Lý thuyết Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

+) Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là:

\(ax + by \le c\;(ax + by \ge c,ax + by < c,ax + by > c)\) trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a và b không đồng thời bằng 0, x và y là các ẩn số.

Ví dụ: \(2x + 3y > 10\).

+) Cặp số \(({x_0};{y_0})\) được gọi là một nghiệm của BPT bậc nhất hai ẩn \(ax + by \le c\) nếu bất đẳng thức \(a{x_0} + b{y_0} \le c\) đúng.

Ví dụ: Cặp số \((3;5)\) là một nghiệm của BPT \(2x + 3y > 10\) vì \(2.3 + 3.5 = 21 > 10\).

+) BPT bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm.

2. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ

+) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình \(ax + by \le c\) được gọi là miền nghiệm của BPT đó.

+) Đường thẳng \(d:ax + by = c\) chia mặt phẳng tọa độ Oxy thành hai nửa mặt phẳng bờ d:

- Một nửa mặt phẳng (không kể bờ d) gồm các điểm có tọa độ (x; y) thỏa mãn \(ax + by > c\).

- Một nửa mặt phẳng (không kể bờ d) gồm các điểm có tọa độ (x; y) thỏa mãn \(ax + by < c\).

- Bờ d gồm các điểm có tọa độ (x; y) thỏa mãn \(ax + by = c\).

+) Cách biểu diễn miền nghiệm của BPT \(ax + by \le c\):

Bước 1: Vẽ đường thẳng \(d:ax + by = c\) trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

Bước 2: Lấy một điểm \({M_0}({x_0};{y_0})\) không thuộc d.

Bước 3: Tính \(a{x_0} + b{y_0}\) và so sánh với c.

Bước 4: Nếu \(a{x_0} + b{y_0} < c\) thì nửa mặt phẳng bờ d chứa \({M_0}\) là miền nghiệm của bất phương trình. Nếu \(a{x_0} + b{y_0} > c\) thì nửa mặt phẳng bờ d không chứa \({M_0}\) là miền nghiệm của BPT.

* Chú ý:

- Nếu \(c \ne 0\) ta thường chọn \({M_0}\) là gốc tọa độ.

- Nếu \(c = 0\) ta thường chọn \({M_0}\) có tọa độ \((1;0)\) hoặc \((0;1).\)

- Miền nghiệm của BPT \(ax + by < c\) là miền nghiệm của BPT \(ax + by \le c\) bỏ đi đường thẳng \(ax + by = c\) và biểu diễn đường thẳng bằng nét đứt.

Ví dụ minh hoạ:

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y > 2\\3x + y \le 6\end{array} \right.\)

Giải:

- Xác định miền nghiệm của BPT \(2x - y > 2\):

Vẽ đường thẳng \(\Delta :2x - y = 2\) (nét đứt) đi qua (1;0) và (0; -2).

Lấy điểm \(O(0;0)\) không thuộc \(\Delta \). Ta có \(2.0 - 0 = 0\) và \(c = 2\).

Vì \(2.0 - 0 = 0 < 2\) nên điểm \(O(0;0)\) không thuộc miền nghiệm.

Vậy miền nghiệm của BPT \(2x - y > 2\) là nửa mặt phẳng (không kể bờ \(\Delta \)) không chứa điểm \(O(0;0)\) (miền không gạch chéo).

- Xác định miền nghiệm của BPT \(3x + y \le 6\):

Vẽ đường thẳng \(d:3x + y = 6\) (nét liền) đi qua (2;0) và (0;6).

Lấy điểm \(O(0;0)\) không thuộc \(d\). Ta có \(3.0 + 0 = 0\) và \(c = 6\).

Vì  \(3.0 + 0 = 0 \le 6\) nên điểm \(O(0;0)\) thuộc miền nghiệm.

Vậy miền nghiệm của BPT \(3x + y \le 6\) là nửa mặt phẳng (kể cả bờ \(d\)) chứa điểm \(O(0;0)\) (miền không gạch chéo).

Miền không bị gạch (kể cả d, không kể \(\Delta \)) là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.