-
Đề thi chính thức tốt nghiệp THPT môn Toán
-
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán
- Đề KSCL Toán 12 lần 1 năm 2024 - 2025 sở GD&ĐT Vĩnh Phúc
- Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2025 Sở GD Hà Tĩnh
- Đề KSCL Toán 12 lần 1 năm 2024 - 2025 sở GD&ĐT Ninh Bình
- Đề KSCL Toán 12 lần 1 năm 2024 - 2025 trường THPT Triệu Sơn 3 - Thanh Hóa
- Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán lần 1 năm 2025 cụm các trường số 4 - Hải Dương
- Đề KSCL Toán 12 lần 1 năm 2024 - 2025 sở GD&ĐT Phú Thọ
-
Đề tham khảo thi tốt nghiệp THPT môn Toán
- Đề tham khảo thi tốt nghiệp THPT môn Toán - Đề số 1
- Đề tham khảo thi tốt nghiệp THPT môn Toán - Đề số 2
- Đề tham khảo thi tốt nghiệp THPT môn Toán - Đề số 3
- Đề tham khảo thi tốt nghiệp THPT môn Toán - Đề số 4
- Đề tham khảo thi tốt nghiệp THPT môn Toán - Đề số 5
- Đề tham khảo thi tốt nghiệp THPT môn Toán - Đề số 6
Đề khảo sát chất lượng Toán 12 lần 1 năm 2024 - 2025 sở GD&ĐT Phú Thọ
I. Phần trắc nghiệm
Đề bài
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1} = 3\), công sai d = 2. Số hạng thứ 5 của \(\left( {{u_n}} \right)\) bằng
-
A.
14
-
B.
5
-
C.
6
-
D.
11
Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}(x + 1) > - 1\) là
-
A.
\(( - \infty ;1)\)
-
B.
\(( - 1;1)\)
-
C.
\((1; + \infty )\)
-
D.
\((0;3)\)
Nghiệm của phương trình \({3^x} = 12\) là
-
A.
\(x = 4\)
-
B.
\(x = 9\)
-
C.
\(x = {\log _3}12\)
-
D.
\(x = {\log _{12}}3\)
Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng đáy và tam giác ABC vuông tại B. Hình chóp S.ABCD có bao nhiêu mặt là tam giác vuông?
-
A.
2
-
B.
4
-
C.
3
-
D.
1
Cho hàm số \(y = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{dx + e}}\) (với \(a,b,c,d,e \in \mathbb{R}\), \(ad \ne 0\)) có đồ thị như hình vẽ.
Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho là
-
A.
\(y = - x\)
-
B.
\(y = x\)
-
C.
\(y = x - 1\)
-
D.
\(y = x + 1\)
-
A.
\(( - \infty ; - 1)\)
-
B.
\((2; + \infty )\)
-
C.
\(( - 1;2)\)
-
D.
\((0;2)\)
Trong không gian Oxy, cho vecto \(\overrightarrow {OM} = 2\overrightarrow i - 3\overrightarrow j + 4\overrightarrow k \). Tọa độ của điểm M là
-
A.
\((2; - 3;4)\)
-
B.
\((2;4; - 3)\)
-
C.
\((2;3;4)\)
-
D.
\(( - 2;3; - 4)\)
Trong không gian Oxy, cho hai điểm A(-2;1;0), B(3;-2;1). Tọa độ của vecto \(\overrightarrow {AB} \) là
-
A.
\(( - 5;3; - 1)\)
-
B.
\((5; - 3;1)\)
-
C.
\((1; - 1;1)\)
-
D.
\(( - 1;1; - 1)\)
Họ các nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{{{x^3}}}\) là
-
A.
\( - \frac{3}{{{x^4}}} + C\)
-
B.
\( - \frac{1}{{{x^2}}} + C\)
-
C.
\( - \frac{1}{{2{x^2}}} + C\)
-
D.
\( - \frac{1}{{4{x^4}}} + C\)
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a;b] và c là số thực tùy ý thuộc đoạn [a;b]. Nếu \(\int\limits_a^b {f(x)dx} = 3\) và \(\int\limits_a^c {f(x)dx} = 8\) thì tích phân \(\int\limits_c^b {f(x)dx} \) bằng
-
A.
11
-
B.
-5
-
C.
5
-
D.
-11
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D” (tham khảo hình vẽ).
Góc giữa hai vecto \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD'} \) bằng
-
A.
\({135^o}\)
-
B.
\({60^o}\)
-
C.
\({30^o}\)
-
D.
\({45^o}\)
Kết quả đo chiều cao của 100 cây keo ba năm tuổi tại một nông trường được cho bởi bảng sau:
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho bằng
-
A.
0,886
-
B.
0,115
-
C.
0,826
-
D.
0,286
Cho hàm số \(f(x) = \ln x - \frac{x}{2}\).
a) Tập xác định của hàm số là \(D = (0; + \infty )\).
b) \(f(1) = - \frac{1}{2}\); \(f(e) = - \frac{e}{2}\).
c) Nghiệm của phương trình \(f'(x) = 0\) trên đoạn [1;e] là x = 2.
d) Giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên đoạn [1;e] bằng \( - \frac{1}{2}\).
Cho hàm số \(f(x) = \frac{{{x^2} + 5x - 7}}{x}\).
a) \(\int {f(x)dx} = \frac{{{x^2}}}{2} + 5x - 7\ln x + C\).
b) Hàm số f(x) là một nguyên hàm của hàm số \(g(x) = \frac{{{x^2} + 7}}{{{x^2}}}\).
c) Biết \(\int\limits_{ - 2}^{ - 1} {f(x)dx} = \frac{m}{n} + m\ln n\), với \(m,n \in {\mathbb{N}^*}\), \(\frac{m}{n}\) là phân số tối giản. Tổng m + 2025n = 4057.
d) Gọi G(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) thỏa mãn G(1) = 4 và G(3) + G(-9) = 20. Khi đó \(G( - 6) = a\ln 2 + b\ln 3 + c\), với a, b, c là các số hữu tỉ. Tổng \(a + b + c = \frac{2}{3}\).
Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau, trong đó có 5 cuốn sách Toán, 4 cuốn sách Vật lí và 3 cuốn sách Hóa học. Thầy giáo lấy ngẫu nhiên ra 6 cuốn sách và tặng cho 6 học sinh mỗi em một cuốn.
a) Số cách lấy ra 6 cuốn sách và tặng cho 6 học sinh là \(A_{12}^6\).
b) Số cách lấy ra 6 cuốn sách chỉ có hai trong ba loại sách Toán, Vật lí, Hóa học là \(C_7^6 + C_8^6 + C_9^6\).
c) Số cách lấy ra 6 cuốn sách sao cho mỗi loại sách Toán, Vật lí, Hóa học đều còn lại ít nhất một cuốn là \(A_{12}^6 - \left( {C_7^6 + C_8^6 + C_9^6} \right)\).
d) Xác suất để sau khi tặng xong, mỗi loại sách đều còn lại ít nhất một cuốn là \(\frac{{115}}{{132}}\).
Trong không gian, xét hệ tọa độ Oxyz có gốc O trùng với vị trí một giàn khoan trên biển, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt biển (được coi là mặt phẳng) với tia Ox hướng về phía nam, tia Oy hướng về phía đông và tia Oz hướng thẳng đứng lên trời (tham khảo hình vẽ). Đơn vị đo trong không gian Oxyz lấy theo kilômét. Một chiếc radar đặt tại O có phạm vi theo dõi là 30 km. Một chiếc tàu thám hiểm tại vị trí A ở độ sâu 10 km so với mặt nước biển, cách O 25 km về phía nam và 15 km về phía tây. Một tàu đánh cá tại vị trí B(-20;15;0).
a) Khoảng cách từ chiếc tàu thám hiểm đến radar bằng 25 km.
b) Radar không phát hiện được tàu thám hiểm đặt tại vị trí A.
c) Radar phát hiện ra tàu đánh cá tại vị trí B.
d) Một chiếc tàu của cảnh sát biển đang tuần tra di chuyển đến vị trí C cách O 15 km về phía nam. Để radar phát hiện ra thì tàu cảnh sát biển cần di chuyển về phía đông cách O tối đa \(15\sqrt 3 \) km.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, có O là giao điểm của AC và BD. Biết SO = AB = 2. Giá trị sin của góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SBC) bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?
Đáp án:
Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số mà tổng tất cả các chữ số của số đó bằng 7?
Đáp án:
Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Giả sử khi sản xuất và bán hết x sản phẩm \((0 < x \le 2500)\), tổng số tiền doanh nghiệp thu được là \(f(x) = 2006x - {x^2}\) và tổng chi phí là \(g(x) = {x^2} + 1438x - 1209\) (đơn vị: nghìn đồng). Giả sử mức thuế phụ thu trên một đơn vị sản phẩm bán được là t (nghìn đồng) (0 < t < 320). Giá trị của t bằng bao nhiêu nghìn đồng để nhà nước nhận số tiền thuế phụ thu lớn nhất và doanh nghiệp cũng nhận được lợi nhuận lớn nhất theo mức thuế phụ thu đó?
Đáp án:
Khi khắc phục hậu quả của thiên tai, bão lũ, một trong những giải pháp nhằm tiếp tế hàng cứu trợ đến những nơi khó tiếp cận là sử dụng flycam để xác định vị trí chính xác của người cần cứu trợ, sau đó sử dụng drone để vận chuyển các vật dụng thiết yếu thả xuống cho người này, giúp họ có thể cầm cự trong khi chờ đợi lực lượng cứu hộ đến nơi. Hai chiếc drone làm nhiệm vụ chuyển hàng cứu trợ bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất bay đến điểm cách điểm xuất phát 2,5 km về phía nam và 1,5 km về phía đông, đồng thời cách mặt đất 60 m. Chiếc thứ hai bay đến điểm cách điểm xuất phát 3 km về phía bắc và 2,5 km về phía tây, đồng thời cách mặt đất 40 m. Trong không gian, xét hệ tọa độ Oxyz với gốc toạ độ O đặt tại điểm xuất phát của hai drone, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất (được coi là mặt phẳng). Giả sử trong trường hợp khẩn cấp, cần tìm một vị trí trên mặt đất để tiếp nhiên liệu và các vật dụng cứu trợ cho hai drone sao cho tổng khoảng cách từ vị trí tiếp nhiên liệu đó tới hai drone nhỏ nhất. Vị trí cần tìm cách gốc tọa độ kma theo hướng bắc và kmb theo hướng tây. Khi đó a + b bằng bao nhiêu?
Đáp án:
Trong một trò chơi điện tử, hai bạn Tít và Mít thi xem ai chạy được quãng đường xa hơn. Tít chạy với vận tốc \({v_T} = 5\sqrt t \) (km/h), quãng đường Mít chạy được cho bởi phương trình \({s_M}(t) = 5t - \frac{5}{{2\pi }}\sin \left( {2\pi t} \right)\) (km) (với t tính theo giờ). Nếu cuộc đua kết thúc khi Tít hoặc Mít chạy được 10 km đầu tiên thì khoảng cách giữa hai bạn là bao nhiêu km (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?
Đáp án:
Có 8 bạn cùng ngồi xung quanh một cái bàn tròn, mỗi bạn cầm một đồng xu cân đối, đồng chất giống nhau. Tất cả 8 bạn cùng tung đồng xu của mình, bạn có đồng xu ngửa thì đứng, bạn có đồng xu sấp thì ngồi. Tính xác suất để không có hai bạn liền kề cùng đứng.
Đáp án:
Lời giải và đáp án
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có số hạng đầu \({u_1} = 3\), công sai d = 2. Số hạng thứ 5 của \(\left( {{u_n}} \right)\) bằng
-
A.
14
-
B.
5
-
C.
6
-
D.
11
Đáp án : D
Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng: \({u_n} = {u_1} + (n - 1)d\).
\({u_5} = 3 + (5 - 1).2 = 11\).
Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}(x + 1) > - 1\) là
-
A.
\(( - \infty ;1)\)
-
B.
\(( - 1;1)\)
-
C.
\((1; + \infty )\)
-
D.
\((0;3)\)
Đáp án : B
Với 0 < a < 1, ta có \({\log _a}x > b \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x < {a^b}\end{array} \right.\).
ĐKXĐ: \(x + 1 > 0 \Leftrightarrow x > - 1\).
\({\log _{\frac{1}{2}}}(x + 1) > - 1 \Leftrightarrow x + 1 < {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - 1}} \Leftrightarrow x + 1 < 2 \Leftrightarrow x < 1\).
Kết hợp ĐK, ta được –1 < x < 1.
Nghiệm của phương trình \({3^x} = 12\) là
-
A.
\(x = 4\)
-
B.
\(x = 9\)
-
C.
\(x = {\log _3}12\)
-
D.
\(x = {\log _{12}}3\)
Đáp án : C
\({a^x} = b \Leftrightarrow x = {\log _a}b\).
TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).
\({3^x} = 12 \Leftrightarrow x = {\log _3}12\).
Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng đáy và tam giác ABC vuông tại B. Hình chóp S.ABCD có bao nhiêu mặt là tam giác vuông?
-
A.
2
-
B.
4
-
C.
3
-
D.
1
Đáp án : B
Áp dụng định nghĩa của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
Các tam giác vuông là SAB, SAC, SBC và ABC.
Cho hàm số \(y = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{dx + e}}\) (với \(a,b,c,d,e \in \mathbb{R}\), \(ad \ne 0\)) có đồ thị như hình vẽ.
Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho là
-
A.
\(y = - x\)
-
B.
\(y = x\)
-
C.
\(y = x - 1\)
-
D.
\(y = x + 1\)
Đáp án : B
Dựa vào tọa độ các điểm mà đường tiệm cận đi qua, giải hệ phương trình tìm ra các hệ số.
Phương trình đường tiệm cận xiên có dạng y = ax + b \((a \ne 0)\).
Đường tiệm cận xiên đi qua hai điểm có tọa độ (0;0) và (-1;-1) nên ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}0 = a.0 + b\\ - 1 = a.( - 1) + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 0\end{array} \right. \Rightarrow y = x\)..
Vậy phương trình đường tiệm cận xiên là y = x.
-
A.
\(( - \infty ; - 1)\)
-
B.
\((2; + \infty )\)
-
C.
\(( - 1;2)\)
-
D.
\((0;2)\)
Đáp án : D
Hàm số nghịch biến trên khoảng đồ thị đi xuống từ trái sang phải.
Trên khoảng (0;2), đồ thị đi xuống từ trái sang phải nên hàm số nghịch biến trên (0;2).
Trong không gian Oxy, cho vecto \(\overrightarrow {OM} = 2\overrightarrow i - 3\overrightarrow j + 4\overrightarrow k \). Tọa độ của điểm M là
-
A.
\((2; - 3;4)\)
-
B.
\((2;4; - 3)\)
-
C.
\((2;3;4)\)
-
D.
\(( - 2;3; - 4)\)
Đáp án : A
\(\overrightarrow a = m\overrightarrow i + n\overrightarrow j + p\overrightarrow k = (m;n;p)\).
\(\overrightarrow {OM} = 2\overrightarrow i - 3\overrightarrow j + 4\overrightarrow k = (2; - 3;4)\).
Trong không gian Oxy, cho hai điểm A(-2;1;0), B(3;-2;1). Tọa độ của vecto \(\overrightarrow {AB} \) là
-
A.
\(( - 5;3; - 1)\)
-
B.
\((5; - 3;1)\)
-
C.
\((1; - 1;1)\)
-
D.
\(( - 1;1; - 1)\)
Đáp án : B
\(\overrightarrow {AB} = ({x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A})\).
\(\overrightarrow {AB} = (3 + 2; - 2 - 1;1 - 0) = (5; - 3;1)\).
Họ các nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{{{x^3}}}\) là
-
A.
\( - \frac{3}{{{x^4}}} + C\)
-
B.
\( - \frac{1}{{{x^2}}} + C\)
-
C.
\( - \frac{1}{{2{x^2}}} + C\)
-
D.
\( - \frac{1}{{4{x^4}}} + C\)
Đáp án : C
Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm số lũy thừa \(\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C\).
\(\int {f(x)dx} = \int {\frac{1}{{{x^3}}}dx} = \int {{x^{ - 3}}dx} = \frac{{{x^{ - 2}}}}{{ - 2}} + C = - \frac{1}{{2{x^2}}} + C\).
Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a;b] và c là số thực tùy ý thuộc đoạn [a;b]. Nếu \(\int\limits_a^b {f(x)dx} = 3\) và \(\int\limits_a^c {f(x)dx} = 8\) thì tích phân \(\int\limits_c^b {f(x)dx} \) bằng
-
A.
11
-
B.
-5
-
C.
5
-
D.
-11
Đáp án : B
Áp dụng tính chất của tích phân \(\int\limits_a^b {f(x)dx} + \int\limits_b^c {f(x)dx} = \int\limits_a^c {f(x)dx} \); \(\int\limits_a^b {f(x)dx} = - \int\limits_b^a {f(x)dx} \).
\(\int\limits_a^b {f(x)dx} + \int\limits_b^c {f(x)dx} = \int\limits_a^c {f(x)dx} \Leftrightarrow 3 + \int\limits_b^c {f(x)dx} = 8 \Leftrightarrow \int\limits_b^c {f(x)dx} = 5 \Leftrightarrow \int\limits_c^b {f(x)dx} = - 5\).
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D” (tham khảo hình vẽ).
Góc giữa hai vecto \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD'} \) bằng
-
A.
\({135^o}\)
-
B.
\({60^o}\)
-
C.
\({30^o}\)
-
D.
\({45^o}\)
Đáp án : D
Nếu a // b thì (a,c) = (b,c).
\(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD'} } \right) = \left( {\overrightarrow {DC} ,\overrightarrow {CD'} } \right) = {180^o} - \left( {\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {CD'} } \right) = {180^o} - {45^o} = {135^o}\).
Kết quả đo chiều cao của 100 cây keo ba năm tuổi tại một nông trường được cho bởi bảng sau:
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho bằng
-
A.
0,886
-
B.
0,115
-
C.
0,826
-
D.
