Lý thuyết Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách - SGK Toán 10 Kết nối tri thức

A. Lý thuyết

1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Trên mặt phẳng tọa độ, xét hai đường thẳng:

\({\Delta _1}:{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\) và \({\Delta _2}:{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\).

Khi đó, tọa độ giao điểm của \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\\{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\end{array} \right.\) (*)

Dựa vào các vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} \), \(\overrightarrow {{u_2}} \) hoặc các vecto pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}} \), \(\overrightarrow {{n_2}} \) của \({\Delta _1}\), \({\Delta _2}\) ta có:

- \({\Delta _1}\) // \({\Delta _2}\) hoặc \({\Delta _1}\) trùng \({\Delta _2}\) \( \Leftrightarrow \) \(\overrightarrow {{u_1}} \), \(\overrightarrow {{u_2}} \) cùng phương \( \Leftrightarrow \) \(\overrightarrow {{n_1}} \), \(\overrightarrow {{n_2}} \) cùng phương.

+ Nếu \({\Delta _1}\), \({\Delta _2}\) có điểm chung thì \({\Delta _1}\) trùng \({\Delta _2}\).

+ Nếu tồn tại điểm thuộc \({\Delta _1}\) nhưng không thuộc \({\Delta _2}\) thì \({\Delta _1}\) // \({\Delta _2}\).

- \({\Delta _1}\) cắt \({\Delta _2}\) \( \Leftrightarrow \) \(\overrightarrow {{u_1}} \), \(\overrightarrow {{u_2}} \) không cùng phương \( \Leftrightarrow \) \(\overrightarrow {{n_1}} \), \(\overrightarrow {{n_2}} \) không cùng phương.

2. Góc giữa hai đường thẳng

Công thức:

Chú ý:

+ \({\Delta _1} \bot {\Delta _2} \Leftrightarrow {a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} = 0\).

+ Hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) có vecto chỉ phương lần lượt là \(\overrightarrow {{u_1}} \), \(\overrightarrow {{u_2}} \) thì góc \(\varphi \) cũng được xác định qua công thức \(\cos \varphi  = \cos ({\Delta _1},{\Delta _2}) = \left| {\cos (\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} )} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}\).

3. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Trong trường hợp tổng quát, ta có:

Chú ý: Nếu \(M \in \Delta \) thì \(d(M,\Delta ) = 0\).

B. Bài tập

Bài 1: Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau:

a) \({\Delta _1}:2x - y + 1 = 0\) và \({\Delta _2}: - x + 2y + 2 = 0\).

b) \({\Delta _3}:x - y - 1 = 0\) và \({\Delta _4}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 + 2t\end{array} \right.\).

Giải:

a) Đường thẳng \({\Delta _1}\) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}}  = (1;2)\), đường thẳng \({\Delta _2}\) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}}  = ( - 2; - 1)\).

Do \(\frac{1}{{ - 2}} \ne \frac{2}{{ - 1}}\) nên \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) không cùng phương, suy ra \({\Delta _1}\) cắt \({\Delta _2}\).

b) Đường thẳng \({\Delta _3}\), \({\Delta _4}\) lần lượt có vecto chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_3}}  = (1;1)\) và \(\overrightarrow {{u_4}}  = (2;2)\). Suy ra \(\overrightarrow {{u_4}}  = 2\overrightarrow {{u_3}} \). Chọn t = 0, ta có điểm \(M(1;3) \in {\Delta _4}\). Do \(1 - 3 - 1 \ne 0\) nên \(M(1;3) \notin {\Delta _3}\).

Vậy \({\Delta _3}\) // \({\Delta _4}\).

Bài 2: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng

\({\Delta _1}:x - 2y + 1 = 0\) và \({\Delta _2}:2x - 4y + 2 = 0\).

Giải:

Tọa độ giao điểm của đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 1 = 0\\2x - 4y + 2 = 0\end{array} \right.\).

Hệ trên có vô số nghiệm. Như vậy, \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) có vô số điểm chung, tức hai đường thẳng trên trùng nhau.

Bài 3: Tính số đo góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) trong mỗi trường hợp sau:

a) \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + \sqrt 3 {t_1}\\y = 1 + {t_1}\end{array} \right.\) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + \sqrt 3 {t_2}\\y = 4 - {t_2}\end{array} \right.\).

b) \({\Delta _1}:3x + y - 10 = 0\) và \({\Delta _2}: - 2x + y - 7 = 0\).

Giải:

a) \({\Delta _1}\) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {\sqrt 3 ;1} \right)\). \({\Delta _2}\) có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {\sqrt 3 ; - 1} \right)\).

Do đó, ta có: \(\cos ({\Delta _1},{\Delta _2}) = \frac{{\left| {\sqrt 3 .\sqrt 3  + 1.( - 1)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + {1^2}} .\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{1}{2}\).

Vậy \(({\Delta _1},{\Delta _2}) = {60^o}\).

b) \({\Delta _1}\) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {3;1} \right)\). \({\Delta _2}\) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( { - 2;1} \right)\).

Do đó, ta có: \(\cos ({\Delta _1},{\Delta _2}) = \left| {\cos (\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} )} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {3.( - 2) + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {1^2}} .\sqrt {{{( - 2)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Vậy \(({\Delta _1},{\Delta _2}) = {45^o}\).

Bài 4: Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng \(\Delta \) trong mỗi trường hợp sau:

a) M(-2;1) và \(\Delta :2x - 3y + 5 = 0\).

b) M(1;-3) và \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x =  - 2 + 3t\\y = 2 - 4t\end{array} \right.\).

Giải:

a) Ta có: \(d(M,\Delta ) = \frac{{\left| {2.( - 2) - 3.1 + 5} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{( - 3)}^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt {13} }} = \frac{{2\sqrt {13} }}{{13}}\).

b) Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm N(-2;2) và có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n  = (4;3)\).

Phương trình đường thẳng \(\Delta \) là \(4(x + 2) + 3(y - 2) = 0\). Từ đó, ta nhận được phương trình tổng quát của đường thẳng \(\Delta \) là \(4x + 3y + 2 = 0\).

Vậy \(d(M,\Delta ) = \frac{{\left| {4.1 + 3.( - 3) + 2} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = \frac{3}{5}\).