Đề tham khảo thi THPT môn Toán - Đề số 5 (hay, chi tiết)

a) Đúng. Thiên thạch di chuyển trên đường thẳng có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u ( - 12;17;5)\) và đi qua điểm M(-12;29;10) nên phương trình đường thẳng đó là \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 12 - 12t\\y = 29 + 17t\\z = 10 + 5t\end{array} \right.\), \(t \in \mathbb{R}\).

b) Sai. Giả sử vị trí đầu tiên thiên thạch di chuyển vào phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là điểm A.

Vì A thuộc đường thẳng thiên thạch di chuyển nên \(A( - 12 - 12t;29 + 17t;10 + 5t)\).

Ngoài thực tế khoảng cách từ tâm trái đất đến vị trí cuối cùng mà thiên thạch di chuyển trong phạm vi
theo dõi của hệ thống quan sát là 6370 + 6630 = 13000 km ứng với 13 đơn vị trên hệ trục tọa độ.

Do đó \(OA = 13 \Leftrightarrow O{A^2} = 169\)

\( \Leftrightarrow {( - 12 - 12t)^2} + {(29 + 17t)^2} + {(10 + 5t)^2} = 169\)

\( \Leftrightarrow 144 + 288t + 114{t^2} + 841 + 986t + 289{t^2} + 100 + 100t + 25{t^2} = 169\)

\( \Leftrightarrow 458{t^2} + 1374t + 916 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t =  - 1\\t =  - 2\end{array} \right.\).

Với t = -1, ta có \({A_1}(0;12;5) \Rightarrow M{A_1} = \sqrt {{{( - 12)}^2} + {{17}^2} + {5^2}}  = \sqrt {658} \).

Với t = 2, ta có \({A_2}(12; - 5;0) \Rightarrow M{A_2} = \sqrt {{{( - 24)}^2} + {{34}^2} + {{10}^2}}  = 2\sqrt {458} \).

Do \(M{A_1} < M{A_2}\) nên vị trí đầu tiên là \(A \equiv {A_1}(0;12;5)\).

c) Sai. Từ ý b), ta có vị trí cuối cùng mà thiên thạch di chuyển trong phạm vi theo dõi của hệ thống quan sát là \(B \equiv {A_2}(12; - 5;0)\).

d) Đúng. Ta có \(AB = \sqrt {{{12}^2} + {{17}^2} + {5^2}}  = \sqrt {458} \).

Khoảng cách ngắn nhất từ tâm trái đất đến thiên thạch là \(\sqrt {{R^2} - \frac{{A{B^2}}}{4}}  = \sqrt {{{13}^2} - \frac{{458}}{4}}  = \sqrt {\frac{{218}}{2}}  \approx 7,38\).

Khi đó khoảng cách từ thiên thạch đến tâm trái đất khoảng 7380 km lớn hơn bán kính trái đất là 6370 km nên không thể va vào trái đất.