Bài 4. Ba đường conic trong mặt phẳng tọa độ Toán 10 Ch..

Giải mục 1 trang 64, 65 SGK Toán 10 tập 2 - Chân trời sáng tạo

Viết phương trình chính tắc của elip trong hình 4 Một đường hầm có mặt các hình nửa Elip cao 4 m, rộng 10 m (hình 5). Viết phương trình chính tắc của elip đó.

Tổng hợp đề thi học kì 1 lớp 10 tất cả các môn - Chân trời sáng tạo

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh - Sử - Địa...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

HĐ Khởi động

Lời giải chi tiết:

Qua bài học ta thấy rằng hình dạng của các đường là phương trình chính tắc của chúng như sau:

(E) có tên gọi là elip, phương trình: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

(H) có tên gọi là hypebol, phương trình: \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

(P) có tên gọi là parabol, phương trình: \({y^2} = 2px\)

HĐ Khám phá 1

Lấy một tấm bìa, ghim hai cái đinh lên đó tại hai điểm \({F_1}\) và \({F_2}\). Lấy một vòng dây kín không đàn hồi có độ dài lớn hơn hai lần đoạn \({F_1}{F_2}\). Quàng vòng dây đó qua hai chiếc đinh và kéo căng tại một điểm M nào đó. Tựa đầu bút chì vào trong vòng dây tại điểm M rồi di chuyển sao cho dây luôn luôn căng. Đầu bút chì vạch lên tấm bìa một đường mà người ta gọi là đường elip.

Cho biết 2c là khoảng cách \({F_1}{F_2}\) và \(2a + 2c\) là độ dài của vòng dây.

Tính tổng hai khoảng cách \({F_1}M\) và \({F_2}M\)

Lời giải chi tiết:

Ta có chiều dài vòng dây là:

\(M{F_1} + {F_1}{F_2} + {F_2}M = 2a + 2c \Rightarrow M{F_1} + {F_2}M = 2a + 2c - {F_1}{F_2} = 2a\)

Vậy tổng khoảng cách \({F_1}M\) và \({F_2}M\) là 2a

HĐ Khám phá 2

Cho elip (E) có các tiêu điểm \({F_1}\) và \({F_2}\) và đặt \({F_1}{F_2} = 2c\). Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho \({F_1}( - c;0)\) và \({F_2}(c;0)\)

Xét điểm \(M(x;y)\)

a) Tính \({F_1}M\) và \({F_2}M\) theo x, y và c

b) Giải thích phát biểu sau:

\(M(x;y) \in (E) \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x + c} \right)}^2} + {y^2}} + \sqrt {{{\left( {x - c} \right)}^2} + {y^2}} = 2a\)

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Lời giải chi tiết:

a) Ta có:

\(\overrightarrow {{F_1}M} = \left( {x + c;y} \right) \Rightarrow {F_1}M = \sqrt {{{\left( {x + c} \right)}^2} + {y^2}} \)

\(\overrightarrow {{F_2}M} = \left( {x - c;y} \right) \Rightarrow {F_2}M = \sqrt {{{\left( {x - c} \right)}^2} + {y^2}} \)

b) Ta có \(M(x;y) \in (E)\) nên \({F_1}M + {F_2}M = 2a \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x + c} \right)}^2} + {y^2}} + \sqrt {{{\left( {x - c} \right)}^2} + {y^2}} = 2a\)

Thực hành 1

Viết phương trình chính tắc của elip trong hình 4

Phương pháp giải:

Phương trình chính tắc của elip có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) với \(M(x;y) \in (E);b = \sqrt {{a^2} - {c^2}} \)

Lời giải chi tiết:

Dựa vào hình vẽ ta thấy \(a = 3,c = 2 \Rightarrow b = \sqrt {{a^2} - {c^2}} = \sqrt {{3^2} - {2^2}} = \sqrt 5 \)

Vậy phương trình chính tắc của elip có dạng \(\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{5} = 1\)

Vận dụng 1

Một đường hầm có mặt các hình nửa Elip cao 4 m, rộng 10 m (hình 5). Viết phương trình chính tắc của elip đó.

Phương pháp giải:

Phương trình chính tắc của elip có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

Lời giải chi tiết:

Chiều cao là 4 m tương ứng với \(b = 4\)

Chiều rộng bằng 10 m nên \(2a = 10 \Rightarrow a = 5\)

Vậy phương trình chính tắc của elip có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{16} = 1\)

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.2 trên 6 phiếu

Bài tiếp theo

Giải mục 2 trang 65, 66, 67 SGK Toán 10 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Lấy một cây thước thẳng với mép thước AB có chiều dài d và một đoạn dây không đàn hồi có chiều dài Viết phương trình chính tắc của hypebol có tiêu cự bằng 10 và độ dài trục nhỏ bằng 6. Một tháp làm nguội của một nhà cát có mặt cắt là một hypebol có phương trình
Giải mục 3 trang 68, 69, 70 SGK Toán 10 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Viết phương trình chính tắc của parabol (P) có đường chuẩn Một cổng chào có hình parabol cao 10 m và bề rộng của cổng tại chân cổng là 5 m. Tính bề rộng của cổng tại chỗ cách đỉnh 2 m
Giải bài 1 trang 70 SGK Toán 10 tập 2 – Chân trời sáng tạo
Viết phương trình chính tắc của: a) Elip có trục lớn bằng 20 và trục nhỏ bằng 16
Giải bài 2 trang 70 SGK Toán 10 tập 2 – Chân trời sáng tạo
Viết phương trình chính tắc của các đường conic dưới đây. Gọi tên và tìm tọa độ của các tiêu điểm của chúng
Giải bài 3 trang 70 SGK Toán 10 tập 2 – Chân trời sáng tạo
Để cắt một bảng hiệu quảng cáo hình Elip có trục lớn là 80 cm và trục nhỏ là 40 cm từ một tấm ván ép hình chữ nhật có kích thước là 80 cm x 40 cm, người ta vẽ hình elip đó trên tấm ván ép như hướng dẫn sau:
Giải bài 4 trang 71 SGK Toán 10 tập 2 – Chân trời sáng tạo
Một nhà vòm chứa máy bay có mặt cắt hình nửa elip cao 8 m, rộng 20 m (hình 16) a) Chọn hệ tọa độ thích hợp và viết phương trình của elip nói trên b) Tính khoảng cách phương thẳng đứng từ một điểm cách chân tường 5 m đến nóc nhà vòm
Giải bài 5 trang 71 SGK Toán 10 tập 2 – Chân trời sáng tạo
Một tháp làm nguội của một nhà máy có mặt cắt là hình hyperbol có phương trình
Giải bài 6 trang 71 SGK Toán 10 tập 2 – Chân trời sáng tạo
Một cái cầu có dây cáp treo như hình vẽ parabol, cầu dài 100 m và được nâng đỡ bởi những thanh thẳng đứng treo từ cáp xuống, thanh dài nhất là 30m, thanh ngắn nhất là 6m (hình 18). Tính chiều dài của thanh cách điểm giữa cầu 18m
Giải Thử thách trang 73 SGK Toán 10 tập 2 – Chân trời sáng tạo
Áp dụng tính chất quang học của parabol để giải quyết vẫn đề sau đây: