Giải mục I trang 81, 82 SGK Toán 10 tập 2 - Cánh diều

HĐ Khởi động

Lời giải chi tiết:

Để xác định điểm M ta cần giải hệ phương trình gồm hai phương trình đường thẳng của hai đường thẳng a và b

Hoạt động 1

Nêu vị trí tương đối của hai đường thẳng trong mặt phẳng.

Lời giải chi tiết:

Hai đường thẳng trong mặt phẳng thì cắt nhau hoặc song song hoặc trùng nhau.

Hoạt động 2

Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\)  lần lượt có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \). Nêu điều kiện về hai vectơ \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) trong môi trường hợp sau:

a) \({\Delta _1}\) cắt \({\Delta _2}\)

b) \({\Delta _1}\)song song với \({\Delta _2}\)

c), \({\Delta _1}\) trùng với \({\Delta _2}\)

Lời giải chi tiết:

Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2}\)  lần lượt có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \). Khi đó:

a) \({\Delta _1}\) cắt \({\Delta _2}\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) không cùng phương.

b) \({\Delta _1}\) song song với \({\Delta _2}\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) cùng phương và có một điểm thuộc một đường thẳng mà không thuộc đường thẳng còn lại.

c) \({\Delta _1}\) trùng với \({\Delta _2}\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} \) cùng phương và có một điểm thuộc cả hai đường thẳng đó.

Luyện tập – vận dụng 1

 Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + {t_1}\\y =  - 2 + {t_1}\end{array} \right.\) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2{t_2}\\y =  - 3 + 2{t_2}\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1;1} \right),\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {2;2} \right)\). Ta thấy, \(\overrightarrow {{u_2}}  = 2\overrightarrow {{u_1}} \).

Chọn điểm \(A\left( {1; - 2} \right) \in {\Delta _1}\). Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng \({\Delta _2}\) ta được \({t_2} = \frac{1}{2} \Rightarrow A\left( {1; - 2} \right) \in {\Delta _2}\).

Vậy 2 đường thẳng \({\Delta _1}\)và \({\Delta _2}\) song song với nhau.

Luyện tập – vận dụng 2

 Xét vị trí tương đối của đường thẳng d: x + 2y – 2 = 0 với mỗi đường thẳng sau:

\({\Delta _1}{\rm{: }}3x{\rm{ }}--{\rm{ }}2y{\rm{ }} + {\rm{ }}6{\rm{ }} = {\rm{ }}0\); \({\Delta _2}:{\rm{ }}x{\rm{ }} + {\rm{ }}2y{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}0\); \({\Delta _3}:{\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}4y{\rm{ }}--{\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)

Lời giải chi tiết:

Xét hệ phương trình gồm phương trình của d và \({\Delta _1}\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - 2 = 0\\3x - 2y + 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y = \frac{3}{2}\end{array} \right.\)

Vậy d và \({\Delta _1}\) cắt nhau tại 1 điểm duy nhất.

Xét hệ phương trình gồm phương trình của d và \({\Delta _2}\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - 2 = 0\\x + 2y + 2 = 0\end{array} \right.\).  Hệ phương trình vô nghiệm.

Vậy d và \({\Delta _2}\) song song với nhau

Xét hệ phương trình gồm phương trình của d và \({\Delta _3}\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - 2 = 0\\2x + 4y--4{\rm{ }} = {\rm{ }}0\end{array} \right.\). Hệ phương trình vô số nghiệm.

Vậy d và \({\Delta _3}\) trùng nhau.