0,286
Đáp án : D
Tứ phân vị thứ k, kí hiệu là \({Q_k}\), với k = 1, 2, 3 của mẫu số liệu ghép nhóm được xác định như sau:
\({Q_k} = {u_m} + \frac{{\frac{{kn}}{4} - C}}{{{n_m}}}({u_{m + 1}} - {u_m})\)
trong đó:
\(n = {n_1} + {n_2} + {n_3} + ... + {n_k}\) là cỡ mẫu;
\([{u_m};{u_{m + 1}}]\) là nhóm chứa tứ phân vị thứ k;
\({n_m}\) là tần số của nhóm chứa tứ phân vị thứ k;
\(C = {n_1} + {n_2} + {n_3} + ... + {n_{m - 1}}\).
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu \({\Delta _Q}\), là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba \({Q_3}\) và tứ phân vị thứ nhất \({Q_1}\) của mẫu số liệu ghép nhóm đó, tức là \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1}\).
Cỡ mẫu \(n = 100\).
Gọi \({x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{100}}\) là mẫu số liệu gốc về chiều cao của 100 cây keo 3 năm tuổi tại một nông trường được xếp theo thứ tự không giảm.
Ta có: \({x_1};...;{x_5} \in [8,4;8,6)\); \({x_6}; \ldots ;{x_{17}} \in [8,6;8,8)\);\({x_{18}}; \ldots ;{x_{42}} \in [8,8;9,0)\);\({x_{43}}; \ldots ;{x_{86}} \in [9,0;9,2)\);\({x_{87}}; \ldots ;{x_{100}} \in [9,2;9,4)\).
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}({x_{25}} + {x_{26}}) \in [8,8;9,0)\). Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_1} = 8,8 + \frac{{\frac{{100}}{4} - (5 + 12)}}{{25}}(9,0 - 8,8) = 8,864\).
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \(\frac{1}{2}({x_{75}} + {x_{76}}) \in [9,0;9,2)\). Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({Q_3} = 9,0 + \frac{{\frac{{3.100}}{4} - (5 + 12 + 25)}}{{44}}(9,2 - 9,0) = 9,15\).
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 0,286\).
Cho hàm số \(f(x) = \ln x - \frac{x}{2}\).
a) Tập xác định của hàm số là \(D = (0; + \infty )\).
b) \(f(1) = - \frac{1}{2}\); \(f(e) = - \frac{e}{2}\).
c) Nghiệm của phương trình \(f'(x) = 0\) trên đoạn [1;e] là x = 2.
d) Giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên đoạn [1;e] bằng \( - \frac{1}{2}\).
a) Tập xác định của hàm số là \(D = (0; + \infty )\).
b) \(f(1) = - \frac{1}{2}\); \(f(e) = - \frac{e}{2}\).
c) Nghiệm của phương trình \(f'(x) = 0\) trên đoạn [1;e] là x = 2.
d) Giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên đoạn [1;e] bằng \( - \frac{1}{2}\).
a) Hàm \(y = \ln x\) có ĐKXĐ là x > 0.
b) Thay x = 1, x = e vào hàm số rồi tính giá trị.
c) Tính f’(x) rồi giải phương trình f’(x) = 0. Xét xem nghiệm đó có thuộc [1;e] hay không.
d) Tính giá trị của f(x) tại các điểm x = 1, x = e và nghiệm của f’(x) = 0.
a) Đúng. ĐKXĐ: x > 0. Vậy tập xác định là \(D = (0; + \infty )\).
b) Sai. \(f(1) = \ln 1 - \frac{1}{2} = 0 - \frac{1}{2} = - \frac{1}{2}\); \(f(e) = \ln e - \frac{e}{2} = 1 - \frac{e}{2}\).
c) Đúng. \(f'(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow x = 2\). Mà
\(2 \in [1;e]\) nên x = 2 là nghiệm của f’(x) = 0 trên [1;e].
d) Sai. \(f(1) = - \frac{1}{2}\); \(f(e) = 1 - \frac{e}{2}\); \(f(2) = \ln 2 - \frac{2}{2} = \ln 2 - 1\).
Vậy giá trị lớn nhất của f(x) trên [1;e] bằng \(\ln 2 - 1\) khi x = 2.
Cho hàm số \(f(x) = \frac{{{x^2} + 5x - 7}}{x}\).
a) \(\int {f(x)dx} = \frac{{{x^2}}}{2} + 5x - 7\ln x + C\).
b) Hàm số f(x) là một nguyên hàm của hàm số \(g(x) = \frac{{{x^2} + 7}}{{{x^2}}}\).
c) Biết \(\int\limits_{ - 2}^{ - 1} {f(x)dx} = \frac{m}{n} + m\ln n\), với \(m,n \in {\mathbb{N}^*}\), \(\frac{m}{n}\) là phân số tối giản. Tổng m + 2025n = 4057.
d) Gọi G(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) thỏa mãn G(1) = 4 và G(3) + G(-9) = 20. Khi đó \(G( - 6) = a\ln 2 + b\ln 3 + c\), với a, b, c là các số hữu tỉ. Tổng \(a + b + c = \frac{2}{3}\).
a) \(\int {f(x)dx} = \frac{{{x^2}}}{2} + 5x - 7\ln x + C\).
b) Hàm số f(x) là một nguyên hàm của hàm số \(g(x) = \frac{{{x^2} + 7}}{{{x^2}}}\).
c) Biết \(\int\limits_{ - 2}^{ - 1} {f(x)dx} = \frac{m}{n} + m\ln n\), với \(m,n \in {\mathbb{N}^*}\), \(\frac{m}{n}\) là phân số tối giản. Tổng m + 2025n = 4057.
d) Gọi G(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) thỏa mãn G(1) = 4 và G(3) + G(-9) = 20. Khi đó \(G( - 6) = a\ln 2 + b\ln 3 + c\), với a, b, c là các số hữu tỉ. Tổng \(a + b + c = \frac{2}{3}\).
Áp dụng các quy tắc tính đạo hàm, nguyên hàm, tích phân cơ bản.
a) Sai. \(\int {f(x)dx} = \int {\frac{{{x^2} + 5x - 7}}{x}dx} = \int {\left( {x + 5 - \frac{7}{x}} \right)dx} = \frac{{{x^2}}}{2} + 5x - 7\ln \left| x \right| + C\).
b) Đúng. \(f'(x) = \frac{{\left( {{x^2} + 5x - 7} \right)'x - \left( {{x^2} + 5x - 7} \right)x'}}{{{x^2}}}\)
\( = \frac{{\left( {2x + 5} \right)x - \left( {{x^2} + 5x - 7} \right)}}{{{x^2}}} = \frac{{2{x^2} + 5x - {x^2} - 5x + 7}}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2} + 7}}{{{x^2}}} = g(x)\).
Vì f’(x) = g(x) nên f(x) là một nguyên hàm của g(x).
c) Đúng. \(\int\limits_{ - 2}^{ - 1} {f(x)dx} = \int\limits_{ - 2}^{ - 1} {\frac{{{x^2} + 5x - 7}}{x}dx} = \frac{{{x^2}}}{2} + 5x - 7\ln \left| x \right|\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^{ - 1}}\\{_{ - 2}}\end{array}} \right.\)
\( = \left[ {\frac{{{{( - 1)}^2}}}{2} + 5( - 1) - 7\ln \left| { - 1} \right|} \right] - \left[ {\frac{{{{( - 2)}^2}}}{2} + 5( - 2) - 7\ln \left| { - 2} \right|} \right] = - \frac{9}{2} - \left( { - 8 - 7\ln 2} \right) = \frac{7}{2} + 7\ln 2\).
Vậy \(m + 2025n = 7 + 2025.2 = 4057\).
d) Sai. \(G(x) = \int {f(x)dx} = \frac{{{x^2}}}{2} + 5x - 7\ln \left| x \right| + C\).
\(G( - 6) - G( - 9) = - \frac{{15}}{2} - 7\ln \left| x \right|\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^{ - 6}}\\{_{ - 9}}\end{array}} \right. = - \frac{{15}}{2} - 7\ln \frac{2}{3}\); \(G(3) - G(1) = 14 - 7\ln \left| x \right|\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^3}\\{_1}\end{array}} \right. = 14 - 7\ln 3\).
Ta có \(\left[ {G( - 6) - G( - 9)} \right] - \left[ {G(3) - G(1)} \right] = \left( { - \frac{{15}}{2} - 7\ln \frac{2}{3}} \right) - \left( {14 - 7\ln 3} \right)\)
\( \Leftrightarrow G( - 6) - \left[ {G( - 3) + G( - 9)} \right] + G(1) = - \frac{{43}}{2} - 7\left( {\ln 2 - \ln 3} \right) + 7\ln 3\)
\( \Leftrightarrow G( - 6) - 20 + 4 = - \frac{{43}}{2} - 7\ln 2 + 7\ln 3 + 7\ln 3\)
\( \Leftrightarrow G( - 6) = - 7\ln 2 + 14\ln 3 - \frac{{11}}{2}\).
Vậy \(a + b + c = - 7 + 14 - \frac{{11}}{2} = \frac{3}{2}\).
Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau, trong đó có 5 cuốn sách Toán, 4 cuốn sách Vật lí và 3 cuốn sách Hóa học. Thầy giáo lấy ngẫu nhiên ra 6 cuốn sách và tặng cho 6 học sinh mỗi em một cuốn.
a) Số cách lấy ra 6 cuốn sách và tặng cho 6 học sinh là \(A_{12}^6\).
b) Số cách lấy ra 6 cuốn sách chỉ có hai trong ba loại sách Toán, Vật lí, Hóa học là \(C_7^6 + C_8^6 + C_9^6\).
c) Số cách lấy ra 6 cuốn sách sao cho mỗi loại sách Toán, Vật lí, Hóa học đều còn lại ít nhất một cuốn là \(A_{12}^6 - \left( {C_7^6 + C_8^6 + C_9^6} \right)\).
d) Xác suất để sau khi tặng xong, mỗi loại sách đều còn lại ít nhất một cuốn là \(\frac{{115}}{{132}}\).
a) Số cách lấy ra 6 cuốn sách và tặng cho 6 học sinh là \(A_{12}^6\).
b) Số cách lấy ra 6 cuốn sách chỉ có hai trong ba loại sách Toán, Vật lí, Hóa học là \(C_7^6 + C_8^6 + C_9^6\).
c) Số cách lấy ra 6 cuốn sách sao cho mỗi loại sách Toán, Vật lí, Hóa học đều còn lại ít nhất một cuốn là \(A_{12}^6 - \left( {C_7^6 + C_8^6 + C_9^6} \right)\).
d) Xác suất để sau khi tặng xong, mỗi loại sách đều còn lại ít nhất một cuốn là \(\frac{{115}}{{132}}\).
Chia trường hợp cụ thể rồi áp dụng công thức chỉnh hợp, tổ hợp, công thức xác suất cổ điển.
a) Đúng. Thầy giáo cần chọn ra 6 cuốn sách trong tổng số 12 cuốn, mỗi cuốn đều khác nhau để tặng cho mỗi học sinh nên số cách là \(A_{12}^6\).
b) Đúng. Ta có các trường hợp sau:
TH1: Không lấy ra sách Toán.
Số cách lấy ra 6 cuốn trong 7 cuốn còn lại là \(C_7^6\).
TH2: Không lấy ra sách Vật lí.
Số cách lấy ra 6 cuốn trong 8 cuốn còn lại là \(C_8^6\).
TH3: Không lấy ra sách Hóa học.
Số cách lấy ra 6 cuốn trong 9 cuốn còn lại là \(C_9^6\).
Vậy tổng số cách 6 cuốn sách chỉ có hai trong ba loại sách là \(C_7^6 + C_8^6 + C_9^6\).
c) Sai. Tổng số cách lấy ngẫu nhiên 6 trong 12 cuốn sách là \(C_{12}^6\).
Ta xét các trường hợp lấy ra 6 cuốn và có loại sách bị hết.
TH1: Lấy được tất cả số sách Toán.
Số cách lấy ra 5 cuốn sách Toán và 1 trong 7 cuốn còn lại là \(C_5^5.C_7^1 = C_7^1\).
TH2: Lấy được tất cả số sách Vật lí.
Số cách lấy ra 4 cuốn sách Vật lí và 2 trong 8 cuốn còn lại là \(C_4^4.C_8^2 = C_8^2\).
TH3: Lấy được tất cả số sách Hóa học.
Số cách lấy ra 3 cuốn sách Hóa học và 3 trong 9 cuốn còn lại là \(C_3^3.C_9^3 = C_9^3\).
Số cách lấy ra 6 cuốn sách sao cho mỗi loại sách Toán, Vật lí, Hóa học đều còn lại ít nhất 1 cuốn là \(C_{12}^6 - \left( {C_7^1 + C_8^2 + C_9^3} \right)\).
d) Đúng. Xác suất để sau khi tặng xong, mỗi loại sách đều còn lại ít nhất 1 cuốn là:
\(\frac{{C_{12}^6 - \left( {C_7^1 + C_8^2 + C_9^3} \right)}}{{C_{12}^6}} = \frac{{115}}{{132}}\).
Trong không gian, xét hệ tọa độ Oxyz có gốc O trùng với vị trí một giàn khoan trên biển, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt biển (được coi là mặt phẳng) với tia Ox hướng về phía nam, tia Oy hướng về phía đông và tia Oz hướng thẳng đứng lên trời (tham khảo hình vẽ). Đơn vị đo trong không gian Oxyz lấy theo kilômét. Một chiếc radar đặt tại O có phạm vi theo dõi là 30 km. Một chiếc tàu thám hiểm tại vị trí A ở độ sâu 10 km so với mặt nước biển, cách O 25 km về phía nam và 15 km về phía tây. Một tàu đánh cá tại vị trí B(-20;15;0).
a) Khoảng cách từ chiếc tàu thám hiểm đến radar bằng 25 km.
b) Radar không phát hiện được tàu thám hiểm đặt tại vị trí A.
c) Radar phát hiện ra tàu đánh cá tại vị trí B.
d) Một chiếc tàu của cảnh sát biển đang tuần tra di chuyển đến vị trí C cách O 15 km về phía nam. Để radar phát hiện ra thì tàu cảnh sát biển cần di chuyển về phía đông cách O tối đa \(15\sqrt 3 \) km.
a) Khoảng cách từ chiếc tàu thám hiểm đến radar bằng 25 km.
b) Radar không phát hiện được tàu thám hiểm đặt tại vị trí A.
c) Radar phát hiện ra tàu đánh cá tại vị trí B.
d) Một chiếc tàu của cảnh sát biển đang tuần tra di chuyển đến vị trí C cách O 15 km về phía nam. Để radar phát hiện ra thì tàu cảnh sát biển cần di chuyển về phía đông cách O tối đa \(15\sqrt 3 \) km.
Dựa vào hệ trục, tìm tọa độ các điểm theo dữ kiện của đề bài. Áp dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm \(AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} - {z_A}} \right)}^2}} \).
Từ các dữ kiện của bài toán, ta có toạ độ tàu thám hiểm là điểm A(25;-15;-10).
a) Sai. Khoảng cách từ chiếc tàu thám hiểm đến radar bằng \(OA = \sqrt {{{25}^2} + {{( - 15)}^2} + {{( - 10)}^2}} = 5\sqrt {38} \) (km).
b) Đúng. Ta có \(OA = 5\sqrt {38} \approx 30,8\) km, mà phạm vi theo dõi của radar là 30 km nên radar không phát hiện được tàu thám hiểm ở vị trí A.
c) Đúng. \(OB = \sqrt {{{( - 20)}^2} + {{15}^2} + {0^2}} = 25\) (km). Vì 25 < 30 nên radar phát hiện được tàu đánh cá ở vị trí B.
d) Đúng. Ta có C(15;x;0).
Để radar phát hiện được thì \(OC \le 30 \Leftrightarrow \sqrt {{{15}^2} + {x^2}} \le 30 \Leftrightarrow {15^2} + {x^2} \le 30 \Leftrightarrow x \le 15\sqrt 3 \), hay tàu cảnh sát biển cần di chuyển về phía đông tối đa \(15\sqrt 3 \) km.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, có O là giao điểm của AC và BD. Biết SO = AB = 2. Giá trị sin của góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (SBC) bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?
Đáp án:
Đáp án:
Giả sử \(\left( {d,(SBC)} \right) = \alpha \). Khi đó \(\sin \alpha = \frac{{d\left( {A,(SBC)} \right)}}{{SA}} = \frac{{2d\left( {O,(SBC)} \right)}}{{SA}}\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông và định lí Pythagore để tính.
Giả sử \(\left( {d,(SBC)} \right) = \alpha \). Khi đó \(\sin \alpha = \frac{{d\left( {A,(SBC)} \right)}}{{SA}} = \frac{{2d\left( {O,(SBC)} \right)}}{{SA}}\).
Gọi I là trung điểm của BC. Khi đó \(SI \bot BC\).
Kẻ \(OH \bot SI\), H thuộc SI.
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}SO \bot (ABCD) \Rightarrow SO \bot BC\\SI \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot (SOI) \Rightarrow BC \bot OH\).
Mặt khác \(\left\{ \begin{array}{l}OH \bot SI\\OH \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot (SBC) \Rightarrow d\left( {O,(SBC)} \right) = OH\).
Xét tam giác SOI vuông tại O có đường cao OH:
\(\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{1^2}}} = \frac{5}{4} \Rightarrow OH = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\).
Xét tam giác SAO vuông tại O: \(SA = \sqrt {A{O^2} + S{O^2}} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} + {2^2}} = \sqrt 6 \).
Vậy \(\sin \alpha = \frac{{2d\left( {O,(SBC)} \right)}}{{SA}} = \frac{{2OH}}{{SA}} = \frac{{2.\frac{{2\sqrt 5 }}{5}}}{{\sqrt 6 }} = \frac{{2\sqrt {30} }}{{15}} \approx 0,73\).
Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số mà tổng tất cả các chữ số của số đó bằng 7?
Đáp án:
Đáp án:
Liệt kê các trường hợp. Áp dụng công thức tính số hoán vị.
Gọi số cần tìm có dạng \(\overline {abcd} \), với a, b, c, d là các chữ số từ 0 đến 9, \(a \ne 0\).
