Giải bài 4.14 trang 58 SGK Toán 10 tập 1 – Kết nối tri thức

Đề bài

Cho tam giác ABC

a) Hãy xác định điểm M để $\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + 2\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0$

b) Chứng minh rằng với mọi điểm O, ta có $\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + 2\overrightarrow {OC}  = 4\overrightarrow {OM}$

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + 2\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \overrightarrow {MA}  + \left( {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AB} } \right) + 2\left( {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AC} } \right) = \overrightarrow 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AB}  + 2\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow 4\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB}  + 2\overrightarrow {AC} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AM}  = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \end{array}$

Trên cạnh AB, AC lấy điểm D, E sao cho $AD = \frac{1}{4}AB;\;\,AE = \frac{1}{2}AC$

Khi đó $\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AE}$ hay M là đỉnh thứ tư của hình bình hành AEMD.

Cách 2:

Ta có: $\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + 2\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {CA} } \right) + \left( {\overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {CB} } \right) + 2\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4\overrightarrow {MC}  + \overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {CB}  = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow 4.\overrightarrow {CM}  = \overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {CB} \end{array}$

Gọi D là đỉnh thứ tư của hình bình hành ACBD.

Khi đó: $\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {CB}$$\Rightarrow 4.\overrightarrow {CM}  = \overrightarrow {CD}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow {CM}  = \frac{1}{4}\overrightarrow {CD}  \Leftrightarrow \overrightarrow {CM}  = \frac{1}{2}\overrightarrow {CO}$

Với O là tâm hình bình hành ACBD, cũng là trung điểm đoạn AB.

Vậy M là trung điểm của trung tuyến kẻ từ C của tam giác ABC.

b) Chứng minh rằng với mọi điểm O, ta có $\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + 2\overrightarrow {OC}  = 4\overrightarrow {OM}$

Với mọi điểm O, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {MA} ;\;\\\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {MB} ;\;\,\\\overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {MC} \end{array} \right.$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + 2\overrightarrow {OC}  = \left( {\overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {MA} } \right) + \left( {\overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {MB} } \right) + 2\left( {\overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {MC} } \right)\\ = 4\overrightarrow {OM}  + \left( {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + 2\overrightarrow {MC} } \right) = 4\overrightarrow {OM}  + \overrightarrow 0  = 4\overrightarrow {OM} .\end{array}$

Vậy với mọi điểm O, ta có $\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + 2\overrightarrow {OC}  = 4\overrightarrow {OM}$.