Bài 4. Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. K..

Giải bài 7 trang 86 SGK Toán 10 tập 2 – Cánh diều

Có hai con tàu A và B cùng xuất phát từ hai bến, chuyển động đều theo đường thẳng ngoài biển. Trên màn hình ra đa của trạm điều khiển (được coi như mặt phẳng toạ độ Oxy với đơn vị trên các trục tính theo ki-lô-mét), sau khi xuất phát t (giờ)

Tổng hợp đề thi học kì 2 lớp 10 tất cả các môn - Cánh diều

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh - Sử - Địa...

Đề bài

Có hai con tàu A và B cùng xuất phát từ hai bến, chuyển động đều theo đường thẳng ngoài biển. Trên màn hình ra đa của trạm điều khiển (được coi như mặt phẳng toạ độ Oxy với đơn vị trên các trục tính theo ki-lô-mét), sau khi xuất phát t (giờ) ( $t \ge 0$ ), vị trí

của tàu A có toạ độ được xác định bởi công thức $\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 35t\\y = - 4 + 25t\end{array} \right.$ ,vị trí của tàu B có toạ độ là (4 – 30t; 3 – 40t).

a) Tính côsin góc giữa hai đường đi của hai tàu A và B.

b) Sau bao lâu kể từ thời điểm xuất phát hai tàu gần nhau nhất?

c) Nếu tàu A đứng yên ở vị trí ban đầu, tàu B chạy thì khoảng cách ngắn nhất giữa hai tàu bằng bao nhiêu?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ có vectơ chỉ phương lần lượt là $\overrightarrow {{u_1}} = {\rm{ }}\left( {{a_1};{\rm{ }}{b_1}} \right),{\rm{ }}\overrightarrow {{u_2}} {\rm{ }} = {\rm{ }}\left( {{a_2};{b_2}} \right)$ ta có:

$\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2} .\sqrt {a_2^2 + b_2^2} }}$ .

b) Bước 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng $\Delta$ có phương trình ${\rm{a}}x + by + c = 0\left( {{a^2} + {b^2} > 0} \right)$ và điểm $M\left( {{x_o};{y_0}} \right)$ . Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng $\Delta$ , kí hiệu là $d\left( {M,\Delta } \right)$ được tính bởi công thức: $d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {{\rm{a}}{x_o} + b{y_o} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$

Bước 2: Đánh giá theo tham số t

c) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng $\Delta$ có phương trình ${\rm{a}}x + by + c = 0\left( {{a^2} + {b^2} > 0} \right)$ và điểm $M\left( {{x_o};{y_0}} \right)$ . Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng $\Delta$ , kí hiệu là $d\left( {M,\Delta } \right)$ được tính bởi công thức: $d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {{\rm{a}}{x_o} + b{y_o} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$

Lời giải chi tiết

a) Tàu A di chuyển theo hướng vecto $\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 35;25} \right)$ .

Tàu B di chuyển theo hướng vecto $\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 30; - 40} \right)$ .

Gọi $\alpha$ là góc giữa hai đường đi của hai tàu, ta có:

$\cos \alpha = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\left( { - 35} \right).\left( { - 30} \right) + 25.\left( { - 40} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 35} \right)}^2} + {{25}^2}} .\sqrt {{{\left( { - 30} \right)}^2} + {{\left( { - 40} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{5\sqrt {74} }}.$

b) Sau t giờ, vị trí của tàu A là điểm M có tọa độ là: $M\left( {3 - 35t; - 4 + 25t} \right)$ .

Sau t giờ, vị trí của tàu B là điểm N có tọa độ là: $N\left( {4 - 30t;3 - 40t} \right)$ .

Do đó, $MN = \sqrt {{{\left( {1 + 5t} \right)}^2} + {{\left( {7 - 65t} \right)}^2}} = \sqrt {4250{t^2} - 900t + 50} = \sqrt {4250{{\left( {t - \frac{9}{{85}}} \right)}^2} + \frac{{40}}{{17}}} \ge \sqrt {\frac{{40}}{{17}}} \approx 1,53\left( {km} \right)$ .

Suy ra MN nhỏ nhất xấp xỉ 1,53 km khi $t = \frac{9}{{85}}$ .

Vậy sau $\frac{9}{{85}}$ giờ kể từ thời điểm xuất phát thì hai tàu gần nhau nhất và cách nhau 1,53 km.

c) Vị trí ban đầu của tàu A tại ${M_o}$ ứng với $t = 0$ , khi đó ${M_o}\left( {3; - 4} \right)$

Tàu B di chuyển theo đường thẳng có vecto pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {40; - 30} \right)$ và đi qua điểm $K\left( {4;3} \right)$ Phương trình tổng quát của là: $40\left( {x - 4} \right) - 30\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x - 3y - 7 = 0$ $\Delta$

Ta có: $d\left( {{M_o},\Delta } \right) = \frac{{\left| {4.3 - 3.\left( { - 4} \right) - 7} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{17}}{5} = 3,4\left( {km} \right)$ .

Vậy nếu tàu A đứng yên ở vị trí ban đầu còn tàu B di chuyển thì khoảng cách ngắn nhất giữa hai tàu bằng 3,4km.

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Giải bài 6 trang 86 SGK Toán 10 tập 2 – Cánh diều
Cho ba điểm A(2;4), B(-1; 2) và C(3;-1). Viết phương trình đường thẳng đi qua B đồng thời cách đều A và C.
Giải bài 5 trang 86 SGK Toán 10 tập 2 – Cánh diều
Cho ba điểm A(2;- 1), B(1 ; 2) và C(4;- 2). Tính số đo góc BAC và góc giữa hai đường thẳng AB, AC.
Giải bài 4 trang 86 SGK Toán 10 tập 2 – Cánh diều
Với giá trị nào của tham số m thì hai đường thẳng sau đây vuông góc?
Giải bài 3 trang 86 SGK Toán 10 tập 2 – Cánh diều
Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong mỗi trường hợp sau:
Giải bài 2 trang 86 SGK Toán 10 tập 2 – Cánh diều
Tính số đo góc giữa hai đường thẳng
Giải bài 1 trang 86 SGK Toán 10 tập 2 – Cánh diều
Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau
Giải mục III trang 85 SGK Toán 10 tập 2 - Cánh diều
a) Tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng MH. b) Viết phương trình tham số của đường thẳng MH. c) Tìm toạ độ của H. Từ đó, tính độ dài đoạn thẳng MH.
Giải mục II trang 83, 84 SGK Toán 10 tập 2 - Cánh diều
Quan sát Hình 40a và đọc tên một góc nhọn trong bốn góc đó. a) Quan sát Hình 41a, Hình 41b, hãy nhận xét về độ lớn của góc giữa hai đường thẳng Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai đường thẳng Tính số đo góc giữa hai đường thẳng
Giải mục I trang 81, 82 SGK Toán 10 tập 2 - Cánh diều
Nêu vị trí tương đối của hai đường thẳng trong mặt phẳng. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng Xét vị trí tương đối của đường thẳng d: x + 2y – 2 = 0 với mỗi đường thẳng sau:
Lý thuyết Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng - SGK Toán 10 Cánh diều
A. Lý thuyết 1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng