Giải bài 4.12 trang 58 SGK Toán 10 tập 1 – Kết nối tri thức


Đề bài

Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh \(\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AD}  = 2\overrightarrow {MN}  = \;\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD} .\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+  Với ba điểm A, B, C bất kì ta luôn có:  \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC} \)

+ M là trung điểm của đoạn AB thì \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  = \overrightarrow 0  = \overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {BM} \)

Lời giải chi tiết

Ta có:

\(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DN} \)

Mặt khác: \(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CN} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DN}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CN} \\ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MN}  = \left( {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} } \right) + \left( {\overrightarrow {DN}  + \overrightarrow {CN} } \right) + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AD} \\ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow 0  + \overrightarrow 0  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AD} \\ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AD} \end{array}\)

Tương tự ta cũng có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CN} \\\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {DN} \end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CN}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {DN} \\ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MN}  = \left( {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} } \right) + \left( {\overrightarrow {CN}  + \overrightarrow {DN} } \right) + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD} \\ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow 0  + \overrightarrow 0  + \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD} \\ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD} \end{array}\)

Vậy \(\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AD}  = 2\overrightarrow {MN}  = \;\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BD} .\)


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Xem thêm