_1}B' + {C_1}C'} \right);\)

\({G_1}G = {1 \over 3}\left( {{A_1}A + {B_1}B + {C_1}C} \right)\)

Lời giải chi tiết

a. Gọi I, I’ lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, B’C’ thì rõ ràng II' song song và bằng AA’ nên tứ giác AII’A’ là hình bình hành, do đó AI song song và bằng A’I’

Ta cũng có \(AG = {2 \over 3}AI,A'G' = {2 \over 3}A'I'\), mà AI = A’I’ suy ra AG song song và bằng A’G’

Vậy tứ giác AGG’A’ là hình bình hành

Do đó, GG’ song song và bằng AA’

b. B₁C₁ cắt II’ tại I₁ thì I₁ là trung điểm của B₁C₁

Vì G₁ thuộc A₁I₁ và AA₁ // GG₁ // II₁ nên \({{{G_1}{A_1}} \over {{A_1}{I_1}}} = {{GA} \over {AI}} = {2 \over 3}\)

Vậy G₁ là trọng tâm tam giác A₁B₁C₁

c. Xét hình bình hành AII’A’. Gọi L, L’ lần lượt là trung điểm của AG và A’G’, L₁ là giao điểm của LL’ và A₁I₁

Khi đó L₁ là trung điểm của A₁G₁

Theo định lí về đường trung bình của hình thang ta có :

\(2{G_1}G' = {L_1}L'+{I_1}I' \)\(= {1 \over 2}\left( {{A_1}A' + {G_1}G'} \right) + {I_1}I'\)

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow 2{G_1}G' = \frac{1}{2}{A_1}A' + \frac{1}{2}{G_1}G' + {I_1}I'\\
\Leftrightarrow \frac{3}{2}{G_1}G' = \frac{1}{2}{A_1}A' + {I_1}I'\\
\Leftrightarrow {G_1}G' = \frac{1}{3}{A_1}A' + \frac{2}{3}{I_1}I'
\end{array}\)

Suy ra: \({G_1}G' = {1 \over 3}\left( {{A_1}A' + 2{I_1}I'} \right)\)

Mặt khác: 2I₁I’ = B₁B’ + C₁C’

Vậy: \({G_1}G' = {1 \over 3}\left( {{A_1}A' + {B_1}B' + {C_1}C'} \right)\)

Chứng minh tương tự ta có: \({G_1}G = {1 \over 3}\left( {{A_1}A + {B_1}B + {C_1}C} \right)\)

Loigiaihay.com

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Câu 6 trang 78 SGK Hình học 11 Nâng cao
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Vẽ thiết diện của hình hộp tạo bởi mặt phẳng đi qua hai trung điểm M, N của các cạnh AB, AD và tâm O của mặt CDD’C’
Câu 7 trang 78 SGK Hình học 11 Nâng cao
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Trên ba cạnh AB, DD’, C’B’ lần lượt lấy ba điểm M, N, P không trùng với các đỉnh sao cho
Câu 8 trang 78 SGK Hình học 11 Nâng cao
Cho hai tia Ax và By nằm trên hai đường thẳng chéo nhau. Một điểm M chạy trên Ax và một điểm N chạy trên By sao cho AM = kBN (k > 0 cho trước)
Câu 4 trang 78 SGK Hình học 11 Nâng cao
Cho hai hình bình hành ABCD VÀ ABEF nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Lấy các điểm M, N lần lượt thuộc các đường chéo AC, BF sao cho MC = 2AM, NF = 2BN. Qua M, N, kẻ các đường thẳng song song với AB cắt các cạnh AD, AF lần lượt tại M1, N1. Chứng minh rằng:
Câu 3 trang 77 SGK Hình học 11 Nâng cao
Trong các hình sau, hình nào là hình biểu diễn của một tứ diện ?
Câu 2 trang 77 SGK Hình học 11 Nâng cao
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?
Câu 1 trang 77 SGK Hình học 11 Nâng cao
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?