Đề thi thử THPT môn Toán năm 2026 Sở GD&ĐT Vĩnh Long

Bước 1: Xác định đường tròn giao tuyến (C).

Mặt cầu (S) có tâm I(1;1;2) và bán kính $R = \sqrt{6}$.

Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng quỹ đạo $(\alpha):x + y - z + 4 = 0$ là:

$d(I,(\alpha)) = \dfrac{|1 + 1 - 2 + 4|}{\sqrt{1^{2} + 1^{2} + {( - 1)}^{2}}} = \dfrac{4}{\sqrt{3}}$.

Bán kính của đường tròn khung thép $(r)$:

$r = \sqrt{R^{2} - {\lbrack d(I,(\alpha))\rbrack}^{2}} = \sqrt{6 - \left( \dfrac{4}{\sqrt{3}} \right)^{2}}$

$= \sqrt{6 - \dfrac{16}{3}} = \sqrt{\dfrac{2}{3}}$.

Tâm H của đường tròn khung thép là hình chiếu của I trên $(\alpha)$. Đường thẳng IH đi qua I và vuông góc với $(\alpha)$ có phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} {x = 1 + t} \\ {y = 1 + t} \\ {z = 2 - t} \end{array} \right.$ nên H(1 + t; 1 + t; 2 - t).

Thay tọa độ H vào phương trình $(\alpha)$ ta được:

$(1 + t) + (1 + t) - (2 - t) + 4 = 0$

$\left. \Rightarrow 3t + 4 = 0\Rightarrow t = \dfrac{- 4}{3} \right.$.

Suy ra tọa độ tâm H là: $H\left( {- \dfrac{1}{3}; - \dfrac{1}{3};\dfrac{10}{3}} \right)$.

Bước 2: Thiết lập mối liên hệ giữa diện tích vùng sáng và khoảng cách

Vì trục hình nón luôn vuông góc với mặt sàn (P), bán kính vùng sáng $R_{s}$ trên sàn phụ thuộc vào khoảng cách h từ đèn A đến (P) và nửa góc ở đỉnh $(\beta = 30^{o})$: $R_{s} = h.\tan 30^{{^\circ}} = \dfrac{h}{\sqrt{3}}$.

Diện tích vùng chiếu sáng: $S = \pi.R_{s}^{2} = \dfrac{\pi.h^{2}}{3}$.

Để S nhỏ nhất, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của khoảng cách $h = d(A,(P))$ với A nằm trên đường tròn tâm H, bán kính r.

Bước 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của khoảng cách h

Khoảng cách từ tâm H đến mặt sàn (P): x - 2y + 2z + 10 = 0 là:

$d(H,(P)) = \dfrac{\left| {- \dfrac{1}{3} - 2.\left( {- \dfrac{1}{3}} \right) + 2.\left( \dfrac{10}{3} \right) + 10} \right|}{\sqrt{1^{2} + {( - 2)}^{2} + 2^{2}}} = \dfrac{17}{3}$.

Gọi $\varphi$ là góc giữa mặt phẳng khung thép $(\alpha)$ và mặt sàn (P). Ta có:

$\cos\varphi = \dfrac{\left| {\overset{\rightarrow}{n}}_{\alpha}.{\overset{\rightarrow}{n}}_{P} \right|}{\left| {\overset{\rightarrow}{n}}_{\alpha} \middle| . \middle| {\overset{\rightarrow}{n}}_{P} \right|}$

$= \dfrac{\left| 1.1 + 1.( - 2) + ( - 1).2 \right|}{\sqrt{3}.3} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$

$\left. \Rightarrow\sin\varphi = \sqrt{\dfrac{2}{3}} \right.$.

Gọi (Q) là mặt phẳng song song với mặt sàn (P) và đi qua điểm $M_{0}$ trên khung thép (với $M_{0}$ là điểm “gần nhất” với mặt sàn (P)), khi đó $d(H,(Q)) = r.\sin\varphi = \dfrac{2}{3}$.

Khoảng cách nhỏ nhất từ A đến (P) là::

$h_{min} = d(H,(P)) - d(H,(Q)) = \dfrac{17}{3} - \dfrac{2}{3} = 5$.

Bước 4: Tính diện tích nhỏ nhất

Bán kính vùng được chiếu sáng nhỏ nhất trên mặt sàn là: $\min R_{s} = \dfrac{5}{\sqrt{3}}$.

Giá trị diện tích nhỏ nhất là:

$S_{min} = \dfrac{\pi.5^{2}}{3} = \dfrac{25\pi}{3} \approx 26,1799...$

Làm tròn đến hàng phần mười theo yêu cầu đề bài: $S_{min} \approx 26,2$.

Khi bán x bình hoa:

- Số tiền thu được là: B(x) = 280x (nghìn đồng).

- Lợi nhuận thu được là: $L(x) = B(x) - C(x)$

$= - x^{3} + 3x^{2} + 240x - 500$ (nghìn đồng).

- Xét hàm số L(x) trên [1; 18] (với x là số nguyên), ta có:

$L'(x) = - 3x^{2} + 6x + 240$;

$\left. L'(x) = 0\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x = 10\quad(n)} \\ {x = - 8\quad(l)} \end{array} \right. \right.$.

L(1) = -258, L(10) = 1200 và L(18) = -1040.

Suy ra x = 10 thì hàm số đạt giá trị lớn nhất là 1200. Như vậy, nghệ nhân nên sản xuất mỗi ngày 10 bình hoa để thu được lợi nhuận cao nhất.