TH1: 3 trong 4 chữ số a, b, c, d bằng 0.
Khi đó a = 7.
Có 1 số thỏa mãn.
TH2: 2 trong 4 chữ số a, b, c, d bằng 0.
- Chọn vị trí cho 2 chữ số 0 có \(C_3^2 = 3\) cách.
- Cặp 2 chữ số còn lại có thể là (1;6), (2;5), (3;4) và hoán vị của chúng.
Có 3.3.2! = 18 số thỏa mãn.
TH3: 1 trong 4 chữ số a, b, c, d bằng 0.
- Chọn vị trí cho 1 chữ số 0 có \(C_3^1 = 3\) cách.
- Bộ 3 chữ số còn lại có thể là (1;1;5), (1;2;4), (1;3;3), (2;3;3) và hoán vị của chúng.
+ Bộ (1;2;4) có số hoán vị là 3! = 6.
+ 3 bộ còn lại có số hoán vị là 3.
Có 3.(1.6 + 3.3) = 45 số thỏa mãn.
TH4: Không có chữ số nào bằng 0.
Có 3 bộ số (1;1;1;4), (1;1;2;3) và (1;2;2;2) và hoán vị của chúng.
- Bộ (1;1;2;3) có số hoán vị là 4.3 = 12.
- 2 bộ còn lại có số hoán vị là 4.
Có 12 + 2.4 = 20 số thỏa mãn.
Vậy, có tất cả 1 + 18 + 45 + 20 = 84 số thỏa mãn.
Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Giả sử khi sản xuất và bán hết x sản phẩm \((0 < x \le 2500)\), tổng số tiền doanh nghiệp thu được là \(f(x) = 2006x - {x^2}\) và tổng chi phí là \(g(x) = {x^2} + 1438x - 1209\) (đơn vị: nghìn đồng). Giả sử mức thuế phụ thu trên một đơn vị sản phẩm bán được là t (nghìn đồng) (0 < t < 320). Giá trị của t bằng bao nhiêu nghìn đồng để nhà nước nhận số tiền thuế phụ thu lớn nhất và doanh nghiệp cũng nhận được lợi nhuận lớn nhất theo mức thuế phụ thu đó?
Đáp án:
Đáp án:
Lập hàm tính lợi nhuận. Ứng dụng đồ thị hàm số bậc hai và đạo hàm để tìm ra giá trị t.
Ta có lợi nhuận là \(P(x) = f(x) - g(x) - xt = 2006x - {x^2} - ({x^2} + 1438x - 1209) - xt\)
\( = - 2{x^2} + 568x - xt + 1209 = - 2{x^2} + (568 - t)x + 1209\).
Đồ thị hàm số P(x) là một parabol có bề lõm hướng xuống dưới (do a = -2 < 0).
Do đó, P(x) lớn nhất tại đỉnh parabol, hay \(x = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{568 - t}}{{2( - 2)}} = \frac{{568 - t}}{4}\).
Số tiền thuế thu được khi đó là \(xt = \frac{{568 - t}}{4}t = - \frac{{{t^2}}}{4} + 142t = h(t)\). Ta cần tìm t để h(t) lớn nhất.
Có \(h'(t) = - \frac{1}{2}t + 142 = 0 \Leftrightarrow t = 284\).
Vậy giá trị t cần tìm là 284.
Khi khắc phục hậu quả của thiên tai, bão lũ, một trong những giải pháp nhằm tiếp tế hàng cứu trợ đến những nơi khó tiếp cận là sử dụng flycam để xác định vị trí chính xác của người cần cứu trợ, sau đó sử dụng drone để vận chuyển các vật dụng thiết yếu thả xuống cho người này, giúp họ có thể cầm cự trong khi chờ đợi lực lượng cứu hộ đến nơi. Hai chiếc drone làm nhiệm vụ chuyển hàng cứu trợ bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất bay đến điểm cách điểm xuất phát 2,5 km về phía nam và 1,5 km về phía đông, đồng thời cách mặt đất 60 m. Chiếc thứ hai bay đến điểm cách điểm xuất phát 3 km về phía bắc và 2,5 km về phía tây, đồng thời cách mặt đất 40 m. Trong không gian, xét hệ tọa độ Oxyz với gốc toạ độ O đặt tại điểm xuất phát của hai drone, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất (được coi là mặt phẳng). Giả sử trong trường hợp khẩn cấp, cần tìm một vị trí trên mặt đất để tiếp nhiên liệu và các vật dụng cứu trợ cho hai drone sao cho tổng khoảng cách từ vị trí tiếp nhiên liệu đó tới hai drone nhỏ nhất. Vị trí cần tìm cách gốc tọa độ kma theo hướng bắc và kmb theo hướng tây. Khi đó a + b bằng bao nhiêu?
Đáp án:
Đáp án:
Sử dụng quy tắc tính tọa độ vecto, tính độ dài vecto.
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với gốc O đặt tại điểm xuất phát của hai chiếc drone, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất với trục Ox hướng về phía nam, trục Oy hướng về phía đông và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời (tham khảo hình vẽ), đơn vị đo lấy theo kilômét.
Gọi vị trí chiếc drone thứ nhất và thứ hai lần lượt là P, Q.
Khi đó: \(P\left( {2,5;1,5;0,06} \right)\), \(Q\left( { - 3; - 2,5;0,04} \right)\).
Gọi I là điểm tiếp nhiên liệu trên mặt đất (Oxy). Khi đó I\(({x_I};{y_I};0)\).
Khoảng cách từ vị trí tiếp nhiên liệu tới hai drone nhỏ nhất, tức là IP + IQ nhỏ nhất.
Gọi P’ là điểm đối xứng của P qua (Oxy). Khi đó \(P'\left( {2,5;1,5; - 0,06} \right)\) và IP = IP’.
Vậy để IP + IQ nhỏ nhất thì IP’ + IQ nhỏ nhất. Điều đó xảy ra khi Q, I, P’ thẳng hàng, hay \(\overrightarrow {QP'} \), \(\overrightarrow {QI} \) cùng phương.
\(\overrightarrow {QP'} {\rm{\;}} = \left( {2,5 + 3;1,5 + 2,5; - 0,06 - 0,04} \right) = \left( {5,5;4; - 0,1} \right)\); \(\overrightarrow {QI} {\rm{\;}} = \left( {{x_I} + 3;{y_I} + 2,5; - 0,04} \right)\).
Để \(\overrightarrow {QC} \), \(\overrightarrow {QI} \) cùng phương thì \(\frac{{{x_I} + 3}}{{5,5}} = \frac{{{y_I} + 2,5}}{4} = \frac{{ - 0,04}}{{ - 0,1}}\). Từ đó tính được \({x_I} = - 0,8\); \({y_I} = - 0,9\).
Ta có \(I\left( { - 0,8; - 0,9;0} \right)\), suy ra \(a = 0,8\); \(b = 0,9\). Vậy a + b = 0,8 + 0,9 = 1,7.
Trong một trò chơi điện tử, hai bạn Tít và Mít thi xem ai chạy được quãng đường xa hơn. Tít chạy với vận tốc \({v_T} = 5\sqrt t \) (km/h), quãng đường Mít chạy được cho bởi phương trình \({s_M}(t) = 5t - \frac{5}{{2\pi }}\sin \left( {2\pi t} \right)\) (km) (với t tính theo giờ). Nếu cuộc đua kết thúc khi Tít hoặc Mít chạy được 10 km đầu tiên thì khoảng cách giữa hai bạn là bao nhiêu km (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?
Đáp án:
Đáp án:
Ứng dụng tích phân để tìm ra Tít hay Mít chạy được 10 km nhanh hơn. Tại thời điểm đó, tính quãng đường bạn còn lại đã chạy được. Từ đó, tính khoảng cách giữa hai bạn.
Ta có \({s_M}'(t) = 5 - \frac{5}{{2\pi }}\cos \left( {2\pi t} \right).2\pi = 5 - 5\cos \left( {2\pi t} \right) \ge 0\) nên hàm số \({s_M}(t)\) đồng biến.
Khi đó, \({s_M}(t) = 5t - \frac{5}{{2\pi }}\sin \left( {2\pi t} \right) = 10 \Leftrightarrow t = 2\).
Phương trình quãng đường Tít chạy được là \({s_T}(t) = \int {{v_T}dt} = \int {5\sqrt t dt} = 5.\frac{{{t^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}} + C = \frac{{10}}{3}t\sqrt t + C\).
Vì s(0) = 0 nên C = 0. Do đó \({s_T}(t) = \frac{{10}}{3}t\sqrt t \).
Ta có \({s_T}(t) = \frac{{10}}{3}t\sqrt t = 10 \Leftrightarrow t\sqrt t = 3 \Leftrightarrow t = \sqrt[3]{9}\).
Vì \(\sqrt[3]{9} > 2\) nên Mít chạy được quãng đường 10 km trước. Cùng lúc đó, Tít chạy được \({s_T}(2) = \frac{{10}}{3}.2\sqrt 2 = \frac{{20\sqrt 2 }}{3}\) km.
Khoảng cách giữa hai bạn là \(10 - \frac{{20\sqrt 2 }}{3} \approx 0,57\) km.
Có 8 bạn cùng ngồi xung quanh một cái bàn tròn, mỗi bạn cầm một đồng xu cân đối, đồng chất giống nhau. Tất cả 8 bạn cùng tung đồng xu của mình, bạn có đồng xu ngửa thì đứng, bạn có đồng xu sấp thì ngồi. Tính xác suất để không có hai bạn liền kề cùng đứng.
Đáp án:
Đáp án:
Liệt kê các trường hợp. Áp dụng quy tắc nhân xác suất, công thức tính tổ hợp.
Không gian mẫu: \(n\left( \Omega \right) = {2^8}\).
Có tối đa 4 bạn cùng đứng.
TH1: Có 4 bạn cùng đứng.
\( \Rightarrow \) Số cách: 2.
TH2: Có 3 bạn cùng đứng. \(C_8^3\) cách:
- Số cách chọn 3 bạn liền kề cùng đứng: 8.
- Số cách chọn 2 bạn liền kề và 1 bạn không liền kề cùng đứng: 8.4 = 32.
\( \Rightarrow \) Số cách: \(C_8^3 - 8 - 32 = 16\).
TH3: Có 2 bạn cùng đứng:
\( \Rightarrow \) Số cách: \(\frac{{8.5}}{2} = 20\).
TH4: Có 1 bạn đứng.
\( \Rightarrow \) Số cách: \(C_8^1 = 20\).
TH5: Có 0 bạn đứng.
\( \Rightarrow \) Số cách: 1.
Xác suất để không có hai bạn liền kề cùng đứng là \(P = \frac{{2 + 16 + 20 + 8 + 1}}{{{2^8}}} = \frac{{47}}{{256}} \approx 0,18\).
I. Phần trắc nghiệm
I. Phần trắc nghiệm
I. Phần trắc nghiệm
I. Phần trắc nghiệm
I. Phần trắc nghiệm
Các bài khác cùng chuyên mục
- Đề khảo sát chất lượng Toán 12 lần 1 năm 2024 - 2025 sở GD&ĐT Phú Thọ
- Đề tham khảo thi THPT môn Toán - Đề số 6 (hay, chi tiết)
- Đề tham khảo thi THPT môn Toán - Đề số 5 (hay, chi tiết)
- Đề thi thử THPT môn Toán lần 1 năm 2025 cụm các trường số 4 - Hải Dương
- Đề khảo sát chất lượng Toán 12 lần 1 năm 2024 - 2025 trường THPT Triệu Sơn 3 - Thanh Hóa
- Đề khảo sát chất lượng Toán 12 lần 1 năm 2024 - 2025 sở GD&ĐT Phú Thọ
- Đề tham khảo thi THPT môn Toán - Đề số 6 (hay, chi tiết)
- Đề tham khảo thi THPT môn Toán - Đề số 5 (hay, chi tiết)
- Đề thi thử THPT môn Toán lần 1 năm 2025 cụm các trường số 4 - Hải Dương
- Đề khảo sát chất lượng Toán 12 lần 1 năm 2024 - 2025 trường THPT Triệu Sơn 3 - Thanh Hóa
